暑假作业12 空间向量与立体几何（含空间距离与空间角）-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

完成时间： 月 日 天气： 作业12 空间向量与立体几何（含空间距离与空间角） 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 3．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 4． 空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 5． 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 6． 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 7． 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 8． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 9． 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 一、单选题 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 5．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．正方体的棱长为2，为的中点，则（    ） A． B．与所成角余弦值为 C．面与面所成角正弦值为 D．与面的距离为 7．如图， 是矩形所在平面外一点，，二面角为，为中点，为中点，为中点．则下列说法正确的是（    ） A． B．是二面角的平面角 C． D．与所成的角的余弦值 8．如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为．则（    ） A．平面 B．平面平面 C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题 9．已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 10．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．线段上存在一点Q，使得二面角的余弦值为，则 四、解答题 11．如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点D是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值 12．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成角最小? (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 1．平行四边形中，，点为的中点，将沿折起到位置时，. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 2．如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．    (1)证明：． (2)若，求与平面所成角的正弦值. 3．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. (1)求证:; (2)若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 4．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 5．如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 1．如图，三棱锥中，，且平面平面，，为平面的重心，为平面的重心． (1)棱可能垂直于平面吗？若不可能，说明理由； (2)求与夹角正弦值的最大值． 2．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 3．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 4．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 5．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 空间向量与立体几何（含空间距离与空间角） 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 3．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 4． 空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 5． 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 6． 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 7． 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 8． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 9． 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 一、单选题 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，即可得到方程组，解得、的值，即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 2．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 3．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 4．如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【分析】连接，交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，代入向量夹角公式，求出与平面夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案． 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 5．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 二、多选题 6．正方体的棱长为2，为的中点，则（    ） A． B．与所成角余弦值为 C．面与面所成角正弦值为 D．与面的距离为 【答案】AD 【分析】本题建立空间直角坐标系，利用空间向量可解决线线垂直、异面直线所成的角的相关问题、二面角的相关问题，以及解决空间一点到面的距离问题. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系 正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、. 选项A：因为，，所以 所以，故A正确. 选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确. 选项C：易求平面的法向量. 设平面的法向量为，易求,， 由，令，则. 设平面与平面所成角为，则, ，即，故选项C不正确. 选项D：因为平面的法向量为，， 设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为， 则：,故选项D正确. 故选：AD. 7．如图， 是矩形所在平面外一点，，二面角为，为中点，为中点，为中点．则下列说法正确的是（    ） A． B．是二面角的平面角 C． D．与所成的角的余弦值 【答案】BD 【分析】利用二面角的平面角定义判断B，选项；根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一判断A、C、D选项即可. 【详解】 连接，过向平面引垂线，垂足为，连接； 因为，为中点，所以； 因为垂直于平面，平面，所以； 平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 所以二面角的平面角为； 在中，，，所以， 在中，，，所以，； 因为为矩形，所以，又，， 过点作交于，，所以四边形为正方形； 如图所示，建立以为坐标原点，为轴，过且与垂直的方向为轴， 为轴的空间直角坐标系； ，，，，， ，为中点，所以； ，所以， 故，A错误； 为中点，为中点，为中位线，， 又，所以，又因为， 所以是二面角的平面角，B正确； 因为 为锐角，且，， 所以， 所以， 所以，C错误； 设与所成的角为，，， ，D正确. 故选：BD 8．如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为．则（    ） A．平面 B．平面平面 C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，判断与平面的一个法向量是否垂直即可判断A；根据平面和平面的法向量是否垂直判断出B；由线面夹角的正弦的公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；由点到平面的距离公式即可判断D． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，与交点为，连接，则平面， 因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为， 所以，，点坐标为， 所以，则， 又，，，，， 对于A：，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B：由A得平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，即，所以平面平面，故B正确； 对于C：由A得平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以，即与平面所成角的余弦值为，故C正确； 对于D：由A得平面的一个法向量为， 因为， 所以点到平面的距离，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题 9．已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解. 【详解】如图，以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 正四棱柱的底面边长为，则， 所以 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则，令，则， ，令，则， 设向量的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 10．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点．线段上存在一点Q，使得二面角的余弦值为，则 【答案】/ 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系利用向量法求解. 【详解】在中，，O为中点，所以， 又侧面 底面， 平面平面，平面， 所以平面. 又，，， 又在直角梯形中，连接，易得， 所以以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，， 设（）， 因为，，（） ，所以， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得 平面的一个法向量为， 要使二面角的余弦值为，需使 整理化简得：，得或（舍去）， 所以存在点，且. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点D是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意先建立空间直角坐标系，求得的方向向量和平面的法向量平行即可； （2）分别求得平面的法向量为，平面的法向量为，则平面和平面夹角的余弦值，代入即可得解. 【详解】（1）由题意可知：平面， 以A为原点，分别以、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，点是的中点， 则，， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为，即∥， 所以平面. （2）由（1）可知：， 设平面的法向量为，则， 令，得，可得. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值等于. 12．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. (1)证明：； (2)当取何值时，直线与平面所成角最小? (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点为上靠近的四等分点 【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解； （3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可. 【详解】（1）因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2）由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. （3）假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 1．平行四边形中，，点为的中点，将沿折起到位置时，. (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据已知条件及余弦定理及勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理即可求解； （2）方法一，利用等腰三角形的三线合一及二面角的平面角的定义，再利用勾股定理及线面垂直的性质定理，结合锐角三角函数即可求解； 方法二，根据（1）的结论及面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的夹角的关系即可求解. 【详解】（1）如图，连接， 在中， 由余弦定理可得 , 又, 即 ，易得为正三角形 所以与全等， ， ， 又平面， 平面， 又平面， （2）（2）方法一：取的中点连接，如图所示 又 为二面角的平面角 在正中，， 在等腰中，， . 由（1）可知平面又平面 所以,即， 为平面与平面的夹角， 在中，, 故平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：由（1）可知平面，又平面， 故平面平面， 又平面平面， 取点是线段的中点可得，过作. 则平面. 分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示 则，， ， 设平面的法向量为， 由，则 ,即， 令，则，故； 由平面，得平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，则 ， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 2．如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．    (1)证明：． (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的性质证得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得，从而得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，从而利用空间向量法求线面角即可得解. 【详解】（1）连接，因为底面和侧面均为正方形， 所以，则四边形为菱形，则， 由底面和侧面均为正方形，得． 因为平面，所以平面， 又，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，所以.    （2）因为平面ABCD和平面均为正方形，所以， 又，，所以， 又因为，则，所以为正三角形， 取中点E，连接AE，则， 以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，，， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值． 3．如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的动点，是棱AB上的一点，且. (1)求证:; (2)若直线MN与平面MBC所成角的正弦值是，求点的位置. 【答案】(1)证明见解析； (2)是棱PD的中点. 【分析】（1）首先利用垂直关系证明互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用数量积证明线线垂直； （2）首先求平面的法向量，再利用线面角的向量公式，建立方程，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 所以， 因为平面平面ABCD，平面平面平面， 所以平面ABCD， 因为平面ABCD， 所以， 因为四边形是矩形，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以， 因为 所以，即； （2）由（1），得 设为平面的法向量， 则，令，得，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以，因为，所以， 即是棱PD的中点. 4．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平面，得到，结合，可证明平面，由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，设，求出所需点的坐标和向量坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式列式求解的值，然后利用线面角的计算公式求解即可. 【详解】（1）因为平面， 平面， 所以． 因为， 所以，所以， 故．又，且两直线在平面内，所以平面． 因为平面，所以平面平面 （2）如图，以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则 易知为平面的一个法向量 设为平面的一个法向量， 由，即，所以 取，则． 依题意，，解得． 于是， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为 5．如图，直四棱柱的底面是菱形，，且直线与平面所成角为． (1)求直四棱柱的高； (2)在棱上是否能找到一点，使得平面与平面的夹角为？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）设，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，设，用空间向量法结合直线与平面所成角为，列出方程求解即可； （2）假设能找到这样的点，设，且，根据平面与平面的夹角为及空间向量，列方程解出，即可说明存在，计算出即可． 【详解】（1）设， 因为棱柱是直棱柱，且底面是菱形，故两两垂直， 如图，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为菱形中，， 所以，设， 则，， 所以 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 所以， 因为直线与平面所成角为， 所以，即，解得． （2）假设能找到这样的点， 设，且， 则， 设平面的一个法向量为，则由,得， 令得，， 则， 由平面与平面的夹角为， 可得，即，解得， 所以能找到这样的点， 此时，，故． 1．如图，三棱锥中，，且平面平面，，为平面的重心，为平面的重心． (1)棱可能垂直于平面吗？若不可能，说明理由； (2)求与夹角正弦值的最大值． 【答案】(1)不可能垂直于平面；理由见解析 (2)1. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，求平面的法向量，检验能否是法向量共线； （2）向量法求与夹角的余弦值，由余弦值的最小值，求正弦值的最大值. 【详解】（1）设中点为，连接，由于，因此， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 因为，，由勾股定理得：， 以为原点，为轴，过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，由对称性可知和情况相同， 不妨设，则． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有， 所以取，则，，则． 假设垂直于平面，则有，则，无解，所以假设不成立， 不可能垂直于平面； （2）由重心的性质，，同理，， 所以， ，则， 所以， 要想求与夹角正弦值最大值，只需求出与夹角余弦值的最小值， 当，即时，， 此时即为与夹角余弦值， 设，令，则， ． 由函数和在上都单调递减，所以在上是减函数， 当时，，此时与夹角正弦值的最大值为1； 当，即时，， 此时即为与夹角余弦值， 设，令，则， ． 由函数和在上都单调递增，所以在上是增函数， 故，此时不存在最值， 综上，与夹角正弦值的最大值为1． 2．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以M是线段上的中点， 因此有， 因为是矩形，N是线段上的中点， 所以， 因此有， 所以四边形是平行四边形，所以有， 而平面，平面，所以直线平面； （2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线， 因为四边形是矩形，所以， 即，而平面， 所以平面， 因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，而平面， 所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线； （3）当时，由（2）可知：， 所以是直线与直线所成角，设， 由（2）可知，所以， 在中，由余弦定理可知： ， 令，所以， 于是有， 当时，有最小值，最小值为，此时有最大值. 则直线与直线所成最大角的余弦值为. 3．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. (1)证明：无论取何值，总有； (2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； (3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在；点的位置在 【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即； （2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值； （3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即， ， ∵，∴， 所以无论取何值，. （2）∵是平面ABC的一个法向量. ∴ ∴当时，取得最大值，此时，，. （3）假设存在，则，因为， 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴， ∴， 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在. 【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度. 1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得； （2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出． 【详解】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面． （2）因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 3．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)与平面所成的角的正弦值为 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）连接，由（1）知，平面，因为平面， 所以，所以， 当时，最小，即的面积最小. 因为，所以， 又因为，所以是等边三角形， 因为E为的中点，所以，， 因为，所以, 在中，，所以. 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 又因为，所以， 所以， 设与平面所成的角为， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 4．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面    （2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为.    5．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 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