专题06 选择填空中档题型：几何体表面积与体积的计算-2022-2023两年浙江省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题06 选择填空中档题型：几何体表面积与体积的计算 题型一 表面积的计算 一、单选题 1．已知某圆锥的底面积为，且它的外接球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．已知表面积为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（    ） A．3 B． C．6 D． 3．在矩形中，，为的中点，将和沿，翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A．144π B．36π C．9π D．6π 二、填空题 7．已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是 . 8．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为 . 9．已知圆台的上底面、下底面的半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积是 . 题型二 体积的计算 一、单选题 1．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 2．一个圆柱形粮仓，高1丈3尺寸，可容纳米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，则该圆柱形粮仓底面的周长是（    ） A．440寸 B．540寸 C．560寸 D．640寸 3．如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（    ）    A． B． C． D． 4．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（    ） A． B． C． D． 5．“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高h的六分之一，即.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为，则它的高为（    ）    A． B． C． D．4 二、填空题 6．若球的大圆半径为2，球的体积为 . 7．若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是 ． 8．宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光绪二十五年（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂､钟楼､偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体所组成的几何体，若正四棱锥的侧棱长､底面边长与正方体的棱长均为，则顶端部分的体积为 9．“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 选择填空中档题型：几何体表面积与体积的计算 题型一 表面积的计算 一、单选题 1．已知某圆锥的底面积为，且它的外接球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由已知求得圆锥的底面半径和圆锥的外接球的半径，由勾股定理求圆锥的高，再利用勾股定理求圆锥母线长，代入圆锥的侧面积公式得答案． 【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，圆锥的外接球的半径为R， ，；，， 设圆锥底面圆心为，外接球球心为，如图所示，    则有，即，得，解得或， 当时，，此时圆锥的侧面积为； 当时，，此时圆锥的侧面积为. 故选：C. 2．已知表面积为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合圆锥侧面展开图的性质列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得，解得. 故选：A. 3．在矩形中，，为的中点，将和沿，翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明出MP⊥平面PAD，设△ADP的外接圆的半径为r， 三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，由，求出R，进而求出外接球的表面积. 【详解】由题意可知，.    又平面PAD，平面PAD，所以MP⊥平面PAD. 设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得，即， 所以，设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，则， 所以外接球的表面积为. 故选：B. 4．轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴截面正方形的边长既是底面圆直径，也是高；正方形的对角线为球的直径，即可设出长度，求出表面积，即有表面积之比 【详解】轴截面如下图，ABCD为正方形，设圆柱底面圆直径，则球直径，故圆柱表面积为，球表面积为，故它们的表面积之比为， 故选：C. 5．在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设球的半径为r，由等积法得，由此可求得设球的半径为r，再根据球的表面积公式可求得答案. 【详解】解：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 又， 所以平面，所以， 所以均为直角三角形， 设球的半径为r，则， 而，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 6．在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A．144π B．36π C．9π D．6π 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定点P的位置，求出的外接圆半径，再求出球心到平面的距离，求出球半径作答. 【详解】令长方体的高为，，于是，解得，    在中，，则外接圆半径， 显然平面，因此三棱锥外接球的球心在线段的中垂面上， 球心到平面的距离为，则球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 二、填空题 7．已知圆锥表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积及圆锥的侧面展开图是一个半圆，联立方程求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 因为圆锥的表面积为， 所以，即， 又圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，即， 所以(cm). 故答案为：. 8．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为 . 【答案】18 【分析】设母线长为，由弧长公式计算可得； 【详解】解：设母线长为，圆锥的底面半径为， 则侧面展开的扇形的弧长为， 由题意，即，因为，故． 故答案为：18. 9．已知圆台的上底面、下底面的半径分别是3和4，母线长为6，则其侧面积是 . 【答案】 【分析】根据圆台的侧面积计算即可求解. 【详解】由题意，得. 故答案为：. 题型二 体积的计算 一、单选题 1．已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由侧面展开图求得圆锥母线和底面半径，再求得其高后，根据体积公式计算． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意，，，，∴， 体积为， 故选：A． 2．一个圆柱形粮仓，高1丈3尺寸，可容纳米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，则该圆柱形粮仓底面的周长是（    ） A．440寸 B．540寸 C．560寸 D．640寸 【答案】B 【分析】利用圆柱的体积公式及圆的周长公式即可求解. 【详解】依题意得，圆柱形粮仓底面半径为尺，粮仓高尺， 于是粮仓的体积，解得尺， 所以该圆柱形粮仓底面的周长为尺寸. 故选：B. 3．如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面交于点，连接、，推导出点为的中点，用三棱柱的体积减去三棱台的体积即可得解. 【详解】设平面交于点，连接、，    在三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 又因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 所以，， 因为为的中点，所以，为的中点，且， 因为直三棱柱的每条棱长都为， 则， 易知是边长为的等边三角形，则， ， 因此，顶点所在部分的体积为. 故选：B. 4．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，然后由圆柱表面积可求出，从而可求出圆柱与球的体积. 【详解】由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱表面积为，所以，解得， 所以圆柱的体积为，球的体积为， 则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为. 故选：C. 5．“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高h的六分之一，即.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某“刍童”尺寸如图所示，且体积为，则它的高为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】求出上下底面积和中截面面积，代入公式即可求出高. 【详解】上底面，下底面， 所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中分别是对应棱上的中点，如图所示， 根据中位线定理得，， 所以， ，解得， 故选：D.    二、填空题 6．若球的大圆半径为2，球的体积为 . 【答案】 【分析】由球的大圆半径为2，可得球的半径为2，从而可求出球的体积. 【详解】因为球的大圆半径为2， 所以球的半径为2， 所以球的体积为， 故答案为：. 7．若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是 ． 【答案】 【分析】根据轴截面可求圆锥的高和底面半径，故可求圆锥的体积. 【详解】因为圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形， 故圆锥的高为且底面半径为， 故体积为， 故答案为：. 8．宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光绪二十五年（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂､钟楼､偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体所组成的几何体，若正四棱锥的侧棱长､底面边长与正方体的棱长均为，则顶端部分的体积为 【答案】/ 【分析】先求出正四棱锥的高，进而得到正四棱锥的体积，再求出正方体的体积即可求解. 【详解】如图在正四棱锥中，连接交于点，连接， 则底面，又， 则，则，又正方体的体积为，则顶端部分的体积为. 故答案为：. 9．“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为 ． 【答案】 【分析】根据正方体的体积以及内切球的体积，可得牟合方盖的体积，即可求解. 【详解】正方体的体积为，正方体的内切球体积为.所以牟合方盖的体积为，正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$