专题21.5 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.5 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1）一元二次方程根的判别式 （2） 一元二次方程根与系数的关系 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算的值；四判：判断根的情况。 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)原方程有两个相等的实数根；(2)原方程有两个不相等的实数根；(3)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此根据一元二次方程根的判别式可分别求解（1）（2）（3） （1）解：原方程可化为， ， ∴原方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根． （3）解：原方程可化为． ， 原方程无实数根． 【举一反三】 【变式1】（2024·山东滨州·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键．先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选． 【变式2】（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【答案】两或2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 解：∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：两． 【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围 【例2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）当m取何值时，此方程没有实数根； （2）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． （1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据根的判别式小于0且二次项系数不等于0列式求解即可． 解：由题意，得且． 解得． 故选D． 【变式2】（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例3】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． （1）（1）证明：①时，该方程为一元一次方程，有实数根； ②时，该方程为一元二次方程， ， 不论为何值时，， ， 方程总有实数根； 综上，不论为何值时，方程总有实数根． （2）解：解方程得，， ，， 方程有两个不相等的正整数根，为整数， ． 【解题方法】方程有（没有）实数根常常要分类讨论，这是容易出错的地方 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．及一次函数的性质是解题的关键． 解：根据题意得，解得， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据方程有两个相等的实数根可得，结合易得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∵， ∴． 将代入，得， 即， ∴， ∴． 故填③． 【题型4】由已知方程的一根，由根与系数关系求另一根或字母系数 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， （1）求b的值及方程的另一个根； （2）若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为；(2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解；（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． （1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算，一元二次方程根与系数的关系，先确定的整数部分，再根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根． ∵， ∴的整数部分是6， ∴一元二次方程的一个根是6． 设另一个根是，则， 解得， 所以另一个根是． 故选：A． 【变式2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的方程有一个根是，则另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，由两根之和等于，进行求解即可． 解：设方程的另一个根为， 则：， ∴； 即：另一个根为； 故答案为：4． 【题型5】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 【例5】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围， （2）当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1)； (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． （1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【举一反三】 【变式1】（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（2024·山东济宁·三模）若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，；，；，．把原式变形，再代入，即可求出答案． 解：，，2，3，，2020， 由根与系数的关系得：，；，；， ， 原式 ． 故答案为：． 【题型6】根的判别式与根与系数关系的综合 【例6】（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可． （1）证明：∵， ∴， ∴此一元二次方程总有实数根； （2）解：由题意得：， ∴的周长为， 设，则， 解得，， 此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去； 设，则：， 由三角形三边关系得，，，即，， 解得：， ∵周长m为偶数， ∴． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 【变式2】（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的 值，再利用判别式检验即可得出答案． 解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围；（2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． （1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点拨】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【例2】（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． （1）证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2023·四川南充·一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． （1）求证此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根是、，且，求． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。 （2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。 （1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：， ， 、、是的三条边，其中， ， ， ， 此方程有两个不相等的实数根； （2）方程的两个根是、， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 【例2】（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k为何值时，四边形是菱形； (3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 【答案】(1)；(2)；(3)四边形的周长是4，面积是． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是应用； （1）根据题意求出且，，求出不等式组的解集即可； （2）由菱形的性质可得，可得，再检验即可； （3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积． （1）解：∵平行四边形的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴且，， 解得：， 即k的取值范围是； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 经检验符合题意； （3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， 把代入方程得：， 解方程得：，或，， ∴矩形的周长是，面积是． 即此时四边形的周长是4，面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.5 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1）一元二次方程根的判别式 （2） 一元二次方程根与系数的关系 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算的值；四判：判断根的情况。 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【举一反三】 【变式1】（2024·山东滨州·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式2】（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围 【例2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． （1）当m取何值时，此方程没有实数根； （2）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式2】（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例3】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【题型4】由已知方程的一根，由根与系数关系求另一根或字母系数 【例4】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， （1）求b的值及方程的另一个根； （2）若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知的整数部分是方程的一个根，则该方程的另一根是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知关于x的方程有一个根是，则另一个根为 ． 【题型5】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 【例5】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围， （2）当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【举一反三】 【变式1】（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东济宁·三模）若关于的方程为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【题型6】根的判别式与根与系数关系的综合 【例6】（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此一元二次方程总有实数根； （2）已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 【举一反三】 【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【变式2】（2024·北京东城·二模）若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【例2】（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 2、拓展延伸 【例1】（2023·四川南充·一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． （1）求证此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根是、，且，求． 【例2】（2023·江西新余·一模）已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k为何值时，四边形是菱形； (3)当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$