训练09统计与概率50道真题训练-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

训练09统计与概率50道真题训练 一、单选题 1．（2023-24高二下·上海·阶段练习）现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为（   ） 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 A．14 B．08 C．09 D．06 2．（2023-24高一下·浙江宁波·期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 3．（2023-24高三下·陕西西安·期中）社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二上·湖北武汉·期末）盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．甲命中个数的极差为29 B．乙命中个数的众数是21 C．甲的命中率比乙高 D．甲每组命中个数的中位数是25 6．（2023-24高一上·河南开封·期中）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（    ）    ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. ②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米； ③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少； ④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 7．（2023-24高二下·陕西西安·期中）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．估计众数为 B．估计中位数是 C．估计平均数为 D．支出在的频率为 8．（2023-24高二上·宁夏吴忠·期末）在样本的频率分布直方图中，某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的，已知样本容量是80，则该组的频数为（    ） A．20 B．16 C．30 D．35 9．（2023·山西·一模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（2023-24高二上·山东潍坊·期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2023-24高一上·河南南阳·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题： ①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立． 以上命题中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（2024·贵州遵义·三模）在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（    ） A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46 14．（2024·安徽马鞍山·三模）已知角，则数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 16．（2022·湖南郴州·模拟预测）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ） A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大 C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等 17．（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2023-24高一下·江苏常州·期末）某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（    ）. A．男生人数为80人 B．B层次男女生人数差值最大 C．D层次男生人数多于女生人数 D．E层次女生人数最少 19．（2023-24高一下·山东泰安·期末）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（   ） A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 20．（2023-24高二上·重庆·期末）重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）    A．成绩在区间内的学生有46人 B．图中的值为 C．估计全校学生成绩的中位数约为 D．估计全校学生成绩的分位数为90 21．（2022-23高一上·辽宁丹东·期末）设，是两个随机事件，则下列说法正确的是（    ） A．表示两个事件至少有一个发生 B．表示两个事件至少有一个发生 C．表示两个事件均不发生 D．表示两个事件均不发生 22．（2023-24高三上·浙江温州·期末）某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（   ） A．甲企业：均值为5，中位数为8 B．乙企业：众数为6，中位数为6 C．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D．丁企业：均值为5，方差为6 23．（2023-24高二上·山西·期末）2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示： 则下列说法正确的是（    ） A．从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为 B．2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，比上月上升0.3个百分点 C．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第71百分位数为 D．从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数约为 24．（2023-24高二上·四川成都·期末）已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（    ） A．一定小于； B．可能等于； C．事件和事件不可能相互独立； D．事件和事件可以相互独立. 25．（2023-24高一上·山东日照·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（    ） A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立 26．（2023·全国·模拟预测）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．，，两两相互独立 三、填空题 27．（2023高二·云南·学业考试）某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方法从各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取 人. 28．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 29．（2023-24高二下·湖南长沙·期中）设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 30．（2023-24高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281  9522  0018  7472  0129  3879  5869  2436  8460  3990 9533  7980  2692  8280  0753  8425  8935  3882  7890  5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 . 31．（2023-24高三上·云南·阶段练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 . 32．（2022-23高二上·江西南昌·期末）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为 . 33．（2022-23高二下·湖北孝感·期中）计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”.甲､乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互之间没有影响.则甲､乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为 . 34．（2023-24高二上·山东青岛·期中）一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 35．（2022-23高一下·江苏南京·期中）甲、乙两支田径队队员的体重（单位：kg）信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为， 36．（2023-24高二上·四川成都·阶段练习）已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是 ． 37．（2022-23高二下·上海浦东新·期中）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率．已知，则 ． 38．（2023-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 39．（2022-23高二下·江西赣州·期中）课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为 . 40．（2022-23高二下·山东临沂·期中）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以后再减去；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以后再加上；这样就可以得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为，则的取值范围是 ． 四、解答题 41．（2024高一下·全国·专题练习）某校从高一全体男生中用简单随机抽样的方法抽取了20人测量出体重（单位：kg），情况如下： 65　56　70　82　66　72　54　86　70　62 58　72　64　60　76　72　80　68　58　66 试估计该校高一全体男生的平均体重，以及体重在60～75 kg（包括60 kg）之间的人所占的比例． 42．（2023-24高一上·浙江绍兴·期末）《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示： (1)求该项指标的第30百分位数； (2)若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标小于的汽车认为符合节能要求，已知，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率. 43．（2023-24高二上·浙江宁波·期末）用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数； (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 44．（2024·河南商丘·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： 利润率 月数公司 -5% A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变． (1)比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小； (2)用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率． 45．（2023-24高二下·四川绵阳·期中）某产品在进入市场前必须进行两轮某项指标的检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响. (1)求该产品能销售的概率； (2)已知一箱中有该产品3件，求3件产品中至少有1件能销售的概率. 46．（2023-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 47．（2023-24高二上·四川德阳·期末）在一次抛掷硬币的试验中规定：若正面向上（用数字1表示），质点向东移动1个单位；若正面向下（用数字0表示），质点向北移动1个单位.甲同学将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了3次，则质点在水平面中从点经过3次移动后到达点，记事件“”. (1)写出甲同学进行该试验的样本空间，并求； (2)如果乙同学按照甲同学完全相同的方式独立的进行试验，记事件“”，求A与B至少有一个发生的概率. 48．（2022-23高二下·四川绵阳·开学考试）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．    (1)求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的中位数； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求． 49．（2023-24高二上·四川绵阳·期末）多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. (1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 50．（2023-24高二上·四川成都·期末）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的. (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联. 则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 训练09统计与概率50道真题训练 一、单选题 1．（2023-24高二下·上海·阶段练习）现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为（   ） 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 A．14 B．08 C．09 D．06 【答案】A 【详解】依次选出的编号为：01，17，09，08，06，14； 则选出来的第6支水笔的编号为14. 故选：A. 2．（2023-24高一下·浙江宁波·期中）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】A 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：A 3．（2023-24高三下·陕西西安·期中）社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明和小华为，其余3人为， 任选2人的所有可能的结果为， ，共有10种， 设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E， 则E包含的基本事件有共6种， 故． 故选：C. 4．（2023-24高二上·湖北武汉·期末）盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，肉馅包子的个数为， 从中随机取出个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为， 所以，豆沙馅包子的个数为，因此，素馅包子的个数为. 故选：C. 5．（2023-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．甲命中个数的极差为29 B．乙命中个数的众数是21 C．甲的命中率比乙高 D．甲每组命中个数的中位数是25 【答案】D 【详解】根据茎叶图可知甲命中最多37，最少8，即极差为29，故A正确； 显然乙命中个数的众数为21，出现两次，故B正确； 甲命中共214个，乙命中共169个，所以甲命中率高，故C正确； 甲命中的个数中位数为，故D错误. 故选：D 6．（2023-24高一上·河南开封·期中）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲､乙､丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（    ）    ①某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油. ②消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米； ③以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少； ④甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，速度在80千米小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油， 丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，所以①正确； 对于②，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5（乙车图象的最高点的纵坐标大于，所以②错误； 对于③，同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多， 所以行驶相同路程，甲车油耗最少，所以③正确； 对于④，甲车以80千米小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米， 所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，所以④错误． 故选：B. 7．（2023-24高二下·陕西西安·期中）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．估计众数为 B．估计中位数是 C．估计平均数为 D．支出在的频率为 【答案】B 【详解】由频率分布直方图可知， 支出在对应矩形最高，所以估计众数为，A错； 支出在的频率为，D错； 前两个矩形面积之和是， 故将第三个矩形分成即可， 所以中位数是，B正确； 平均数为，C错. 故选：B 8．（2023-24高二上·宁夏吴忠·期末）在样本的频率分布直方图中，某个小长方形的面积是其他小长方形面积之和的，已知样本容量是80，则该组的频数为（    ） A．20 B．16 C．30 D．35 【答案】B 【详解】设该组对应的小长方形的面积为，则由题意得，解得， 所以该组的频率为，所以该组的频数为， 故选：B 9．（2023·山西·一模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，． 将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点． 记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以． 故选：D． 10．（2023-24高二上·山东潍坊·期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为， 该系统正常工作的概率为: , 故选：C. 11．（2023-24高一上·河南南阳·期末）甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 12．（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题： ①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立． 以上命题中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 由题意得，，， ． 因为，故事件相互独立，①正确； 因为，故事件相互独立，②正确； 因为，故事件相互独立，③正确． 故选：D 13．（2024·贵州遵义·三模）在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（    ） A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46 【答案】C 【详解】由甲同学的样本的平均数，方差分别为， 乙同学的样本的平均数，方差分别为， 则合在一起后的样本平均数， 则合在一起后的样本方差 . 故选：C. 14．（2024·安徽马鞍山·三模）已知角，则数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角， 所以，，， ，， 所以，， 按照从小到大的顺序排列时，前个数为，，， 则中位数为（或）． 其中当时的证明过程如下： 构造单位圆，如图所示：    则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即， 即. 故选：A． 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 【答案】D 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 此时，， ，故B正确； 当时，表示并非每次都是正面朝上， 故，故C正确； 此时，， ，所以，故D错误. 故选：D. 16．（2022·湖南郴州·模拟预测）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ） A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大 C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等 【答案】C 【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， （1）甲获得冠军有两种情况： ①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为 ②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜， 胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即， 因此，甲最终获得冠军的概率为； （2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为； （3）丙获得冠军，概率为， 由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确， 故选∶C． 17．（2023·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：函数的图象与轴有交点，则， 则满足该条件的有：，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，， 共有个满足函数的图象与轴有交点的条件； 函数为偶函数，只需是奇函数，即，所以． 函数为偶函数：有，，共个． 所以则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率． 故选：D． 二、多选题 18．（2023-24高一下·江苏常州·期末）某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（    ）. A．男生人数为80人 B．B层次男女生人数差值最大 C．D层次男生人数多于女生人数 D．E层次女生人数最少 【答案】ABD 【详解】解：由条形图知，抽取女生学生有（人）， 所以抽取男生有（人），选项正确； 层次的男生有（人，A，B，C，D，E五个层次男生人数分别：8，24，20，16，12（人），与女生各层次差值分别为：10，24，10，2，6，选项正确； 层次的男生有（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项错误； 层次的女生人数最少，选项正确． 故选：ABD． 19．（2023-24高一下·山东泰安·期末）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（   ） A．应采用分层随机抽样抽取 B．应采用抽签法抽取 C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆 D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的 【答案】ACD 【详解】因为三种型号轿车的产量具有明显的差异性，所以应采用分层随机抽样抽取，故A正确；B错误； 又因为三种型号轿车的产量之比为， 所以三种型号的轿车依次应抽取辆，辆，辆，故C正确； 根据随机抽样可知：每个个体被抽到的可能性均等，即每一辆被抽到的概率都是相等的，故D正确； 故选：ACD. 20．（2023-24高二上·重庆·期末）重庆八中组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是（    ）    A．成绩在区间内的学生有46人 B．图中的值为 C．估计全校学生成绩的中位数约为 D．估计全校学生成绩的分位数为90 【答案】BC 【详解】对于A，成绩在区间内的学生有人，故A错误； 对于B，由图表可知，，所以，故B正确； 对于C，因为，， 所以设全校学生成绩的中位数， 所以，解得，故C正确； 对于D，设全校学生成绩的分位数为， 则，解得，故D错误. 故选：BC 21．（2022-23高一上·辽宁丹东·期末）设，是两个随机事件，则下列说法正确的是（    ） A．表示两个事件至少有一个发生 B．表示两个事件至少有一个发生 C．表示两个事件均不发生 D．表示两个事件均不发生 【答案】ACD 【详解】因为，是两个随机事件， 所以表示两个事件至少有一个发生，故A正确； 表示两个事件恰有一个发生，故B错误； 表示两个事件均不发生，故C正确； 表示两个事件均不发生，故D正确. 故选：ACD. 22．（2023-24高三上·浙江温州·期末）某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（   ） A．甲企业：均值为5，中位数为8 B．乙企业：众数为6，中位数为6 C．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D．丁企业：均值为5，方差为6 【答案】ABD 【详解】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确； 乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B正确； 丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8， 设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c,,与众数矛盾，，为使众数为5，成立，故丙企业达标，故C错误； 丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为，故D正确. 故选：ABD 23．（2023-24高二上·山西·期末）2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示： 则下列说法正确的是（    ） A．从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为 B．2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，比上月上升0.3个百分点 C．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第71百分位数为 D．从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数约为 【答案】BCD 【详解】由图知，制造业采购经理指数（PMI）的最大值为，最小值为， 所以极差为，故A错误； 由图可知，2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为，6月份为， 则7月比6月上升个百分点，故B正确； 从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）从小到大的顺序为 ， 因为， 所以第71百分位数为第5个数，即为，故C正确； 由图可知 从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为 ，故D正确. 故选：BCD. 24．（2023-24高二上·四川成都·期末）已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（    ） A．一定小于； B．可能等于； C．事件和事件不可能相互独立； D．事件和事件可以相互独立. 【答案】BC 【详解】且相互独立，则，,正确. ∵表示事件至少发生一个，表示事件同时发生， ∴， ∴不能等于，错误. 若，则，此时， ∵. ∴. ∴移项得. ∴事件与相互独立，同理可知事件与 ，与也都相互独立. ∴事件和可能相互独立，事件和可能相互独立，错误，正确. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件、，可推出事件与，与，与 ，与都相互独立. 25．（2023-24高一上·山东日照·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（    ） A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立 【答案】BCD 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，，，，，，，，， ，，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个， 事件发生包含的基本事件有：，，有3个， 所以，故A错误； 事件发生包含的基本事件：，，，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，故B正确； 事件发生包含的基本事件：，有2个，故事件与不互斥，故C正确； 事件发生包含的基本事件：有个，， 因为，所以与相互独立，故选项D正确； 故选：BCD. 26．（2023·全国·模拟预测）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．，，两两相互独立 【答案】BC 【详解】由题意， ，，， ∴，同理，， 由，则，故A错误； 由，则，故B正确； 由，则，而，故C正确； 因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故D错误. 故选：BC. 【点睛】易错点睛：对于两个事件，，可将对应的积事件看成一个事件，利用古典概型的概率公式计算，一般地，对于两个事件，，概率公式为， 使用概率的计算公式，必须注意前提条件： 对于两个事件，，有； 当，为互斥事件时，有. 若事件，，，有时，不一定有，，两两相互独立. 三、填空题 27．（2023高二·云南·学业考试）某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方法从各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取 人. 【答案】 【详解】由单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人， 按分层抽样的方法，抽取一个代表队，其中乙部门抽取7人， 设共抽取了人，则，解得， 所以该单位共抽取了人. 故答案为：. 28．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 【答案】 【详解】由直方图可知：组距为， 所以， 解得. 故答案为：. 29．（2023-24高二下·湖南长沙·期中）设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 【答案】 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故答案为：. 30．（2023-24高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281  9522  0018  7472  0129  3879  5869  2436  8460  3990 9533  7980  2692  8280  0753  8425  8935  3882  7890  5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 . 【答案】/0.45 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故答案为： 31．（2023-24高三上·云南·阶段练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 . 【答案】0.14/ 【详解】由题知： 故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为. 故答案为：0.14 32．（2022-23高二上·江西南昌·期末）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为 . 【答案】 【详解】电路接通的概率为：. 故答案为：. 33．（2022-23高二下·湖北孝感·期中）计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”.甲､乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互之间没有影响.则甲､乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为 . 【答案】 【详解】由题意得，甲合格而乙不合格的概率为； 乙合格而甲不合格的概率为， 所以恰好1人获得“合格证书”的概率为. 故答案为：. 34．（2023-24高二上·山东青岛·期中）一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若分位数是20，则 . 【答案】 【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即， ，故选取第7个数为分位数，故， 所以. 故答案为： 35．（2022-23高一下·江苏南京·期中）甲、乙两支田径队队员的体重（单位：kg）信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则关于甲、乙两队全部队员的体重的平均数和方差分别为 参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总样本的平均数，样本方差为， 【答案】66；287 【详解】根据题意，甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300， 甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为， 则甲、乙两队全部队员的体重的平均数， 方差. 故答案为：66，287. 36．（2023-24高二上·四川成都·阶段练习）已知这5个数的标准差为2，若在中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是 ． 【答案】/ 【详解】这5个数的平均数为， 因为这5个数的标准差为2， ， 解得， 则，即为， 按照从小到大的顺序为， 从随机取出3个不同的数， 有， 共种， 其中5为这3个数的中位数有共种， 所以5为这3个数的中位数的概率是. 故答案为：. 37．（2022-23高二下·上海浦东新·期中）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率．已知，则 ． 【答案】/0.875 【详解】要求，即抛掷次没有出现连续3次正面的概率， 分类进行讨论， 若第次反面向上，前次未出现连续3此正面即可； 若第次正面向上，则需要对第进行讨论，依次类推，得到下表： 第次 次 次 概率 反面 正面 反面 正面 正面 反面 所以， 所以． 故答案为：. 38．（2023-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 【答案】/ 【详解】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛. 则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为； ②再进行三场比赛甲队获胜的概率为； ③再进行四场比赛甲队获胜的概率为， 由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为． 故答案为. 39．（2022-23高二下·江西赣州·期中）课外活动期间，几名篮球爱好者在体育老师指导下进行定点投篮训练，约定每人最多投篮10次，若某同学第n次投篮进球为首次连续进球，则该同学得分且停止投篮.例如：某同学前两次均投篮进球，则得10分，且停止投篮.已知同学甲每次投篮进球的概率均为，则甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮的概率为 . 【答案】 【详解】甲在第2次投篮恰好进球，且得5分时停止投篮， 则第6次与第7次为首次连续进球，且第1次未进球，第3次未进球，第5次未进球，第4次可以进球也可以不进球， 所以所求概率为. 故答案为： 40．（2022-23高二下·山东临沂·期中）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以后再减去；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以后再加上；这样就可以得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】抛掷两枚硬币，出现两个正面朝上或两个反面朝上的概率为， 出现一个正面朝上，一个反面朝上的概率为， 由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况： ①操作两次都是两个正面朝上或两个反面朝上，则， 其出现的概率为； ②操作两次，第一次是两个正面朝上或两个反面朝上，第二次是一个正面朝上，一个反面朝上， 则，其出现的概率为； ③操作两次，第一次是一个正面朝上，一个反面朝上，第二次是两个正面朝上或两个反面朝上， 则，其出现的概率为； ④操作两次，两次都是一个正面朝上，一个反面朝上， 则，其出现的概率为， 因为乙获胜的概率为，即的概率为， 因为，， 则或，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 41．（2024高一下·全国·专题练习）某校从高一全体男生中用简单随机抽样的方法抽取了20人测量出体重（单位：kg），情况如下： 65　56　70　82　66　72　54　86　70　62 58　72　64　60　76　72　80　68　58　66 试估计该校高一全体男生的平均体重，以及体重在60～75 kg（包括60 kg）之间的人所占的比例． 【答案】平均体重约为67.85 kg，. 【详解】这20名男生的平均体重为 （kg）． 20名男生中体重在60～75 kg（包括60 kg）之间的人数为12， 故这20名男生体重在60～75 kg（包括60 kg）之间的人数所占比例为. 所以估计该校高一全体男生的平均体重约为67.85 kg，体重在60～75 kg（包括60 kg）之间的人所占比例约为. 42．（2023-24高一上·浙江绍兴·期末）《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示： (1)求该项指标的第30百分位数； (2)若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标小于的汽车认为符合节能要求，已知，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， 所以第30百分位数落在区间内，设其为， 则，解得. 即该项指标的第30百分位数为. （2）当时， 当时， 所以. 43．（2023-24高二上·浙江宁波·期末）用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计男生成绩样本数据的第80百分位数； (2)若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数； (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 【答案】(1)84 (2)96人； (3)平均数和方差分别为72.5和148． 【详解】（1）在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此第80百分位数一定位内． 因为，所以估计第80百分位数约是84． （2）成绩不低于80分的频率为， 所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：， 所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人； （3）设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148． 44．（2024·河南商丘·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： 利润率 月数公司 -5% A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变． (1)比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小； (2)用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率． 【答案】(1)A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率 (2) 【详解】（1）A公司过去6个月平均每日的利润率为， B公司过去6个月平均每月的利润率为， 因为， 所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率． （2）A公司过去6个月盈利的频率为， B公司过去6个月盈利的频率为， 用频率代替概率，可知两公司未来某个月盈利的概率分别为． 设两家旅游公司盈利分别为事件，由题知与相互独立， 所以所求概率为． 45．（2023-24高二下·四川绵阳·期中）某产品在进入市场前必须进行两轮某项指标的检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响. (1)求该产品能销售的概率； (2)已知一箱中有该产品3件，求3件产品中至少有1件能销售的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两轮检测相互独立， 所以产品能销售的概率为. （2）令事件A：“3件产品中至少有1件能销售”， 则P(A)=. 46．（2023-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 【答案】(1) (2)7种， 【详解】（1）A组在参加两场比赛后得分为3分的概率为 （2）四组总积分一样，可以每次都是平局， 也可以每组学生是一胜一负一平. 如: A胜B负，A负C胜，AD平 BC平，B胜D负，C负D胜 不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的， 所以只要去看可能出现的情况， A胜B负，A负C胜，AD平， A负B胜，A胜C负，AD平 A胜B负，A负D胜，AC平 ， A负B胜，A胜D负，AC平 A胜C负，A负D胜，  AB平 ， A负C胜，A胜D负，AB平 共6+1=7种 47．（2023-24高二上·四川德阳·期末）在一次抛掷硬币的试验中规定：若正面向上（用数字1表示），质点向东移动1个单位；若正面向下（用数字0表示），质点向北移动1个单位.甲同学将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了3次，则质点在水平面中从点经过3次移动后到达点，记事件“”. (1)写出甲同学进行该试验的样本空间，并求； (2)如果乙同学按照甲同学完全相同的方式独立的进行试验，记事件“”，求A与B至少有一个发生的概率. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意， 事件， 从而. （2）由（1）知，事件A与B至少有一个发生可以表示为“” 由独立事件同时发生的概率公式及概率的性质得 . 48．（2022-23高二下·四川绵阳·开学考试）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．    (1)求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的中位数； (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求． 【答案】(1)0.06，174.5 (2) 【详解】（1）解：第六组的频率为， 第七组的频率为． 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于， 设这所学校的800名男生的身高中位数为，则， 由得. （2）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名男生有，共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为共7种情况．所以． 49．（2023-24高二上·四川绵阳·期末）多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. (1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有11种： ，其中正确选项只有一个， 样本空间, 共11个基本事件， 所以他猜对本题得5分的概率为. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙比丙刚好多得5分的情况包含： 事件：乙得10分，丙得5分，则； 事件：乙得7分，丙得2分，则； 事件：乙得5分，丙得0分，则； 所以乙比丙总分刚好多得5分的概率. 50．（2023-24高二上·四川成都·期末）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的. (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联. 则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】(1) (2)方案三，理由见解析 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的. 则. （2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则. 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 . 所以； 同理得：； . 又因为， ， 所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$