3.3函数的性质课件-2023-2024学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

3.3 函数的性质 函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们来研究函数的性质． 函数的单调性 3.3.1 3 问题1 观察某地某日气温时段图，回答下列问题。 （1） 时，气温最低为 ， 时，气温最高为 ． （2）随着时间的增加，在时间段 0时到6时的时间段内，气温 不断地 ；6时到14时 这个时间段内，气温不断 地 ． 情境导入 问题2 下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况. 下图是某市某天气温（）是时间的函数图像，记这个函数为． 观察图像，当自变量变化时，函数怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？ 情境导入 下图是某市某天气温（）是时间的函数图像，记这个函数为． 由图可知： 时间从4ℎ到14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高,也就是说当x∈[4，14] 时，函数y=f(x)的值随自变量x的增大而增大． 时间从14ℎ到24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也就是说当x∈[14，24] 时，函数y=f(x)的值随自变量x的增大而减小． 下图是某市某天气温（）是时间的函数图像，记这个函数为． 由图可知： 在给定区间[4，14]上，对于图像上的任意两点，，当时，都有，即，f(x1)＜f(x2)． 在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点，，当时，都有，即f(x3)＞f(x4)． 设函数的定义域为D，区间． （2）如果对于区间上的任意两点，，当时，都有，那么称函数在区间上是减函数，区间称为函数的减区间．如图（2）所示． （1）如果对于区间上的任意两点，，当时，都有，那么称函数在区间上是增函数，区间I称为函数的增区间．如图（1）所示． 探索新知 函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质 增函数 减函数 设函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有意义． 对于任意的 x1，x2∈ (a,b) 当x1<x2时 有f(x1)<f(x2)成立． 把函数叫做区间 (a,b)内的增函数 区间(a,b)叫做函 数的增区间． 有f(x1)>f(x2)成立． 把函数叫做区间 (a,b)内的减函数 区间(a,b)叫做函 数的减区间． 增函数 减函数 随着自变量的增加 函数值不断增大 图像呈上升趋势． 随着自变量的增加 函数值不断减小 图像呈下降趋势． 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么称函数在区间上具有单调性，区间称为单调区间． 增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间． 探索新知 . 判定函数的单调性有两种方法： 借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定． 函数单调性的判定方法 . 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学． 小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟 到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小 明离开家的距离与时间的关系如图所示．指出这个函数的单调性． 观察函数图像 . x y x y 1.当k>0时，图像从左至右 是 的，函数是单调 函数； 2.当k<0时，图像从左至右 是 的，函数是单调 函数． 1.当k>0时，在各象限中y值分别随x值的增大而 ，函数是单调 函数； 2.当k<0时，在各象限中y值分别随x值的增大而 ，函数是单调 函数． 由一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性 由反比例函数 (k≠0)的图像分析其单调性 例1 根据函数在R上的图像，如图所示，写出其单调区间： 例题辨析 解 （1）由图（1）所示函数图像可知，函数的定义域为R，增区间为，减区间为． （2）由函数图像（2）可知，函数的定义域为，增区间为和． 16 函数 的减区间能写成吗？ 例2 讨论函数在上的单调性． 例题辨析 解 任取且， 因为 ， 由，所以即 ． 所以函数在上是增函数． 18 例3 证明函数在区间上是减函数． 例题辨析 证 任取且． 因为， 由，所以，即 ． 所以函数在区间 上是减函数． 19 1．填空题（填“增”或“减”）： （1）函数在（－，+）上是_________函数； （2）函数 在（－，+）上是_________函数； （3）函数 在（－，0）上是_________函数； （4）函数 在（0，+）上是_________函数； 2．已知函数，，如图所示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调区间上函数的单调性． 巩固练习 20 3． 若函数在R上是减函数，求的取值范围． 4．证明： （1）函数在上是减函数． （2）函数在上是减函数． 巩固练习 21 函数的奇偶性 3.3.2 22 如图所示： 点P(3,2)关于x 轴的对称点是点P1，其坐标为 ； 点P(3,2)关于y 轴的对称点是点P2，其坐标为 ； 点P(3,2)关于原点O 的对称点是点P3，其坐标为 ． P1 P3 P2 情境导入 . 一般地，设点P(a,b)为平面上的任意一点，则 （1）点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)； （2）点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)； （3）点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b). 点的对称 . 观察下列图形的是否具有对称性． 问题1 情境导入 问题2 观察下列函数的图像的是否具有对称性，如果有关于什么对称？ 如果将图像沿着坐标原点旋转180°， 旋转前后的图像完全重合． 这时称函数图像关于坐标原点对称． 原点O叫做这个函数图像的对称中心． 如果沿着y轴对折，那么对折后 y轴两侧的图像完全重合． 这时称函数图像关于y轴对称． y轴叫做这个函数图像的对称轴． 函数的图像是关于轴对称的轴对称图形． 函数的图像是关于原点对称的中心对称图形． 对于函数，有： ， ， ， …… 即对于定义域R上的任意一个，都有 ． 设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且 ， 则称是偶函数．偶函数的图像关于轴对称． 探索新知 对于函数有： ， ， ， …… 即对于定义域上的任意一个，都有． 情境导入 设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且 ， 则称是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 探索新知 . 函数y=f (x) 不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数． 如果一个函数是奇函数或偶函数， 那么，就称此函数具有奇偶性． 对任意的x∈D，都有 − x ∈ D f (−x)=f (x) 图像关于y轴对称 称函数为偶函数． f (-x)=-f (x) 图像关于原点对称 称函数为奇函数． 如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称． 探索新知 . 函数奇偶性的判断 （1）求出函数的定义域； （2）判断对于任意的x∈D是否都有-x ∈ D.若存在某个x0∈D 但-x0 D ，函数就是非奇非偶函数； （3）分别计算出f(x)与f(−x)，若f(x)=-f(−x)，则函数就是奇函数； 若f(x)=f(−x) ，则函数就是偶函数；若f(x)≠-f(−x)且f(x)≠f(−x) ， 则函数就是非奇非偶函数． ∉ 有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？如果有，请举例说明． 利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像． 如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间上的性质，从而减少工作量． 例4 讨论下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 例题辨析 解 （1）的定义域为R，对于任意的，都有，且，所以是奇函数． （2）的定义域为R，对于任意的，都有，且，所以是偶函数． 38 例4 讨论下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 例题辨析 （3）的定义域为R，对于任意的，，都有，且，，所以既不是奇函数也不是偶函数． （4）的定义域为 ，对于 ，而 ， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数． 39 例5 （1）图（1）给出了偶函数在上的函数图像，试将的图像补充完整，并指出函数的单调区间． 解 （1）由于函数是偶函数，所以它的图像关于轴对称，因此它的图像如图所示．函数的减区间为，增区间为． 例题辨析 40 例5 （2）图（2）给出了奇函数在上的函数图像，试将的图像补充完整，并指出函数的单调区间． （2）由于函数是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．函数的增区间为． 例题辨析 41 1．填空题： （1）点关于轴对称的点为 ，关于轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ； （2）点关于轴对称的点为 ，关于轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ． 巩固练习 42 2．讨论下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 巩固练习 43 3．已知偶函数和奇函数的定义域均为[－4，4]，下图为它们在[0，4]上的图像． （1）求与； （2）将函数和在定义域内的图像补充完整． 巩固练习 44 几个常见的函数 3.3.3 45 回顾义务教育阶段学过的一次函数、反比例函数与二次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎样的呢？如何用数学的语言表达？ 情境导入 是一次函数，其图像为直线，如图所示． 由一次函数的解析式和图像不难发现，其定义域和值域均为R， 并有如下性质： （1）当时，在R上是增函数，如图（1）所示；当时，在R上是减函数，如图（2）所示． （2）当时，如图（3）（4）所示. 一次函数是奇函数，其图像关于原点中心对称． 探索新知 例6 设函数在R上是减函数，求的取值范围． 解 由函数在R上是减函数，可得， 即，所以的取值范围． 例题辨析 48 是反比例函数，其图像如图所示． 由反比例函数的解析式和图像可知：其定义域和值域均为， 并有如下性质： （1）当时，函数图像在第一、三象限，在和上都是减函数； 当时，函数图像在第二、四象限，在和上都是增函数． （2）函数是奇函数，图像关于原点中心对称． 探索新知 例7 设反比例函数的图像经过点，问函数图像是否一定经过点? 解 因为反比例函数是奇函数，它的图像关于原点对称．而点关于原点对称的点是，所以函数图像一定经过点． 例题辨析 50 例8 一次函数在R上是增函数，其图像与反比例函数的图像交于点（1，4），求这个一次函数与反比例函数． 例题辨析 解 由一次函数在R上是增函数，可得，所以； 因为两个函数的图像交于点（1，4），将该点坐标代入反比例函数，得，所以， =±2．由于，所以不合题意，舍去，故． 一次函数为，将点（1，4）代入得，，即． 所以这个一次函数为，反比例函数为． 51 是二次函数，其图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为． 一般地，当时，二次函数的图像是一条开口向上的抛物线， 定义域为R，值域为． 并有如下性质： （1）在上是减函数，在[ 是增函数； （2）当时为偶函数． 探索新知 是二次函数，其图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为． 当时，二次函数的图像是一条开口向下的抛物线，定义域为R，值域为． 并有如下性质： （1）在上是增函数，在[ 是减函数； （2）当时为偶函数． 探索新知 对二次函数进行总结，见表： 例9 作出二次函数的图像，并讨论其单调性． 解 由知：a＝1，b＝－2，c＝－3，所以 1，， 从而顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为． （1）列表 例题辨析 55 例9 作出二次函数的图像，并讨论其单调性． （2）描点连线 图像过点（−1，0），（0，−3），（1，−4），（2，−3），（3，0），光滑曲线依次连接以上各点，画出函数的图像，如图所示． 例题辨析 56 例9 作出二次函数的图像，并讨论其单调性． 由图知，二次函数的图像是开口向上的抛物线，定义域为R，值域为[−4，＋）． 函数在（−，1]上是减函数，函数在[1，＋）上是增函数． 例题辨析 57 已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，请求出 的值． 1．填空题： （1） 一次函数的定义域是__________，值域是_____________，是_________函数(减或增)，它的图像与坐标轴的交点坐标为_____________． （2）当________时，一次函数是奇函数． （3）若反比例函数在（－，0）上是增函数，则的取值范围为_______． 巩固练习 59 1．填空题： （4）二次函数的定义域为_________，值域为__________；在____________上是增函数，在____________上是减函数；为__________函数（奇偶性）；它的图像与x轴的交点为______________，与y轴的交点为_____________． （5）二次函数的定义域为_____，值域为__________；在____________上是增函数，在____________上是减函数；是__________函数（奇偶性）；它的图像与x轴的交点为______________，与y轴的交点为_____________． 巩固练习 60 2． 设反比例函数，是定义域在R上的偶函数，且．比较的大小． 3． 设点在函数的图像上，求点关于轴对称点的坐标． 4． 设函数是R上的偶函数，求实数． 5． 设函数是R上的奇函数，求实数 巩固练习 61 归纳总结 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业 作业 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 再见 $$