专题21.3 一元二次方程的解法（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.3 一元二次方程解法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1）基本思想：降次 （3） 用换元法或整体思想解一元二次方程； （4） 可化为一元二次方程的分式方程（中考题中常出现）. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接开平方法解一元二次方程 【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值： （1）； (2)． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【变式2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是 ． 【题型2】配方法解一元二次方程 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 【题型3】公式法解一元二次方程 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【举一反三】 【变式1】（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【变式2】（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ． 【题型4】因式分解法解一元二次方程 【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【举一反三】 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程的解是 ． 【题型5】可化为一元二次方程的分式方程 【例6】（2024·广西梧州·二模）解分式方程：． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·广东惠州·阶段练习）分式方程的解为 ． 【变式2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）解方程：． 【题型6】用换元法解一元二次方程 【例6】（2024·广西河池·一模）解方程：． 【举一反三】 【变式1】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【变式2】（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 【例2】（2023·四川凉山·中考真题）解方程：． 2、拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ． （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （3）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 【例2】（23-24九年级上·广西桂林·期末）【阅读与理解】 【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式呢？ 例：解不等式 解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，， 所以二次三项式可因式分解为：， 因此，原不等式可变形为， 根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得 ……①）或……② 分别解不等式组①和②，得：或． 从而原不等式的解集为或． 【问题解决】请仿照材料中不等式的解法，解答下列问题： （1）将多项式在实数范围内因式分解； （2）解不等式； （3）解不等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 一元二次方程解法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 （1）基本思想：降次 （3） 用换元法或整体思想解一元二次方程； （4） 可化为一元二次方程的分式方程（中考题中常出现）. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接开平方法解一元二次方程 【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值： （1）； (2)． 【答案】(1),； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可得到答案； （2）直接开平方即可得到答案． （1）解：， （2）解：， ， 或， 则,； 解得，． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查解一元二次方程---直接开平方法、以及对新定义的理解，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．根据题目中的新定义，可以得到相应的方程，从而可以求得相应的x的值． 解：对于函数，规定． 又函数对应的， ， ， 解得，． 故答案为：或． 【题型2】配方法解一元二次方程 【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】(1)； (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 （1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 【举一反三】 【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．先根据等式的性质移项，再方程两边都加9，即可得出答案． 解：， 移项，得， 配方，得， ． 故选：D 【变式2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可． 解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线为， ∵ ∴图象不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 【题型3】公式法解一元二次方程 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． （1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【举一反三】 【变式1】（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 【变式2】（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用公式法解方程，再进一步计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【题型4】因式分解法解一元二次方程 【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． （1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 【举一反三】 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 【变式2】方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 解：∵， ， ， 或， 解得：． 故答案为：，． 【题型5】可化为一元二次方程的分式方程 【例6】（2024·广西梧州·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 解： 方程左右同乘以、去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 检验：，则，故是原分式方程的根， ，则，故是原分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级下·广东惠州·阶段练习）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，一元二次方程的综合，掌握解分式方程，因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据去分母，去括号，移项，再根据因式分解解一元二次方程，检验的方法即可求解． 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 整理得， ∴ ∴或， ∴，， 检验，当或时，最简公分母， ∴原分式方程的解为：或， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程及一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程及一元二次方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解即可． 解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 经检验：当时，， 当时，， ∴原分式方程的解为． 【题型6】用换元法解一元二次方程 【例6】（2024·广西河池·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 【举一反三】 【变式1】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 【变式2】（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示． 用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0； （2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程． ①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0． 【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2． 【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可； （2）找出适当的方法解一元二次方程即可． 解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，； ∴a＜b，ab＜0； 故答案为：＜，＜； （2）①x2+2x−1=0； 移项得x2+2x=1， 配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2， 则x+1=±， ∴x1=-1+，x2=-1-； ②x2−3x=0； 因式分解得x(x-3)=0， 则x=0或x-3=0， 解得x1=0，x2=3； ③x2−4x=4； 配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8， 则x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-； ④x2−4=0． 因式分解得(x+2) (x-2)=0， 则x+2=0或x-2=0， 解得x1=-2，x2=2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴． 【例2】（2023·四川凉山·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 解： 方程两边同乘， 得， 整理得，， ∴， 解得：，， 检验：当时，，是增根， 当时，， 原方程的解为． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 2、拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ． （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （3）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 【答案】(1)； (2)是“邻根方程”；(3)或；5或． 【分析】（1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程； （2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （3）先利用因式分解法解一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意分两种情况求解． （1）由题意可知： ∵方程的一次项系数为：， ∴， ∵方程的常数项为：， ∴， 所以，对应的一元二次方程为：． （2）∵ ∴， ∵ ∴是“邻根方程”． （3）∵， ∴， ∴，， ∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， ∴解得：m=2或4， 又∵方程两根为直角三角形的两条边， 当方程两根为2和3时： 若2和3为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：； 若2为直角边，3为斜边时，则此三角形的第三边长为：； 当方程两根为3和4时： 若3和4为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：； 若3为直角边，4为斜边时，则此三角形的第三边长为：； 综上所述：此三角形的第三边长为或；5或． 【点睛】本题考查一元二次方程的新定义题型，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用． 【例2】（23-24九年级上·广西桂林·期末）【阅读与理解】 【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式呢？ 例：解不等式 解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，， 所以二次三项式可因式分解为：， 因此，原不等式可变形为， 根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得 ……①）或……② 分别解不等式组①和②，得：或． 从而原不等式的解集为或． 【问题解决】请仿照材料中不等式的解法，解答下列问题： （1）将多项式在实数范围内因式分解； （2）解不等式； （3）解不等式． 【答案】(1)； (2)；(3)或． 【分析】此题考查一元二次方程的求解，一元一次不等式组的应用及因式分解等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． （1）由一元二次方程有两个实数根为，，即可得解； （2）根据题意可得两个不等式组∶ 或，解不等式即可求解； （3）根据题意可得两个不等式组∶ 或，解不等式即可求解． （1）解：由于一元二次方程有两个实数根，分别为，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，有 ①或② ∴解不等式组①，得， 解不等式组②，得无解， 故原不等式的解集为， 即一元二次不等式的解集为． （3）解：不等式化为， 令， 解得，， ∴， ∴由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或② ∴解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即不等式的解集为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$