6.1 平面向量的概念 6.2 平面向量的运算-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教A版2019）

6.1平面向量的概念与6.2平面向量的运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 6 【提升训练】 9 【培优训练】 13 知识回顾 1. 向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2. 向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 3. 向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 4. 向量加法的定义和三角形法则 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 5. 向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. 6. 共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. (2)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 7. 向量的减法运算 (1)相反向量的定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)相反向量的性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. (3)向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 8. 向量减法的几何意义 向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB平行等于CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 9. 向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 10. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 11. 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 12. 两个向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos__θ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ⑤cos θ＝. 13. 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθe. 14. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 5．（18-19高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 7．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量 满足 ，则 （ ） A．13 B．7 C． D． 8．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·浙江宁波·期中）下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 10．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 11．（23-24高一下·四川泸州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 13．（2024·北京顺义·二模）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是 ， 14．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量满足，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一·江苏·专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 16. (15分) （21-22高一·全国·课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量. 17. (15分) （22-23高一·全国·随堂练习）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 18. (17分) （23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，（），当取得最小值时，求. 19. (17分) （23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 2．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 4．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 8．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 10．（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，，，与交于点，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ． 13．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 14．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·课后作业）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 16. (15分) （22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，. (1)试用与表示，； (2)求证：为定值，并求此定值. 17. (15分) （23-24高一下·重庆长寿·期中）已知，． (1)若与的夹角为60°，求； (2)若，求与的夹角． 18. (17分) （23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 19. (17分) （23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量，且与的夹角为， (1)求证： (2)若，求的值； (3)若与的夹角为，求的值． 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（21-22高一下·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（2009高二·全国·竞赛）设是单位向量，，则四边形是（    ）． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（21-22高一下·四川凉山·期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·浙江·开学考试）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 7．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 8．（23-24高一下·北京·期中）在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．若||=||，则= B．若≠，则||≠|| C．零向量的长度为0 D．若则 10．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在的投影向量 D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 11．（23-24高一下·浙江·期中）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C． D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为 . 13．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 14．（2023·广东肇庆·二模）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二上·贵州黔南·开学考试）已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 16. (15分) （21-22高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 17. (15分) （22-23高一下·江苏扬州·阶段练习）已知中，过重心G的直线交边（不含端点）于P，交边（不含端点）于Q，设的面积为，的面积为，，. （1）求证：. （2）求的取值范围. 18. (17分) （23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. (1)求的值； (2)试问：当为何值时，? (3)求证：. 19. (17分) （23-24高一下·福建厦门·期中）设正的边长为1，O为的重心，为BC边上的等分点，为AC边上的等分点，为AB边上的等分点. (1)分别求当时，的值； (2)当时. （i）求的值（用i，j表示）； （ii）求的最大值与最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1平面向量的概念与6.2平面向量的运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 6 【提升训练】 16 【培优训练】 30 知识回顾 1. 向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2. 向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 3. 向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 4. 向量加法的定义和三角形法则 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 5. 向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. 6. 共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. (2)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 7. 向量的减法运算 (1)相反向量的定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)相反向量的性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. (3)向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 8. 向量减法的几何意义 向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB平行等于CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 9. 向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 10. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 11. 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 12. 两个向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos__θ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ⑤cos θ＝. 13. 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθe. 14. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，则（    ） A． B． C． D． 5．（18-19高一下·北京东城·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西西安·期中）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 7．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量 满足 ，则 （ ） A．13 B．7 C． D． 8．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·浙江宁波·期中）下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 10．（23-24高一下·山东·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 11．（23-24高一下·四川泸州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．或 B． C．已知，为非零向量，且，则与方向相同 D．若，则与的夹角是钝角 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 13．（2024·北京顺义·二模）若非零向量满足，且，则能使得成立的一组可以是 ， 14．（2024·辽宁沈阳·三模）已知向量满足，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高一·江苏·专题练习）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中． (1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ 16. (15分) （21-22高一·全国·课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且，试用向量表示向量. 17. (15分) （22-23高一·全国·随堂练习）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 18. (17分) （23-24高一下·重庆·阶段练习）已知向量，，. (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，（），当取得最小值时，求. 19. (17分) （23-24高一下·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 参考答案： 1．A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 2．B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 3．C 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误； 对于C：若，则方向相同，C 正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 4．D 【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解. 【详解】. 故选：D. 5．C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】由题图可知，. 故选：C. 6．C 【分析】先求出的模长，再根据单位向量的定义及向量的数乘运算求解即可. 【详解】因为，所以， 与共线的单位向量为， 代入坐标得或， 故选：C. 7．C 【分析】利用数量积与模的关系可得，进而可求的值. 【详解】由得，即，得， 所以，. 故选：C. 8．A 【分析】由已知，可得点为的外心，四边形为菱形，则在上的投影向量为. 【详解】如图，依题意可得点为的外心， 因为，所以， 所以，则四边形为菱形， 设，则， 因为，所以在上的投影向量为. 故选：A. 9．BD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，若，不一定平行，故A错； 对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且， 故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可得，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确 故选：BD 10．BCD 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 因为为线段上一点， 所以， 而点线段上面，所以，故A错，B对， 由基本不等式得，解得，等号成立当且仅当，C对， ，等号成立当且仅当，D对. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】借助向量的数量积定义与性质可得A、B、D；借助向量共线性质可得C. 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 12． 【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可. 【详解】由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 13． （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据数乘定义可判断，结合即可求解. 【详解】因为，即， 所以，且，即， 又，即， 所以满足，且的向量都满足条件， 故可取. 故答案为：；（答案不唯一）. 14． 【分析】根据数量积的运算律得到，再由计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以 . 故答案为： 15．(1)答案见解析； (2)答案见解析 ． 【分析】 （1）由相反向量的概念即可求解； （2）由共线向量的概念即可求解. 【详解】（1） 与的长度相等、方向相反的向量有，，，． （2） 与共线的向量有，，，，，，，，． 16． 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】因为四边形ACDE是平行四边形， 所以，， 故. 17．(1)证明见解析 (2)A，B，C三点共线，理由见解析 【分析】根据向量共线定理判断. 【详解】（1）， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，D三点共线. （2） ， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，C三点共线. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直时，数量积为0，结合数量积的运算律，列式求解，即得答案； （2）利用，结合数量积运算律求出当取得最小值时的值，即可得，再根据即可求得答案. 【详解】（1）由题意向量，，， 则，即， 故， ，即向量与的夹角； （2）由（1）可知，， 则 ， 当时，取得最小值，即取最小值， 此时，则. 19．(1)，； (2)． 【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可. 【详解】（1）依题意， ． （2）因为， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即，解得或． 连接交于，因为，所以，所以， 则． 因为在线段上，所以，故．    提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 2．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 3．（23-24高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 4．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 8．（23-24高一下·辽宁本溪·期中）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 10．（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，，，与交于点，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·陕西商洛·期末）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则 ． 13．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 14．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一·全国·课后作业）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 16. (15分) （22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，. (1)试用与表示，； (2)求证：为定值，并求此定值. 17. (15分) （23-24高一下·重庆长寿·期中）已知，． (1)若与的夹角为60°，求； (2)若，求与的夹角． 18. (17分) （23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 19. (17分) （23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量，且与的夹角为， (1)求证： (2)若，求的值； (3)若与的夹角为，求的值． 参考答案： 1．B 【分析】由已知可得，可求得，进而计算可求. 【详解】由，两边平方可得， 所以，所以. 故选：B. 2．B 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 3．C 【分析】根据得到向量与同向，结合选项，即可求解. 【详解】由向量都是非零向量，且， 因为和分别表示与和同向的单位向量，所以向量与同向， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 4．D 【分析】平面向量的减法坐标运算，计算向量的模 【详解】向量，， 则. 故选：D 5．D 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量的模及三角形三边的关系逐一分析判断即可. 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 6．C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 7．A 【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可. 【详解】如图，记、、，则， 则当时，取得最小值1， 若确定，则唯一，不确定， 若确定，可能有两解（图中或）， 若确定，则不确定，从而也不确定.    故选：A 8．D 【分析】由已知可得，利用投影向量的定义即可求解. 【详解】因为单位向量，满足，所以， 化简得：，即或(舍去)， 所以在上的投影向量为， 故选：D 9．BCD 【分析】 根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解. 【详解】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误； 由，所以正确，故B正确； 由正八边形知，，且, 根据向量加法法则可知： 为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，又， 与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确； 在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确. 故选：BCD 10．AD 【分析】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 11．ABD 【分析】由平面向量的线性运算计算可判断A；由平面向量基本定理和平面向量的线性运算计算可判断B；将用表示出来，再由平面向量的数量积运算计算即可判断C；将用表示出来，再由平面向量的数量积运算加可判断D． 【详解】因为点为的中点，所以， 对于A，当时，即， 所以，故A正确； 对于B，当时，因为，，三点共线，且，， 所以， 所以， 又、不共线， 所以，消元整理得，即，故B正确； 对于C，当时，，， 所以， 因为，，，所以， 所以，故C错误； 对于D，， 设，则， ， 解得，所以，解得，故D正确． 故选：ABD． 12． 【分析】根据向量的三角形法则，将向量用来表示即可； 【详解】因为E为BC边上靠近点B的三等分点，所以， 所以， 所以 ，，故． 故答案为： 13． 【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 14． 【分析】由与垂直，结合与的夹角为135°，利用数量积的定义得到，再利用在上的投影的定义求解. 【详解】解：因为与垂直， 所以，即， 解得， 又因为与的夹角为135°， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 故答案为： 15．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量； （2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量； （3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量． 【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题. 16．(1)，. (2)证明见解析；定值为. 【分析】（1）根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解； （2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解. 【详解】（1）解：因为点为的中点， 由向量的平行四边形法则，可得， 在中，由向量的三角形法则，可得. （2）证明：在中，点为的中点，且点为靠近的三等分点， 且 所以, 因为三点共线，所以，解得， 即为定值. 17．(1) (2) 【分析】（1）由|+|，又与的夹角为60°，，，化简代入即可得出答案； （2）由，设的夹角为，由数量积公式，化简代入即可得出答案. 【详解】（1）已知，，与的夹角为60°， 所以|+|. （2）因为，所以，设的夹角为，， 所以，则，， 所以，所以与的夹角为. 18．(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【详解】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 19．(1)证明见解 (2)或 (3) 【分析】（1）利用向量的数量积的定义及向量数量积的运算律，结合向量垂直的条件即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的模公式，结合向量数量积的运算律及一元二次方程的解法即可求解； （3）根据（1）的结论及向量的模公式，利用向量的数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为与的夹角为， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知，， 因为， 所以，即， 于是有，即 ，解得或, 所以的值为或. （3）由（1）知，， 因为 所以， ， ， 因为与的夹角为， 所以，即，且， 于是有，解得或（舍）, 所以的值为. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（21-22高一下·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（2009高二·全国·竞赛）设是单位向量，，则四边形是（    ）． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．（21-22高一下·四川凉山·期中）已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·浙江·开学考试）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 7．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知三点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且，为圆所在平面内一点，且，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是1 B．为定值 C．的最大值是10 D．的最小值是8 8．（23-24高一下·北京·期中）在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A．若||=||，则= B．若≠，则||≠|| C．零向量的长度为0 D．若则 10．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则是在的投影向量 D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 11．（23-24高一下·浙江·期中）定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C． D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高一下·江苏连云港·期中）在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为 . 13．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 14．（2023·广东肇庆·二模）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二上·贵州黔南·开学考试）已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 16. (15分) （21-22高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 17. (15分) （22-23高一下·江苏扬州·阶段练习）已知中，过重心G的直线交边（不含端点）于P，交边（不含端点）于Q，设的面积为，的面积为，，. （1）求证：. （2）求的取值范围. 18. (17分) （23-24高一下·安徽·阶段练习）如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P. (1)求的值； (2)试问：当为何值时，? (3)求证：. 19. (17分) （23-24高一下·福建厦门·期中）设正的边长为1，O为的重心，为BC边上的等分点，为AC边上的等分点，为AB边上的等分点. (1)分别求当时，的值； (2)当时. （i）求的值（用i，j表示）； （ii）求的最大值与最小值. 参考答案： 1．B 【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 2．B 【分析】由向量相等得到平行四边形，再由向量模相等得到菱形即可. 【详解】因为是单位向量，所以，， 所以，即一组对边平行且相等， 所以四边形为平行四边形，故A选项错误； 又因为，所以四边形为菱形，故D答案错误； 再由题意中未给出垂直条件也未给出向量间的夹角，所以C选项错误； 所以四边形为无特殊限制的菱形. 故选：B. 3．A 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为是的外接圆圆心，， 所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径， 因为，所以为等边三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：A 4．C 【分析】根据向量的加法、减法的几何意义判断平行四边形为矩形，即可得解. 【详解】在平行四边形中，，， 因为，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形， 所以四边形的面积为. 故选：C 5．D 【分析】依据向量的几何意义去求解的值 【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE. 则， 则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点 故选：D 6．B 【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置， 而，括号内利用向量模的几何意义求最小值． 【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，， ，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于， 设，则点在直线上，的延长线交于，则， 是菱形对角线的交点，则，， ，，， 设，则是关于直线的对称点， ，则，即，又， 所以， ，当且仅当共线时等号成立， 所以 的最小值是， 的最小值是， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值． 7．D 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；利用向量的线性表示，结合可以计算的值；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上运动，又因为点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 所以当三点共线时，取得最小值，为，故A正确； B选项，因为三点在圆上，所以圆是的外接圆，又因为，所以是圆的直径，所以， 是定值，故B正确； 选项C、D， ， 所以, ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误. 故选：D. 8．B 【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状. 【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则    ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即△为钝角三角形， 故选：B. 9．AB 【分析】由平面向量的概念逐项判定即可求解. 【详解】因为向量既有大小又有方向, 所以只有方向相同、大小 (长度) 相等的两个向量才相等, 故 A错误; 两个向量不相等, 但它们的模可以相等, 故B错误; 零向量的长度为 0 , 故 C正确; , 则 它们的相反向量 也相等,故D正确. 故选：AB. 10．BCD 【分析】对选项A，B，用平面向量的加减法即可；对C，首先根据已知得到AD为的平分线，即，再利用平面向量投影的概念判断即可；对D，首先根据A，P，D三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，再利用二次函数的性质即可. 【详解】 如图所示：对选项A，， 故A错误； 对选项B， ， 故B正确； 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量， 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量. 因为， 所以为的平分线， 又因为为的中线，所以， 如上图所示：在的投影为， 所以是在的投影向量，故选项C正确； 对选项D， 如上图所示： 因为在上，即三点共线， 设，.   又因为，所以. 因为，则，. 令， 当时，取得最大值为.故选项D正确； 故选：BCD 11．BCD 【分析】利用的定义证明A选项正确，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可. 【详解】对于A，若，由的定义有或. 由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即. 所以，故，A正确； 对于B，设有非零向量，则，，故，B错误； 对于C，由于，故，C错误； 对于D，若，，，则，D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可得到结论. 12．/ 【分析】先求得、的等量关系，然后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】依题意，，， 、、三点共线，， ， 当且仅当，，时，即时等号成立. 故答案为：.      13． 【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得，表示点与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解. 【详解】由，得， 即，解得. ， 表示点与点的距离之和. 如图，点关于x轴的对称点为，连接， 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）. 14． 【分析】根据向量的线性运算，令 ，，从而得出有共线，结合题设推出 ，当且仅当时， 取最大值2，此时面积最大，则O到的距离最远，此时 取到最小值，即可求解. 【详解】如图示，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且， 由题意得： ， 令 ，则三点共线 ，则三点共线 故有共线， 由题意与垂直,, 知,且为定值， 在中， ，当且仅当时， 取最大值2， 此时面积最大，则O到的距离最远，而， 故当且仅当即 关于y轴对称时，最小， 此时O到的距离为 ， 所以 ,故 ，即的最小值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据向量的线性运算，可令 ，  ，从而得出共线,由此根据题设可推出，即当且仅当即 关于y轴对称时，最小，从而问题可解. 15．(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）求出，由证明即可； （2），，根据向量相等列方程组求解即可. 【详解】（1）证明：∵，故三点共线； （2），， 则有，即，解得 16．(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案； （2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】（1）由，可得. （2）（2）设，将 代入，则有， 即，解得， 故，即. 17．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）设，可得，，利用三点共线可得，即可建立关系求证结论； （2）利用三角形面积公式化简可知，再结合及的取值范围，利用二次函数求最值即可得到结果. 【详解】设，又， ， 三点共线，则存在，使得，即 即 ，整理得，即， 两边同除以得， （2）由， 利用三角形面积公式得： ，则，可知 ， 则当时，取得最小值，当时，取得最小值， 又，故的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算，向量的共线定理，三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线基本定理知，存在实数，使得，进而得到的关系式，是解题的关键，考查学的逻辑推理与转化化归能力，属于较难题. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到，两边平方后即可求得结果；（2）将向量表示为，进而由得到，数量积运算求解即可；（3）分别计算和的值，证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 得：， 所以； （2）因为，所以， 所以， ， 因为，所以，即，解得， 故当时，； （3）， ， ， ， 因为，所以， 所以. 19．(1)，， (2)（i）；（ii）最大值为，最小值为 【分析】（1）先利用数量积的运算律求得，根据共线，将用表示，求和后再求模长； （2）（i）根据数量积定义计算； （ii）将用表示，依次视为的函数讨论单调求最值. 【详解】（1）因为为等边三角形，且边长为，为外接圆的重心（圆心）， ，且， ， 则， 当时,，，，， ， ； 当时,，，，， ，， ， ； 当时，，，……，， ， ； （2）(ⅰ)为等边三角形，为外接圆的圆心，， 则，， 又，分别为，的等分点，又， ，； （ⅱ）， ； 同理可得：；； ； 令 ①当时， 时，， ，时取最大值，则； 时，， ，时取最小值，则， 则当时，； ②当时， 时，， ，时取最大值，则； 时，， ，时取最小值，则， 则当时，； 综上所述：的最大值为，最小值为. 【点睛】关键点点睛：求的最值利用函数的单调性求最值，先整理为的形式，视为关于的一次函数，讨论的正负确定单调性，确定在或时取得最值，类似的，下一步再视为关于的一次函数求最值，最后再视为关于的一次函数求最值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$