作业02 三角恒等变换（3大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（苏教版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业02 三角恒等变换（3大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、三角函数式求值 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、和差化积与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用． 2.三角函数式求值主要有三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 二、三角函数式的化简与证明 1．掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用． 2.三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 (1)观察三角函数式的特点，已知和所求中包含什么三角函数式，它们可以怎样联系． (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来． (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达到统一． 三、三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 1．三角函数与三角恒等变换的综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式、辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，再研究三角函数的性质．当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解． 2.解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． 四、三角恒等变换的实际应用 1．建立关于三角函数的数学模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解． 2.建立关于三角函数的解析式，通过降幂公式、辅助角公式转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，利用三角函数的性质求值． 一．两角和与差的三角函数（共9小题） 1．（2024春•兴化市期中）已知，且，满足，则，可能是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2024春•广陵区校级期中）已知，则　　 A． B． C． D． 3．（2024春•海安市校级期中）已知，且．则的值为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•海陵区校级期中）辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中，，．若，，则下列结论正确的是　　 A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．过点的直线与的图象一定有公共点 5．（2024春•泗阳县校级月考）下列说法中正确的是　　 A．向是能作为平面内所有向量的一组基底 B． C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若，且与的夹角为锐角，则 6．（2024春•广陵区校级期中）已知，，则　　． 7．（2024春•海门区校级期中）已知，，则　　． 8．（2024春•连云港期中）已知为锐角，且，则　　． 9．（2024春•扬州月考）已知函数，且． （1）求的最大值； （2）写出与的大小关系，并给出证明； （3）试问，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 二．二倍角的三角函数（共5小题） 10．（2022春•鼓楼区校级期中）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，，若，则　　． 11．（2022春•昆山市校级月考）已知，则　　． 12．（2023春•沛县校级期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 13．（2021春•邗江区校级期中）已知向量，，设函数． （1）若，求函数的最大值和最小值； （2）若，且，求的值． 14．（2022春•清江浦区校级月考）函数． （1）若，，求函数的值域； （2）当，，且有意义时，若，求正数的取值范围；当时，求的最小值． 三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题） 15．（2024春•赣榆区期中）已知为锐角，则下列式子中与相等的是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•广陵区校级月考）下列式子化简正确的是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•钟楼区校级月考）已知，且，则等于　　 A． B． C． D． 18．（2024春•泗阳县期中）化简与求值： （1）； （2）． 19．（2024春•海陵区校级期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 一．多选题（共2小题） 1．（2023春•清江浦区期中）已知，且，，是在内的三个不同零点，则　　 A． B． C． D． 2．已知对任意角，均有公式．设的内角，，满足，面积满足．记，，分别为，，所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 3．（2023春•兴化市期中）在中，已知，．锐角，满足． ①当，　　； ②当取最小值时，　　． 三．解答题（共5小题） 4．（2024春•盱眙县校级月考）已知向量，，其中，且． （1）求和的值； （2）若，且，求角． 5．（2023•崇川区校级开学）已知角的终边经过点，． （1）求的值； （2）求的值． 6．（2022春•阜宁县校级月考）已知，，且， （1）求的值； （2）求． 7．（2022春•秦淮区校级期末）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见可以表示为的三次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）请求出，即用一个的四次多项式来表示； （Ⅲ）利用结论，求出的值． 8．（2022春•江宁区校级期中）已知函数． （1）若，为锐角，，，求及的值； （2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值； （3）已知，，，求及的值． 一．选择题（共2小题） 1．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则　　 A． B． C． D． 2．（2022•新高考Ⅱ）若，则　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 3．（2022•上海）若，则　　． 4．（2022•全国）若，则　　． 5．（2023•上海）已知，则　　． 6．（2022•北京）若函数的一个零点为，则　　；　　． 7．（2022•浙江）若，，则　　，　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业02 三角恒等变换（3大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练） 一、三角函数式求值 1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、和差化积与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用． 2.三角函数式求值主要有三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 二、三角函数式的化简与证明 1．掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用． 2.三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路 (1)观察三角函数式的特点，已知和所求中包含什么三角函数式，它们可以怎样联系． (2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来． (3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达到统一． 三、三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 1．三角函数与三角恒等变换的综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式、辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，再研究三角函数的性质．当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解． 2.解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． 四、三角恒等变换的实际应用 1．建立关于三角函数的数学模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解． 2.建立关于三角函数的解析式，通过降幂公式、辅助角公式转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，利用三角函数的性质求值． 一．两角和与差的三角函数（共9小题） 1．（2024春•兴化市期中）已知，且，满足，则，可能是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由已知得，展开整理后得，即，可知，，据此判断． 【解答】解：由题意知：， 即， 当时，可得，显然不成立； 所以，可得， 所以，，只有选项满足． 故选：． 【点评】本题考查两角和与差的正切公式及应用，属于中档题． 2．（2024春•广陵区校级期中）已知，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合和差角公式进行化简可表示，然后结合和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 则， 则 ． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题． 3．（2024春•海安市校级期中）已知，且．则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合和差角公式及二倍角公式对已知等式进行化简可求，结合角的范围即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 即， 所以， 由，可得， 所以， 因为， 所以， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题． 4．（2024春•海陵区校级期中）辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为．已知函数（其中，，．若，，则下列结论正确的是　　 A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．过点的直线与的图象一定有公共点 【分析】由可得，，计算出、可判断；由三角函数对称性质可判断；整体代换法和值可判断；由可判断． 【解答】解：因为（其中，， 因为，，所以， 解得， 不妨取，所以， 即， 解得， 所以， 则， ， 所以，故错误； 因为，所以关于点对称，故错误； 当时，，因为在上单调递减， 所以在上单调递减，故错误； 因为是，且的周期函数， 又， 故过点即过点的直线与的图象一定有公共点，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的性质，也考查了学生的推理和计算能力，属于中档题． 5．（2024春•泗阳县校级月考）下列说法中正确的是　　 A．向是能作为平面内所有向量的一组基底 B． C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若，且与的夹角为锐角，则 【分析】直接利用向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式，向量的夹角公式，判断、、、的结论． 【解答】解：对于：因为， 所以， 可得不能作为平面内的一组基底，故错误； 对于：由题意可得，故正确； 对于，因为， 可得， 可得， 可得，可得， 所以，共线且反向，即正确； 对于：已知，， 可得， 又与的夹角为锐角， 可得，且和不共线， 可得，且， 解得且，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式以及向量的夹角公式的应用，属于中档题． 6．（2024春•广陵区校级期中）已知，，则　　． 【分析】由已知结合同角基本关系及二倍角公式可先求出，，然后结合两角和的正弦公式即可求解． 【解答】解：， ，又， ，， ，解得， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题． 7．（2024春•海门区校级期中）已知，，则　　． 【分析】利用两角差的正弦，将已知转化为，展开结合已知求值解得． 【解答】解：因为， 所以， 化简得， 所以，又， 所以， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数及同角基本关系的应用，属于中档题． 8．（2024春•连云港期中）已知为锐角，且，则　1　． 【分析】将原式中的化为，然后代入原式，利用诱导公式与倍角公式求解． 【解答】解：由已知得 ， 解得或1，又为锐角，所以， 故． 故答案为：1． 【点评】本题考查诱导公式与倍角公式，属于中档题． 9．（2024春•扬州月考）已知函数，且． （1）求的最大值； （2）写出与的大小关系，并给出证明； （3）试问，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 【分析】（1）由已知函数解析代入可求，然后结合诱导公式及辅助角公式进行化简，结合正弦函数的性质即可求解； （2）利用比较法，结合三角函数的性质即可比较大小； （3）结合（2）的结论及三角形的三边关系即可判断，然后结合余弦定理及正弦定理即可求解． 【解答】解：（1），且． ， 因为， 所以， 故当时，取得最大值； （2），证明如下： 由题意可知，，， 因为， 所以， 则 ， 所以； （3），，能作为三边长，证明如下： 由（2）知，， 同理， 又， 即任意两边之和大于第三边，，，能作为三边长； 设当作边时所对对的的角为， 则 ， 则， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为，即，为定值． 【点评】本题主要考查了和差角公式，同角平方关系，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 二．二倍角的三角函数（共5小题） 10．（2022春•鼓楼区校级期中）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，，若，则　　． 【分析】利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可． 【解答】解：因为， 则有或，，， 解得或，，， 又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，， 所以，，， 故，， 所以，即， 则，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的求值问题，涉及了三角方程的应用，两角和差公式以及二倍角公式，解题的关键是利用“1”的代换和“弦化切”进行变形，考查了转化化归与计算能力，属于中档题． 11．（2022春•昆山市校级月考）已知，则　　． 【分析】因为，利用二倍角公式求得的值． 【解答】解：因为， ， 故答案为． 【点评】该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到 与 中的角之间的余角关系，属于中档题． 12．（2023春•沛县校级期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出三角函数的值； （2）利用差角的正切的关系式的变换求出三角函数的值． 【解答】解：（1）已知，， 利用三角函数关系式的变换，解得， 所以， 故； （2）由（1）得：． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 13．（2021春•邗江区校级期中）已知向量，，设函数． （1）若，求函数的最大值和最小值； （2）若，且，求的值． 【分析】（1）利用斜率的数量积，结合两角和与差的三角函数，化简函数的解析式，利用三角函数的有界性求解函数的最值． （2）由，得，求出角的范围，利用两角和与差的三角函数化简求解求解即可． 【解答】解：（1）因为向量， 则函数 ，（3分） 若，则， 所以当，即时，； 当，即时，．（6分） （2）由，得， 因为，则，又， 所以，（8分） 则，（9分） 所以．（12分） 【点评】本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 14．（2022春•清江浦区校级月考）函数． （1）若，，求函数的值域； （2）当，，且有意义时，若，求正数的取值范围；当时，求的最小值． 【分析】（1）当时，求出，令，，令，，，利用双勾函数的单调性可得出函数在，上的值域，即可求出函数的值域； （2）分析可得，可得出，分、两种情况讨论，化简函数的函数解析式或求出函数的最小值，综合可得出正实数的取值范围；令，，则，可得出，分析得出，利用双勾函数的基本性质结合比较法可求出的最小值． 【解答】解：（1）当时，， ，，则，令， 则，可得， 设，其中， 令，则， 令，其中， 下面证明在，上单调递增，在，是单调递减， 任取，，，且， 则 ， 当时，，此时， 当时，，此时， 函数在，上单调递增，在，上单调递减， 则， 函数在，上的值域为，． （2），，则，令，， 设， 若，必有，，， 当时，即当时，则， 可得，符合题意； 当时，即当且时，则，符合题意， 综上，正数的取值范围是，； 令，，则， 则， 令， 下面证明函数在上单调递减，在，上为增函数， 任取，，且，，则，， ， ，函数在单调递减， 同理可证函数在，上为增函数，在上为增函数，在，为减函数， ，则， ，， ，， ，， ， 由双勾函数的单调性可知，函数在，上是增函数， 在，上是减函数，在，上是减函数， 当，时，， ， ， 由双勾函数性质得： ． 【点评】本题考查函数的取值范围、正数的取值范围、函数的绝对值的最小值的求法，考查三角函数的性质、换元法、双勾函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题） 15．（2024春•赣榆区期中）已知为锐角，则下列式子中与相等的是　　 A． B． C． D． 【分析】化简得，再根据二倍角公式化简各选项即可得答案． 【解答】解：因为为锐角，； 对于，，不符题意； 对于，由题意可知，满足题意； 对于，，满足题意； 对于，，满足题意． 故选：． 【点评】本题考查了利用二倍角公式化简，同角的三角函数关系，属于基础题． 16．（2024春•广陵区校级月考）下列式子化简正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】运用诱导公式，逆用和角余弦公式求值； 逆用差角正弦公式求值； 逆用差角正切公式化简求值； 运用诱导公式、二倍角正弦公式化简求值． 【解答】解：选项，故错误； 选项，故正确； 选项，故错误； 选项，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题． 17．（2024春•钟楼区校级月考）已知，且，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】法1：由已知的等式记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据为锐角，联立①②求出和的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值． 法2：利用两角和与差的三角函数化简已知条件以及所求表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可． 【解答】解：法1：由，①， 又②，且，联立①②解得：，， ． 故选：． 法，且，可得，即：， ， 则． 故选：． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 18．（2024春•泗阳县期中）化简与求值： （1）； （2）． 【分析】（1）由同角三角函数关系及两个差的正切公式求解即可； （2）由余弦的二倍角公式及两角和差的余弦公式求解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）由倍角公式，得， 所以 ． 【点评】本题考查了两角和差的正切、余弦公式及二倍角公式的应用，属于中档题． 19．（2024春•海陵区校级期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 【分析】（1）由题中条件结合二倍角公式计算即可； （2）由和差角公式结合即可化简，再由诱导公式和和差角公式结合即可求的值； （3）令，结合求得的值，即可得到，，的值，再由得，代入，，的值，再由和差角公式计算即可证明． 【解答】解：（1）因为，所以， 所以， 因为，，即，即， 因为，解得； （2） ， ； （3）证明：因为，所以可令， 由，可得， 由题可得：，因为，所以，所以或或， 即方程的三个根分别为， 又因为，所以， 所以 ． 【点评】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题． 一．多选题（共2小题） 1．（2023春•清江浦区期中）已知，且，，是在内的三个不同零点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意结合正弦函数的图像性质，解出，，，即可判断选项、，将根据诱导公式化为，分子分母同乘，结合倍角公式即可判断，将分子分母同乘，结合积化和差公式进行化简即可判断． 【解答】解：由题知，，是的三个根， 可化为，即， 所以可得或，， 解得或，， 因为，所以或或， 故可取，，， 所以错误； 因为，所以正确； ， 故正确； 而 ， 根据积化和差公式：， 所以原式可化为： ，故正确． 故选：． 【点评】本题考查三角函数的化简问题，属于难题． 2．已知对任意角，均有公式．设的内角，，满足，面积满足．记，，分别为，，所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角函数诱导公式、和差化积公式、两角和与差的余弦公式、正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明逐一即可得到结论． 【解答】解：因为的内角，，满足， 所以， 所以， 所以， 所以， 从而得：， 所以有，故正确； 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，，故正确； ，故错误； ，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 二．填空题（共1小题） 3．（2023春•兴化市期中）在中，已知，．锐角，满足． ①当，　　； ②当取最小值时，　　． 【分析】由条件可知，，展开后利用三角恒等变形转化为的二次函数，即可求解；第二问可知，，展开后利用三角恒等变形，得到，代入后，利用基本不等式求最值，即可求解． 【解答】解：①由题意可知，，则，， ，，，， 则，， 当时，， 则， ， 两边同时除以，并且， 得， 化简为，得或（舍， 所以； ② ， 两边同时除以，得， ，，，， 化简为，则， ， 设，则，则， 当时，即时等号成立， 此时，，所以． 故答案为：①；②． 【点评】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属难题． 三．解答题（共5小题） 4．（2024春•盱眙县校级月考）已知向量，，其中，且． （1）求和的值； （2）若，且，求角． 【分析】（1）由已知结合可得，与联立即可求得，的值，再由二倍角的公式求得和的值； （2）由已知可得的范围，并求得，再由，展开两角差的正弦得答案． 【解答】解：（1），，且， ，即． 代入，得， ， ，则． 则， ； （2），，． 又，． ． ，． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数中的恒等变换应用，是中档题． 5．（2023•崇川区校级开学）已知角的终边经过点，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）由两点间的距离公式求得点到原点的距离，然后由余弦函数的定义进行解答； （2）由诱导公式和同角三角函数关系进行化简求值． 【解答】解：（1）点到原点的距离 由三角函数定义有（6分） （2） 【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 6．（2022春•阜宁县校级月考）已知，，且， （1）求的值； （2）求． 【分析】（1）由已知求得，进一步得到，再由二倍角的正切求解； （2）由已知求得，利用，展开两角差的余弦得答案． 【解答】解：（1）由，，可得， ，则； （2）由，，且， 得， 可得， ． 【点评】本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题． 7．（2022春•秦淮区校级期末）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见可以表示为的三次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）请求出，即用一个的四次多项式来表示； （Ⅲ）利用结论，求出的值． 【分析】利用诱导公式可得，把已知的条件代入可证得结论成立． 两次使用二倍角公式，即可求得结果． 利用，可得，解方程求出的值． 【解答】解：证明： ，故等式成立． ． ，， ，． 【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键． 8．（2022春•江宁区校级期中）已知函数． （1）若，为锐角，，，求及的值； （2）函数，若对任意都有恒成立，求实数的最大值； （3）已知，，，求及的值． 【分析】（1）结合余弦的二倍角公式和弦化切的思想，可得，代入已知数据计算即可； 由于，为锐角，所以，，再结合同角三角函数的平方关系和商数关系，可依次求得，，然后利用拼凑角的思想和正切的两角差公式可知，代入已得数据进行计算即可； （2），原问题可转化为恒成立，设，则，，所以，则．令，结合对勾函数的性质即可得函数的最小值，从而得解； （3）根据同角三角函数的平方关系，结合配方法对等式进行变形，可推出且，再分和两种情况，分类讨论即可． 【解答】解：（1）， ， ，为锐角，即，，． ，， ，， ，， ． 综上，，． （2）， 对任意都有恒成立， 恒成立，即恒成立， 设，则，，，则． 设，由对勾函数的性质可知，函数在区间，上为增函数， ，， 故的最大值为． （3）， ， ， 即， 且， 当时，，，，； 当时，与相矛盾，不符合题意． 综上所述，． 【点评】本题主要考查三角恒等变换的混合运算，还涉及函数的恒成立问题，用到了拼凑角和弦化切的思想、参变分离法、对勾函数的性质等，覆盖的知识面非常广，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 一．选择题（共2小题） 1．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合和差角公式先求出，再求出，然后结合二倍角公式可求． 【解答】解：因为，， 所以， 所以， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题． 2．（2022•新高考Ⅱ）若，则　　 A． B． C． D． 【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而可求． 解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解． 【解答】解：解法一：因为， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以． 解法二：由题意可得，， 即， 所以， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题． 二．填空题（共5小题） 3．（2022•上海）若，则　　． 【分析】由两角和的正切公式直接求解即可． 【解答】解：若， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题． 4．（2022•全国）若，则　　． 【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解． 【解答】解：由，得． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题． 5．（2023•上海）已知，则　　． 【分析】直接利用正切函数的二倍角公式求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题． 6．（2022•北京）若函数的一个零点为，则　1　；　　． 【分析】由题意，利用函数的零点，求得的值，再利用两角差的正弦公式化简，可得的值． 【解答】解：函数的一个零点为，， ，函数， ， 故答案为：1；． 【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题． 7．（2022•浙江）若，，则　　，　　． 【分析】由诱导公式求出，再由同角三角函数关系式推导出，由此能求出的值． 【解答】解：，， ， ， ， ， 解得，， ． 故答案为：；． 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$