26. 3.2二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 讲义2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

26. 3.2二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 要点一 二次函数与一元二次方程之间的关系 1.当方程（a≠0）有两个不相等的实数根时，二次函数（a≠0）的图象与x轴有两个交点；当方程（a≠0）有两个相等的实数根时，二次函数（a≠0）的图象与x轴只有一个交点；当方程（a≠0）没有实数根时，二次函数（a≠0）的图象与x轴没有交点. 2.二次函数（a≠0）的图象与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程（a≠0）的根. 例1. 已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图26-3-2-1所示,求关于 x 的一元二次方程-x2+2x+m=0 的解. 解析: 结合图象特征可知抛物线与 x 轴相交于点(3,0),利用抛物线的对称性及抛物线与 x 轴交点坐标的关系,求出另一个交点的坐标,从而求出一元二次方程的解. 图26-3-2-1 解:不妨设抛物线与 x 轴两个交点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0). 由题图中的抛物线知,其对称轴为直线 x=1,而抛物线与 x 轴的一个交点坐标是(3,0),即设 x2=3. 此时抛物线的对 元二次方程-x2+2x+m=0 的根为 x1=-1,x2=3. 规律总结:二次函数的图象的对称性应用很广泛,要注意对称轴公式的应用. 要点二 二次函数与一元二次不等式之间的关系 对于二次函数（a≠0），当y＞0时，ax2+bx+c＞0，求解不等式，其解集即为自变量x的取值范围，此时图象为二次函数图象在x轴上方的部分；当y＜0时，ax2+bx+c＜0，求解不等式，其解集即为自变量x的取值范围，此时图象为二次函数图象在x轴下方的部分. 例2.（黄石最新中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图26-3-2-2，则函数值y＞0时，x的取值范围是 （　　） A.x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3 图26-3-2-2 解析：当 y>0 时, 二次函数图象在x轴上方的部分，所以x 的取值范围是-3<x<1. 答案：C 方法指导：当y＞0时，二次函数图象在x轴上方的部分；当y＜0时，图象为二次函数图象在x轴下方的部分. 知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系 1.（柳州最新中考）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图26-3-2-3，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 （　　） A． 无解 B．x=1 C．x=-4 D．x=-1或x=4 图26-3-2-3 2.（锦州最新中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图26-3-2-4，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（　　） A．m≥-2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4 图26-3-2-4 3.（南通最新中考）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线_______. 知识点2 二次函数与一元二次不等式之间的关系 4.（义乌最新中考）如图26-3-2-5是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤0成立的x的取值范围是 （　　） A． -1≤x≤3 B．x≤-1 C．x≥1 D．x≤-1或x≥3 图26-3-2-5 5.（南宁最新中考）如图26-3-2-6，已知二次函数y=-x2+2x，当-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ( ) A． a＞1 B．-1＜a≤1 C．a＞0 D．-1＜a＜2 图26-3-2-6 6.（南京最新中考）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： 则当y＜5时，x的取值范围是_______. 7.如图26-3-2-7，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是_______. 图26-3-2-7 知识点3 用图象法求一元二次方程的近似解 8.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是 （　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 9.对于二次函数y=x2+2x-5，当x=1.4时，y=-0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x2+2x-5=0的一个正根的近似值是_______．（精确到0.1） 10.（东营最新中考）若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（　　） A．0 B．0或2 C．2或-2 D．0，2或-2 11.直线y1=x+1与抛物线y2=-x2+3的图象如图26-3-2-8，当y1＞y2时，x的取值范围为 （　　） A． x＜-2 B．x＞1 C．-2＜x＜1 D．x＜-2或x＞1 图26-3-2-8 12.（济宁最新中考）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 （　　） A． m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 13.（济南最新中考）二次函数y=x2+bx的图象如图26-3-2-9，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 （　　） A.t≥-1 B．-1≤t＜3 C．-1＜t＜8 D．3＜t＜8 图26-3-2-9 14.方程x2+3x-1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程x3-x-1=0的实数根x0所在的范围是 （　　） A． -1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D.-1＜x0＜2 15.抛物线y=x2-（2m-1）x-2m与x轴的两交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），且=1，则m的值为_______. 16.二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），且x1+x2-x1x2=-10，则抛物线的顶点坐标是_______. 17.（佛山最新中考）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2-2x-1=0的近似根.（精确到0.1） 18.已知函数y=-x2-2x+5，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值和最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值： （1）x≤-2；（2）x≤2；（3）-2≤x≤1；（4）0≤x≤3． 19.如图26-3-2-10，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 图26-3-2-10 20.已知下表： （1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数； （2）请你根据上面的结果判断： ①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由． ②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c＞0． 21.阅读材料，解答问题． 利用图象法解一元二次不等式：x2-2x-3＞0． 解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上． 又∵当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3． ∴由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图26-3-2-11所示． 观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是_______ ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-1＞0．（大致图象画在答题卡上） 图26-3-2-11 26. 3.2二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 1.D点拨：∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（-1，0），（4，0），∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4． 2.A点拨：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，可见，m≥-2． 3.x=-1点拨：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x==-1，即x=-1． 4.D 5.B点拨：二次函数y=-x2+2x的对称轴为直线x=1，∵-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，∴a≤1，∴-1＜a≤1． 6.0＜x＜4点拨：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4． 7.-1＜x＜3 点拨：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴-1＜x＜3. 8.C点拨：∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=-0.01；当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17-6.18之间，另一个根在6.18-6.19之间. 9.1.4 点拨：∵二次函数y=x2+2x-5中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上， 10.D点拨：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（m+2）2-4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点. 11.D 12.A点拨：依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图D26-3-2-1所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1-（x-a）（x-b）=0转化为（x-a）（x-b）=1，方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n． 图D26-3-2-1 13.C点拨：对称轴为直线x=-=1，解得b=-2，所以，二次函数解析式为y=x2-2x=（x-1）2-1，x=-1时，y=1+2=3，x=4时，y=16-2×4=8，∵x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，∴当-1＜t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解． 14.C点拨：如图D26-3-2-2，方程x3-x-1=0， 图D26-3-2-2 15.点拨：由题知A（x1，0），B（x2，0）关于y轴对称， 16.点拨：∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），∴x1+x2=-a，x1x2=a，∴由x1+x2-x1x2=-10，得-a-a=-10，解得 a=5， 17.解：方程x2-2x-1=0根是函数y=x2-2x-1与x轴交点的横坐标． 作出二次函数y=x2-2x-1的图象，如图D26-3-2-3所示，由图象可知方程有两个根，一个在-1和0之间，另一个在2和3之间． 先求-1和0之间的根，当x=-0.4时，y=-0.04；当x=-0.5时，y=0.25；因此，x=-0.4（或x=-0.5）是方程的一个近似根，同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根. 图D26-3-2-3 18. 解：（1）如图D26-3-2-4， ∵y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6，∴当x=-1时函数y最大等于6， ∵x＜-1时，y随x的增大而增大，∴x≤-2时，x=-2时最大值y=-（-2）2-2×（-2）+5=5； （2）当x≤2时，则x=-1时有最大值y=6； （3）当-2≤x≤1时，则x=-1时有最大值y=6；x=1时有最小值y=2； （4）当0≤x≤3，则x=0时有最大值y=5；x=3时有最小值y=-10． 图D26-3-2-4 19.解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得： ∴m=-1，b=-3，c=2， 所以y=x-1，y=x2-3x+2； （2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3． 20.解：（1）由表知，当x=0时，ax2+bx+c=3；当x=1时，ax2=1；当x=2时，ax2+bx+c=3． ∴a=1，b=-2，c=3， ∴函数解析式为：y=x2-2x+3， ∴表格中的空格填0，4，2； 图D26-3-2-5 （2）①在x2-2x+3=0中， ∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0， ∴不存在实数x能使ax2+bx+c=0， ②函数y=x2-2x+3的图象示意图如图D26-3-2-5所示， 观察图象得出，无论x取什么实数总有ax2+bx+c＞0． 21.解：（1）-1＜x＜3； （2）设y=x2-1，则y是x的二次函数， ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上． 又∵当y=0时，x2-1=0， 解得x1=-1，x2=1． ∴由此得抛物线y=x2-1的大致图象如图D27-3-2-6所示． 观察函数图象可知：当x＜-1或x＞1时，y＞0． ∴x2-1＞0的解集是：x＜-1或x＞1． 图D26-3-2-6 学科网（北京）股份有限公司 $$