等差与等比数列-2025年高考数学一轮复习

等差与等比数列 等差数列 等比数列 定义 为等差 为等比 通项公式 ， ， 求和公式 性 质 1 若，则 若，则 2 若成等差数列（其中）则也为等差数列 若成等差数列 （其中），则成等比数列 3 、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 、是公比分别为，的等比数列，则 也是等比数列 5 成等差数列 成等比数列 两者联系 是等比数列 是等差数列 类型一：通项公式和求和公式 ①等差数列 例1设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则 【答案】，，故 ，又和均为正整数，分析知：，，故 例2设正项数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则_______ 【答案】法一：，故，又是等差数列，所以 ，故，解得，，故 法二：，等差数列的通项公式为一次函数型，且一次项系数为公差； ，等差数列的求和公式为不含常数项的二次函数型，且二次项系数为公差的一半，因为是等差数列，故，解得， 【练习】已知数列的通项公式为，那么满足的正整数_______ ②等比数列 例1等差数列中，首项，，求使得不等式的最小正整数为________ 【答案】，则，，当时，，得，故 例2已知等比数列的公比为，前项和为，对任意的，恒成立，则公比的取值范围是________ 【答案】当时，，首项必为正数 （1）若时，； （2）若时， ①若，则，，成立； ②若，则，，成立； ③若，则，，成立； ④若，则，而当为偶数时，，不成立 综上所述：公比的取值范围是且 【练习】已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是 ( )． （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 类型二：等差数列和等比数列性质的应用 例1①各项均为正数的等差数列，若，，则 【答案】法一：公式法求出和 法二：利用,，成等差数列，即，，，成等差，解得， 法三：利用依然为等差数列，设，则，，故，所以 ②各项均为正数的等比数列，若，，则 【答案】法一：公式法，解得，，故 法二：利用,，成等比数列，即，，，成等比，解得， 例2各项都不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则__________ 【答案】 解得，又 例3已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则________,_________ 【答案】(1)设,，则 (2) 例4已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 【答案】因为是等差数列，所以为等比数列，，则 ，所以 【练习】1.在等差数列中，设，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必要条件． 2.已知等比数列的公比为，且，，能使不等式成立的最大正整数________ 类型三：和中的单调性和最值问题 等差数列 法一：函数性 等差数列是关于的二次函数，最靠近对称轴的正整数即为最值 法二：分析法 (1)当，时，若，则最大；若，则和最大 (2)当，时，若，则最小；若，则和最小 等比数列 函数性：，，指数型函数的单调性 例1首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列命题正确的是_____ ①若，则； ②若，则使的最大的为15； ③若，，则中最大； ④若，且，则的最大值为20 【答案】①对；②，则，故使的最大的为15；③此二次函数的对称轴，所以最大；④，则，，则，，则，故使得的最大值为20 例2已知等比数列中,，，它的前项和为，则下列命题正确的是( ) A.数列是递增数列 B.数列是递减数列 C.数列存在最小项 D.数列存在最大项 【答案】对，当公比为时，，，此时，，，此时既不是递增也不是递减数列；对，设等比数列公比为，当时，，易得随着的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；当时，，当为偶数时，随着的增大而增大，，无最大值，有最小值；当为奇数时，随着的增大而减小，，无最小值，有最大值；由于，所以当时，有最小值，有最大值，选 【练习】1.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 2.已知等比数列满足，且其前项和，则数列的通项公式可以是______(写出一个符合条件的即可) 类型四：无穷等比数列求和 以为首项，为公比的等比数列，当公比时，有 例1若无穷等比数列，首项，公比为，且，则________ 【答案】，解得或(舍) 例2无穷等比数列的前项和为，若，且，则______ 【答案】 或（舍），故 【练习】作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为_______ 【组】基础巩固 1.在等差数列中，，，依次取出项数被4除余2的项组成数列，则数列的通项公式为______ 2.设等差数列的前项和为，如果，则（ ） 且 且 且 且 3.已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是_________ 4.等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有______个 5.正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有_________个 6.若成等比数列，则下列三个数列：①，，；②，，；③，，，必成等比数列的个数为（ ） 0 1 2 3 7.若首项为正数的等比数列，，则公比的取值范围是________． 8.已知等比数列的前项和，则_______ 9.设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10.已知数列为等差数列, 公差, 的部分项组成下列数列, 其恰为等比数列, 其中, 求. . 【组】强化训练 1.记为数列的前项和，已知，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是________ 2.已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前66项的和 3.等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是_______ 4.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数 列为等差数列”的充要条件是（ ） A．是等差数列 B．或是等差数列 C．和都是等差数列 D．和都是等差数列，且公差相同 【组】思维点睛 1.数列，如果是一个等差数列，则_____ 2.记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和 3.设函数（且），若是等比数列的公比，且，则的值为_________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差与等比数列 等差数列 等比数列 定义 为等差 为等比 通项公式 ， ， 求和公式 性 质 1 若，则 若，则 2 若成等差数列（其中）则也为等差数列 若成等差数列 （其中），则成等比数列 3 、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 、是公比分别为，的等比数列，则 也是等比数列 5 成等差数列 成等比数列 两者联系 是等比数列 是等差数列 类型一：通项公式和求和公式 ①等差数列 例1设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则 【答案】，，故 ，又和均为正整数，分析知：，，故 例2设正项数列的前项和是，若和都是等差数列，且公差相等，则_______ 【答案】法一：，故，又是等差数列，所以 ，故，解得，，故 法二：，等差数列的通项公式为一次函数型，且一次项系数为公差； ，等差数列的求和公式为不含常数项的二次函数型，且二次项系数为公差的一半，因为是等差数列，故，解得， 【练习】已知数列的通项公式为，那么满足的正整数_______ 【答案】法一：经分析设0项左边有项，0项右边有项， ，解得或，所以或 法二：，所以 ，解得或 ②等比数列 例1等差数列中，首项，，求使得不等式的最小正整数为________ 【答案】，则，，当时，，得，故 例2已知等比数列的公比为，前项和为，对任意的，恒成立，则公比的取值范围是________ 【答案】当时，，首项必为正数 （1）若时，； （2）若时， ①若，则，，成立； ②若，则，，成立； ③若，则，，成立； ④若，则，而当为偶数时，，不成立 综上所述：公比的取值范围是且 【练习】已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是 ( )． （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 【答案】若，则，故，若，，故错；若，则，故，若，，故错；若，则， 若，则；若，则， ，所以对 类型二：等差数列和等比数列性质的应用 例1①各项均为正数的等差数列，若，，则 【答案】法一：公式法求出和 法二：利用,，成等差数列，即，，，成等差，解得， 法三：利用依然为等差数列，设，则，，故，所以 ②各项均为正数的等比数列，若，，则 【答案】法一：公式法，解得，，故 法二：利用,，成等比数列，即，，，成等比，解得， 例2各项都不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则__________ 【答案】 解得，又 例3已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则________,_________ 【答案】(1)设,，则 (2) 例4已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则 【答案】因为是等差数列，所以为等比数列，，则 ，所以 【练习】1.在等差数列中，设，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必要条件． 【答案】若数列为常数列，则前推不出后；若等差数列，则后推不出前，所以既非充分也非必要条件，选 2.已知等比数列的公比为，且，，能使不等式成立的最大正整数________ 【答案】由已知，得，结合，解得 由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列， ，把代入整理得：，故 类型三：和中的单调性和最值问题 等差数列 法一：函数性 等差数列是关于的二次函数，最靠近对称轴的正整数即为最值 法二：分析法 (1)当，时，若，则最大；若，则和最大 (2)当，时，若，则最小；若，则和最小 等比数列 函数性：，，指数型函数的单调性 例1首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列命题正确的是_____ ①若，则； ②若，则使的最大的为15； ③若，，则中最大； ④若，且，则的最大值为20 【答案】①对；②，则，故使的最大的为15；③此二次函数的对称轴，所以最大；④，则，，则，，则，故使得的最大值为20 例2已知等比数列中,，，它的前项和为，则下列命题正确的是( ) A.数列是递增数列 B.数列是递减数列 C.数列存在最小项 D.数列存在最大项 【答案】对，当公比为时，，，此时，，，此时既不是递增也不是递减数列；对，设等比数列公比为，当时，，易得随着的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；当时，，当为偶数时，随着的增大而增大，，无最大值，有最小值；当为奇数时，随着的增大而减小，，无最小值，有最大值；由于，所以当时，有最小值，有最大值，选 【练习】1.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 【答案】由知：和中只有一个为0，因为有最小值，故公差，所以，，，故最小值为 2.已知等比数列满足，且其前项和，则数列的通项公式可以是______(写出一个符合条件的即可) 【答案】由题意知：设等比数列的公比为，由，得，则 或，又，所以只能，取 类型四：无穷等比数列求和 以为首项，为公比的等比数列，当公比时，有 例1若无穷等比数列，首项，公比为，且，则________ 【答案】，解得或(舍) 例2无穷等比数列的前项和为，若，且，则______ 【答案】 或（舍），故 【练习】作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为_______ 【答案】，，则 【组】基础巩固 1.在等差数列中，，，依次取出项数被4除余2的项组成数列，则数列的通项公式为______ 【答案】， 2.设等差数列的前项和为，如果，则（ ） 且 且 且 且 【答案】， 3.已知等差数列的公差，表示的前项和，若数列是递增数列，则的取值范围是_________ 【答案】，对称轴，则 4.等差数列的公差，其前项和为，若，则中，不同的数值有______个 【答案】，故，四项重复，故不同的数值有个 5.正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中元素有_________个 【答案】用表示集合的元素的个数，， 和中相同元素有个，所以并集中元素有个 6.若成等比数列，则下列三个数列：①，，；②，，；③，，，必成等比数列的个数为（ ） 0 1 2 3 【答案】对于①，若公比为，则不成立，对于③，若公比为，也不成立，只有②成立 7.若首项为正数的等比数列，，则公比的取值范围是________． 【答案】，由得：，，故 8.已知等比数列的前项和，则_______ 【答案】 9.设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】，所以或， 所以为递增数列，选 10.已知数列为等差数列, 公差, 的部分项组成下列数列, 其恰为等比数列, 其中, 求. 【答案】由题意, , ,由, 可知, 设等比数列的公比为，则, 则等比数列的通项公式为, 由, , 由, 得, 因此. 【组】强化训练 1.记为数列的前项和，已知，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是________ 【答案】，为或时，取最大值，有且只有两个正整数满足故或，因，实数的取值范围是. 2.已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前66项的和 【答案】经分析知：66项里含有8项等比，58项等差，则 3.等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是_______ 【答案】，故数列为等差数列，当且仅当时，的前项和取得最大值，所以，，得 ， ，所以 4.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数 列为等差数列”的充要条件是（ ） A．是等差数列 B．或是等差数列 C．和都是等差数列 D．和都是等差数列，且公差相同 【答案】，则， 若数列为等差数列，则为常数，可得和都是等差数列，且公差相同，选 【组】思维点睛 1.数列，如果是一个等差数列，则_____ 【答案】因为恒大于零，所以公差，若，则必然存在某一项，此时，故，与假设矛盾，故只有，令解得 2.记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和 【答案】①当时，区间内不含项，故； ②当时，区间内含有一项，故，共6项； ③当，区间内含有，两项，故，共18项； ④当，区间内含有，，两项，故，共54项； ⑤当，区间内含有，，，两项，故，共20项； 故 3.设函数（且），若是等比数列的公比，且，则的值为_________. 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $$