专题07 选择填空中档题型：线面相关角及距离的计算-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题07 选择填空中档题型：线面相关角及距离的计算 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（    ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（21-22高一下·浙江台州·期末）如图，正方体的12条棱所在的直线中与直线所成角为的条数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（21-22高一下·浙江宁波·期末）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国某城市就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·浙江台州·期末）正三棱台中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且， 若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设.若满足条件的四面体有两个，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面ABCD是等腰梯形，若，E，F，G分别是AB，CD，AP的中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．∠FEG即二面角的平面角 D．异面直线DA与BP所成角是∠GEC 三、填空题 9．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是 ． 10．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知是正方体的棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为 . 11．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 . 12．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在直三棱柱中，，，，动点在内（包括边界上），且始终满足，则动点的轨迹长度是 . 13．（22-23高一下·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 .   14．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是 . 15．（21-22高一下·浙江丽水·期末）如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为 ． 16．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则的最小值为 . 17．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知球的半径为2，点在球的球面上，且，则球心到平面的距离为 . 18．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知正方体棱长为3，在正方体的顶点中，到平面的距离为的顶点可能是 .（写出一个顶点即可）   学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 选择填空中档题型：线面相关角及距离的计算 一、单选题 1．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（    ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线PB与AC所成角的大小作答. 【详解】在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，， 则，过点作交底面圆于点，连接，如图，      则是异面直线PB与AC所成角或其补角，显然，即是正三角形， 所以，即异面直线PB与AC所成角的大小为. 故选：C. 2．（21-22高一下·浙江台州·期末）如图，正方体的12条棱所在的直线中与直线所成角为的条数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据正方体的性质可直接判断. 【详解】因为正方体中，所以与直线所成角为，又， 所以与直线所成角为， 同理可得与直线所成角为， 又与直线所成角为， 所以与直线所成角为的棱有8条. 故选：B. 3．（21-22高一下·浙江宁波·期末）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国某城市就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定条件，求出地球半径与该处的纬线所在平面所成的角，再求出纬线圆半径即可计算作答. 【详解】依题意，经过该城市的地球半径与该处的纬线所在平面所成的角为， 于是得北纬纬线圆半径， 所以北纬纬线的长为. 故选：C. 4．（22-23高一下·浙江台州·期末）正三棱台中，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正三棱台补全为正三棱锥，取的中点，连接，，则，则即为异面直线与所成的角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】如图将正三棱台补全为正三棱锥， 因为平面，即平面，根据正三棱锥的性质可得平面，平面， 平面，所以，，又平面，， 又，所以为的中点，同理可得为的中点，为的中点， 取的中点，连接，，则， 所以即为异面直线与所成的角（或补角）， 不妨令，则，，， 在中由余弦定理， 即，解得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图， 二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点， 为半平面内一点， 且， 若直线与平面所成角为为的中点， 则线段长度的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】自点引平面的垂线，垂足为，则A,B两点在以CO为高的圆锥的底面圆周上，将问题转化为轨迹问题，分别找出线面角和二面角的位置，结合解三角形知识即可解得的最大值为 【详解】如图，自点引平面的垂线，垂足为,因为， 则A,B两点在以CO为高以CA,CB为母线的圆锥的底面圆周上，所以当A,B 两点运动到公共棱上时AD最大. 自点引公共棱的垂线OH，则，不 难解出，在中，由余弦定理 得:， 又在中由余弦定理得： 故选：. 6．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设.若满足条件的四面体有两个，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点为，连接，由直二面角可得平面，，结合余弦定理与勾股定理可得，根据四面体有两个，结合二次函数根的分布即可求得t的取值范围. 【详解】取中点为，连接    因为，，为中点，所以，且， 因为平面，又二面角是直二面角，所以平面， 又平面，所以 在中，，由余弦定理得： 又 所以，即 设，即，满足条件的四面体有两个，所以有两个正根，所以，所以. 故选：D. 7．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设四面体内切球的球心为，半径为，则，求得，，从而求得，根据球的表面积公式即可求解. 【详解】   因为四面体四个面都为直角三角形，平面， 所以，， 设四面体内切球的球心为，半径为， 则 所以， 因为四面体的表面积为， 又因为四面体的体积， 所以， 所以内切球表面积. 故选：C. 二、多选题 8．（21-22高一下·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面ABCD是等腰梯形，若，E，F，G分别是AB，CD，AP的中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．∠FEG即二面角的平面角 D．异面直线DA与BP所成角是∠GEC 【答案】BC 【分析】连接，若，利用等腰三角形性质、线面垂直的判定可证面，进而有，得到矛盾结论排除A；连接，利用线面垂直的判定和性质判断是否成立，判断B；根据二面角定义判断的平面角，判断C；由题图仅当时直线DA与BP所成角是∠GEC或其补角，即可判断D. 【详解】 连接，侧面ABCD是等腰梯形，有， 又E、F分别是AB、CD的中点，则， 若，则，即， 由，面，则面， 而面，则，又， 与过直线外一点有且仅有一条直线与垂直矛盾，A错误； 连接，由E，G分别是AB， AP的中点，则， 又，即，且，面， 所以面，面，则，B正确； 由面面，面，面， 所以∠FEG是二面角的平面角，C正确； 由于不一定相等，即不一定是平行四边形，故不一定平行， 所以异面直线DA与BP所成角不一定是∠GEC，D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．（21-22高一下·浙江温州·期末）如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，即可得到即为异面直线与所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到为等腰直角三角形，即可得解； 【详解】解：取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以且，且， 所以即为异面直线与所成的角或其补角， 又，，， 所以，，所以，所以， 所以为等腰直角三角形，所以； 故答案为：. 10．（21-22高一下·浙江宁波·期末）已知是正方体的棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可 【详解】因为过三点的平面与平面相交于， 平面与平面相交于，平面与平面平行， 所以, 又，故 所以直线与所成的角就是直线与所成的角， 也即是（或补角） 又易知为等边三角形， 所以直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 11．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在三棱锥中，已知，，若点是线段延长线上的一动点，则直线与平面所成的角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【分析】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，可得，求出，由最大角定理即可求解. 【详解】设是直线与平面所成的角，设是平面与平面所成夹角，取中点，    因为，所以. 因为平面, 所以平面. 因为，， 所以,所以，， 所以. 设，则, 所以, 因为,所以, 所以. 又因为平面，所以由最大角定理可知，， 于是，当时取得“＝”，满足条件. 故答案为：. 12．（22-23高一下·浙江宁波·期末）如图，在直三棱柱中，，，，动点在内（包括边界上），且始终满足，则动点的轨迹长度是 . 【答案】 【分析】推导出，在平面内，过点作，垂足为点，证明出，可得出平面，分析可知点的轨迹为线段，利用等面积法求出线段的长，即为所求. 【详解】在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，， 又因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，则四边形为菱形，所以，， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，. 在平面内，过点作，垂足为点， 因为平面，平面，则， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 由于动点又在内，所以动点在平面与平面的交线上， 因为，，， 所以，， 由等面积法可得， 因此，动点的轨迹长度是. 故答案为：. 13．（22-23高一下·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】； 【分析】空1：取的中点，连接，则可得为直线与平面所成角，然后在中求解即可；空2：分别取的中点，连接，则可得（或其补角）为直线与直线所成角，然后在中求解即可. 【详解】空1：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正三棱柱的各条棱长都是2， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为， 空2：分别取的中点，连接， 则∥，， ∥，， 所以（或其补角）为直线与直线所成角， 连接，则， 在中，由余弦定理得 ， 因为异面直线所成的角的范围为， 所以直线与直线所成角的余弦值为， 故答案为：；.    14．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是 . 【答案】 【分析】将面、面沿着延展为一个平面，将面、面沿着延展为一个平面，连接，则线段的长即为周长的最小值，利用余弦定理求出线段的长，即为所求. 【详解】如下图所示：    将面、面沿着延展为一个平面， 将面、面沿着延展为一个平面，连接, 此时，线段的长即为周长的最小值， 则，， 由于，，，则， 延展后，则四边形为矩形， 因为，，则为等腰直角三角形，所以，， 延展后，则， 由余弦定理可得. 故答案为：. 15．（21-22高一下·浙江丽水·期末）如图，正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，点是上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正四面体内切球球心的位置特征求内切球半径、及到的最短距离，进而可得的取值范围. 【详解】由正四面体棱长为1，则正四面体的体高为， 若其内切球球心为，半径为，则， 又，可得，则， 所以到的最短距离为. 综上，的取值范围为，即. 故答案为：. 16．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意画出图形，由绕旋转，使在平面内，可知所求最小值即为的长，然后在中，由余弦定理求解即可． 【详解】记，在中，，， 可得，，． 将绕旋转，使在平面内，此时在处． 连接，，则，， 则，则所求最小值即为的长． ，， ． 的最小值为． 故答案为：．    17．（21-22高一下·浙江台州·期末）已知球的半径为2，点在球的球面上，且，则球心到平面的距离为 . 【答案】 【分析】由题意可得三棱锥为正三棱锥，取的中心，连接并延长交于，连接，则可得的长为球心到平面的距离，然后计算即可 【详解】由题意可得三棱锥为正三棱锥，取的中心，连接并延长交于，连接，则平面， 所以的长为球心到平面的距离， 因为， 所以, 在中，，则， 所以球心到平面的距离为1， 故答案为：1. 18．（22-23高一下·浙江台州·期末）已知正方体棱长为3，在正方体的顶点中，到平面的距离为的顶点可能是 .（写出一个顶点即可） 【答案】A（A，C，，任填一个即可） 【分析】根据题意结合等体积法求点到面的距离以及面面平行的性质分析判断. 【详解】显然在平面内，不合题意， 设点A到平面的距离为，可知， 因为，则，解得， 设，即平面，且为的中点， 所以点C到平面的距离为， 可证平面//平面，则平面上任一点到平面的距离为， 所以C，，符合题意， 由图易知点到面的距离大于， 综上所述：平面的距离为的顶点有且仅有A，C，，. 故答案为：A（A，C，，任填一个即可）.    学科网（北京）股份有限公司 $$