专题08 选择填空中档题型：正余弦定理的综合应用-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题08 选择填空中档题型：正余弦定理的综合应用 一、单选题 1．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则实数b的值等于（    ） A． B．2 C． D．4 2．（21-22高一下·浙江温州·期末）在中， 角、、的对边分别是、、， 若， 则（    ） A．6 B．7 C． D． 3．（22-23高一下·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．（22-23高一下·浙江台州·期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（     ） A．当时， B．当时，有两个解 C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解 5．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知的内角的对边分别是，面积满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·浙江台州·期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一下·浙江台州·期末）在中，，则的最大内角等于（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·浙江湖州·期末）“忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是（    ）（参考数据：，，）    A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 9．（21-22高一下·浙江金华·期末）如图所示，唐唐在背景墙上安装了一台视频监视器，为唐唐坐在工位上时相当于眼睛位置的一点，在背景墙上的水平投影点为，过作垂直于地面的直线，分别交监视器上、下端于、两点，测得，若，则为唐唐看监视器的视角. 唐唐通过调整工位使视角取得最大值，此时的长为（     ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·浙江杭州·期末）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线，测得、的度数分别为、，以及、两点间的距离，则塔高（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 11．（22-23高一下·浙江台州·期末）龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（    ） A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆 C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒 12．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的面积，则该三角形为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 13．（22-23高一下·浙江金华·期末）在中，角的对边分别是，且满足，则（    ） A． B．若，则的周长的最大值为 C．若为的中点，且，则的面积的最大值为 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9 14．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（    ）    A．在末，点的坐标为 B．在末，扇形的弧长为 C．在末，点在单位圆上第二次重合 D．面积的最大值为 15．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，则此三角形有2解 D．若，则为等腰三角形 16．（21-22高一下·浙江杭州·期末）在中，分别为的对边，（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 17．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知中，分别为角的对边，为的面积，则下列条件能使只有一个解的是（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高一下·浙江温州·期末）在中，角所对的边分别为的面积为 根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A． B． C． D． 20．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则sinA＞cosB B．若A＞B，则sinA＞sinB C．若为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D．若acosA＝bcosB，则一定是等腰三角形 21．（21-22高一下·浙江丽水·期末）已知 为的三内角的对边，下列命题中正确的是（    ） A．在中，的充要条件是 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题 22．（22-23高一下·浙江台州·期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是 . 23．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为 . 24．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米. 25．（22-23高一下·浙江丽水·期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值是 ．    26．（21-22高一下·浙江台州·期末）在中，，记，则的最大值为 . 27．（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高 米．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 选择填空中档题型：正余弦定理的综合应用 一、单选题 1．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则实数b的值等于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求答案. 【详解】因为，，，由正弦定理可得. 故选：C. 2．（21-22高一下·浙江温州·期末）在中， 角、、的对边分别是、、， 若， 则（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理计算可得； 【详解】解：由余弦定理，即， 所以； 故选：B. 3．（22-23高一下·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得，，则. 故选：A. 4．（22-23高一下·浙江台州·期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（     ） A．当时， B．当时，有两个解 C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解 【答案】C 【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，，， 所以由正弦定理，即， 当时，又，所以或，故A错误； 当时，又，此时无解，故B、D错误； 当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确； 故选：C. 5．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知的内角的对边分别是，面积满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理化简条件即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 故选：D. 6．（22-23高一下·浙江台州·期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 所以该三角形面积S的最大值为. 故选：B. 7．（21-22高一下·浙江台州·期末）在中，，则的最大内角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，即， 得，因为，所以，即， 所以，， 则的最大内角为. 故选：A. 8．（22-23高一下·浙江湖州·期末）“忽登最高塔，眼界穷大千．卞峰照城郭，震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C处测得飞英塔顶端A的仰角，则飞英塔的高度约是（    ）（参考数据：，，）    A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 【答案】C 【分析】应用和角正弦公式求，在△中应用正弦定理求，再由求建筑物的高． 【详解】， 由题设得，在△中， 所以， 则米． 故选：C． 9．（21-22高一下·浙江金华·期末）如图所示，唐唐在背景墙上安装了一台视频监视器，为唐唐坐在工位上时相当于眼睛位置的一点，在背景墙上的水平投影点为，过作垂直于地面的直线，分别交监视器上、下端于、两点，测得，若，则为唐唐看监视器的视角. 唐唐通过调整工位使视角取得最大值，此时的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，，要使最大，只要最大即可，在和中，可得的关系，再根据两角差的余弦公式化简整理从而可得出答案. 【详解】解：由题意可知，，则， 因为函数在递增， 则要使最大，只要最大即可， 在中，， 在中，， 所以，即， 则， 当且仅当，即时，取等号， 此时， ， 所以视角取得最大值时，的长为. 故选：A. 10．（22-23高一下·浙江杭州·期末）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线，测得、的度数分别为、，以及、两点间的距离，则塔高（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可求得，进而可得出，即为所求. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，即，得， 由题意可知，，所以，. 故选：A. 二、多选题 11．（22-23高一下·浙江台州·期末）龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（    ） A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆 C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒 【答案】AD 【分析】以为坐标原点，建立的直角坐标系，得到小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆，结合题意，列出不等关系式，得到，解得，结合选项，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以正东方向为轴，以正北方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 因为，可得，可得点， 当小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆， 若旗杆受到台风的侵袭，则， 整理得，即，解得， 所以12秒后龙卷风会侵袭到旗杆，且受台风侵袭的持续时间为小时. 故选：AD.    12．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）在中，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若的面积，则该三角形为直角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BD 【分析】根据正弦定理求解角判断A；根据余弦定理求解边长判断B；根据面积公式及余弦定理求出边长，即可判断三角形形状，即可判断C；根据正弦定理表示边长，结合角的范围，利用正弦函数求解范围，即可判断D. 【详解】A选项，在中，由正弦定理得，所以，所以或， 因为，所以，即或符合题意，错误； B选项，由余弦定理得， 所以，正确； C选项，因为，所以， 所以，所以， 则，所以， 所以该三角形为钝角三角形，错误； D选项，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形， 所以，所以， 因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，正确. 故选：BD. 13．（22-23高一下·浙江金华·期末）在中，角的对边分别是，且满足，则（    ） A． B．若，则的周长的最大值为 C．若为的中点，且，则的面积的最大值为 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为9 【答案】ACD 【分析】A.利用正弦定理求解判断；B.利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，再利用时间恒等变换和三角函数的性质求解判断；C. 由为的中点，得到，再结合基本不等式，利用三角形的面积公式求解判断；D.由三角形面积公式得到，再利用基本不等式求解判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 则，因为，所以，故A正确； 若，则的外接圆半径为：， ， ， ，，周长的最大值为9，故B错误； 因为为的中点，且，所以 ， 则，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ，故C正确； 由题意得：，即，即 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ACD. 14．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（    ）    A．在末，点的坐标为 B．在末，扇形的弧长为 C．在末，点在单位圆上第二次重合 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】求出末点和的坐标可判断选项AB;求出末点和的坐标，结合诱导公式可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】在末,点的坐标为，点的坐标为；，扇形的弧长为； 设在末，点在单位圆上第二次重合， 则，故在末，点在单位圆上第二次重合； ,经过s后，可得，面积的可取得最大值. 故选：BCD. 15．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，则此三角形有2解 D．若，则为等腰三角形 【答案】BC 【分析】运用余弦定理可判断A项，运用大边对大角及正弦定理可判断B项，作图可判断C项，解三角函数方程可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以， 所以为锐角，但不一定是锐角三角形，故A项不成立； 对于B项，因为，所以由正弦定理可知，，故B项正确； 对于C项，如图所示，      因为， 所以此三角形有2解，故C项正确； 对于D项，因为，， 所以或，即：或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D项不成立. 故选：BC. 16．（21-22高一下·浙江杭州·期末）在中，分别为的对边，（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】A选项，利用正弦定理得到，证明出等腰三角形；B选项，利用正弦定理定理得到，从而或，即为等腰三角形或直角三角形；C选项，由正弦定理得到，求出；D选项，利用正切的和角公式得到，结合，得到，证明出为钝角三角形. 【详解】A选项，因为，所以， 由正弦定理得：，所以，故为等腰三角形，A正确； B选项，因为，所以， 由正弦定理得：，即， 所以或，故或， 则为等腰三角形或直角三角形，B错误； ，由正弦定理得：， 又因为，所以， 因为，所以，所以，故， 因为，所以，C正确； 因为， 所以，即， 因为，所以， 结合，所以一负二正，所以为钝角三角形， D正确. 故选：ACD. 17．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知中，分别为角的对边，为的面积，则下列条件能使只有一个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两边之和与两边之差与第三边的关系可判断A,利用正弦和余弦定理实现边角互化可判断B,根据面积公式可得，进而得角有两个值，可判断C，根据内角和即可判断D. 【详解】由三角形三边关系可得：，所以，因为，故，故A正确. 由,故，可得：，由此解得，故三角形唯一，B正确, 对于C:或者，故三角形不唯一，C错误. 对于D：，故, 两边及其夹角，此三角形唯一，故D正确. 故选：ABD. 18．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由正弦定理即可判断A;设，由余弦定理可求得 ,继而求得，即可判断B,C,D. 【详解】由正弦定理可知，推不出，故A错误； 由，设 ， 则 ，故A为锐角， ， ，故C为钝角，， ，故B为锐角，, 故，故B正确； 由上面分析可知，，故C错误； 又 ， 故，故D正确， 故选：BD. 19．（21-22高一下·浙江温州·期末）在中，角所对的边分别为的面积为 根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对A，根据为等腰三角形判断即可 对B，由三边确定判断即可 对C，根据面积公式判断即可 对D，根据面积公式与余弦定理分析可得有两个解即可 【详解】对A，易得为等腰三角形，故，，故仅一个解； 对B，因为三边均确定，且满足任意两边大于第三边，故有唯一解； 对C，由面积公式可得，故，故有两解； 对D，由可得，故，故，即，结合，有，故可得有两组解. 故选：CD. 20．（21-22高一下·浙江宁波·期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列与有关的结论，正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则sinA＞cosB B．若A＞B，则sinA＞sinB C．若为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC D．若acosA＝bcosB，则一定是等腰三角形 【答案】ABC 【分析】利用锐角三角形结合正弦函数性质判断A；利用正弦定理及正弦函数性质判断B；利用诱导公式及和角的正切公式推理判断C；由正弦定理边化角，再利用二倍角公式及正弦函数性质推理判断D作答. 【详解】对于A，锐角中，，而在上单调递增， 则，即，A正确； 对于B，在中，由正弦定理得：，B正确； 对于C，非直角三角形中，， ，即，C正确； 对于D，在中，由正弦定理及得：，即， 而，且，因此，或，即或， 是等腰三角形或直角三角形，D不正确. 故选：ABC. 21．（21-22高一下·浙江丽水·期末）已知 为的三内角的对边，下列命题中正确的是（    ） A．在中，的充要条件是 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【分析】在中，由正弦定理可知等价于等价于，可判断A；在锐角中，，可知，可判断B；在中，由正弦定理可得，可得或，可判断 C；在中，由余弦定理知，即，又，可判断D； 【详解】对于A，在中，由正弦定理可得，等价于等价于，所以的充要条件是，故A正确； 对于B，在锐角中，，，，，同理知，所以，故B正确； 对于C，在中，由及正弦定理可得，即，，或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故 C错误； 对于D，在中，若，，由余弦定理知，化简得，又，所以必是等边三角形，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 22．（22-23高一下·浙江台州·期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦定理结合大边对大角即可. 【详解】由正弦定理得：，即， ， 若有两解，则， 且，即， 所以， 故答案为：. 23．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式（其中），分别为的三个内角所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在中，，则该三角形内切圆的半径为 . 【答案】 【分析】由及可求出的面积，结合即可求出. 【详解】 ，且，， ， 故答案为：. 24．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为 米. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，进而求出作答. 【详解】令甲的位置为点，如图，在中，，    由余弦定理得，， 过作于，所以所求距离的最小值为（米）. 故答案为：. 25．（22-23高一下·浙江丽水·期末）赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】先设，根据题意可知，求出，延长交于，求出的长，再由平面向量基本定理即可得出结果. 【详解】因为， 不妨设， 因此，， 由题意得， 所以 ， 所以， 延长交于， 记， 则 ， 所以， 又由题意易知， 则， 在三角形中， 由正弦定理得， 即， 因此 ， ， 所以， ， 因为， 即， 整理得， 所以 ， 又因为， 则， 所以.    故答案为：. 26．（21-22高一下·浙江台州·期末）在中，，记，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据分别在，中使用正弦定理，即可得到，进而根据基本不等式即可求解，根据正切的和角公式即可求解. 【详解】记 ,则 以及 均互为余角，故 在中，由正弦定理可得： ， 在中，由正弦定理可得：. 由得，故， 进而得： ，又 ，故，当且仅当 时取等号， 因此，故最大值为： 故答案为：. 27．（22-23高一下·浙江丽水·期末）如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个基点和进行测量，现测得米，，在点和测得塔顶的仰角分别为，则塔高 米．    【答案】 【分析】设米，进而可得BC， BD，然后利用余弦定理求解. 【详解】设米， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 所以， 解得（米）. 故答案为：28. 学科网（北京）股份有限公司 $$