暑假作业13 几何法求空间中的距离及空间角（线线角、线面角、二面角）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业13几何法求空间中的距离及空间角 （线线角、线面角、二面角） 1、 异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 2. 直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 三.二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： 作出（或找出）二面角的平面角，再求解。在作二面角的平面角时，一般有二面角的平面角定义法，三垂线法，垂面法等 一、单选题 1．在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 5．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 二、多选题 6．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ） A．正方体的内切球的半径为 B．两条异面直线和所成的角为 C．直线BC与平面所成的角等于 D．点D到面的距离为 7．在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．异面直线 8．如图所示，等边的边长为1，边上的高为，沿把折起来，则（    ） A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 三、填空题 9．在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角的正切值为． 10．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为. 四、解答题 11．如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形，． (1)证明：； (2)已知平面满足，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 12．如图，在正方体中，，点E在棱上，且. (1)求三棱锥的体积； (2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (3)求二面角的余弦值. 1．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为m，m.又测得AB的长为5m，CD的长为m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为. 2．（多选）在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 3．如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，． (1)求BC到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角．(提示：射影面积公式） 4．如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且． (1)证明：平面； (2)若圆台的高为2，求直线PB与平面所成角的正弦值． 5．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离. 1．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 2．已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 1．（2022·全国·高考真题）（多选）已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 2．（2023·全国·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业13几何法求空间中的距离及空间角 （线线角、线面角、二面角） 1、 异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 2. 直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 三.二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： 作出（或找出）二面角的平面角，再求解。在作二面角的平面角时，一般有二面角 的平面角定义法，三垂线法，垂面法等： 一、单选题 1．在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成角，再利用直角三角形边角关系求解即可. 【详解】在正方体中，连接，连接，    由平面，平面，得，又， 平面，则平面， 于是是直线与平面所成的角， 在中，，，因此， 所以直线与平面所成角为. 故选：D 2．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件连接，取的中点，连接,，作出异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 3．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取是中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案. 【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，    ，则；，则， 平面，平面， 故是二面角的平面角，故. 故选：C 4．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A 5．在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【详解】在平面中过作，垂足为，    因为平面， 所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，又，所以， 所以，， 因为，则， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 二、多选题 6．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ） A．正方体的内切球的半径为 B．两条异面直线和所成的角为 C．直线BC与平面所成的角等于 D．点D到面的距离为 【答案】BC 【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接，把异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角，为正三角形，可判定B正确；证得平面，进而求得直线与平面所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到，进而可判定D错误. 【详解】对于A中，正方体的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，所以内切球的半径，所以A错误. 对于B中，如图所示，连接， 因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角的大小， 又因为，则为正三角形，即，所以B正确； 对于C中，如图所示，连接，在正方形中，. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为， 所以C正确； 对于D中，如图所示，设点D到面的距离为，因为为正三角形， 所以, 又因为，根据等体积转换可知：， 即，即，解得，所以D错误. 故选：BC. 7．在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．异面直线 【答案】AC 【分析】根据线面角的定义判断A，取取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，从而判断B，利用等体积法判断C，利用线面垂直的性质推出矛盾，即可判断D. 【详解】因为面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角是，故A正确； 取中点为，连接， 因为面， 面，所以、、，， 所以，，， 故为二面角的平面角， 则，故二面角的正切值为，故B错误； 因为，所以，设到面的距离为， 则，解得，故C正确； 若，又面，面，所以， 又，面，所以面，面， 所以，与矛盾，故D错误； 故选：AC. 8．如图所示，等边的边长为1，边上的高为，沿把折起来，则（    ） A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理，可判定A正确；由时，的面积最大，此时三棱锥的体积也最大，结合锥体的体积公式，可判定B错误；设的中点为，得到为点到的距离，可判定C正确；证得平面，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A中，由为等边三角形，且边上的高为， 可得，且，平面，所以A正确； 对于B中，当时，的面积最大，此时三棱锥的体积也最大，最大值为，所以B错误； 对于C中，如图所示，当时，是等边三角形， 设的中点为，连接，则，即为点到的距离， 则，所以C正确； 对于D中，当时，由，， 且平面，所以平面，且，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．在直三棱柱中，所有棱长均相等，则二面角的正切值为． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】不妨设直三棱柱的所有棱长均为2，取中点，连结， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以 则为二面角的平面角，， 即二面角的正切值为． 故答案为： 10．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为. 【答案】 【分析】 找到在平面内的射影，由线面角的定义求解. 【详解】为中点，连接，如图所示，    在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， 为正三角形，为中点，则， 平面，，平面， 在平面内的射影为，则与平面所成角为， ，则，，， 中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形，． (1)证明：； (2)已知平面满足，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由和均是边长为4的等边三角形，所以取的中点为，可得，所以得到平面，从而. （2）由面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质定理可以得到， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成的角，作，证得平面，所以是直线与平面所成的角，在中求得正弦值即可. 【详解】（1）如图，设的中点为，连结， 因为和均为等边三角形，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以． （2）因为，且平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成的角． 在平面内作于点，则由（1）知，平面， 又平面所以． 又因为平面平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角． 因为和均是边长为4的等边三角形，所以， 又因为，在等腰中，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为. 12．如图，在正方体中，，点E在棱上，且. (1)求三棱锥的体积； (2)在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积； （2）假设在线段上存在点F，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置； （3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】（1）过作，垂足为， 因为，所以面即面 明显面， 所以面， 又，， 所以 （2）假设在线段上存在点F，使得平面， 取的三等分点，使，则四边形是平行四边形， 所以，又面，面， 所以面，又面，， 所以面面，又面， 所以面， 取的三等分点（靠近），则， 所以面面，又面，面， 所以，又为的中点， 所以； （3）延长交于点，作，垂足为，连接，则面， 从而， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以. 1．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为m，m.又测得AB的长为5m，CD的长为m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为. 【答案】/ 【分析】作且，连接，可得是所求二面角的平面角，进而求得，再利用余弦定理可求得，可求得. 【详解】如图，作且，连接.又，则四边形是矩形， .又，所以是所求二面角的平面角. 因为，，则. 又，，平面， 所以平面，而平面，所以，， 所以，， 由题可知， 则. 又是三角形的内角，所以. 故答案为：. 2．（多选）在正方体中，点在线段上运动，则（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】BD 【分析】利用正方体特征可判定A，利用线面平行及锥体体积公式可判定B，利用异面直线夹角的求法解三角形计算可判定C，利用线面夹角的定义及等体积法计算点面距离解三角形即可判定D. 【详解】 如图所示，若直线平面，而平面，则， 又，则有，显然在正方体中不成立，故A错误； 在正方体中，易知平面，平面， 故平面，所以上的点到平面的距离为定值， 而的面积固定，则为定值，故B正确； 由上可知异面直线与所成角即与所成角， 而为正三角形，故与所成角范围为，故C错误； 设在底面的投影为N，正方体棱长为1， 由上可知， 而，所以， 在等腰直角三角形中，易知， 根据线面夹角的定义知直线与平面所成角为， 显然，故D正确. 故选：BD 3．如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，． (1)求BC到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角．(提示：射影面积公式） 【答案】(1) (2). 【分析】（1）过作平面的垂线，利用直角三角形边角关系及勾股定理建立方程求解. （2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面积公式求解即得. 【详解】（1）过作，垂足为，过作，垂足为，连、、， 则，， 设BC到平面的距离为，由平面，得， 在中，，则，在中，， 在中，，则，所以. （2）由（1）知，四边形BCFE是矩形，过点A作直线l//EF，显然l//BC， 在平面α内过点A作于O，则，过O作交BC于G，连接AG， 则，有OG⊥l，而平面AOG， 于是l⊥平面AOG，又AG⊂平面AOG，则l⊥AG，即∠GAO为平面ABC与平面α的夹角， 由（1）知，，则, 在中，，则 于是, 因此，又，则 所以平面ABC与平面α的夹角为. 4．如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且． (1)证明：平面； (2)若圆台的高为2，求直线PB与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理即得. （2）由（1）结合圆台的性质可得平面，进而证得平面，再求出线面角的正弦. 【详解】（1）在圆台中，取中点，连接， 由为圆直径，点在圆上且，得，， 则，且，而，， 于是，即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，，而平面，则平面， 而面，则，又，平面， 因此平面，又平面，则是直线PB与平面所成的角， 显然面，，，则，， 在中，， 所以直线PB与平面所成角的正弦值是. 5．正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，即可证明，从而得证； （2）根据，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，设，连接 因为是正三棱柱的侧面，所以为矩形， 所以是的中点，所以是的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为，为的中点，， 所以，， 故， 又平面，， 所以 又， 由正三棱柱的性质可知，平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 设点到平面的距离为， 则，即，解得， 所以点到平面的距离为. 1．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 2．已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得． 【详解】 作平面，垂足为，则， 因为平面， 所以， 作，，，垂足分别为， 连接，由于，平面，平面， 所以平面， 又平面，从而， 所以，同理，， 所以，，， 因为点是正方形对角线的交点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 就是在平面上的射影，， 又，， 且， 则， 由得， 从而，所以， 所以，又，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方体的性质比较线段长的大小，从而可得结论． 3．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【详解】（1） 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. （2）因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角的大小为. （3）连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因为平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解. 1．（2022·全国·高考真题）（多选）已知正方体，则（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 2．（2023·全国·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，      显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为. 故选：C 3．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【详解】（1）    连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 4．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证； （2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【详解】（1）如图，   底面，面， ，又，平面，, 平面ACC1A1，又平面， 平面平面， 过作交于，又平面平面，平面， 平面 到平面的距离为1，， 在中，， 设，则， 为直角三角形，且， ，，， ，解得， ， （2）， ， 过B作，交于D，则为中点， 由直线与距离为2，所以 ，，， 在，， 延长，使，连接， 由知四边形为平行四边形， ，平面，又平面， 则在中，，， 在中，，， , 又到平面距离也为1， 所以与平面所成角的正弦值为. 5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. （3）过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.      ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$