26.2特殊二次函数的图象(一)　课件　2023—2024学年沪教版（上海）九年级第一学期

回顾与思考 一般地,解析式形如y=ax2+bx+c (其中a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的定义域为一切实数 一次函数图象的形状是什么？ 反比例函数图象的形状是什么？ 一条直线 双曲线 二次函数的图像是什么形状? 1 2 你还记得描点法的一般步骤? 列表时应注意 什么问题？ 描点法 列表 描点 连线 描点时应以哪些数值作为点的坐标？ 连线时应注意什么问题？ 26.2 (1)、特殊二次函数的图象 实践观察归纳 在直角坐标系中画二次函数y=x2的图像. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 解:(1) 列表 … 9 4 1 0 1 4 9 … (2) 描点 (3) 连线 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 y=x2 1 5 二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形， 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 抛物线 与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 的顶点 对称轴是y轴，即直线X=0 这条抛物线是轴对称 图形吗？如果是， 对称轴是什么？ 抛物线与对称轴 有交点吗？ 二次函数y=x2的图像是一条曲线,这类曲线称为抛物线. 抛物线y=x2的开口方向向上;它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0. 抛物线y=x2与y轴的交点是原点O，这个交点是抛物线的最低点. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点是原点O(0,0). 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 实践观察归纳 在坐标系中,画二次函数y=-x2的图像 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y 解: (1) 列表 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (2) 描点 (3) 连线 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y o -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=－x2 抛物线y=-x2的开口方向向下;它是轴对称图形,对称轴是y轴,即直线x=0. 抛物线y=-x2与y轴的交点是原点O,这个交点是抛物线的最高点. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=-x2的顶点是原点O(0,0). 实践观察归纳 不同点：①抛物线y=x2开口向上,并分别向左上方和右上方无限伸展，沿着x轴的正方向看，这条抛物线在y轴左侧部分是下降的，在y轴右侧部分是上升的。顶点是抛物线的最低点； ②抛物线y=-x2开口向下,并分别向左下方和右下方无限伸展，沿着x轴的正方向看，这条抛物线在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的顶点是抛物线的最高点； 实践观察归纳 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y o -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=－x2 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y= x2 在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图像 解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 共同点:开口向上对称轴是y轴， 顶点为原点 不同点:开口大小不同; 练习与归纳 函数y= x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点? 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,即直线x=0;顶点是原点.开口方向由a的符号决定。 当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点 在同一坐标系内,抛物线y=ax2与抛物线y=－ax2关于x轴对称 x y o a>0 x y o a<0 练习与归纳 1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 , 顶点坐标是 ; 2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 , 顶点坐标是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 3、二次函数y=3x2与函数y=-3x2图像的形状 ， 开口方向 .关于_____对称 相同 相反 练 习 x轴 1.已知二次函数y=(1+2k)x2,当k为何数时，图像的开口向上？当k为何数时，图像的开口向下？ 例题分析 例题 练习 练习 小 结 1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (2)当a>0时,抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点; （3）|a|越大,抛物线的开口越小; (1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴, 顶点是原点. x y o a>0 a<0 a<0 x y o 18 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 作 业 堂堂练26.2（1） 人生就像抛物线，当感觉到达顶点时必然会呈现下降趋势。同样，当认为跌到谷底也是否极泰来之时。一切意外与惊喜都是情理之中 19 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 26.2 (2)特殊二次函数的图象 实践与归纳 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2+1 y=x2-1 ... ... 10 5 2 1 5 10 2 ... ... 8 3 0 3 8 -1 0 y=x2-1 y=x2+1 画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象。 三条抛物线 有什么关系？ 形状相同，位 置不同。三个图 象之间通过沿y 轴平移可重合。 1 练习与归纳 画出下列函数的图象，说出它们的开口方向、对称轴 及顶点坐标 y=ax2+c (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值 向上 向下 (0 ,c) (0 ,c) y轴 y轴 x<0:y随x增大而减小 x>0:y随x增大而增大 x<0:y随x增大而增大 x>0:y随x增大而减小 x=0时,y最小=c x=0时,y最大=c 抛物线y=ax2+c (a≠0)的图象是由y=ax2的图象上下平移得到. 练 习 1、将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象；将y=x2-7的图象绕顶点旋转180度，得函数解析式： 。 下 4 上 7 y=-x2-7 2、抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时， 取得最 值，这个值等于 。 向上 y轴 (0,-3) 减小 增大 0 小 -3 1 练 习 3、二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1）， B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。 若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 点D的坐标为 . y=2x2-3 (-2,5) 或 4、同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ） B 练 习 5、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）、（0，-1）， 求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不 同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。 （3）对称轴是y轴，顶点纵坐标-3，且经过点（1，2） 的解析式， 练 习 小 结 y=ax2+c (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值 向上 向下 (0 ,c) (0 ,c) y轴 y轴 x<0:y随x增大而减小 x>0:y随x增大而增大 x<0:y随x增大而增大 x>0:y随x增大而减小 x=0时,y最小=c x=0时,y最大=c 抛物线y=ax2+c (a≠0)的图象是由y=ax2的图象上下平移得到. 27 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 作 业 练习册26.2（2） 28 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 26.2 (3)特殊二次函数的图象 实践与归纳 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=- (x+1)2 y=- (x-1)2 ... ... -2 -0.5 0 -0.5 -4.5 -8 -2 画出函数y=- (x+1)2与y=- (x-1)2的图象。 ... ... -2 -0.5 0 -0.5 -4.5 -8 -2 三条抛物 线有什么关 系？ 形状相同， 位置不同。三 个图象之间通 过沿x轴平移 可重合。 1 实践与归纳 抛物线y=a(x+m)2（a≠0）,可通过将二次函数y=ax2的图像向左（m>0）或向右（m<0）平移 个单位得到. 抛物线y=a(x+m)2（a≠0）的对称轴是过点（-m,0）且平行（ 或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是(-m,0). 当a>0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 注意：左增右减 操 作 画出下列函数的图象，说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标。 1 1．函数y=-2（x+3）2图像是 ，开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它的图像有最 点， 此函数的图像是由y=-2（x-1）2的图像向 平移 个单位得到的. 2．二次函数y=7（x+m）2的图像关于直线x=-5对称，那么图像的顶点坐标是 . 3. 抛物线y=x2绕顶点旋转180°后，再向右平移3个单位得到的抛物线 . 练 习 小 结 抛物线y=a(x+m)2（a≠0）,可通过将二次函数y=ax2的图像向左（m>0）或向右（m<0）平移 个单位得到. 抛物线y=a(x+m)2（a≠0）的对称轴是过点（-m,0）且平行（ 或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是(-m,0). 当a>0，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 注意：左增右减 34 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 作 业 练习册26.2（3） 35 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com $$