精品解析：湖南省2022年普通高等学校对口招生考试数学试题

湖南省2022年普通高等学校对口招生考试 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合. 所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求方程的解，再判断充分条件与必要条件. 【详解】∵的解为或， ∴能推出， 但不能推出， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式求解即可. 【详解】因为. 所以. 故选：A. 4. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性. 【详解】A、为偶函数，但在不具有单调性，不符合题意； B、令，，，不是偶函数，不符合题意； C、令，，函数为偶函数，函数图像开口向上，对称轴为，所以函数在为增函数； D、定义域为不具有奇偶性，不符合题意. 故选：C. 5. 已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域求解. 【详解】∵, ∴, ∴, 故选：C. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算和内积坐标表示求解即可. 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解含绝对值的不等式. 【详解】， 即或， 解得或. 故选：B. 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】∵指数函数底数，为减函数， 且， ∴， ∵底数，为增函数，且， ∴， 故， 即， 故选：D. 9. 已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 10. 已知点P在直线上，点Q在圆上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线与圆的位置关系，进而求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 则的最小值为， 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在一次“党史”知识竞赛中，参加知识竞赛的10名学生的成绩如下表： 成绩 92 95 96 98 人数 1 2 4 3 则这10名学生的平均成绩是______. 【答案】96 【解析】 【分析】根据表格求平均数. 【详解】这10名学生的平均成绩， 故答案为：. 12. 经过点，且与直线平行的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据与直线平行设所求直线方程，再根据过点代数求解. 【详解】∵直线与平行， 故设直线方程为， ∵点， 代入数值得：， 解得， 故直线方程为. 故答案为：. 13. 若角的终边经过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点求正弦值，余弦值，再求. 【详解】∵角的终边经过点， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：. 14. 如图，高为，底面边长是的正四棱柱形工件，以它的两底面中心的连线为轴，钻出一个直径是的圆柱形孔，则剩余部分几何体的体积是______（圆周率取3.14）. 【答案】29.3 【解析】 【分析】根据组合体体积求解即可. 【详解】由题意知，打孔后所得几何体的体积等于正四棱锥的体积减去一个圆柱的体积. 即. 故答案为：29.3 15. 若数列满足，且，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法求解数列通项公式即可. 【详解】因为，所以， 又， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题.满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知函数，. （1）求实数的值，并写出的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数表达式即可求出m的值，其定义域可由对数函数真数大于0即可得解. （2）解不等式，再结合函数定义域即可求出x取值范围. 【小问1详解】 由，则，解得. 要使函数有意义，则 ，解得， 函数定义域为. 【小问2详解】 若，即，整理得， 所以，解得， 结合函数的定义域，可得x的取值范围是. 17. 已知等差数列满足，. （1）求； （2）设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 【答案】（1）19 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据求公差，再根据通项公式求. （2）先根据等差数列前项和公式求，，，再根据等比数列的特征判断是否成等比数列. 【小问1详解】 因为是等差数列，， 即，， ∴. 【小问2详解】 因为等差数列的前项和为，， 所以， ， ， ∵，即， ∴，，，成等比数列. 18. 某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. （1）用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； （2）求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，5名男生与3名女生，从中任意选取3名，女生人数的可能为，分别求出概率，列出分布列即可. （2）女生多于男生的情况有女生有3人，或女生有2人，将两种情况的概率相加即可. 【小问1详解】 已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观， 表示选取的人中女生的人数，则的所有可能的取值是， ，， ，， 所以的分布列是： 0 1 2 3 【小问2详解】 女生人数多于男生的选法为或， 女生人数多于男生的概率为. 19. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直. （2）根据三棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 如图： ∵平面，平面， ∴， ∵，且，且两直线在平面内， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 ∵平面, ∴为三棱锥的高，且为在平面上的射影， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵, ∴在直角三角形中，， ∵， ∴， ∴三棱锥的体积： . 20. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【小问1详解】 由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 四、选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 如图，点为等边三角形的边上一点，且，. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据正弦定理求解. 【小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴ 又∵， ∴， 即， 在中， ， 即， ， ∴ 【小问2详解】 ∵， 在中，由正弦定理得： ， 即， 解得： . 22. 某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品的利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】生产甲种产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，作出可行域，再求最大值. 【详解】设甲、乙两种电子产品分别生产件，件， 则每天利润， 由题意得， 即， 画出可行域，如图所示： 由得， 最大，即直线的纵截距最大， 作出直线：，平移直线至可行域， 当直线经过点时，直线的纵截距最大， 由， 解得， 即， 所以的最大值为（千元）， 则生产家中产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省2022年普通高等学校对口招生考试 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A B. C. D. 5. 已知，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 10 D. 25 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知两条不同直线与平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知点P在直线上，点Q在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在一次“党史”知识竞赛中，参加知识竞赛的10名学生的成绩如下表： 成绩 92 95 96 98 人数 1 2 4 3 则这10名学生的平均成绩是______. 12. 经过点，且与直线平行的直线方程为______. 13. 若角的终边经过点，则______. 14. 如图，高为，底面边长是的正四棱柱形工件，以它的两底面中心的连线为轴，钻出一个直径是的圆柱形孔，则剩余部分几何体的体积是______（圆周率取3.14）. 15. 若数列满足，且，则数列的通项公式______. 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题.满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 已知函数，. （1）求实数的值，并写出的定义域； （2）若，求的取值范围. 17. 已知等差数列满足，. （1）求； （2）设数列前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 18. 某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. （1）用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； （2）求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 19. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 20. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 四、选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 如图，点为等边三角形的边上一点，且，. （1）求的长； （2）求的值. 22. 某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品的利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$