暑假作业07 二元一次方程组应用（知识梳理+九大题型专练+能力拓展练）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二元一次方程组应用类型题精练 知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一：几何问题 1．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 2．如图，ABCD为一长条形纸带，，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（    ） A． B． C． D． 3．用如图①中的正方形和长方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将两种纸板全部用完，则的值可能是（    ）    A．200 B．201 C．202 D．204 题型二：方案问题 4． 2014年世界杯足球赛将于6月13日月14日在巴西举行.2014年巴西世界杯的吉祥物已经确定为一只可爱的三色犰狳（又称：铠鼠），吉祥物官方名称确定为“”（福来哥）（如图所示）．小鑫在一家销售巴西世界杯吉祥物的网站上，看到“福来哥”小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元．小鑫手上有元钱，想买大、小毛绒玩偶共个，如果将钱恰好用完，那么大、小毛绒玩偶各买了多少个？ 5．为实现“乡村振兴”战略目标，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，两次租用这两种货车的情况如下表： A货车（辆） B货车（辆） 总量（吨） 第一次 1 2 11 第二次 2 3 18 (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案设计出来？并算出最少费用． 6．为了丰富学生的阅读内容，拓展阅读活动，某校计划从甲、乙两家书店中购买《跟我学数学》和《数学名师讲解》）两种图书.甲、乙两家书店这两本书的标价相同.已知购买5本《跟我学数学》与购买4本《数学名师讲解》的价格相同；购买3本《跟我学数学》比购买2本《数学名师讲解》多花费10元． (1)分别求《跟我学数学》和《数学名师讲解》的单价． (2)书店推出多买多送活动，甲、乙两家书店的优惠方案如下： 甲书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《数学名师讲解》打六折． 乙书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《跟我学数学）打五折． 该校计划购买两种图书共60本，设购买《数学名师讲解》本． ①求当m为何值时，在两家书店所用的费用相同． ②当该校计划购买《数学名师讲解》28本，若只能在其中一家书店购买，请问在哪家书店购买划算？ 题型三：行程问题 7．滨德高速（S12）是连通滨州德州的重要路线，全长约144km．一辆小汽车，一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，“……”．设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h．可以列出方程组为．则“……”处省略的条件为（   ） A．相遇时货车比小汽车多行12km B．相遇45分钟后货车比小汽车少行12km C．相遇时小汽车比货车多行12km D．相遇45分钟后小汽车比货车多行12km 8．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 题型四：年龄问题 9．一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为 岁． 10．根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    题型五：数字问题 11．相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 12．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 题型六：和差倍分问题 13．某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作、两种型号的长方体框架模型，其中种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米．种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米． (1)请在图中补画出种型号的长方体框架的直观图； (2)如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架．请问做成、两种型号的长方体框架各有多少个？ 14．某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 题型七：销售、利润问题 15． “一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（    ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 16．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 元． 17．根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 18．为让学生们感受书香文化，学校组织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领．若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．求此次带队的教师人数．（列方程或方程组求解） 题型八：图表问题 19．如图1所示的是2022年5月份的月历，嘉淇用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若四个日期如图2所示，则下列关于，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 20．小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，中靶情况如图所示，规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则小颖得分为 ．    21．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题： 若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下） 题型九：古典数学问题 22．我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 23．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗．则可列方程组（    ） A． B． C． D． 24．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 25．某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 26．端午节来临之际，哈市“隆兴”饰品商店准备购进A、B两种品牌的挂件进行销售，已知若购进A品牌的挂件2个，B品牌的挂件3个，共需90元，若购进A品牌的挂件4个，B品牌的．挂件2个，共需100元． (1)求A、B两种品牌的挂件每个各多少元？ (2)若该饰品店购进A、B两种品牌的挂件共100个，其中A品牌的挂件每个售价为25元，B品牌的挂件每个售价为35元，A品牌的挂件很快售完，B品牌的挂件最后有10个打八折销售，售完全部挂件该饰品店共获利1230元，求该饰品店A、B两种品牌的挂件分别购进多少个？ 27．如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？ 28．根据以下素材，探索完成任务 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？ 任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？ 29．实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求： (1)，a的值． (2)当速度时该物体的运动时间t． 30．小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决： (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 31．五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 ． 去年售价 x 去年销量 a 去年销售额 今年售价 n 今年销量 m 32．问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 33．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 34．已知，如图1，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1)求α，β； (2)如图2，若点G，H分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 35．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 36．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 37．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．    (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 38．（2023·吉林·中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格． 39．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 试卷第30页，共31页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二元一次方程组应用类型题精练 知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一：几何问题 1．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据图示可得：， 故选：C． 2．如图，ABCD为一长条形纸带，，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 3．用如图①中的正方形和长方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将两种纸板全部用完，则的值可能是（    ）    A．200 B．201 C．202 D．204 【答案】A 【详解】解：设可以做竖式纸盒x个，横式纸盒y个， 由题意可得： ∴， ∵x，y均为整数， ∴为5的倍数， 而四个选项中只有200是5的倍数． 故选A． 题型二：方案问题 4． 2014年世界杯足球赛将于6月13日月14日在巴西举行.2014年巴西世界杯的吉祥物已经确定为一只可爱的三色犰狳（又称：铠鼠），吉祥物官方名称确定为“”（福来哥）（如图所示）．小鑫在一家销售巴西世界杯吉祥物的网站上，看到“福来哥”小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元．小鑫手上有元钱，想买大、小毛绒玩偶共个，如果将钱恰好用完，那么大、小毛绒玩偶各买了多少个？ 【答案】大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个． 【详解】解：设大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个， ∵大、小毛绒玩偶共个、小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元，购买总额为元， ∴， 解得：． 答：大毛绒玩偶买了5个，小毛绒玩偶买了10个． 5．为实现“乡村振兴”战略目标，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，两次租用这两种货车的情况如下表： A货车（辆） B货车（辆） 总量（吨） 第一次 1 2 11 第二次 2 3 18 (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载．若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案设计出来？并算出最少费用． 【答案】(1)1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨； (2)3种，940元 【详解】（1）解：设1辆型货车载满该农产品一次可运送吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送吨， 由题意可得：， 解得：， 答：1辆型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆型货车载满该农产品一次可运送4吨； （2）设租用型货车辆，型货车辆， 由题意可得：, ， 又，均为非负整数， 或或， 该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆型车，1辆型车； 方案2：租用5辆型车，4辆型车； 方案3：租用1辆型车，7辆型车， 方案1的费用：（元）， 方案2的费用：（元）， 方案3的费用：（元）， ， 方案3最省钱． 6．为了丰富学生的阅读内容，拓展阅读活动，某校计划从甲、乙两家书店中购买《跟我学数学》和《数学名师讲解》）两种图书.甲、乙两家书店这两本书的标价相同.已知购买5本《跟我学数学》与购买4本《数学名师讲解》的价格相同；购买3本《跟我学数学》比购买2本《数学名师讲解》多花费10元． (1)分别求《跟我学数学》和《数学名师讲解》的单价． (2)书店推出多买多送活动，甲、乙两家书店的优惠方案如下： 甲书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《数学名师讲解》打六折． 乙书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《跟我学数学）打五折． 该校计划购买两种图书共60本，设购买《数学名师讲解》本． ①求当m为何值时，在两家书店所用的费用相同． ②当该校计划购买《数学名师讲解》28本，若只能在其中一家书店购买，请问在哪家书店购买划算？ 【答案】(1)《跟我学数学》的单价为每本20元，《数学名师讲解》的单价为每本25元； (2)①当m为本时，在两家书店所用的费用相同；②在乙书店购买划算． 【详解】（1）解：设《跟我学数学》的单价为每本a元，《数学名师讲解》的单价为每本b元， 依题意得， 解得， 答：《跟我学数学》的单价为每本20元，《数学名师讲解》的单价为每本25元； （2）解：甲书店的费用：， 乙书店的费用：， ①依题意得，解得， 答：当m为本时，在两家书店所用的费用相同； ②当时， 甲书店的费用：（元）， 乙书店的费用：（元）， ， 答：在乙书店购买划算． 题型三：行程问题 7．滨德高速（S12）是连通滨州德州的重要路线，全长约144km．一辆小汽车，一辆货车分别从滨州、德州两地同时相向开出，经过45分钟相遇，“……”．设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h．可以列出方程组为．则“……”处省略的条件为（   ） A．相遇时货车比小汽车多行12km B．相遇45分钟后货车比小汽车少行12km C．相遇时小汽车比货车多行12km D．相遇45分钟后小汽车比货车多行12km 【答案】C 【详解】解：依题意∵设小汽车和货车的速度分别为xkm/h，ykm/h，全长约144km，经过45分钟相遇， ∴， ∵， ∴则“……”处省略的条件为相遇时小汽车比货车多行12km， 故选：C． 8．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 【答案】(1)①；②；(2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为 【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为， 则风速度为；逆风速度为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为． 题型四：年龄问题 9．一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为 岁． 【答案】42 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生， 则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁）， 设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即父亲今年的年龄为42岁， 故答案为：42． 10．根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 题型五：数字问题 11．相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为（　　）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：D． 12．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 题型六：和差倍分问题 13．某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作、两种型号的长方体框架模型，其中种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米．种型号长方体框架的长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米． (1)请在图中补画出种型号的长方体框架的直观图； (2)如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架．请问做成、两种型号的长方体框架各有多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)做成种型号的长方体框架有30个，做成种型号的长方体框架有50个 【详解】（1）解：如图： （2）设做成种型号的长方体框架有个，做成种型号的长方体框架有个． 由题意，得， 解得， 答：做成种型号的长方体框架有30个，做成种型号的长方体框架有50个． 14．某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子(2)2100元 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 题型七：销售、利润问题 15． “一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（    ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 【答案】B 【详解】解：设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴1千克“路丁茶”的价格是60元， 故选：B． 16．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 元． 【答案】675 【详解】解：设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元， 依题意得， 解得， ∴（元）， 故答案为：675． 17．根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 【答案】任务1：款咖啡销售单价8元，款咖啡销售单价10元；任务2：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 【详解】解：任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：款咖啡的销售单价是8元，款咖啡的销售单价是10元； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡， 根据题意得：， 解得：． 答：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 18．为让学生们感受书香文化，学校组织学生们去省图书馆阅读，计划将学生分若干小组管理，每个小组由一位教师带领．若每位教师带19名学生，则剩余26名学生；若每位教师带20名学生，则最后一位教师只需带5名学生．求此次带队的教师人数．（列方程或方程组求解） 【答案】此次带队的教师人数为人． 【详解】解：设此次带队的教师人数为人，学生有人， 由题意得：， 解得：， 答：此次带队的教师人数为人． 题型八：图表问题 19．如图1所示的是2022年5月份的月历，嘉淇用“”字形框在月历上框出四个数字，将该“”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若四个日期如图2所示，则下列关于，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：由图可知： ，解得：； 故选A． 20．小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，中靶情况如图所示，规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则小颖得分为 ．    【答案】 【详解】解：设投中小圆内得分，投中圆环内得分，依题意， 得， ∴小颖的得分为， 故答案为：． 21．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水，根据下图中给出的信息，解答下列问题： 若放入一个钢珠可以使液面上升，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面高度从上升到，则的整数值为 ．（球和钢珠完全在水面以下） 【答案】1或5或19 【详解】解：由题意得，一个小球上升， ∴设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米， ∴， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 其他数值均不能得到整数， ∴整数值可以取：1或5或19． 故答案为：1或5或19． 题型九：古典数学问题 22．我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 23．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗．则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.解：设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗， 根据题意可得， 故选：D． 24．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【答案】公鸡买4只，母鸡买18只 【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只， 依题意，得，                 解得：， 答：公鸡买4只，母鸡买18只． 25．某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【详解】解：设印刷机印制了，印刷机印制了， 两台印刷机完成该任务共需， ， 总共印制1000份， ， ， 设印刷机印制了份，印刷机印制了份， 总共印制1000份， ， 印刷机印制150份，印刷机印制200份， 印刷机印制小时，印刷机印制小时， ， ， 故选：C． 26．端午节来临之际，哈市“隆兴”饰品商店准备购进A、B两种品牌的挂件进行销售，已知若购进A品牌的挂件2个，B品牌的挂件3个，共需90元，若购进A品牌的挂件4个，B品牌的．挂件2个，共需100元． (1)求A、B两种品牌的挂件每个各多少元？ (2)若该饰品店购进A、B两种品牌的挂件共100个，其中A品牌的挂件每个售价为25元，B品牌的挂件每个售价为35元，A品牌的挂件很快售完，B品牌的挂件最后有10个打八折销售，售完全部挂件该饰品店共获利1230元，求该饰品店A、B两种品牌的挂件分别购进多少个？ 【答案】(1)A品牌的挂件每个15元，B品牌的挂件每个20元(2)购进A品牌的挂件40个，B品牌的挂件60个 【详解】（1）解：设A品牌的挂件每个元，B品牌的挂件每个元，根据题意得 解得 答：A品牌的挂件每个15元，B品牌的挂件每个20元． （2）设购进A品牌的挂件个，B品牌的挂件个，根据题意得 解得 答：购进A品牌的挂件40个，B品牌的挂件60个． 27．如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？ 【答案】在边上取一点，使，连接，把分成两个三角形，在中种植种花草，在中种植种花草． 【详解】解：如图，设是上一点，，． 根据题意，得 解得 在边上取一点，使，连接，把三角形分成两个三角形，在中种植种花草，在中种植种花草． 28．根据以下素材，探索完成任务 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？ 任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元；任务2：共有2种购买方案；任务3：班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯 【详解】任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元， 由题意得， 解得， 所以，A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元； 任务2：设A款奶茶为a杯，B款奶茶的销售单价为b杯， 由题意得， ∵a、b均为正整数， ∴或， 所以，共有2种购买方案； 任务3：设班主任购买的奶茶中A型不加料的奶茶买了m杯，A型加料的奶茶和B型不加料的奶茶买了n杯，则B型加料的奶茶买了杯， 由题意得， ∴， ∵均为正整数， ∴， ∴（杯）， 所以，班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯． 29．实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求： (1)，a的值． (2)当速度时该物体的运动时间t． 【答案】(1)(2)7.2 【详解】（1）∵时，速度；当时，速度， ∴， 解得； （2）由（1）得， 当时，， 解得． 30．小颖同学在学习了方程的内容后，用学习方程时积累的经验解决我国古代数学著作《九章算术》中的“燕雀问题”：“五只雀六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？”．尝试解决： (1)用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 每只重量只数总重量． (2)设未知数，并用含有未知数的代数式表示其他量； (3)列方程(组)： 从表格中她发现有4个未知量，分别是：雀、燕每只的重量；5只雀、6只燕的重量． ①尝试设一个未知数解决． 如果设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为_____两，6只燕的总重量为_____两，每只燕的重量为_____两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为_____．同样也可设5只雀的总重量(略)； ②尝试设两个未知数解决， 如果设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为 ，同样也可设5只雀、6只燕的总重量(略)； 反思提炼： 经过上面的几个步骤可以将实际问题变成一个方程问题，这种思想方法在数学中通常称为数学建模．从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此_______是解决含有多个未知数问题的重要工具． 【答案】(1)见解析 (2)每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一） (3)①，，，；②，方程组 【详解】（1）解：设每只雀重量x两， 用表格梳理出数量关系如下： 每只重量（两） 数量（只） 总重量（两） 雀 5 燕 6 相互关系 互换1只一样重 共16 （2）设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两， 即：每只雀重量x两，5只雀的总重量为两，每只燕的重量为两，6只燕的总重量为两（答案不唯一）； （3）①设每只雀重量x两，则5只雀的总重量为两，6只燕的总重量为两，每只燕的重量为两，连接已知量和未知量的相等关系是“互换1只一样重”，于是列方程为． 故答案为：，，，； ②设每只雀重量为x两，每只燕重量为y两，连接已知量和未知量的相等关系是“五只雀六只燕，共重十六两”、“互换1只一样重”可列方程组为， 从以上探究可以看出，对于“燕雀问题”列一元一次方程解决比较复杂，因此方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具． 故答案为：，方程组． 31．五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为 ． 【答案】 【详解】解：设去年礼盒的售价为x，则礼盒B的售价为， 去年A，B，C三个礼盒的销量分别为，，， ∴去年的销售额分别为，，， ∴C的售价为， 今年B的售价为n，A的销量为m，根据题意得到表格： 去年售价 x 去年销量 a 去年销售额 今年售价 n 今年销量 m 由表格以及题意得：， ，得， 代入解得：， ∴今年礼盒与礼盒的售价之比为： 故答案为： ． 32．问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①③④(2)①；②立方厘米(3)厘米或厘米或厘米 【详解】（1）解：根据展开图的折叠， ②中最左边的长方形与最下面的长方形的宽不相等，故不能折成一个无盖长方体纸盒， ①③④才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 33．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650(2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 34．已知，如图1，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，，且． (1)求α，β； (2)如图2，若点G，H分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论； (3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图3），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不变，． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：． 理由：∵， ∵平分 ， ∵， ， ∴； ， ， ， ∴， ， ， ； （3）解：的值不变，． 理由：如图3中，作的平分线交的延长线于． ∵， ， ，， ， ∴， ， 设，， 则有：，可得， ． 35．（2023·四川遂宁·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 36．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷， 根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得 根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得， 可列 故选：C． 37．（2023·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．    (1)求一块长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为． 依题意得： ， 解得： ， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为． （2）求电视背景墙的面积为：． 答：电视背景墙的面积为． 38．（2023·吉林·中考真题）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格． 【答案】每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元． 【详解】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元， 由题意得：， 解得， 答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元． 39．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆 (2)租14辆45座客车较合算 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆； （2）∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆， ，， ∵ ∴租14辆45座客车较合算． 试卷第30页，共31页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$