训练08外接球、内切球与棱切球30道真题训练-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

训练08外接球、内切球与棱切球30道真题训练 一、单选题 1．（2022-23高二下·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（2022-23高一下·云南昆明·期中）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高二下·江苏盐城·期末）四棱锥的外接球O的半径为2，平面ABCD，底面ABCD为矩形，，则平面PAD截球O所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高一下·四川绵阳·期末）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2022-23高一下·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面截三棱柱的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高一下·四川广安·期末）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（    ） A． B．5 C． D． 8．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 9．（2023-24高三上·江苏南通·开学考试）已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2022-23高三下·辽宁·阶段练习）已知球与棱长为的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·四川·三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·四川内江·模拟预测）已知球是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点是线段的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24高三上·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2023-24高三上·湖北武汉·期中）已知球O是三棱锥的外接球，，则，点D是PB的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥最长的棱棱长为 B．平面PAB C．球心O到底面PAB的距离为 D．球O的表面积为 16．（2022-23高二下·湖南岳阳·期末）已知正三棱锥中，为的中点，，，则（    ）. A． B． C．此正三棱锥的内切球半径为 D．此正三棱锥的外接球表面积 17．（2022-23高三上·湖北·阶段练习）我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1，则下列说法中正确的有（    ） A．该刍童外接球的体积为 B．该刍童为棱台 C．该刍童中在一个平面内 D．该刍童中二面角的余弦值为 18．（2022-23高二上·湖南岳阳·期中）七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（    ） A．当时，它有外接球，且其半径为 B．当时，它有外接球，且其半径为 C．当它有内切球时， D．当它有内切球时， 19．（2023-24高三上·江苏·期末）在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（    ） A．⊥ B． C． D．点O不可能在平面内 三、填空题 20．（2023-24高三上·福建三明·期末）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 21．（2023-24高二下·山西长治·期末）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为 . 22．（2023-24高三上·天津和平·阶段练习）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于 ；外接球表面积等于 . 23．（2023-24高二下·江苏南通·期中）已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 24．（2023-24高二上·四川资阳·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 .    25．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 26．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 . 27．（2022·全国·模拟预测）将一边长为的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)，则该正四棱锥外接球和内切球的表面积之比为 . 28．（2023·甘肃嘉峪关·模拟预测）已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为 . 29．（2023-24高三上·安徽·开学考试）如图，直三棱柱，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D为AA1的中点，则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为 . 30．（2022·广西·模拟预测）在三棱锥中，面是边长为的正三角形.若，则该三棱锥的外接球表面积为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 训练08外接球、内切球与棱切球30道真题训练 一、单选题 1．（2022-23高二下·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知长方体的体对角线长为, 故该长方体的外接球的半径为， 该长方体的外接球表面积为， 故选：D 2．（2022-23高一下·云南昆明·期中）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为三棱锥中，，、两两垂直， 所以其外接球半径满足，. 故三棱锥的外接球表面积为. 故选：D. 3．（2023-24高二下·江苏盐城·期末）四棱锥的外接球O的半径为2，平面ABCD，底面ABCD为矩形，，则平面PAD截球O所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，球心为的中点，因为,所以平面,为的中点,故到平面的距离为,故截面圆的半径为，截面面积为 故选：B 4．（2023-24高一下·四川绵阳·期末）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意三棱锥中，两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥中补成一个长方体，如图，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球， ，，则外接球半径为， 表面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是把三棱锥补成一个长方体，由长方体确定三棱锥外接球半径． 5．（2022-23高一下·陕西西安·期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 6．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，平面截三棱柱的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于为等腰直角三角形，所以的外心是的中点，设为， 设的中点为，连接，设的中点为， 则是直三棱柱的外接球的球心， 连接， 设外接球的半径为，则. 由于，所以，根据直棱柱的性质可知， 由于平面， 所以平面，， 所以， ， ，所以, 设到平面的距离为，则， 所以平面截三棱柱的外接球所得截面的半径为， 所以截面面积为. 故选：C 7．（2023-24高一下·四川广安·期末）若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，， 因为为正三角形，为的中心， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 8．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 9．（2023-24高三上·江苏南通·开学考试）已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等边三角形，且为中线，则， 即，且平面， 可得平面， 设的外接圆圆心为，半径为， 因为，由余弦定理可得， 且，则，所以， 将四面体转化为直三棱柱，四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，   设四面体的外接球的球心为，半径为， 则，则， 所以四面体的外接球表面积为. 故选：D. 10．（2022-23高三下·辽宁·阶段练习）已知球与棱长为的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知球的直径等于正方体面的对角线长， 所以球的半径，设圆柱的高为，则底面圆半径， 所以 当时取得最大值，且最大值为. 故选 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 11．（2023·四川·三模）如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心， 则面面. 由题意得为的外心， 在中，， 所以， 又四边形为矩形， ，设外接球半径为， 则外接球表面积， 故选：B. 12．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设圆台的高为h，则，解得； 四面体的外接球即为圆台的外接球， 设其半径为R，球心为，， 由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，， 球心O在圆台的轴所在直线上，则， 故，解得，故， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B. 13．（2023·四川内江·模拟预测）已知球是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点是线段的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，是A在底面的射影， 由正弦定理得，的外接圆半径， 由勾股定理得棱锥的高， 设球O的半径为R，则即，解得， 所以，即点O与重合， 在中，点是线段的中点，， 所以，当截面垂直于OE时，截面面积最小， 此时半径为，截面面积为. 故选：A 14．（2023-24高三上·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于， 球H与棱分别切于，设球H的半径为， 则，， 而底面，所以，可得， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， 所以，即有，解得， 则这个球的表面积为． 故选：B 二、多选题 15．（2023-24高三上·湖北武汉·期中）已知球O是三棱锥的外接球，，则，点D是PB的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥最长的棱棱长为 B．平面PAB C．球心O到底面PAB的距离为 D．球O的表面积为 【答案】ABD 【详解】如图， 因为， 所以，得， 由D是PB的中点，得， 又，所以，得， 又，所以平面，故B正确； 由，得， 故三棱锥最长的棱棱长为，故A正确； 取等边三角形的中心G，连接OG，则， 即球心O到底面的距离为1，故C错误； 底面三角形外接圆的半径，外接球的半径， 所以球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 16．（2022-23高二下·湖南岳阳·期末）已知正三棱锥中，为的中点，，，则（    ）. A． B． C．此正三棱锥的内切球半径为 D．此正三棱锥的外接球表面积 【答案】ABC 【详解】设正三棱锥的底面中心为，连接， 则平面，连接并延长交于， 则，， 又，， 平面，可得，， 由三棱锥为正三棱锥，可得，故A正确； 设，在中， ，解得，，故B正确； 正三棱锥的表面积为 ， 设三棱锥的内切球半径为， 则，解得，故C正确； 由割补法可得正三棱锥外接球半径， 外接球的表面积为，故D错误. 故选：ABC 17．（2022-23高三上·湖北·阶段练习）我国古代《九章算术》中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1，则下列说法中正确的有（    ） A．该刍童外接球的体积为 B．该刍童为棱台 C．该刍童中在一个平面内 D．该刍童中二面角的余弦值为 【答案】AD 【解析】作出图形，设球心为O，上下底面的中心为，A.在中，，在中，，两式求得半径即可判断；B.根据棱台的几何特征判断；C.根据根据棱台的几何特征判断；D.过点F作平面ABCD，，连接MN，由为二面角的平面角求解判断. 【详解】如图所示： 设球心为O，上下底面的中心为， 在中，，即， 在中，，即， 两式解得， 所以，则，故A正确； 若该刍童为棱台，则满足,而，故B错误； 若该刍童中在一个平面内，则，则,而，故C错误； 过点F作平面ABCD，，连接MN，则为二面角的平面角， 易知FM=1，，所以 ，故D正确； 故选：AD 18．（2022-23高二上·湖南岳阳·期中）七面体中，为正方形且边长为都与平面垂直，且，则对这个多面体描述正确的是（    ） A．当时，它有外接球，且其半径为 B．当时，它有外接球，且其半径为 C．当它有内切球时， D．当它有内切球时， 【答案】ABD 【详解】以为底面作长方体，则这个长方体的外接球即为多面体的外接球， 当时，外接球半径为， 当时外接球半径为，故AB均为真命题； 设分别为中点，若这个多面体有内切球，则其球心必在上，且半径为. 设垂足为，则由，可得，可得，故C假D真. 综上，本题答案为ABD. 故选：ABD 19．（2023-24高三上·江苏·期末）在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（    ） A．⊥ B． C． D．点O不可能在平面内 【答案】AC 【详解】 A选项，四棱锥的外接球为为顶点的球， 而四点共面，故这四点必共圆， 又，故为直径，⊥，A正确： B选项，由A可知，四点共圆， 又，为直径， 若四边形为正方形，此时，，B错误； C选项，因为平面，所以球心到两点的距离相等， 即球心在的垂直平分线上， 故到平面距离为到平面距离的一半， 故，C正确； D选项，当四边形为正方形时，连接，相交于点， 则⊥平面， 结合球心在的垂直平分线上，此时为中点， 点O在平面上，D错误. 故选：AC. 三、填空题 20．（2023-24高三上·福建三明·期末）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 . 【答案】 【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为， 由正三角形性质知， 与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得， 球体积为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求球的体积，解题关键是利用对称性确定球心位置求得球的半径．从而求得球的体积．利用对称性知正三棱柱上下底面中心连线的中点为球心，而各棱与球相切的切点为各棱中点．从而易求得结论． 21．（2023-24高二下·山西长治·期末）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为 . 【答案】 【详解】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示： ，可得 故 故答案为：． 22．（2023-24高三上·天津和平·阶段练习）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于 ；外接球表面积等于 . 【答案】 3 【详解】如图，底面，底面为长方形，且，， 所以. 最长棱为:3. 该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为. 则其外接球的表面积为，故答案为：3；.    【点睛】本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题,属于基础题. 23．（2023-24高二下·江苏南通·期中）已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 24．（2023-24高二上·四川资阳·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为 .    【答案】 【详解】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直， 将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球， 外接球的直径等于以,，为长、宽、高的长方体的对角线长， ，， ， 所以外接球的表面积. 故答案为：.    25．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体， 所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同， 所以外接球直径，其面积， 设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：, 即， 解得，故， 所以. 故答案为： 26．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】/ 【详解】如图，易知，，所以， 作于点，易知，所以， ， ， 故三棱锥的体积为 . 故答案为：. 27．（2022·全国·模拟预测）将一边长为的正方形纸片按照图中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心)，则该正四棱锥外接球和内切球的表面积之比为 . 【答案】 【详解】按图中的虚线所示的方法剪开后拼接为正四棱锥，如图所示， 则剪开后拼接为底面边长为侧棱长为的正四棱锥. 设底面中心为，外接球的球心为，外接球的半径为则， ∴，即，解得 ， ∴四棱锥的外接球的半径， 设内切球的半径为，且四棱锥表面积为，由，即， ∴，则外接球和内切球的表面积之比. 故答案为：. 28．（2023·甘肃嘉峪关·模拟预测）已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为 . 【答案】 【详解】 设为底面正三角形的中心，连接，则平面， 且正四面体的外接球的球心在线段上，设正四面体的棱长为， 当过的平面与直线垂直时，该平面与球的截面的面积最小， 此时面积为， 因为过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，故， 所以. 因为为的中点，故，，而， 故平面，而平面，故， 故， 所以，故，而， 故，所以体积为， 故答案为：. 29．（2023-24高三上·安徽·开学考试）如图，直三棱柱，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D为AA1的中点，则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为 . 【答案】5π 【详解】记BF，EB1的交点为O，取EF的中点G，连接OG，GD，OD. ∵直三棱柱中, E，F分别是AC，A1C1的中点， ∴平面,∴, ∵△ABC为等腰直角三角形,E是AC中点, ∴, ∵, ∴⊥平面 ∵平面BEFB1 ∴平面BEFB1⊥平面ACC1A1. ∵D为AA1的中点,AC=AA1=2, ∴ OG⊥GD，且DG=1，， ∴. 由矩形的性质知， 令四棱锥D-BB1FE的外接球半径为R，则， ∴其表面积为. 故答案为: 5π 30．（2022·广西·模拟预测）在三棱锥中，面是边长为的正三角形.若，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，取的外心， 因为为边长为的正三角形，所以在，， 过作平面的垂线，则可得三棱锥的外接球的球心在此垂线上， 因为平面，，所以， 在中，, 即三棱锥的外接球的半径为 所以三棱锥的外接球的表面积为， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$