八年级（下）期末考试培优卷-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（人教版）

2023-2024学年八年级下学期期末考试培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：下册全部的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D．，， 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．为提高学生的运算能力水平，某校开展以计算为主题的活动：“计”高一筹，“算”出风采．某班10名学生参赛成绩如图所示，则下列结论错误的是 A．众数是90分 B．中位数是90分 C．平均数是91分 D．方差是15 4．估算的运算结果应在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 5．如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（    ） A． B． C．4 D．2 7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ）    A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 8．函数（为常数，）的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．若点和点在直线上，则 C． D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 9．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．y的最大值是10 D．矩形的周长是18 10．如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 12．已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是 （写出一个即可）． 13．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 14．如图，直线交两坐标轴于A，B两点，点P为直线上一点，则线段的最小值是 ． 15．如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ． 16．将长方形形纸片（如图1，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图2）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图3），如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，， ．    三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知：一次函数，是常数，的图象过，两点． (1)求该函数的表达式； (2)试判断点是否在直线上？并说明理由． 19．如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．    (1)求证； (2)连接，求证：四边形是菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．我校团委12月份举办七，八年级“我做守法好公民”为主题的知识竞赛，七，八年级参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 n 90 1 100 8 (1)七年级成绩统计表中的值为______；图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为______； (2)八年级成绩的中位数为______分；七年级成绩的平均分为______分； (3)经计算知，，请你根据这两个数据，对七、八年级成绩作出合理评价． 22．观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 23．某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： (2)在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 5、 （本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知，． (1)求直线的解析式； (2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求时，点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标． 25．（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：． （2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由； （3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明； （4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下学期期末考试培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：下册全部的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理，根据这种方法一一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴设，，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故该项符合题意． B．∵，，，， ∴， 满足勾股定理的逆定理， 故是直角三角形，故该项不符合题意． C．∵， ∴设，，， ∴， ∴， ∴满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，故该项不符合题意． D．∵，，，， ∴， 满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故该项不符合题意． 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．，故C选项错误，不符合题意；     D．，故D选项正确，符合题意．     故选：D． 3．为提高学生的运算能力水平，某校开展以计算为主题的活动：“计”高一筹，“算”出风采．某班10名学生参赛成绩如图所示，则下列结论错误的是 A．众数是90分 B．中位数是90分 C．平均数是91分 D．方差是15 【答案】D 【分析】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．分别根据众数、中位数、平均数和方差的定义判断即可． 【详解】解：A．90分的人最多，所以众数是90分，此选项不符合题意； B．中位数为，此选项不符合题意； C、平均数是（分），此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D 4．估算的运算结果应在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的运算，然后利用夹逼法进行估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， 即， 故选：． 5．如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质，三角形的内角和定理，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵为平行四边形， ∴， ∴， 故选A． 6．如图，在等腰中，，，且，以边，，为直径画半圆，则所得两个月形图案和（图中阴影部分）的面积之和等于（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求不规则图形面积，先利用勾股定理求出，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：在等腰中，，，且， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ）    A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定等知识点，根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键． 【详解】A、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形不一定是正方形，故本选项符合题意； D、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．函数（为常数，）的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．若点和点在直线上，则 C． D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质结合图象即可得出结论．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由图得：当时，，则错误，故不符合题意； B．由图得，随的增大而增大， ， ，则错误，故不符合题意； C．由图得：，则错误，故不符合题意； D．由的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得：，则正确，故符合题意； 故选：D． 9．如图①，在矩形中，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．y的最大值是10 D．矩形的周长是18 【答案】B 【分析】此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图②求出矩形的长和宽是解题的关键．根据图②可知：，，然后根据三角形的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：由图象可知，四边形的边长，，， A、当时，点在线段上，，此选项正确，不符合题意； B、当时，点在线段或上，或，此选项答案不全，符合题意； C、的最大值是10，此选项正确，不符合题意； D、矩形的周长是，此选项正确，不符合题意； 故选：B 10．如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决问题的关键．根据菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质进行一一判断即可． 【详解】解：①四边形是菱形， ∴ ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 故①正确； ②，分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的周长为． 故②正确； ③如图，连接， 四边形是菱形， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∴， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 故③正确； ④∵， ∴， ∴， ， ， 故④正确， 故选：D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数为非负数，据此即可作答． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12．已知点，在的图象上， 且，则k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．由时，，根据一次函数的增减性，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且， ∴y随着x的增大而减小， ∴， ∴k可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 14．如图，直线交两坐标轴于A，B两点，点P为直线上一点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的最小距离，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到，，利用勾股定理得到，然后利用等面积法即可解答． 【详解】解：如图所示，过点O作， 当时，的值最小， ∴为最小值， ∵直线交两坐标轴于两点， 令，得，令，得 解得， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 15．如图，正方形边长为6，点为边的中点，连接，将沿翻折得到，延长交于点，则长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；先判定，即可得出，设为，则，，，由勾股定理得：，解方程得出的值，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得，，，， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， 设为，则，，， 由勾股定理得：， 即， 解得． ， ． 故答案为：． 16．将长方形形纸片（如图1，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图2）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图3），如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，， ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，由折叠得，，则，因为，，所以，而，，即可证明，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ，， ， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△，且是解题的关键． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知：一次函数，是常数，的图象过，两点． (1)求该函数的表达式； (2)试判断点是否在直线上？并说明理由． 【答案】(1)该函数的表达式为 (2)点在直线上，理由见详解． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征． （1）把，分别代入，用待定系数法即可求出该函数的表达式； （2）通过计算自变量为所对应的函数值可判断点是否在直线上． 【详解】（1）解：把，分别代入 得∶， 解得， 该函数的表达式为； （2）点在直线上． 理由如下： 当时，， 点在直线上． 19．如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点．    (1)求证； (2)连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，结合体已知条件得出，进而根据三线合一即可得证； （2）根据（1）的结论得出，根据中位线的性质得出，根据菱形的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）证明：如图所示，连接，    ∵，是的中点， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴，， 又∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．我校团委12月份举办七，八年级“我做守法好公民”为主题的知识竞赛，七，八年级参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 n 90 1 100 8 (1)七年级成绩统计表中的值为______；图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为______； (2)八年级成绩的中位数为______分；七年级成绩的平均分为______分； (3)经计算知，，请你根据这两个数据，对七、八年级成绩作出合理评价． 【答案】(1)4， (2)90，85 (3)八年级20同名同学的成绩比较整齐． 【分析】此题考查中位数、平均数的概念和方差的意义，条形统计图、扇形统计图的意义，理解各个概念的内涵和外延是正确解答的前提． （1）用八年级“70分”的人数除以所占的百分比求出总人数，然后减去七年级“70分”“90分”“100分”的人数即可求出n的值；然后用乘以“100分”的人数所占的百分比即可求得答案； （2）根据中位数和平均数的概念求解即可； （3）根据方差的意义即可做出评价． 【详解】（1）参赛的人数为（人） 七年级成绩统计表中（人） 图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为； 故答案为：4，； （2）∵一共有20人参赛，第10个数90，第11个数90， ∴八年级成绩的中位数为； 七年级成绩的平均分为； 故答案为：90，85； （3）∵，， ∴ ∴八年级20同名同学的成绩比较整齐． 22．观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第个等式； （2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案； （3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：通过观察可知，， 故答案为：； （2）解：原式 ， ； （3）解：，， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 23．某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表： A B 进价（元/件） 售价（元/件） 请利用所学知识解决下列问题： (1)设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围： (2)在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元 (3)商场购进A商品件时，可获得最大利润 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依题意得，，则y与x之间的函数关系式是，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）由一次函数的增减性求解作答即可； （3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，由，可得，则w随x的增大而减小，然后作答即可． 【详解】（1）解：依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式是； 依题意得，， 解得，， ∴x的取值范围； （2）解：， ∵， ∴当时，y取最大值，为， ∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元； （3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则， ∵， ∴， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取最大值， ∴商场购进A商品件时，可获得最大利润． 5、 （本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知，． (1)求直线的解析式； (2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求时，点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标． 【答案】(1) (2)关于的函数关系式为．当时，点的坐标为 (3)最小值为， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，解决本题的关键是掌握待定系数法． （1）根据矩形性质求出长，可得点坐标，即可求直线的解析式； （2）根据（1）中直线解析式即可得三角形的面积与的关系式，进而求得点坐标． （3）作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小，据此求解即可． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理，得， ， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴直线的解析式为． （2）， 当时，， ∴关于的函数关系式为，当时，点的坐标为． （3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小， 可得，， ∴， ∴最小值为， 设直线函数关系式为：， 可得，解得：， ∴直线函数关系式为：， 令得， 解得：， ∴． 25．（1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：． （2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由； （3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明； （4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长． 【答案】（2）见详解  （3）成立，见详解  （4） 【分析】（2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； （3）由旋转的性质可得，由“”可证，可得，即可求解； （4）把绕点顺时针旋转至, 可使与重合, 证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】（2），理由如下: 如图，在上截取，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ，即 ； （3）结论仍然成立，理由如下： 如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，得到， ， ， ， ∴点三点共线， ， 又∵， ，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (4)∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得: ，，， 同理得：点在同一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$