专题14 解答压轴题型：解三角形的综合应用-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题14 解答压轴题型：解三角形的综合应用 1．（22-23高一上·浙江杭州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 2．（22-23高一下·浙江衢州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 3．（22-23高一下·浙江丽水·期末）在中，三个内角所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)当取最大值时，求的周长． 4．（22-23高一下·浙江杭州·期末）在四边形中，.    (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 5．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 6．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度. 7．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，请在①；②； 这两个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，点在的延长线上，且，求的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分. 8．（22-23高一下·浙江台州·期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 9．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案. 问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 . (1)求角C； (2)若点D满足，且，求的面积的最大值. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 10．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且. (1)若为中线，且，求； (2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围. 11．（21-22高一下·浙江杭州·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)在①，②，③这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定．并解答之． 若___________，___________，求的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 12．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已为分别为三内角的对边，且 (1)求； (2)若，角的平分线，求的面积． 13．（21-22高一下·浙江温州·期末）在锐角中， 角、、的对边分别是、、，， 且 ． (1)求角的值； (2)设是的中点， 在①；②；③ 这三个条件中任选一个， 求的面积． 14．（21-22高一下·浙江温州·期末）在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________， (1)求角A的值； (2)求的值． 15．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积． 17．（21-22高一下·浙江台州·期末）如图，在平面四边形中，已知. (1)若，求； (2)若平分，求的最大值. 18．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c（是常数），D是AB的中点． (1)若，求的值； (2)若且，求cosA的值； (3)若时，求△BCD面积的最大值． 19．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为请在①;②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题： (1)选择 求； (2)若，，求边及． （如果选择多个条件解答按第一个解答给分） 20．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，. (1)求b边的长度； (2)求的余弦值； (3)设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值. 21．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.    (1)已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. (2)已知，且，求AC的最大值. 22．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，其面积为，满足. (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值. 23．（22-23高一下·浙江温州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，已知. (1)若，求B的大小； (2)若，过B作AB的垂线交AC于D，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 解答压轴题型：解三角形的综合应用 1．（22-23高一上·浙江杭州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解； （2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意及正弦定理知，， ， ，. （2）， 又， 由①，②可得， 所以的周长为. 2．（22-23高一下·浙江衢州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用两角和的正弦公式将条件化简，再利用正弦定理和三角恒等变换求出，根据三角形内角的取值范围即可求解； （2）法1：利用正弦定理将边化为角，然后利用三角形内角和定理、三角恒等变换和余弦函数的图像即可求解；由（1）先利用余弦定理得到，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，化简可得， 由正弦定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即，因为，则， ∴，则. （2）法1：由正弦定理可得 ， 因为，所以，则， 所以，故， 所以的取值范围为. 法2：由（1）可知，在中，由余弦定理可得， 则， ，，所以，则， 所以的取值范围为. 3．（22-23高一下·浙江丽水·期末）在中，三个内角所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)当取最大值时，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合余弦定理可求. （2）利用向量的线性运算可得，平方后结合基本不等式可求何时取最大值，据此可求对应的三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得，整理得到：， 所以，而，故. （2）因为，故， 故，所以， 故， 整理得到， 故，当且仅当时等号成立. 故此时，对应的的周长为. 4．（22-23高一下·浙江杭州·期末）在四边形中，.    (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 【答案】(1)见解析；(2)若，则四边形的面积，若，则四边形的面积 【分析】（1）由条件结合正弦定理证明，由此证明结论； （2）由条件结合正弦定理求，由余弦定理求，结合三角形面积公式求结论. 【详解】（1）在中， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 所以. 又， 所以， 所以.    （2）在中，由正弦定理得， 所以， 所以或， ①当时，则， 在中，由余弦定理得，，又， 解得， 此时四边形的面积， ②当时，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 此时四边形的面积. 5．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）根据正弦定理可得，然后可得，然后结合的范围求出的范围可得答案； （2）由条件可得为锐角，然后由可得，即可证明. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 因为 所以， 因为内角，都是锐角，， 所以，即，所以， 所以，所以周长的取值范围为， （2）若，则，所以为锐角， 所以，所以， 因为内角，都是锐角，所以， 所以， 所以. 6．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若方程在上有且只有一个实数根，求实数m的取值范围； (2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答. （2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答. 【详解】（1）依题意， ， 当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2， 当时，单调递减，函数值从减小到， 方程在上有且只有一个实数根，即直线与函数在的图象只有一个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，    观察图象，当或时，直线与函数在的图象只有一个公共点， 所以实数m的取值范围是或. （2）由（1）知，，即， 在中，，即，则，解得，    在中，，，由正弦定理得， 则，显然，有， 于是，即有，则，是等腰三角形， 所以. 7．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，已知，请在①；②； 这两个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，点在的延长线上，且，求的长. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分. 【答案】(1)条件选择见解析，；(2) 【分析】（1）若选①，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解即可；若选②，利用正弦定理化边为角，再利用三角形性质和两角和正弦公式化简得，从而求解即可； （2）利用余弦定理直接计算即可. 【详解】（1）若选①，由， 可得，由正弦定理可得：， 又由余弦定理可得：，又，故； 若选②，，即， 由正弦定理可得：， 可得，即， 又，所以，又，故； （2）由（1）知及，，所以为正三角形， 由，所以， 由余弦定理得， 所以. 8．（22-23高一下·浙江台州·期末）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理进行角化边，运算求解即可； （2）根据锐角三角形结合对勾函数可得，再利用余弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为 由余弦定理得 ， 整理得，即. 所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，且，不妨设，即，可知， 且是锐角三角形，则，得，即， 则，解得，所以， 由对勾函数可知在上单调递增，且， 则，所以， 且，则， 所以的取值范围为. 9．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案. 问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 . (1)求角C； (2)若点D满足，且，求的面积的最大值. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 【答案】(1)条件选择见解析，；(2) 【分析】（1）根据所选的条件，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，可求角C； （2）利用向量法或余弦定理，结合基本不等式求的面积的最大值. 【详解】（1）若选①：由正弦定理得， 在中，，所以， 即， 所以，又，有， 所以，由，得. 若选②：由正弦定理得， 在中，， 所以 即， 所以，又，有， 所以，由，得. （2）方法一：由，可得， 两边平方可得， 即， 所以，当且仅当时取“＝”， 所以，所以. 方法二：由角C余弦定理可得③， 由结合余弦定理可得 ，整理得④， 由③可得，当且仅当时取“＝”， 所以，所以即. 10．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且. (1)若为中线，且，求； (2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得； （2）设，在和中分别运用正弦定理，两式相除得到，结合为锐角三角形得到，进而求解答案. 【详解】（1）如下图所示，    在中，设，由余弦定理得 即，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 则，所以 （2）设，则，如下图所示，    在和中，由正弦定理得 ， ，得， 因为为锐角三角形，所以均为锐角， 所以，则，所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是 11．（21-22高一下·浙江杭州·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)在①，②，③这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定．并解答之． 若___________，___________，求的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可求解. （2）根据正余弦定理结合可求，然后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得， 整理得，即， 又，所以． （2）方案一：选①和②． 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 所以的面积． 方案二：选①和③． 由余弦定理，得， 解得．， ，所以为直角三角形， 所以的面积． 12．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已为分别为三内角的对边，且 (1)求； (2)若，角的平分线，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦及辅助角公式求解作答. （2）在中，用余弦定理求出，由角平分线及面积定理可得，再利用余弦定理求出即可计算作答. 【详解】（1）在中，由正弦定理及得：， 整理得，而，则，即， 又，有，解得，所以. （2）如图，在中，由余弦定理得：，即，解得， 因平分，， 即，在中，， 又，则， 即，而，解得：，有， 所以的面积. 13．（21-22高一下·浙江温州·期末）在锐角中， 角、、的对边分别是、、，， 且 ． (1)求角的值； (2)设是的中点， 在①；②；③ 这三个条件中任选一个， 求的面积． 【答案】(1)；(2)条件选择见解析，的面积为. 【分析】（1）利用正弦定理化简可得出的值，再利用角的取值范围可求得角的值； （2）若选①，利用正弦定理可求得的值，求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； 若选②，利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果； 若选③，利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：因为，则，由正弦定理可得， 、，则，所以，，. （2）解：若选①，，，， 由正弦定理可得， ， 所以，； 若选②，由余弦定理可得 ，解得， 所以，； 若选③，为的中点，则，， 由余弦定理可得， 所以，， 即，① 由余弦定理可得，即，② 联立①②可得，所以，. 14．（21-22高一下·浙江温州·期末）在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________， (1)求角A的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）选①：用余弦定理可得；选②：由内角和定理化简，再由二倍角公式可得；选③：由正弦定理边化角可得； （2）由已知结合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解. 【详解】（1）选①：由题知； 选②：，因为，， 所以； 选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得. 因为，所以 （2）因为，， 所以由解得 所以 所以 记 则，即 因为，所以 所以，得 所以 因为，所以，所以 15．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得，进而求得，即可求解； （2）由正弦定理得，结合三角恒等变换得，由角的范围求出的范围，再由面积公式即可求得面积的范围. 【详解】（1）由正弦定理得：，所以， 又因为，所以，，又，所以. （2）由（1）知，又是锐角三角形，所以，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以ac的取值范围为，因为， 所以面积的取值范围为. 16．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1)任选一条件，都有；(2) 【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行边角互化，再结合两角和的正弦公式化简可得解；若选②：结合余弦定理化简即可得解；若选③：利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得解； （2）由三边关系及周长可得，再结合余弦定理可得边及面积. 【详解】（1）选①：因为， 由正弦定理得， 即，， 化简得：， 又，即，故； 选②：由， 结合余弦定理得， 整理得， 故，； 选③：因为， 由正弦定理得， 即，， 化简得， 又，所以，即， 所以； （2）因为，且，得，， 又， 即，解得， . 17．（21-22高一下·浙江台州·期末）如图，在平面四边形中，已知. (1)若，求； (2)若平分，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由余弦定理即可求得答案； （2）在三角形ABD中由余弦定理求出，再在三角形BCD中求出，进而根据基本不等式求得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得，所以. （2）设， 则由有四点共圆， 所以， 在中，由余弦定理，得： ① 在中，易知CD=BC,取BD的中点E，连接CE，则CE⊥BD，于是，所以，即② ①②得，当且仅当即时取等号，所以的最大值为. 18．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c（是常数），D是AB的中点． (1)若，求的值； (2)若且，求cosA的值； (3)若时，求△BCD面积的最大值． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【分析】（1）由正弦定理边角关系及和角正弦公式得，进而有，即得结果； （2）由（1），设，△ABC、△BCD中利用余弦定理求得，最后应用余弦定理求cosA； （3）由题设，应用余弦定理、平方关系求、，再应用三角形面积公式求△BCD面积关于的函数，利用二次函数性质求最值. 【详解】（1）当时，， 由正弦定理可知，即，． 故，即； （2）由（1）知：时，，又且，设， 在△ABC中，， 在△BCD中，，则，解得， 故. （3）当时，，则，而， 故， ． 当时，. 19．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为请在①;②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题： (1)选择 求； (2)若，，求边及． （如果选择多个条件解答按第一个解答给分） 【答案】(1)条件选择见解析，；(2)当时，；当时，. 【分析】（1）选①由正弦定理进行边角互化得，再由角的范围可求得答案. 选②由余弦定理得，再由角的范围可求得答案； 选③由余弦定理可求得，，再由角的范围可求得答案. （2）由余弦定理可得：或者，再分别运用三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）解：选①由正弦定理：， 由，，从而. 选②由余弦定理， 又，从而； 选③由题意：，因此， 又，从而； （2）解：由余弦定理可得：， 解得或者 当时，， 当时，. 20．（21-22高一下·浙江宁波·期末）如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且 ，. (1)求b边的长度； (2)求的余弦值； (3)设点，分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可； （2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出； （3）首先设，，（），根据三点共线公式得到， 再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可． 【详解】（1）∵， 由正弦定理： ， 由余弦定理：， ∵c=1， ∴ （2）因为D为中点，所以，设的夹角为， ∴， 又， ∴，即， 解得或， 又，所以； （3）设，，（） ， 根据三点共线公式，得 （，为∠BAC） ， 所以， 所以的最小值为 21．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.    (1)已知，且 （i）当时，求的面积； （ii）若，求. (2)已知，且，求AC的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii）；(2) 【分析】（1）（i）利用余弦定理结合已知求出，再借助等腰三角形性质求出面积；（ii）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答. （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】（1）（i）设，在中，由余弦定理得，解得， 在中，，则底边上的高， 所以的面积. （ii）设，依题意，， 则，，即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 22．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角所对的边分别为，其面积为，满足. (1)若，求的最大值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)3；(2)1 【分析】（1）根据数量积的定义及面积公式化简已知得，求出角C，然后利用数量积的运算律把所求式子化为二次函数，利用二次函数求解最值； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式即可求出；方法二：由余弦定理得，两边常数代换，转化方程有解问题，利用判别式法求解. 【详解】（1）由， 故，化简得：，所以或（舍去）， 解得，设的中点为，令，由于， 故的外接圆半径， 当为正三角形（在处）时，，故， 由于，， 所以 ， 所以的最大值为3； （2）方法一：由，可得， 又，当且仅当时，等号成立， 故由余弦定理可得， 当且仅当，即时取“=”号，所以的最小值为1. 方法二：由，由余弦定理可得，又， 所以， 故，即， 则，整理得，解得， 当且仅当，即时取“=”号，所以的最小值为1. 【点睛】方法点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 23．（22-23高一下·浙江温州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，已知. (1)若，求B的大小； (2)若，过B作AB的垂线交AC于D，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，求出的关系，再利用余弦定理即可得解； （2）先求得，再根据三角形的面积公式结合，化简整理即可得解. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 化简得， 又，所以，所以， 则， 又，所以； （2）在中，， 则， 又由已知得，所以， 因为，所以，又， 则，即，所以， 所以， 令， 由双钩函数函数得性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以，所以， 即的取值范围为.    学科网（北京）股份有限公司 $$