专题11 概率九个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题11 概率九个重难点归类 【重难点01事件的关系及运算】 例1．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 例2．连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件，； (2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？ （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系； （2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 【跟踪练习】 练习1．（多选）掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的点数是2 D．表示向上的点数是1或2或3 练习2．打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示 ． 练习3．连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 练习4．试验E:箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”. (1)写出试验E的样本空间Ω，并指出样本点的个数; (2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C，并指出每个随机事件的样本点的个数; (3)写出，，，. 【重难点02古典概型的判断及其概率的求解】 例3．下列试验是古典概型的是（　　） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 例4．一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? （1）判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性； （2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列不是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 练习2．为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为 . 练习3．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 练习4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是． (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“”，求事件A的概率． 【重难点03互斥事件与对立事件】 例5．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 例6．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 【跟踪练习】 练习1．给出命题：（1）对立事件一定是互斥事件.（2）若事件满足，则为对立事件.（3）把、、，3张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红桃”与事件：“乙得红桃”是对立事件.（4）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是两次都不中靶.其中正确的命题个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 练习2．在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（    ） A．A与C是互斥事件，也是对立事件 B．与B是互斥事件，也是对立事件 C．与B是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 练习3．（多选）抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有 A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件 C．C与D是互斥事件 D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件 练习4．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是 ；互为对立事件的是 . 【重难点04概率的基本性质的应用】 例7．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 例8．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 根据具体问题，准确表示事件，分析事件之间的关系，结合概率的基本性质，计算概率. 【跟踪练习】 练习1．已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 练习2．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 练习3．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 练习4．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设“一年内需要维修次”，，1，2，3，请填写下表： 事件 概率 事件，，，是否满足两两互斥？ (2)求下列事件的概率： ①“在1年内需要维修”； ②“在1年内不需要维修”； ③“在1年内维修不超过1次” ． 【重难点05相互独立事件的判断及概率】 例9．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 例10．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．假设甲和乙进行第一场比赛． (1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率； (2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率 （1）事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； （2求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列各对事件中，，为相互独立事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件为“出现的点数为奇数”，事件为“出现的点数为偶数” B．袋中有5个白球，5个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出2个球，事件为“第一次摸到黄球”，事件为“第二次摸到黄球” C．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“两次抛掷的结果相同” D．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“第二次为反面” 练习2．（多选）已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 练习3．（多选）一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 练习4．在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94． (1)求p； (2)甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率． 【重难点06 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 例11．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（    ） A．A与B，A与均相互独立 B．A与B相互独立，A与互斥 C．A与B，A与均互斥 D．A与B互斥，A与相互独立 例12．1.垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 求较为复杂事件的概率的方法：①列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示；②理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式；③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 【跟踪练习】 练习1．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C． D． 练习2．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 练习3．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率 B．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥 D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立 练习4．为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为. (1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？ (2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率. 【重难点07频率与概率的区别与特点】 例13．下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 例14．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C．频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 【跟踪练习】 练习1．下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 练习2．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（　　） A．正面向上的概率为0.48 B．反面向上的概率是0.48 C．正面向上的频率为0.48 D．反面向上的频率是0.48 练习3．（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 练习4．对于下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是； ③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49； ④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率； 其中正确的所有序号是 【重难点08频率估计概率在统计中的应用】 例15．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 例16．某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21 (1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数； (2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率. 先利用频率的计算公式依次计算频率,然后再用频率估计概率. 【跟踪练习】 练习1．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 . 四面体的面 1 2 3 4 频数 19 23 22 36 练习2．从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．    (1)求的值； (2)求该组数据的众数和平均数； (3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以下的概率． 练习3．某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 (1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格； (2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率. 练习4．为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图： (1)求x的值； (2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率. 【重难点09概率模拟问题】 例17．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 例18．欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 随机数模拟试验估计概率时,要明确以下三点：①确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果； ②研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； ③当每次试验结果需要个随机数表示时,要把个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. 【跟踪练习】 练习1．在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 练习2．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 练习3．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 练习4．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 概率九个重难点归类 【重难点01事件的关系及运算】 例1．抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 例2．连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件，； (2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得，事件， 事件， 事件， 事件. 则，； （2）由（1）知，事件，， 因为， 所以. （1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系； （2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. 【跟踪练习】 练习1．（多选）掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的点数是2 D．表示向上的点数是1或2或3 【答案】CD 【详解】由题可知，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件， 所以事件不包含事件，故A错误； 事件也不等于事件，故B错误； 事件表示“向上的点数是2”，故C正确； 事件表示“向上的点数是1或2或3”，故D正确. 故选：CD. 练习2．打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示 ． 【答案】至少击中1发 【详解】根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生， 所以表示至少击中1发. 故答案为：至少击中1发. 练习3．连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【答案】，事件与事件之间不存在包含关系 【详解】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，； 当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生， 因此事件与事件之间不存在包含关系． 练习4．试验E:箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”. (1)写出试验E的样本空间Ω，并指出样本点的个数; (2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C，并指出每个随机事件的样本点的个数; (3)写出，，，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）分别设3双手套为，其中分别代表左手的3只手套，分别代表右手的3只手套. 试验E的样本空间 ，样本点的个数为15. （2）随机事件 ，样本点的个数为12. 随机事件，样本点的个数为6. 随机事件，样本点的个数为6. （3）， ， ， . 【重难点02古典概型的判断及其概率的求解】 例3．下列试验是古典概型的是（　　） A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球 B．在区间上任取一个实数，使 C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 D．某人射击中靶或不中靶 【答案】C 【详解】对A：取出白球与取出黑球发生的可能性不同，故不是古典概型，故A错误； 对B：一次试验的结果有无限个，故不是古典概型，故B错误； 对C：满足古典概型特征，是古典概型，故C正确； 对D：两个样本点发生的可能性可能不同，故不是古典概型，故D错误． 故选：C. 例4．一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则． 设“第二次取到红球”为事件A，则，即 ， 所以，故第二次取到红球的概率为． （2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即 所以，故两次取到的球颜色相同的概率为 （3）由已知得，解得． （1）判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性； （2）计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A所包含的样本点个数; ③代入公式求出概率. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列不是古典概型的是（   ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C．在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 【答案】ABD 【详解】A选项，任意抛掷两枚骰子，所得点数之和不满足“等可能”，所以A选项不是古典概型. B选项，取出的正整数不满足“有限”，所以B选项不是古典概型. C选项，在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目， 基本事件是有限的，且是等可能的，所以求甲被选中的概率属于古典概型， 所以C选项是古典概型. D选项，抛掷的次数不满足“等可能”，所以D选项不是古典概型. 故选：ABD 练习2．为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为 . 【答案】 【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为， 三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为， 则三人恰好参加同一个社团的概率为. 故答案为：. 练习3．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将这5部书籍依次记为 则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间，，共有10个样本点， 其中抽到《周髀算经》的样本点为共有4个， 所以抽到《周髀算经》的概率. 故选：D. 练习4．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是． (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“”，求事件A的概率． 【答案】(1)2； (2). 【详解】（1）依题意，袋子中共有个小球，于是得，解得， 所以n的值是2. （2）由(1)记标号为2的两个小球为，，从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有： ，共有12个，它们等可能， 事件A表示含有的结果有，共4个结果，则， 所以事件A的概率是. 【重难点03互斥事件与对立事件】 例5．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 例6．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 【答案】D 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误； “甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误； “甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误； “甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确． 故选：D. 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 【跟踪练习】 练习1．给出命题：（1）对立事件一定是互斥事件.（2）若事件满足，则为对立事件.（3）把、、，3张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红桃”与事件：“乙得红桃”是对立事件.（4）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是两次都不中靶.其中正确的命题个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】（1）由对立事件的定义可判断（1）正确； （2）若事件,不是互斥事件,即无法由判断事件,的关系,故（2）错误； （3）事件:“甲得红桃”的对立事件为“甲未得红桃”,即“乙或丙得红桃”,故（3）错误； （4）“至少有一次中靶”包括“一次中靶”,“两次都中靶”,则其对立事件为“两次都不中靶”,故（4）正确； 故（1）（4）正确, 故选:C 【点睛】本题考查对立事件的辨析,属于基础题. 练习2．在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（    ） A．A与C是互斥事件，也是对立事件 B．与B是互斥事件，也是对立事件 C．与B是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【解析】根据互斥与对立事件的意义逐个辨析即可. 【详解】由于A,B,C彼此互斥,且是必然事件,所以A与C是互斥事件,但不是对立事件,A错误；与B可以同时发生,不是互斥事件,也不是对立事件,B错误；任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事件,故C错误,D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型. 练习3．（多选）抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有 A．A与D是互斥事件但不是对立事件 B．B与D是互斥事件也是对立事件 C．C与D是互斥事件 D．B与C 不是对立事件也不是互斥事件 【答案】ABD 【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A, “向上的点数是 1,2,3”为事件B, “向上的点数是 1,2,3,4”为事件C, “向上的点数是 4,5,6”为事件D. 事件A与D不能同时发生，但能同时不发生， 是互斥事件但不是对立事件，故选项A正确； 事件B与D不可能同时发生，且必有一个发生， 故B与D是互斥事件，也是对立事件， 故选项B正确； 事件C与D可能同时发生，故不是互斥事件， 故选项C错误； 事件B与C能同时发生，不是互斥事件也不是对立事件， 故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查推理能力，属于基础题. 练习4．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是 ；互为对立事件的是 . 【答案】 A与B、A与C，B与C、B与D B与D. 【解析】由互斥事件，对立事件的概念逐一判断即可. 【详解】解：由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C、B与D也是互斥事件. 综上可得，A与B、A与C，B与C、B与D都是互斥事件. 在上述互斥事件中，再根据B、D满B∪D为必然事件，故B与D是对立事件， 故答案为A与B、A与C，B与C、B与D；B与D. 【点睛】本题考查了互斥事件，对立事件的关系，属基础题. 【重难点04概率的基本性质的应用】 例7．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】C 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以，所以. 故选：C. 例8．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥， 故，即他乘火车或乘飞机去的概率为. （2）设他不乘轮船去的概率为P， 则. （3）由于， 故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 根据具体问题，准确表示事件，分析事件之间的关系，结合概率的基本性质，计算概率. 【跟踪练习】 练习1．已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 【答案】/ 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 练习2．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为事件A、B互斥，，所以， 又它们都不发生的概率为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 练习3．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)； (2)抽取1张奖券中奖概率； (3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 所以. （2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D， 则. （3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E， 则. 练习4．某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， (1)某人购买了一台这个品牌的计算机，设“一年内需要维修次”，，1，2，3，请填写下表： 事件 概率 事件，，，是否满足两两互斥？ (2)求下列事件的概率： ①“在1年内需要维修”； ②“在1年内不需要维修”； ③“在1年内维修不超过1次” ． 【答案】(1)表格见解析，满足； (2)①；②；③． 【详解】（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%， 则有，，， 显然事件，，，中，任意两个不可能同时发生，因此事件，，，两两互斥， 于是得， 填表如下： 事件 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 所以事件，，，满足两两互斥． （2）①由（1）知，“在1年内需要维修”的事件，即事件，，至少有一个发生，而它们两两互斥， 所以； ②“在1年内不需要维修”的事件，即事件发生，所以； ③“在1年内维修不超过1次”的事件，即事件，至少发生一个， 所以． 【重难点05相互独立事件的判断及概率】 例9．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（   ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个； 其中事件“ ”包含的样本点有： ，，，，，共个； 事件 “ ”，包含的样本点有： ， ， ， ，，，，，共个， 事件 “”，包含的样本点有：，，，，，， ，，，，，， ，，，，，共个， 所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误； 因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则， 又 ， ，所以， 所以与不相互独立，故A错误； 又事件包含的样本点有： ，，共个， 所以 ， ，则 ， 所以 与 相互独立，故C正确； 事件包含的样本点有：， ， ，，，共个， 因为，所以 与 不相互独立，故D 错误． 故选：C 例10．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛．比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．假设甲和乙进行第一场比赛． (1)若甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，求丙获得冠军的概率； (2)若甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，求甲获得冠军的概率 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）甲、乙、丙三人共进行了3场比赛，且丙获得冠军的情况有2种： ①首先甲乙比赛，甲胜，然后甲丙比赛，丙胜，再由乙丙比赛，丙胜， 概率为：； ②首先甲乙比赛，乙胜，然后乙丙比赛，丙胜，再由甲丙比赛，丙胜， 概率为：， 所以丙获得冠军的概率． （2）甲、乙、丙三人共进行了4场比赛，且甲获得冠军的情况有2种： ①乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，概率为：； ②甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，概率为：， 所以甲获得冠军的概率． （1）事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； （2求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 【跟踪练习】 练习1．（多选）下列各对事件中，，为相互独立事件的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件为“出现的点数为奇数”，事件为“出现的点数为偶数” B．袋中有5个白球，5个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出2个球，事件为“第一次摸到黄球”，事件为“第二次摸到黄球” C．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“两次抛掷的结果相同” D．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“第二次为反面” 【答案】CD 【详解】对A：，，， 故，所以，不相互独立，故A错误； 对B：，，， 故，所以，不相互独立，故B错误； 对C：，，， 有，所以，相互独立，故C正确； 对D：，， 有，所以，相互独立，故D正确. 故选：CD． 练习2．（多选）已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 【答案】BC 【详解】对于A，由,则,故A错误； 对于B，与相互独立，则与相互独立， 故,故B正确； 对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误. 故选：BC 练习3．（多选）一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】BCD 【详解】由题意可得， ，所以与相互独立，故B正确； ，所以与相互独立，故C正确； ，所以与相互独立，故D正确； ，故A错误. 故选：BCD. 练习4．在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94． (1)求p； (2)甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率． 【答案】(1) (2)0.4256． 【详解】（1），解得． （2）设分别表示事件甲投篮两次投中三分球一次、两次，设分别表示事件乙投篮两次投中三分球一次、两次． 则，， ，． 设“甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次”， 则． 故甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次的概率为0.4256． 【重难点06 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】 例11．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”记为事件A，“第二次摸得白球”记为事件B，那么事件A与B，A与间的关系是（    ） A．A与B，A与均相互独立 B．A与B相互独立，A与互斥 C．A与B，A与均互斥 D．A与B互斥，A与相互独立 【答案】A 【详解】由于是有放回地摸球，事件A的发生并不影响事件B的发生，故A与B，A与均相互独立. 故选：A 例12．1.垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设 “一轮活动中小明答对一题”，“一轮活动中小亮答对一题”，则，.设““明亮队”在一轮活动中一题都没有答对”，则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以与相互独立，从而与相互独立，所以，.所以“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率为； （2）设“两轮活动中小明答对了道题”，“两轮活动中小亮答对了道题”，，1，2.由题意得，，，， 设““明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则.由于和相互独立，与互斥，所以. 所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率 求较为复杂事件的概率的方法：①列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示；②理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独立),列出关系式；③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 【跟踪练习】 练习1．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件不是相互独立事件 C． D． 【答案】C 【详解】对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，对于事件与事件，,事件与事件是相互独立事件,故B错误； 对于C，连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种， 其中，事件发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，所以， 因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，所以，， 所以，故C正确； 对于D，事件表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，故，故D错误. 故选：C． 练习2．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【答案】BCD 【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错； ，故B对； 而，故C对； 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：BCD. 练习3．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率 B．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥 D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立 【答案】ABD 【详解】A选项，若是必然事件，则事件与事件的和事件的概率等于事件的概率，A选项说法不正确. B选项，互斥事件不一定是对立事件，所以B选项说法不正确. C选项，如果相互独立，则可以同时发生，故不互斥，C选项说法正确. D选项，若事件互斥，则不能同时发生，所以不是相互独立事件，D选项说法错误. 故选：ABD 练习4．为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为. (1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？ (2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率. 【答案】(1)中年员工甲接种成功的概率更大 (2) 【详解】（1）解：记中年员工甲接种成功的事件为，老年员工乙接种成功的事件为B，则， ，故中年员工甲接种成功的概率更大. （2）法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C， 则 法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为， 则， 两人中至少有一人接种成功的概率为. 【重难点07频率与概率的区别与特点】 例13．下列说法中，正确的是（    ） A．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 B．做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．若事件两两互斥，则 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是3的倍数的概率是 【答案】D 【详解】对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误； 对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故B错误； 对于C项，事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中，三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为，故C错误； 对于D项，任意投掷两枚质地均匀的骰子共包含36个等可能的样本点， 其中点数和是3的倍数的情况有，共12个样本点， 根据古典概型的概率公式，可得概率是，故D正确. 故选：D. 例14．（多选）下列说法中正确的有（    ） A．频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C．频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】ACD 【详解】由频率和概率的关系知ACD正确, 当试验次数足够大，频率才能够当作概率，故B错误, 故选:ACD. 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 【跟踪练习】 练习1．下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确； 对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确； 对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误； 对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误； 故选：C. 练习2．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（　　） A．正面向上的概率为0.48 B．反面向上的概率是0.48 C．正面向上的频率为0.48 D．反面向上的频率是0.48 【答案】C 【详解】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误； 对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误； 对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确； 对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误. 故选：C. 练习3．（多选）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 【答案】ABCD 【详解】A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误； B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误； D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误. 故选：ABCD 练习4．对于下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是； ③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49； ④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率； 其中正确的所有序号是 【答案】② 【详解】对于①，次品率是大量产品的估计值，并不是必有件是次品，故①错误； 对于②，抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次， 则出现1点的频率是，故②正确； 对于③，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故③错误； 对于④，频率与概率不是同一个概念，故④错误. 故答案为：②. 【重难点08频率估计概率在统计中的应用】 例15．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人， 所以学习时间不少于6小时的概率为. 故选：B 例16．某中学为了解高二学生的体质情况，在一次体质测试中，随机抽取了10名男生的引体向上测试成绩如下：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21 (1)求这10名同学引体向上的中位数和平均数； (2)如果15个（含15）以上为优秀，估计该校男生引体向上的优秀率. 【答案】(1)中位数11；平均数12 (2) 【详解】（1）这组数据为：5，7，8，10，10，12，12，15，20，21. 所以，中位数为中间两个数10，12的平均数11. 平均数. （2）在抽查的10名同学中有3人在15个以上，所以估计该校的优秀率为 先利用频率的计算公式依次计算频率,然后再用频率估计概率. 【跟踪练习】 练习1．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 . 四面体的面 1 2 3 4 频数 19 23 22 36 【答案】0.22/ 【详解】标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计值为0.22. 故答案为：0.22. 练习2．从某校的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．    (1)求的值； (2)求该组数据的众数和平均数； (3)从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以下的概率． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为 (3) 【详解】（1）由题意知：， 解得. （2）由频率分布直方图知，身高区间、、、、、的频率分别为、、、、、， 故众数为， 学生身高的平均数为 （3）由频率分布直方图知，身高在、、区间内的频率分别为， 则估计身高在以下的概率为 练习3．某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 (1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格； (2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【详解】（1）两名运动员击中10环的频率如下表： 射击次数 10 20 50 100 200 500 甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450 甲击中10环的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453 乙击中10环的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 （2）由（1）中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以两人击中10环的概率均约为0.9. 练习4．为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图： (1)求x的值； (2)从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率. 【答案】(1) (2)0.7 【详解】（1）由 得． （2）， 估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为． 【重难点09概率模拟问题】 例17．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 例18．欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 【答案】10 【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10. 故答案为：10 随机数模拟试验估计概率时,要明确以下三点：①确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果； ②研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； ③当每次试验结果需要个随机数表示时,要把个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复. 【跟踪练习】 练习1．在这个热“晴”似火的7月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是．某人用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个，分别为： 116, 812, 730, 452, 125, 217, 109, 361, 284, 147, 318, 027, 则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是：， 故选：A. 练习2．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故选：B. 练习3．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【解析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 所以射击4次,即可求得至少击中3次的概率. 【详解】 射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 射击4次,至少击中3次的概率为. 故选：D 【点睛】本题考查了概率计算,掌握概率的基本知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 练习4．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ． 【答案】/0.5 【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一. 它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个， 因此所求的概率为=0.5. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$