专题09 选择填空压轴题型：向量的综合应用-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题09 选择填空压轴题型：向量的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知，为两个互相垂直的单位向量，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 4．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，设，是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 9．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 11．（22-23高一下·浙江宁波·期末）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（    ） A．﹣1 B． C． D． 二、多选题 12．（22-23高一下·浙江温州·期末）平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 12．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A．对任意， B．对任意，的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 13．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点E是AD的中点时， B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，，则的取值范围是 14．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在四边形，点E、F、M、N分别是线段AD、BC、AB、CD的中点，则（    ）    A． B． C．当点G满足时，点G必在线段BD上 D．当点P在直线BD上运动，且当最小时，必有 15．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知边长为2的正方形ABCD中，点在四条边上移动，则下列结论正确的是（    ） A．当E为BC中点时， B．当E为BC中点时， C．当E在边CD上移动时，是定值 D．当E在边CD上移动时，是定值 16．（22-23高一下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 三、填空题 17．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是 ． 18．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 .    19．（22-23高一下·浙江湖州·期末）在锐角三角形ABC中，已知，则 ，的最小值是 . 20．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 . 21．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，，均为非零向量，，且，，则的最小值为 . 22．（21-22高一下·浙江金华·期末）已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 选择填空压轴题型：向量的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解. 【详解】如下图所示，取的中点，    显然，， 同理，， 因为，所以， 即，所以， 因为是的中点，所以, 所以，所以一定是直角三角形. 故选：A. 2．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知，为两个互相垂直的单位向量，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可设，，由可得，再由向量长度的坐标表示结合三角函数的性质求解即可 【详解】因为，为两个互相垂直的单位向量， 故可设，， 则， 由得：， 即， 即在圆上， 所以（为参数） 所以， 所以， 当时， ， 故选：A. 3．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌,    而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． 4．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为基底，分别表示各个向量，利用数量积的运算化简，结合，比较出最小的值，得出选项. 【详解】点为的中点，, 分别在上，且， , , 选项A，， 选项B，，，， 选项C，，，， 选项D，，，， 综上可知，最小， 故选：D. 5．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，设，是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量在坐标系中的坐标，已知在该坐标系下，向量，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标分解向量，，再利用向量数量积的运算性质，即可求得的值. 【详解】由题意可得向量，， 因为，所以， 所以. 故选：A. 6．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积． 【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负， 分别过作，，为垂足， 则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值， 是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，是中点，则， ，，， ，， 所以的范围是， 故选：B． 7．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的恒成立的不等式可得恒成立，即得恒成立即可推理计算作答. 【详解】因，则， 依题意，恒成立，而，为不共线的单位向量，即有， 于是得恒成立，则， 即有，又，解得， 所以夹角的最小值是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：涉及向量模的问题，把给定向量等式或不等式两边平方求解是解决问题的关键. 8．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】在三角形中利用数形结合构造关于不等式，解之即可求得的最大值 【详解】以向量与为两边作△，，， 则 则在△中，即， 则，当且仅当即时等号成立. 故选：C. 9．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为原点，为坐标轴建立直角坐标系，设，表示出的坐标，利用数量积关系表示出夹角即可求出. 【详解】设， 因为，所以，即是边长为1的等边三角形， 因为，则可以为原点，为坐标轴建立直角坐标系， 设，则，， ， ， 则， ， 则， 令， 则， 当且仅当时等号成立， 此时. 故选：B. 10．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作的四等分点，使得，然后在三角形与三角形中，使用余弦定理表示出，再结合，两次使用余弦定理，从而解得所需要的边长，解出. 【详解】设在三角形与三角形中， 解得：    作的四等分点，且,由题意知，， 又因为，所以,, 又，所以, 在三角形与三角形中， 化简得: ,代入解得：, 从而解得： 故选：D. 11．（22-23高一下·浙江宁波·期末）十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（    ） A．﹣1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理可得sinB，进而求得cosB，设，由余弦定理可得CM，进而求出的面积，根据定义可得P为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面向量的数量积公式得解． 【详解】因为在中，，， 所以由余弦定理可得， 由正弦定理可得，即， 又B为锐角，所以， 设，则， 即，解得，即， 所以，则， 又， 则为锐角，由于，故， 所以的三个内角均小于， 则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角； 所以 ， 所以， 所以 ， 故选：C． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，解答的关键在于确定的费马点位置，进而利用面积关系求出，即可解决问题. 二、多选题 12．（22-23高一下·浙江温州·期末）平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】设，，，利用和与夹角为，求出，利用，求出，然后结合向量的坐标运算和平面直角坐标系即可逐个选项判断. 【详解】由题知，设，，， 因为，与夹角为， 所以，即， 解得或， 即或， 因为， 所以或， 即或， 则或，即或， 所以，A正确； 以的起点为原点，的方向为轴正向建立平面直角坐标系， 当时，    则的终点落在上，的终点落在上， 作点关于的对称点， 是指，即， 最小时，即的长度， 则， 当时，    则的终点落在上，的终点落在上， 作点关于的对称点， 是指，即， 最小时，即的长度， 则，B错； 如图，当时，点为的终点，    则是指与的长，即， 根据图像易知，没有最大值，故C错； 同理，当时，此时点为的终点，    则是指与的长，即， 根据图像易知，没有最大值，故C错； 当时，， ， 当时，上式有最大值，且为； 当时，， ， 当时，上式有最大值，且为，D正确. 故选：AD. 12．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A．对任意， B．对任意，的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】结合条件和选项逐个验证，模长问题平方处理，最值问题结合向量不等式求解. 【详解】对于A，因为，．所以，故A正确. 对于D，设，则，，应用A的结论得， ，等号可以取到，故D正确． 对于B，因为 ，所以， ，故B正确． 对于C，，故C错误， 故选：ABD． 13．（22-23高一下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点E是AD的中点时， B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用向量的线性运算即可；对于B，若存在，则向量数量积为0，然后利用向量数量积的坐标公式列方程，判断方程是否有解即可；对于C，利用向量数量积的坐标公式将转化为一个二次函数即可；对于D，利用向量线性运算的坐标表示，将转化为一个关于t的方程，根据t的范围求解即可. 【详解】对于A，当点E是AD的中点时，，故A正确； 对于B，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系，   ，,易得：， 点E是边AD上的动点,设， ，, ， ，所以，即不存在点，使得，故B错误； 对于C，，所以， 故当时，取到最小值，故C正确； 对于D，若，即， 所以，， 即， ，，故D正确； 故选：ACD. 14．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在四边形，点E、F、M、N分别是线段AD、BC、AB、CD的中点，则（    ）    A． B． C．当点G满足时，点G必在线段BD上 D．当点P在直线BD上运动，且当最小时，必有 【答案】ABC 【分析】根据平面向量的线性运算判断A；由题意易得四边形是平行四边形，利用平面向量运算法则，结合平行四边形的几何性质可判断B；利用平面向量共线定理结合向量的运算即可判断C；利用数量积的运算性质，结合平面向量的运算法则转化数量积运算，即可判断D. 【详解】对于A选项，，，所以， 同理，以上两式相加得，所以A正确； 对于B选项，连接      点E、M分别是线段AD、AB的中点，所以， 同理，所以，则四边形是平行四边形，设与交于点，则为的中点 所以，， 所以，所以B正确： 对于C选项，因为，又， 所以，所以， 整理得，且，所以点在线段上，所以C正确； 对于D选项，的中点为，      因为， 又不变，所以最小时取得最小值，当时，最小，此时，即，所以D不正确. 故选：ABC. 15．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知边长为2的正方形ABCD中，点在四条边上移动，则下列结论正确的是（    ） A．当E为BC中点时， B．当E为BC中点时， C．当E在边CD上移动时，是定值 D．当E在边CD上移动时，是定值 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算与数量积的定义判断． 【详解】如图1，E为BC中点时， 选项A， ，A正确； 选项B，，B正确；          图1 如图2，E在边CD上移动时， 选项C，，不是定值，C错； 选项D，为定值，D正确，         图2 故选：ABD． 16．（22-23高一下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】AB 【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 在中，根据余弦定理可得，，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，， 所以， 所以 ， 所以当时，函数有最小值为，A正确； 对选项B：取的中点，则，， 则，， 两式相减得：， 由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以的最大值为，B正确； 对选项C：，， 所以，即投影向量为，C错误； 对选项D：因为，，所以， 又 ，所以，D错误. 故选：AB. 三、填空题 17．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知平面向量满足，，，若，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】先由平方得，整理得，即可求出的最大值. 【详解】由可得，即，整理得， 则，则的最大值是1，当且仅当时取最大值. 故答案为：1. 18．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 .    【答案】 【分析】建立坐标系，利用向量法结合基本不等式得出，进而得出AB边长. 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系. 设， 则. 因为，所以， 即，当且仅当时，取等号. 筝形ABCD的面积为 即当时，筝形ABCD的面积最大. 此时AB边长为. 故答案为：.    19．（22-23高一下·浙江湖州·期末）在锐角三角形ABC中，已知，则 ，的最小值是 . 【答案】3； 【分析】先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得；利用，得出，结合基本不等式求得最小值. 【详解】因为，由正弦定理得，从而， 则， 所以， 即有，即. ， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：3；. 20．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直， 由三线合一得到，取的中点， 因为，故，    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 21．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，，均为非零向量，，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积的性质结合条件即得. 【详解】因为平面向量，，均为非零向量，，且， 所以，即， 所以的最小值为. 故答案为：. 22．（21-22高一下·浙江金华·期末）已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为 . 【答案】 【分析】向量的模长已知，根据数量积公式可知所求为向量夹角余弦值的最小值，结合函数在区间上单调递减可得的最小值为. 【详解】由题可知， 不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动， 又 为实数），都有， 所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小. 此时，在中，由余弦定理可得，, 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$