专题05 相交线与平行线（含平行模型）（9大题型+优选提升题）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题05 相交线与平行线（含平行模型）（9大题型+优选提升题） 相交与平行 1．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 2．（19-20七年级下·湖南娄底·期末）平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．（21-22七年级下·湖南怀化期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 4．（21-22七年级·贵州·期末）观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线相交，最多有 交点． 5．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）（1）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． ①画直线，射线； ②延长到D，使得，连接． （2）用适当的数学语言表述下面的图形： ①___________________________________________________________________； ②___________________________________________________________________ 6．（21-22七年级下·湖南·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 相交直线所成的角 1．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，直线，相交于点，如果，那么（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线，相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ．    4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，，交于点O，于O，连接，，则 ． 5．（21-22七年级下·湖南湘西·期末）如图，直线，，相交于点，＝，＝，求的度数． 6．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与相交于点O，． (1)如果，求和的度数； (2)如果，求的度数． 平移 1．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，将向左平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（    ）． A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，台阶宽为2米，那么至少要买地毯（    ）平方米． A．8 B．15 C．16 D．30 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2cm得到，交于点H，，则阴影部分的面积为 ． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图， 将沿直线方向向右平移，得到，若，则 5．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，在方格纸内将水平向右平移6个单位得到，再向上平移4个单位长度得到．    (1)画出和； (2)连接、，则线段、的位置关系是 ，线段、的数量关系是 ． 6．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ； (3)求的面积． 平行线的性质 1．（20-21·七年级下湖南长沙·期末）如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21·七年级下湖南益阳·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P，若，则的度数是 度． 4．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）平行直线与被直线所截．    (1)如图1，点E在 之间的直线上，P、Q分别在直线上，连接，若 ，求 的值； (2)如图2，点E在之间的直线上， P、Q分别在直线上，连接， 平分 ，平分 则 和 之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． 6．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． 问题迁移： (1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系． 根据平行线的性质探究角的关系 1．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）如图，平分平分，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）    A．4个 B．5个 C．2个 D．3个 2．（19-20七年级下·湖南益阳·期末）如图，AB//CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，且∠BEP=50°，则∠EFD=（    ） A．30° B．40° C．50° D．90° 3．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为，与互补的角的个数为，若，则的值是 ．    4．（21-22七年级下·湖南·期末）如图，已知AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1互补的角有 个． 5．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，，且，    (1)求的度数． (2)如图②，试猜想与、之间的关系． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图1，，为、之间一点． (1)若平分，平分．求证：； (2)如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 平行线的判定 1．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如图，下列能判定的条件有（　　）个 （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，下列条件中，①；②；③；④．能判断直线的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22七年级下·湖南永州·期末）如图，若，则 ． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 5．（22-23七年级下·湖南张家界·期末）根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（①______）， 又（已知）， （②______）， （③______）， ④______． （已知）， ⑤______， （⑥______）， （⑦______）． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 垂线 1．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，平分，，，．则下列结论错误的是（      ）    A． B．平分 C． D． 2．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线、相交于点，射线于点，，则 度． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数． 6．（20-21七年级下·湖南郴州·期末）如图，点，分别在，上，，垂足为点．已知，．    (1)求证：； (2)若，，，求点到直线的距离． 两条平行线间的距离 1．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知直线，则的高是（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是 ． 5．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 6．（19-20七年级下·湖南益阳·期末）如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点． （1）请写出图中面积相等的各对三角形： ； （2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 ． 理由是： ． 题型09 平行模型 1．（22-23七年级下·湖南常德·期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，，则；④如图4，，，则．以上结论正确的个数是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 2．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，∠A＝52°，∠E＝16°，则∠C的度数是（　　） A．36° B．34° C．32° D．30° 3．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，，，，则的度数为 ．    4．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，如果，则角，，则 ．    5．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）【问题情景】（1）如图1，，，，求的度数； 【问题迁移】（2）如图2，已知，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由； 【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动改为点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．    6．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．    (1)当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：，，三者的关系； (2)当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由． 1．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，平分，，，．则下列结论错误的是（      ）    A． B．平分 C． D． 2．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，将向左平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（    ）． A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）善思的雯雯发现英文大写字母“”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线、相交于点，射线于点，，则 度． 7．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 8．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的结论是 ． 9．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ． 10．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）一副三角尺按如图1所示摆放，边重合，固定含的三角尺不动，将含三角尺绕着点顺时针旋转，当 时，两块三角尺至少有一组边互相平行．    11．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，在四边形中， ，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若平分，，求的度数． 12．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为之间一点，连接，得到，请猜想与之间的数量关系 ； （2）如图2所示，已知，点E为之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系；并说明理由 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出之间的数量关系 ． 13．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如图，已知，，．求的度数． 以下是某位同学的解答过程，请在横线上填空，将解答过程补充完整． 解：如图，分别过点A，D作的平行线，． ∵，（辅助线）， ∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴，（            ）， （            ）． ∵，（已知），， ∴____________． ∴． ∵（已知），， ∴____________． 14．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）已知点A，C，B不在同一条直线上，． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，，分别为，的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的前提下，且有，，试求出的值． 15．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）探索发现：（1）如图，已知直线，若，，求的度数； 归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系________； 实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相交线与平行线（含平行模型）（9大题型+优选提升题） 相交与平行 1．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 【答案】B 【分析】根据直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸依次判断即可． 【详解】解：①射线和直线延伸后可以相交，符合题意； ②线段不能向两端延伸，不能相交，不符合题意； ③两条直线延伸后可以相交，符合题意； ④射线和直线延伸后不能相交，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查直线、线段及射线的知识，掌握直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸是解题关键． 2．（19-20七年级下·湖南娄底·期末）平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】先求出m、n的值，再代入求解． 【详解】解：平面内两两相交的3条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点， ∴m=3，n=1 ∴m+n=4， 故选A. 【点睛】当三条直线都交于一点时，只有1个交点，两两相交不在同一点，有3个交点，注意掌握数学基础知识． 3．（21-22七年级下·湖南怀化期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 4．（21-22七年级·贵州·期末）观察图形，并阅读相关的文字，回答：10条直线相交，最多有 交点． 【答案】45． 【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=个交点． 【详解】解：∵10条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 5条直线相交最多有10个交点，而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5， ∴十条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×10×9＝45． 故答案为45． 【点睛】此题主要考查了相交线，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 5．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）（1）如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． ①画直线，射线； ②延长到D，使得，连接． （2）用适当的数学语言表述下面的图形： ①___________________________________________________________________； ②___________________________________________________________________ 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，直线与直线的位置关系，点与直线的位置关系： （1）①根据直线和射线的画法画图即可；②根据线段的画法画图即可； （2）①根据点A与直线l的位置关系进行描述即可；②根据直线与直线的位置关系，点与直线的位置关系进行描述即可． 【详解】解：（1）①如图所示，直线，射线即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）①点在直线上 ②直线和直线相交于点，点在直线上，点既不在直线上，也不在直线上． 6．（21-22七年级下·湖南·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    相交直线所成的角 1．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，直线，相交于点，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，互补关系；根据对顶角相等可求得的度数，再由互补关系即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴, 故选：C． 2．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．首先根据余角的概念求出，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴． 故选：B． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线，相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ．    【答案】/30度 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差倍分关系，根据对顶角的性质求出的度数，再根据，即可得出结论．熟知对顶角相等的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，，交于点O，于O，连接，，则 ． 【答案】/55度 【分析】根据对顶角相等，得到，由，得到，代入即可求解， 本题考查了，对顶角相等，求一个角的余角，解题的关键是：熟练掌握相关性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（21-22七年级下·湖南湘西·期末）如图，直线，，相交于点，＝，＝，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的定义，根据题意得出，进而可得 ，然后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】，，， ， ， ， 故答案为：． 6．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线与相交于点O，． (1)如果，求和的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对顶角相等、两角互余的关系进行求解即可； （2）根据两角的倍数关系及互余关系进行求解即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查角度的计算，熟练掌握对顶角相等、两角互余及其倍数关系求角度、平角的定义是解题的关键． 平移 1．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，将向左平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质求解，即可得到答案，解题的关键是掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【详解】解：∵向左平移得到， ∴，，的周长是， ∴， ∴四边形的周长， ， ， ， 故选：． 2．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，台阶宽为2米，那么至少要买地毯（    ）平方米． A．8 B．15 C．16 D．30 【答案】C 【分析】本题考查有关平移的性质、面积计算，将图形中较短的竖线左移，较短的横线上移，平移线段后，地毯的长度是长5米，宽3米的长方形的一组邻边长度和．地毯的面积=楼梯宽度×矩形的长． 【详解】解：（平方米）， （平方米）， ∴至少要买地毯16平方米． 故选：C． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2cm得到，交于点H，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/8平方厘米 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图， 将沿直线方向向右平移，得到，若，则 【答案】12 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得到，则可计算出，从而得到的长． 【详解】解：∵沿直线方向向右平移，得到， ∴， ∵ ∴， 故答案为：12． 5．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，在方格纸内将水平向右平移6个单位得到，再向上平移4个单位长度得到．    (1)画出和； (2)连接、，则线段、的位置关系是 ，线段、的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 【分析】（1）根据平移的性质画出点的对应点及，再顺次连接即可得到和； （2）由平移的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所作；   ； （2）解：如图，   ， 由平移的性质可得：线段、的位置关系是平行，线段、的数量关系是相等， 故答案为：平行，相等． 【点睛】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，经过平移后，对应点所连接的线段平行且相等，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 6．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 (3)7 【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的； （2）结合（1）可得这两条线段之间的关系． （3）根据割补法，利用网格即可求的面积． 【详解】（1）如图，即为所求；      （2）这两条线段之间的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． （3） ， 答：的面积是7； 【点睛】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 平行线的性质 1．（20-21·七年级下湖南长沙·期末）如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质求出，再根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵射线是光线的延长线， ∴， 故选：C． 3．（20-21·七年级下湖南益阳·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P，若，则的度数是 度． 【答案】165 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平角的定义求出，由平行线的性质得到，则，再由平行线的性质可得，据此可由平角的定义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：165． 4．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）平行直线与被直线所截．    (1)如图1，点E在 之间的直线上，P、Q分别在直线上，连接，若 ，求 的值； (2)如图2，点E在之间的直线上， P、Q分别在直线上，连接， 平分 ，平分 则 和 之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得过点E作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，作，，同理（1）可得，，，由角平分线可得，则，，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图1，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图2，作，， 同理（1）可得，，， ∵平分 ，平分 ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即． 6．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． 问题迁移： (1)如图2，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，，，求，，之间有何数量关系？请说明理由． (2)在（1）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用； （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 如图3，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图4，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，，，之间的数量关系为或． 根据平行线的性质探究角的关系 1．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）如图，平分平分，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　）    A．4个 B．5个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据，，即可判断①；根据，平分平分，即可证明②；根据，可求出，再结合角平分线的性质即可求出③；根据，即可证明④；分别求出和即可证明⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，①正确； ∵，平分平分， ∴， 即，即， ∴，②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，③错； 由②得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，⑤正确； ∴正确的一共有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，灵活运用所学知识是关键． 2．（19-20七年级下·湖南益阳·期末）如图，AB//CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，且∠BEP=50°，则∠EFD=（    ） A．30° B．40° C．50° D．90° 【答案】B 【分析】先由垂直的定义，求出∠FEP=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求∠BEF=140°，然后根据两直线平行同旁内角互补，即可求出∠EFD的度数． 【详解】解：∵EP⊥EF ∴∠FEP= ∵∠BEP=50° ∴∠ BEF=∠ BEP+∠FEP= 又∵AB//CD ∴∠EFD=-∠BEF= 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据：两直线平行，同旁内角互补解答． 3．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为，与互补的角的个数为，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，已知字母的值求式子的值，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质，分别求出的值，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵，， ∴，， ∵， ∴与互补的角有，，，，，， ∴，， ∴． 4．（21-22七年级下·湖南·期末）如图，已知AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1互补的角有 个． 【答案】3 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，找出与∠1互补的角，再计算个数． 【详解】解：∵AD∥EG∥BC，AC∥EF， ∴∠DAH+∠AHG=180°，∠DAH=∠ACB，∠ACB+∠CHE=180°，∠FEG+∠CFE=180°，∠1=∠FEG，∠1=∠ACB， ∴∠1+∠CFE=180°，∠1+∠CHE=180°，∠1+∠AHG=180°， 故与∠1互补的角有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 5．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）如图①，，且，    (1)求的度数． (2)如图②，试猜想与、之间的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，以及两直线平行，同旁内角互补进行计算． 【详解】（1）解：过作，    ， ， ， 又，， ； （2）猜想：． 证明：过点作，    则， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图1，，为、之间一点． (1)若平分，平分．求证：； (2)如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论； （2）分别过，作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义结合，，可求解； （3）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解． 【详解】（1）， ， 平分，平分， ，， ， 即； （2）分别过，作，， ， ， ，，，， ，， 同理：， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， ； （3）． 证明：， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 平行线的判定 1．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如图，下列能判定的条件有（　　）个 （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵，∴，而不能判定，故（2）错误； （3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确． 故选：C． 2．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，下列条件中，①；②；③；④．能判断直线的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线，从而可得答案． 【详解】解：， ∴，故①符合题意； 当时，无法判断，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故选C． 3．（21-22七年级下·湖南永州·期末）如图，若，则 ． 【答案】/85度 【分析】首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案．本题主要考查了平行线的性质，注意掌握数形结合是解答此题的关键． 【详解】解：过点作， ， ，， ， 故答案为：． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】①∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ③∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； 故答案为：③． 5．（22-23七年级下·湖南张家界·期末）根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（①______）， 又（已知）， （②______）， （③______）， ④______． （已知）， ⑤______， （⑥______）， （⑦______）． 【答案】①邻补角定义；②同角的补角相等；③内错角相等，两直线平行；④；⑤；⑥同位角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先利用同角的补角相等得到，则，得到，等量代换得到，则，即可得到． 【详解】证明：（邻补角定义）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：①邻补角定义；②同角的补角相等；③内错角相等，两直线平行；④；⑤；⑥同位角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等. 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，   ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为；    ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为；    ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 垂线 1．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，平分，，，．则下列结论错误的是（      ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，的度数；又由，即可求得的度数，得到平分；又由，即可求得与的度数； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴平分，故B正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∴，，故D错误； 故选：D． 2．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线，首先根据垂直定义可得，，再根据，可得，然后再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：， 由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故答案为：垂线段最短． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线、相交于点，射线于点，，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了垂直的定义和对顶角，由，得，再根据对顶角相等和角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和对顶角相等． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，以及对顶角相等，由垂直的定义求出，进而可求出，由对顶角的性质求出，然后根据角平分线的定义求出的度数是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 6．（20-21七年级下·湖南郴州·期末）如图，点，分别在，上，，垂足为点．已知，．    (1)求证：； (2)若，，，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点到直线的距离为 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． （1）应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案； （2）设点到直线的距离为，根据等面积法可得，代入计算即可得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为． 即， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，且，，． 设点到直线的距离为． 所以， 所以， 即， 所以点到直线的距离为． 两条平行线间的距离 1．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解． 【详解】解：如图1，直线在、外时， 与的距离为，与的距离为， 与的距离为， 如图2，直线在直线、之间时， 与的距离为，与的距离为 与的距离为， 综上所述，与的距离为或 故选：C 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知直线，则的高是（    ）．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积求出即可． 【详解】解：过点作，过作，    ， ， ， 即， ， ， 则的高是， 故选：B 【点睛】此题考查了平行线之间的距离，以及三角形面积，熟练掌握平行线之间的距离处处相等是解本题的关键． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．依据直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，再根据，，即可得出直线a与直线b之间的距离． 【详解】解：∵，直线与它们分别垂直且相交于，，三点， ∴长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离， ∵， ∴， 即直线a与直线b之间的距离为3． 故答案为：3 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，，的面积等于，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 【详解】如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)大于0小于等于5 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而得到，再由平行线的判定即可得到； （2）由知：与之间的距离等于点到直线的距离，由三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （3）过点作于，连接，当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离， 即设三角形的边上的高为， 由三角形的面积计算公式可得： ，即， 解得：， 与之间的距离为2.4； （3）解：过点作于，连接，   ， 当与重合时，， 当无限接近时，无限接近0， ， 点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线之间的距离，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 6．（19-20七年级下·湖南益阳·期末）如图，已知直线m//n，A，B 为直线m上的两点，C，P 为直线n上的两点． （1）请写出图中面积相等的各对三角形： ； （2）如果A，B，C 为三个定点，点P 在直线n上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 ． 理由是： ． 【答案】（1）与、与、与；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得； （2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得． 【详解】（1）设平行线m与n之间的距离为h 则和的边CP上高均为h，和的边AB上高均为h 由同底等高得：与的面积相等，与的面积相等 又， 即与的面积相等 故答案为：与、与、与； （2）总有题（1）中三对面积相等的三角形 理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键． 题型09 平行模型 1．（22-23七年级下·湖南常德·期末）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，，则；④如图4，，，则．以上结论正确的个数是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出结论； ④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线， ∵，∴， ∴，， ∴，故①错误； ②过点E作直线， ∵， ∴，∴，， ∴，故②正确； ③过点E作直线， ∵，∴， ∴，， ∴，即，故③正确； ④如图，过点P作直线， ∵，∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，∴，即，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知，∠A＝52°，∠E＝16°，则∠C的度数是（　　） A．36° B．34° C．32° D．30° 【答案】A 【分析】过点作，则，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，结合可得出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数． 【详解】解：过点作，则，如图1所示． ， ∴∠AEF＝∠A＝52°， ∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝52°﹣16°＝36°． 又， ∴∠C＝∠CEF＝36°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，内错角相等”找出的度数． 3．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，，，，则的度数为 ．    【答案】/125度 【分析】本题考查了平行线的性质，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，利用两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【详解】 解：如图，过点C作，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，如果，则角，，则 ．    【答案】/60度 【分析】过E作，得到，证得，，求出，，由此得到β． 【详解】解：过E作，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，还考查了平行公理的推论，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 5．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）【问题情景】（1）如图1，，，，求的度数； 【问题迁移】（2）如图2，已知，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由； 【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动改为点P在A，B两点外侧运动（点P与点A，B，O三点不重合）”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当在延长线上时，；当在延长线时，． 【分析】（1）过点P作，可得，根据平行线的性质求出和的度数即可解决问题； （2）过作交于，可得，根据平行线的性质得出，，进而可得出答案； （3）分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，根据角的和差可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点作，   ， ， ，， ，， ，， ； （2）； 理由：如图，过作交于，   ， ， ，， ； （3）当在延长线上时，如图：    过作交于， 同（2）可得：，， ； 当在延长线时，如图：    同（2）可得：，， ， 综上所述，当在延长线上时，；当在延长线时，． 【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 6．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．    (1)当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：，，三者的关系； (2)当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，理由见解析 【分析】（1）过点G作，而，可得，可得，，再利用角的和差公式可得答案； （2）如图，过点G作，而，可得，证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图；过点G作，而， ∴，    ∴，， ∴， ∴． （2）不成立． 理由如下：如图，过点G作，而， ∴，    ∴，， ∴， ∴． ∴不成立． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质并灵活应用是解本题的关键． 1．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）如图，，平分，，，．则下列结论错误的是（      ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，的度数；又由，即可求得的度数，得到平分；又由，即可求得与的度数； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴平分，故B正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∴，，故D错误； 故选：D． 2．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，将向左平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质求解，即可得到答案，解题的关键是掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【详解】解：∵向左平移得到， ∴，，的周长是， ∴， ∴四边形的周长， ， ， ， 故选：． 3．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）善思的雯雯发现英文大写字母“”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再证明，易得，然后根据求解即可． 【详解】解：如下图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，由推出，根据、都与地面平行，推出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 、都与地面平行， ， ， 故选：C． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质．掌握平移的性质和恰当分类是解题的关键．分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ， ， ∴ ． 当点在的延长线上时， ∵， ， ，， ． 故选：C． 6．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，直线、相交于点，射线于点，，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了垂直的定义和对顶角，由，得，再根据对顶角相等和角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和对顶角相等． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为 度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 8．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连接，使，在内部有射线，平分．则下列结论： ①； ②平分； ③； ④． 其中正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出β，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即平分，故②正确； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 即， ∴， 解得， 即，故③④正确； 故答案为：①②③④． 9．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答． 【详解】解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， 同理：作可证明： 作可证明：，， … 归纳可得： 由题意得：，解得． 故答案为：6． 10．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）一副三角尺按如图1所示摆放，边重合，固定含的三角尺不动，将含三角尺绕着点顺时针旋转，当 时，两块三角尺至少有一组边互相平行．    【答案】30，45，75，135，165 【分析】分五种情形，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，   ， 则，即； 如图，当时，   ， 则，即； 如图，当时，   ， 过点作，则， ，， ，即； 如图，当时，点、、共线，   ， ，即； 如图，当时，   ， 则， ，即， 综上所述，当，45，75，135，165时，两块三角尺至少有一组边互相平行 ， 故答案为：30，45，75，135，165． 【点睛】本题考查了旋转变换的性质、平行线的性质、特殊三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 11．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，在四边形中， ，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， 平分， ， ， ． 12．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为之间一点，连接，得到，请猜想与之间的数量关系 ； （2）如图2所示，已知，点E为之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系；并说明理由 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出之间的数量关系 ． 【答案】（1）；（2）；，理由见解析； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 类比迁移：如图3，过作，过作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 变式挑战：延长，，交于点，根据角平分线的定义和四边形的内角和定理，平角的定义即可得到结论． 【详解】（1）， 证明：过点作， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）如图2，作，， ， ， ，，，， ， ， 和的角平分线相交于， ， ； 类比迁移： ； 理由：如图3，过作，过作， ， ， ，， 由（1）知， 平分与的平分线相交于点， ，， ，， ， 即； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点， 同时平分和， ，， ， ，， ， 四边形中， ， 即． 故答案为：． 13．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如图，已知，，．求的度数． 以下是某位同学的解答过程，请在横线上填空，将解答过程补充完整． 解：如图，分别过点A，D作的平行线，． ∵，（辅助线）， ∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴，（            ）， （            ）． ∵，（已知），， ∴____________． ∴． ∵（已知），， ∴____________． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；． 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，分别过点A，D作的平行线，．则，根据平行线的性质得到，，，根据角之间的关系进一般求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A，D作的平行线，． ∵，（辅助线）， ∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴，（两直线平行，同旁内角互补）， （两直线平行，内错角相等）． ∵，（已知），， ∴． ∴． ∵（已知），， ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；． 14．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）已知点A，C，B不在同一条直线上，． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，，分别为，的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的前提下，且有，，试求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线的定义，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可得出、，将其代入即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）解：（1）在图①中，过点作， ∵ 则． ， ，， ． （2）解：在图②中，过点作，由得． ，， ，． 平分，平分， ，， ． ， ． （3）解：， ，， ． ， ． ， ∴， ，， ， ． 15．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）探索发现：（1）如图，已知直线，若，，求的度数； 归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系________； 实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？ 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及方位角的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等，列式作答即可． （2）根据两直线平行，内错角相等，列式，即可作答． （3）运用平行线的判定与性质以及平角的概念，进行角的运算，即可作答． 【详解】解：（1）过点P作，如图： ∵ ∴ ∴ ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴图中、、之间的数量关系； （3）如图：过点C作 依题意， ∴， ∴ 依题意， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$