专题15 解答压轴题型：立体几何的综合应用-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题15 解答压轴题型：立体几何的综合应用 1．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 2．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，为线段上一点，，，．    (1)证明：当时，∥平面； (2)若 ，求二面角的余弦值 3．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角． 4．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥体积的最大值. 5．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）如图，已知等腰梯形与矩形所在平面互相垂直，，.    (1)求证：平面平面； (2)设二面角的大小为与平面所成的角为，若与满足，求的长. 6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，.    (1)求点到平面的距离； (2)若，且平面，求实数的值. 7．（22-23高一下·浙江金华·期末）如图，三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，设点分别为的中点.    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角余弦值. 8．（22-23高一下·浙江湖州·期末）已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.    (1)若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积； (2)若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围. 9．（22-23高一下·浙江金华·期末）如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且.    (1)记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC； (2)当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值. 10．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，.    (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)求与平面所成角的正弦值. 11．（22-23高一下·浙江杭州·期末）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长，宽，高分别为.    (1)在方案(2)中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？ 12．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，正方形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱的体积为.    (1)求圆柱的表面积； (2)若，求点F到平面BDE的距离. 13．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值. 14．（22-23高一下·浙江丽水·期末）在直三棱柱中，、分别是、的中点，，，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 15．（22-23高一下·浙江衢州·期末）衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德多面体，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相等），已知正方体的棱长为30cm.    (1)证明：平面平面； (2)求石凳所对应几何体的体积. 16．（21-22高一下·浙江杭州·期末）如图，在等腰梯形中，，在等腰梯形中，，将等腰梯形沿所在的直线翻折，使得，在平面上的射影恰好与重合． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.      (1)当点M与端点D重合时，证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值. 18．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.    (1)当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 19．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8， （i）证明： （ii）求与平面所成角的正弦值. 20．（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，，点在上，.    (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正切值. 21．（21-22高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）已知三棱锥，为线段中点，是边长为1的正三角形，且，. (1)证明：平面平面； (2)若，点在线段上且，求二面角的正切值. 22．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． (1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由； (2)已知. ①求二面角的平面角的余弦值； ②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值． 23．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，分别是棱的中点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求三棱锥的体积. 24．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）如图，正三棱柱的每条棱长都等于2，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面ABC； (2)求三棱锥的体积． 25．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面. (1)求证：侧面； (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值. 26．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图， 四棱锥的底面四边形为正方形， 顶点 在底面的射影为线段的中点 是的中点， (1)求证：平面； (2)求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比． 27．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图，在三棱台中，，，侧面平面． (1)求证：面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 28．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，三棱柱中，四边形和四边形均为菱形，，，． (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 29．（21-22高一下·浙江丽水·期末）如图，底面是边长为4的正方形，半圆面底面．点为半圆弧(不含，)上一动点． (1)求证：； (2)当点为弧中点时，求二面角的正切值． 30．（21-22高一下·浙江台州·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点. (1)若二面角的平面角的余弦值为. （i）求侧面的面积； （ii）求与平面所成角的正弦值. (2)直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明. 31．（21-22高一下·浙江温州·期末）在三棱台中， ， ， 侧面 平面 (1)求证： 平面； (2)求证： 是直角三角形； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 32．（21-22高一下·浙江丽水·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，点满足，，．    (1)若平面，求的值； (2)当三棱锥体积最大时，求点位置，并求体积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 解答压轴题型：立体几何的综合应用 1．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点、分别是线段、的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取中点，推导出平面，可知是直线与平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出结果. 【详解】（1）证明：连接，      因为且，故四边形为平行四边形， 因为为的中点，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取中点，由题意可知，所以，且，    因为平面，平面，所以， 又，所以， 因为，、平面，所以平面． 连接，则是直线与平面所成的角． 由题意，同理可得， 则， 因为平面，平面，则，则， 因为，，即直线与平面所成角的余弦值为. 2．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，为线段上一点，，，．    (1)证明：当时，∥平面； (2)若 ，求二面角的余弦值 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由已知条件可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）作FMAD于点M，作交于点，连接 ，则可证得为所求二面角的平面角，记为，然后在中求解即可. 【详解】（1）证明：在矩形中，是的中点， 所以∥ ， ， 又因为为中点，所以∥，， 所以∥， ， 所以四边形为平行四边形，所以∥，   又因为 平面，平面， 所以∥平面，    （2）过作于点，过作交于点，连接 ， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以 所以为所求二面角的平面角，记为， 直四棱柱中，，为的中点， 所以，，同理可得， 在中，，所以，，      又因为，所以∥， 在菱形中，， 所以为等边三角形，取AD中点H，则， ，且             所以所以 ， 在中，， 所以 所以二面角的余弦值为    3．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质定理证明即可； （2）利用线面角的定义，作出线面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）因为四边形为正方形，故CD⊥AD， 因为平面，平面，所以， 又平面，故平面， 平面，故CD⊥AG，由知，G为中点，故， 又平面，所以平面； （2）连接，    由（1）可知是在平面内的射影， 所以是与平面所成的角.因为平面，所以. 在中，，，则， 所以，所以，即直线与平面所成角为. 4．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据题意结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意利用转换顶点法，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）连接交于点E，连接DE， 因为D，E分别是AC，的中点，则， 且平面，平面. 所以平面. （2）过点D作DF垂直BC交于点F， 因为，则DF//AB，所以F为BC的中点， 因为平面，平面，则， ，平面， 则平面， 设，则. . 当且仅当时，等号成立， 所以三棱锥的体积的最大值是.    5．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）如图，已知等腰梯形与矩形所在平面互相垂直，，.    (1)求证：平面平面； (2)设二面角的大小为与平面所成的角为，若与满足，求的长. 【答案】(1)见解析；(2)1 【分析】(1)首先证得平面，然后根据面面垂直证明定理证明平面平面； (2)分别作出二面角，，以及表示出与平面所成的角，然后结合条件，求解的长； 【详解】（1） 由题意在等腰梯形中， 所以，故为等腰三角形， 且，所以， 所以， 同时求得， 又由题意为矩形，所以，且，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）设， 由（1）平面，平面，所以， 过点作于，连接， 因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 根据二面角定义，，，且为平面与平面的交线， 所以即为二面角的平面角，即， 因为平面平面，且， 故平面，即， 在中，，所以， 故，所以， 过点作于，连接， 因为平面平面，故平面， 所以即与平面所成的角为，即， 由于， 故， 由题意， 解得：，即的长为1. 6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，.    (1)求点到平面的距离； (2)若，且平面，求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）作于，因为平面，结合线面垂直的性质可证平面，进而可证平面，即即为点到平面的距离，在直角中即可求出结果； （2）由线面平行的性质，可证，由三角形相似可求出比例关系. 【详解】（1）作于，因为平面，BC在面ABCD内，所以， 又因为，而，PA、AB在面PAB内， 所以平面，AH在面PAB内，所以， 而，BC、PB在面PBC内， 所以平面，即即为点到平面的距离， 在直角中，，所以，故， 即点到平面的距离为；    （2）由题意，平面平面 平面平面，所以 底面为直角梯形，由，可知， 所以. 7．（22-23高一下·浙江金华·期末）如图，三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，设点分别为的中点.    (1)证明：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可得证. （2）利用等积法即可求解. （3）取的中点，连接，结合线面平行的性质定理，得出就是面与面的夹角，然后求解即可. 【详解】（1）由知，， 又分别为的中点，所以， 所以 由等边三角形及为的中点知，， 且平面. 所以平面，又平面， 所以 （2）在中，， 又， 可得，故， 所以三棱锥的体积， 又. （3）记平面与平面的的交线为， 由面面， 得平面， 又面，面面，故有， 又由（1）（2）可知，所以， 取的中点，连接， ，又， 则就是面与面的夹角， 在中，， ，， 则.    8．（22-23高一下·浙江湖州·期末）已知面积为的菱形ABCD如图①所示，其中，E是线段AD的中点．现将沿AC折起，使得点D到达点S的位置.    (1)若二面角的平面角大小为，求三棱锥的体积； (2)若二面角的平面角，点F在三棱锥的表面运动，且始终保持，求点F的轨迹长度的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由菱形ABCD的面积得，二面角的平面角为，可得点S到平面ABC的距离，从而可求三棱锥的体积； （2）取AC边上靠近点A的四等分点G，取AB的中点为H，则平面EGH，故点F的轨迹长度即为的周长，由于，，由二面角的大小平面角，结合余弦定理及三角函数的性质可得的范围，从而可得答案.. 【详解】（1）因为菱形ABCD的面积为，得，，， 又因为二面角的平面角为，且大小为，所以， 故点S到平面ABC的距离为， 由于的面积为， 则三棱锥的体积为.    （2）取AC边上靠近点A的四等分点G，取AB的中点为H，连接EH，EG，GH， ∵EG∥SO，SO⊥AC，∴AC⊥EG，同理AC⊥GH， ∵，平面EGH，所以平面EGH， 故点F的轨迹长度即为的周长. 由于，，， 且二面角的大小平面角， ， ∵，∴，， 则，， 所以点F的轨迹长度的取值范围为.    9．（22-23高一下·浙江金华·期末）如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且.    (1)记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC； (2)当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）推导出面,,由此能证明面； （2）过作的垂线,与的延长线交于点,连结DE,由,得面,从而是二面角的平面角,进而,过作交于F点,连结,作交于点,连结,由此能求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）为等边三角形，中点为，， 又面面，面面， 面, 由，得面, 面，, 又，平面，面.    （2）在中，过作的垂线,与的延长线交于点,连结, ，，面， 面，是二面角的平面角，, 过作交于点,连结,作交于点,连结, 由面，面，得, 又，面，面, 面，面面，面面， 面，所以面，即面， 所以直线与平面所成角即为， 由题意:，, 则 ，面，面，， ， ， 直线与平面所成角的正弦值为.    10．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知边长为6的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，.    (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可； （2）根据几何关系，平方后得到，得到，根据余弦定理求解其平面角即可； （3）根据平行关系将所求角转化为与平面所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 因为菱形，， 所以为等边三角形， 所以， 又因为面，， 所以面， 因为面， 所以    （2）因为，， 所以， 平方得，， 即，解得， 在中，由余弦定理得，， 所以， 由（1）可知，是二面角的平面角， 在等边中，，同理， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 即二面角的大小为. （3）取中点，连接，则是靠近G的三等分点， 则， 所以与平面所成角即为所成角， 在平面中，作， 因为面，面， 所以， 又因为面，， 所以面， 所以是与平面所成角， 在中，，，所以 ， 在中，由，得，， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为.    11．（22-23高一下·浙江杭州·期末）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长，宽，高分别为.    (1)在方案(2)中，若，设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少？ 【答案】(1)见解析；(2)方案(2)，最短绳长为 【分析】（1）先证明，从而可证平面，进而得，从而可证平面，从而可证平面； （2）方案1中，绳长为；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由到的折线，从而可计算最短绳长. 【详解】（1）连接，在长方体中，， 则， 所以， ， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 又平面平面平面； 又平面，平面平面； 又平面平面平面， 又平面平面； （2）方案1中，绳长为； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由到的折线， 如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为长度， 因为，所以， 所以彩绳的最短长度为.    12．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，正方形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱的体积为.    (1)求圆柱的表面积； (2)若，求点F到平面BDE的距离. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由体积公式计算底面半径，再有表面积公式求解； （2）证明平面，再有等体积法得出点F到平面BDE的距离. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则，解得. 则圆柱的表面积为. （2）连接，因为，所以，设点F到平面BDE的距离为， 易知，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 所以， ，， 因为，所以. 即，解得.    13．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)利用等体积，即可求解. (2)根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解. 【详解】（1）如图所示，根据题意得： .    （2）如图所示,过点做平面ABCD的垂线，垂足为G，易知G为AC中点， 故为与平面ABCD所成线面角， 又, 所以与平面ABCD所成角的余弦值为：.    14．（22-23高一下·浙江丽水·期末）在直三棱柱中，、分别是、的中点，，，．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）连接，即可得到，从而得到平面，则，再由直棱柱的性质得到，即可得证； （2）设点到平面的距离为，根据，利用等体积法计算可得. 【详解】（1）连接，因为，，是的中点， 所以，，则， 所以，又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面；    （2）由平面，平面，， 又，，平面， 所以平面， 因为，所以，则，， 所以，所以， 设点到平面的距离为， ， ， 即，解得， 所以点到平面的距离为.        15．（22-23高一下·浙江衢州·期末）衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德多面体，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相等），已知正方体的棱长为30cm.    (1)证明：平面平面； (2)求石凳所对应几何体的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明即可； （2）先求出正方体的体积，再求出截去的八个四面体的体积，作差即可求解. 【详解】（1）多面体为二十四等边体知、、、、、为正方体对应棱上的中点 则，， ，平面，，平面， 则平面平面.    （2）正方体的体积， 截去的每个四面体体积为， 所以石凳所对应几何体的体积为. 16．（21-22高一下·浙江杭州·期末）如图，在等腰梯形中，，在等腰梯形中，，将等腰梯形沿所在的直线翻折，使得，在平面上的射影恰好与重合． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）先根据射影的定义得出线面垂直，然后可得平面与平面垂直； （2）根据条件证明平面，找出直线与平面所成角，求解直角三角形可得答案. 【详解】（1）证明：在平面上的射影恰好与重合， 平面，又平面， 平面平面． （2）如图1，分别延长交于点， 如图2，过作边的垂线，垂足为， 由等腰梯形的性质得， 又，同理， 而，即． 又平面平面，平面平面平面， 平面直线与平面所成角为，且为直角． 在等腰梯形中，， ， 由平面， 又， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.      (1)当点M与端点D重合时，证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值. 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）通过证明和，证明平面； （2）设，由，可求最大值； （3）由几何法找到和，表示出，利用函数方法可求最大值. 【详解】（1）当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知上平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，可知 ，平面，平面， 所以平面 （2）矩形中作，垂足为点O，折起后得，    由平面，平面，可得，所 平面，，所以平面， 平面，可得，所以A，O，E三点共线， 因此与相似，满足， 设，所以，，， ，， 要使点射影落在线段上，则，所以， 所以， 当时，. （3）过点做交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由（2）可知平面，平面，所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面，可得平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 由题意可得，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值为. 【点睛】方法点睛： 1.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 2.求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 3.作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 18．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.    (1)当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）见解析；（ii）；(2)存在， 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质可推导出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）取的中点为，的中点为，连接、、，计算出点到平面的距离以及线段的长，即可得出直线与平面所成角的正弦值； （2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算出三边边长，利用勾股定理求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）（i）由题意，四边形为直角梯形，且，， 所以，所以， 取的中点，连接，则且，且， 故四边形为矩形， 则，且，所以， 又由，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，则，所以， 又，、平面，所以平面.    （ii）取的中点为，的中点为，连接、、， 过在平面内作垂直于，垂足为， 又平面平面，平面平面，， 所以平面，为的中点， 所以，所以平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，平面， 所以，，平面， 得平面，因为，，， 所以， 由等面积法可得， 延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点，    设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 则，所以， 由，所以，； （2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接， 则平面平面， 设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角， 因为且，所以，点为的中点，则， 过点作垂直于，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以， 是二面角的平面角， 所以，， 由，得，所以、重合，由，得， 设，则，， 由勾股定理可得， 即，整理可得， 解得或（舍）， 所以存在点，当，有成立.    【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点，使得，延长与交于点，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力. 19．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8， （i）证明： （ii）求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2)（i）见解析；（ii） 【分析】（1）延长交于点S，连接SE并延长，分别交BC,于点F、G，连接AG，先证平面SBC，再根据DE//AG，即可求证. （2）（i）根据面积之比，得到Q为BC的中点，即可求解. （ii）根据面面角定义，结合等体积法求点面距，最后求出面面角的正弦值. 【详解】（1）由棱台的性质知：延长交于点S，又， 所以三棱锥为正四面体，为的中点， 连接SE并延长，分别交BC,于点F、G，则F为中点，且为△的中线，    所以G为等边的中心，连接AG，则平面SBC，又D为的中点， 综上，，，且，， 所以，即；，即， 故，所以DE//AG，所以DE⊥平面SBC. （2）   （i）延长交于点H，若均在平面上，则共线， 设，则， 过A作AM / / BC交PQ于点M，，则， 设BQ = k，则，故且则， 又所以， 所以，即，所以，故Q为BC的中点， 所以，即 （ii）由（i）知：即为面，连接，易知，且， 由面，面，故面， 综上，， 连接交DP于点N，易知，且， 所以，故，所以， 又为与平面的交线，，面， 设平面与平面所成角为，所以， 故平面与平面所成角的正弦值为. 20．（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，，点在上，.    (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正切值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理即可证明； （2）先作出与交线垂直的平面，从而作出二面角的平面角，然后解三角形即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接，    ，，， 又平面，平面， 平面. （2）解：在平面内作，为垂足，连接， 平面， 平面， 又平面，， 又因为平面， 所以平面， 所以就是与平面所成的角，即， 因为，所以，， 平面，平面，平面平面， 在平面内过作于，交于点，在平面内过作于，连接， 因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 求得，， 因为， 所以∽，所以， 所以， ， 在平面内过作于，则，， 则，，， ， 所以二面角的正切值是. 【点睛】方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角. 21．（21-22高一下·浙江宁波·期末）（用坐标法不给分）已知三棱锥，为线段中点，是边长为1的正三角形，且，. (1)证明：平面平面； (2)若，点在线段上且，求二面角的正切值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）先作出二面角的平面角，并进行证明，然后在计算角度的大小即可求解 【详解】（1）因为为线段中点，， 所以， 又，，， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）在上取点，使得， 由，可知， 又由（1）可知平面， 所以平面， 所以， 过点作，连接， 由，，， 可得平面， 又平面， 所以， 所以为二面角的平面角 又为线段中点，是边长为1的正三角形， 所以，， 由，可知, 所以， 同理可得， 所以 所以二面角的正切值为. 22．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． (1)设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由； (2)已知. ①求二面角的平面角的余弦值； ②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值． 【答案】(1)存在，；(2)①；② 【分析】（1）存在这样的E点；且当时满足，过点F作交AD于点E，则可得，，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论， （2）①由（1）可得∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角，然后在△PEF中利用余弦定理可求得答案，②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，由于BC//面PAD，所以C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离，由等积法求出，从而可求出，法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，利用求出，从而可求出， 【详解】（1）存在这样的E点；且当时 过点F作交AD于点E， ∵△PBC为正三角形， ∴，∵，∴， 又∵， ∴， ∵ ∴AD⊥平面PEF， ∵AD平面PAD， 故平面PAD⊥平面PEF （2）①解：由（1）知，，， ∴∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角． ∵，，∴，又∵，， ∴在△PEF中， ②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离， 则 ∵，，∴，∵， ∴BC//平面PAD，C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离． 由（1）知，F到平面PAD的距离等于F到PE的距离， 在△PEF中，，，， ∴， 则，又， ∴，∴． ∴，即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为． 法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，其中． ∵，即 其中，又，，， ∴，故， ∴ 过P作交EF于点H，由（1）中知AD⊥面PEF， ∵AD平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF， 又平面ABCD平面，，PH平面PEF，故PH⊥平面ABCD， ∴，由（2）题①知，，故可求， 故． ∴． 23．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，分别是棱的中点，且. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求三棱锥的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）通过已知得出即可证明； （2）取中点，连接，利用面面垂直的性质得出平面，求出，利用体积公式即可求出. 【详解】（1）因为分别是棱的中点，所以， 因为平面平面，所以平面. （2）取中点，连接， 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以， 在中，由，可求得. 所以， 故三棱锥的的体积为 24．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）如图，正三棱柱的每条棱长都等于2，M，N分别是，的中点． (1)求证：平面ABC； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）取AB中点O，连结MO，CO，由题意证明四边形MNCO是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明； （2）求得的面积和点到平面的距离，利用锥体的体积公式求解. 【详解】（1）证明：如图所示： 取AB中点O，连结MO，CO， 因为M，O分别是，BA的中点， 所以，， 又N是中点，，， 所以，， 所以四边形MNCO是平行四边形， ∴， 又平面ABC，平面ABC， ∴平面ABC； （2）因为的面积为， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为． 25．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面. (1)求证：侧面； (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）先证，由侧面底面证得侧面，进而证得，即可证得侧面； （2）连接AC，过O作，先证得，，则，再求出，即可求解. 【详解】（1）因为是等腰三角形且，M为PD的中点，所以，因为侧面，且底面， 所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面，所以， 因为DC，侧面，且，所以侧面. （2）连接AC，过O作，交于点N，因为是正方形，所以，所以， 又因为底面，底面，所以，又平面，， 所以平面，又平面，所以，所以，不妨设等边三角形的边长为2， 则，，所以在直角三角形中，. 26．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图， 四棱锥的底面四边形为正方形， 顶点 在底面的射影为线段的中点 是的中点， (1)求证：平面； (2)求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比． 【答案】(1)见解析；(2)或 【分析】（1）取PC中点F，证四边形ODEF为平行四边形，即可由线线平行证线面平行； （2）过点的截面为平面ADEF，则截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合；利用几何关系，跟别求出各部分体积的占比，即可得出比值 【详解】（1）由题，如图，取PC中点F，连接EF、DF，则EF为的中位线，故，，故四边形ODEF为平行四边形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面 （2）由（1）得，过点的截面为平面ADEF，截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合； 由是的中点，易得，；由是的中点，易得； 故过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为 27．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图，在三棱台中，，，侧面平面． (1)求证：面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）在四边形中，证明，再利用面面垂直的性质推理作答. （2）连接，由（1）及已知证明平面，再作出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算作答. 【详解】（1）在三棱台中，，而，则， 显然，则， 有，于是得， 因侧面平面 ，侧面平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，而平面，则，连，如图，因， ，平面，则平面，又平面，因此，平面平面， 在平面内过点作于，而平面平面，则有平面， 连，从而得是直线与平面所成的角， 在直角梯形中，，，， ，在中，，则，， 由平面可得，则，等腰中，底边上的高， 由得：，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角，先通过找直线在平面上的射影来找出直线与平面所成的角，再把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 28．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，三棱柱中，四边形和四边形均为菱形，，，． (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）取的中点，由余弦定理求得，由勾股定理得，同理证得，即可证得平面，即可证得； （2）取中点，由及证得平面，即为直线和平面所成的角，再求正弦即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为， 由余弦定理得， 则，所以，又，同理可得， 因为平面，所以平面，因为平面，所以； （2）因为，，所以， 由（1）可知，且，所以，又由（1）知，所以是正三角形，取中点，连接， 则，且，由（1）得，则，在中， 因为，所以，所以，所以，因为， 平面，故平面，所以为直线和平面所成的角，所以. 29．（21-22高一下·浙江丽水·期末）如图，底面是边长为4的正方形，半圆面底面．点为半圆弧(不含，)上一动点． (1)求证：； (2)当点为弧中点时，求二面角的正切值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理即可证得； （2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合二面角的定义可求解. 【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，， 且，平面 又平面， ，，平面， 平面， （2）取中点，连接，作于，连接 ，， 平面平面，平面平面，平面 平面，又平面， ，，平面， 又平面， 即为二面角的平面角，且 30．（21-22高一下·浙江台州·期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点. (1)若二面角的平面角的余弦值为. （i）求侧面的面积； （ii）求与平面所成角的正弦值. (2)直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明. 【答案】(1)（i）；（ii）；(2)直线不可能垂直于平面，证明见解析 【分析】（1）（i）取的中点，连接，，利用余弦定理求出，即可得到，从而得到是二面角的平面角，再由余弦定理求出，即可得到，再根据矩形面积公式计算可得； （ii）取的中点，依题意可得与平面所成角即与平面所成角，再取的中点，连接，即可证明平面，取的中点，连接，从而得到是直线与平面所成的角，最后利用锐角三角函数计算可得； （2）连接，利用反证法证明即可； 【详解】（1）解：（i）取的中点，连接. 连接，由，由余弦定理 所以， 所以， 所以， 由题意，得， 所以是二面角的平面角， 故. 由余弦定理 所以，所以，所以， 所以，即侧面的面积为 （ii）取的中点，由，知与平面所成角即与平面所成角. 由、是等腰直角三角形，取的中点， 连接，由， ，得，又由，，平面，所以平面. 取的中点，连接，由，知平面，是直线与平面所成的角. 由，得. 所以与平面所成角的正弦值为. （2）解：直线不可能垂直于平面. 证明如下：连接，由， 由余弦定理 所以， 假设平面，平面， 则，又，得. 在中，，矛盾.故假设不成立. 所以，直线不可能垂直于平面. 31．（21-22高一下·浙江温州·期末）在三棱台中， ， ， 侧面 平面 (1)求证： 平面； (2)求证： 是直角三角形； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】（1）因为侧面 平面，且交线为，故要证明平面，只需证明即可，在四边形根据直角三角形中的角度关系证明即可； （2）在上取一点使得，设，连接，根据余弦定理可得，再根据线面垂直的性质与判定可得平面，进而得到，再根据线段比例，结合线面平行的判定可得，进而得到是直角三角形 （3）利用等体积法，可求得到的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值即可 【详解】（1）四边形中，因为，故四边形为梯形，，故，，且，故，又，故，故.又侧面平面，且交线为，故平面 （2）在上取一点使得，设，连接. 因为，则由余弦定理可得，解得，因为，故.由（1）平面，平面，故，又，平面，故平面.又平面，故.又梯形中，根据平行线中两三角形的性质有，故，又，故，故，故.故是直角三角形 （3）由（2），，故，故到的距离为.设到的距离为，则因为，即，所以，解得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为 32．（21-22高一下·浙江丽水·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，点满足，，．    (1)若平面，求的值； (2)当三棱锥体积最大时，求点位置，并求体积的最大值． 【答案】(1)；(2)点与重合， 【分析】（1）取，的中点，，连接，，，由线面平行判定得平面、平面，再根据面面平行的判定和性质可得平面，最后利用三点共线有 且，结合平面向量加法的几何意义及基本定理列方程组求出即可； （2）取的中点，连接，，由题设知：在四边形内，再过作于，进而确定到面的距离最大时点位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】（1）取，的中点，，连接，，， ，平面平面， 平面，    ，平面平面， 平面，而，面， 平面平面，而平面， 平面， 由三点共线， 且， ，则， ，， . （2）取的中点，连接，， 由，，， 则在四边形内，过作于， 设平面与平面所成的角为，点到平面的距离为， 则，则， 又，则△A1DP底边A1D上的高，    所以， 由，则，可得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$