专题21.7 配方法解一元二次方程的应用（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.7 配方法解一元二次方程的应用（知识梳理与考点分类讲解） （特别说明：配方法的应用在数学中有着重要的地位与作用，也是培养学生转化、化归意识的重要途径，为此，特意编写了此专题，供大家参考使用） 第一部分【知识点归纳】 1.用配方法解一元二次方程 （1） 移：移项，方法：将常数项移到等式右边，含未知数项移到等式左边； （2） 化：二次项系数化为1，方法：左、右两边同时除以二次项系数； （3） 配：配方，方法：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4） 开：开平方，方法：利用平方根的意义直接开平方； （5） 解：解两个一元一次方程，方法：移项、合并同类项，系数化为1. 2.配方法的应用： （1）准确配：配方过程中求参数的值； （2）求参数：配方过程中求参数的值； （3）求代数式的值：通过配方进行变形从而求出代数式的值； （4）求最大（小）值：通过配方利用平方的非负性从而求出最小（大）值； （5）比较大小：通过求差法再进行配方比较大小； （6）三角形的形状：通过配方判断三角形的形状； （7）几何问题：通过配方解决几何问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断配方结果是否正确 【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 【变式1】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在解方程时，对方程进行配方，两位同学提供了如下两种方案． 方案Ⅰ 方案Ⅱ 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（   ） A．方案Ⅰ正确、方案Ⅱ不正确 B．方案Ⅰ不正确，方案Ⅱ正确 C．方案Ⅰ、Ⅱ都正确 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不正确 【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【题型2】从配方的过程判断参数的值 【例2】（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【举一反三】 【变式1】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）已知是完全平方式，则常数的值是 ． 【变式2】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则m的值为 ． 【题型3】通过配方求代数式的值 【例3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程的部分步骤如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 【变式1】一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．11 B．－11 C．17 D．－17 【变式2】阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是.按照这个规定，请你计算：当时，的值(    ) A． B． C．5 D． 【题型4】通过配方利用平方的非负性求最值 【例4】（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【题型5】通过求差法再配方比较大小 【例5】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 【变式1】已知（为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【题型6】通过配方判断三角形的形状 【例6】的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【举一反三】 【变式1】已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【变式2】三角形一边长为10，另两边长是方程x2﹣14x+49＝0的两个根，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【题型7】配方在几何综合中的应用 【例7】（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 2、拓展延伸 【例1】（22-23八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，则的值等于 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.7 配方法解一元二次方程的应用（知识梳理与考点分类讲解） （特别说明：配方法的应用在数学中有着重要的地位与作用，也是培养学生转化、化归意识的重要途径，为此，特意编写了此专题，供大家参考使用） 第一部分【知识点归纳】 1.用配方法解一元二次方程 （1） 移：移项，方法：将常数项移到等式右边，含未知数项移到等式左边； （2） 化：二次项系数化为1，方法：左、右两边同时除以二次项系数； （3） 配：配方，方法：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4） 开：开平方，方法：利用平方根的意义直接开平方； （5） 解：解两个一元一次方程，方法：移项、合并同类项，系数化为1. 2.配方法的应用： （1）准确配：配方过程中求参数的值； （2）求参数：配方过程中求参数的值； （3）求代数式的值：通过配方进行变形从而求出代数式的值； （4）求最大（小）值：通过配方利用平方的非负性从而求出最小（大）值； （5）比较大小：通过求差法再进行配方比较大小； （6）三角形的形状：通过配方判断三角形的形状； （7）几何问题：通过配方解决几何问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判断配方结果是否正确 【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 解：， ， 配方得，即， 故选：A． 【举一反三】 【变式1】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在解方程时，对方程进行配方，两位同学提供了如下两种方案． 方案Ⅰ 方案Ⅱ 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（   ） A．方案Ⅰ正确、方案Ⅱ不正确 B．方案Ⅰ不正确，方案Ⅱ正确 C．方案Ⅰ、Ⅱ都正确 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】先移项，再配方，变形后即可判断方案Ⅰ的解法；移项，方程两边都除以，再配方，即可判断方案Ⅱ的解法． 解：方案Ⅰ、Ⅱ都正确， 理由是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以方案Ⅰ、Ⅱ都正确， 故选：C． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】D 【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案. 解：∵ ∴ ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解． 【题型2】从配方的过程判断参数的值 【例2】（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【答案】6 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 解： 移项，可得 配方，可得，即 ∴n的值是6， 故答案为：6． 【举一反三】 【变式1】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）已知是完全平方式，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案． 解： ， ，即， ，则，即，解得， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查利用完全平方式求参数，利用配方法得到方程，再由配方法解方程是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法，把常数项移到右边，再两边加上16即可变形成完全平方的形式，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 解：， ， ， ， ， 故答案为：4． 【题型3】通过配方求代数式的值 【例3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程的部分步骤如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解法、求代数式的值，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．据此解答即可． 解：， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【举一反三】 【变式1】一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．11 B．－11 C．17 D．－17 【答案】C 【分析】根据配方法求出与的值，代入求值即可得到答案． 解：， 移项得， 配方得，即， 因式分解得， 一元二次方程化成的形式为， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查代数式求值，涉及到解一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方法的具体步骤是解决问题的关键． 【变式2】阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是.按照这个规定，请你计算：当时，的值(    ) A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先求出方程的解，根据题意把代数式化成（x+1）（2x-3）-2x（x-1），化简后代入求出即可． 解：∵x2-4x+4=0， ∴（x-2）2=0， ∴x-2=0， ∴x=2， =（x+1）（2x-3）-2x（x-1） =2x2-3x+2x-3-2x2+2x =x-3 当x=2时 原式=2-3 =-1． 故选B. 【点拨】本题考查解一元二次方程-配方法, 整式的混合运算—化简求值.能根据题述将题中新定义的运算化为普通运算是解决本题的关键，另外在本题中一定要先化简，再代入值. 【题型4】通过配方利用平方的非负性求最值 【例4】（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 解：小明的探究：， 则当，即时，有最小值为， 而无解， 小明的探究是错误的， 小林的探究：， 则当，即时，有最小值为2， 小林的探究是正确的， 故选：B． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理表示出；利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方，即可求解． 解：在中，，，， ； ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大值为． 故选：A． 【点拨】本题主要考查的是列代数式，矩形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键． 【题型5】通过求差法再配方比较大小 【例5】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 解： 故选：C． 【点拨】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 【举一反三】 【变式1】已知（为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 解：根据题意可知P-Q===＞0，故P＞Q（也可以结合P、Q的图像来进行比较，当取相同的自变量x的值时，二次函数P=的图像始终在一次函数Q=的图像的上方，因此可判断）. 故选A 考点：代数式的大小比较 【变式2】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 解：， ，， ， ， 故选：B 【题型6】通过配方判断三角形的形状 【例6】的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18， ∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18， 整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0， 即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0， ∴a=3，b=2，c=2， ∴此三角形为等腰三角形．故选A． 点拨：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 【变式2】三角形一边长为10，另两边长是方程x2﹣14x+49＝0的两个根，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】首先利用因式分解法求得一元二次方程的两个根，然后利用勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定即可判定这个三角形是等腰三角形． 解：∵x2﹣14x+49＝0， ∴（x﹣7）2＝0， ∴x1＝x2＝7， ∵102＝100，72＝49，72＝49， ∴102≠72+72， ∴这个三角形是等腰三角形． 故选：D． 【点拨】此题考查了一元二次方程的解法与勾股定理逆定理、等腰三角形的判定的应用．解题的关键是注意选择适当的方法解方程． 【题型7】配方在几何综合中的应用 【例7】（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． (1)求的最小值为_____，的最小值为_____； (2)若多项式，试求M的最小值； (3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)6；； (2)；(3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． （1）解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； （2）解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：，所以的最小值为，此时． (1)尝试：，因此当 时，代数式有最小值，最小值是 ； ，所以当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值． (2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；，大；(2)当为米，为米时，面积最大为平方米． 【分析】（）根据配方后的结果即可求解；根据配方后的结果即可求解； （）设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，列式表示出矩形的面积，再利用配方法解答即可求解； 本题考查了利用配方法求代数式的最值，掌握配方法是解题的关键． （1）解：∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； ∵， ∴当时，代数式有最大值， 故答案为：，大； （2）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 根据题意得，， 当时，有最大值，最大值为， ∴围成的矩形花圃垂直于墙的栅栏长时，能使花圃面积最大，最大面积是． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 2、拓展延伸 【例1】（22-23八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由,得，点P到原点O的距离为，逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可. 解：由,得， ∴点P到原点O的距离为： ， 故选: B. 【点拨】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键. 【例2】已知，则的值等于 ． 【答案】 【分析】利用配方法将已知等式转化为的形式，由非负数的性质求得的值，然后代入求值即可． 解： ， 则，， 所以，， 所以． 故答案是：． 【点拨】考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$