1.1.1空间向量及其线性运算（2课时）（教学设计）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1《空间向量及其线性运算》教学设计 （ 2课时 第1周 ） 班级： 姓名： 分数： . 一.教学目标 1.认识空间向量的实际背景，理解空间向量的相关概念（数学抽象、直观想象）； 2.理解与掌握空间向量的线性运算、运算法则、共线向量与共面向量，并能灵活运用其来求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算）. 二.教学过程 (一)情景问题——滑翔伞运动（导学） 1.情景：滑翔伞运动 滑翔伞飞行运动是飞行员驾翼型伞衣，利用空气升力起飞翱翔的一项航空运动。 可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等. 2.问题 显然，这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题. 【设计意图】通过情景问题的创设，自然引申出本节课的教学重点——空间向量的概念. （二）探究新知1——空间向量的相关概念（互学） 1.空间向量的定义、长度（或模）及表示 （1）定义：如图，与平面向量一样，在空间中我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. （2）长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. （3）表示方法 ①符号表示：空间向量常用黑体的小写字母（印刷体）或带箭头的小写字母（手写体）表示向量. 例如 空间向量(或 ), ( 或 ),(或 )…… ②几何表示：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模. 如图，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 在右图的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为, , ，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量. 2.特殊的空间向量 (1)零向量：与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记作 0（或）. 注：① 的模为0，即 ； ② 的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向. ③当有向线段的起点与终点重合时，. (2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量，通常用表示，即 . 注：任何一个非零向量都有它的单位向量，且 3.空间向量间的特殊关系 （1）相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 如图 向量与为相等向量，记作. 注：①任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关； ② 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量或相等向量，因为向量完全由它的模和方向确定. （2）相反向量 如图，与向量长度相等且方向相反的向量叫做的相反向量，记作. 注①向量的相反向量为，且； ②向量的相反向量为，且； ③规定：的相反向量为，记作. （3）共线向量(或平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定:零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有. 注： 如图,已知 ,, 是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在上分别作出 ,,． 这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 因此，平行向量也叫做共线向量 . （4）共面向量 空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合， 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 如图，已知空间向量 ,，以任意点为起点，作向量 ,，我们就可以把它们平移到同一个平面内. 【设计意图】通过观察正方体中的空间向量，让学生更加深刻、形象地掌握空间向量的相关概念，同时也潜意识地培养了学生数学抽象、直观想象的核心素养. (三)小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 如图，在长方体中，分别为的中点. (1)写出与向量相等的向量; (2)写出与向量相反的向量; (3)写出与向量平行的向量 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间向量的相关概念. （4） 成果展示1(迁移变通、检测实践) 例1解: (1)由相等向量的定义知,大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，与相等的向量为 ; (2)由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量,与相反的向量为 ; (3)由平行向量的定义知，方向相同或相反的非零向量为平行向量，与平行的向量为 . 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师的同时，也从自己的角度牢固掌握空间向量的相关概念，锻炼学生的语言表达能力的同时，也培养了学生直观想象、数学抽象的核心素养. （五）探究新知2——空间向量的线性运算（互学） 1.引言 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算. 如图，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算. 由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算. 2.空间向量加法的运算法则 （1）空间向量加法的三角形法则 如图，已知非零向量 ,，在空间中任取一点，作 ,，则向量 叫做 与 的和，记作， 即 =. （语言表达）：两个向量的求和，等于先把第一个向量的尾端和第二个向量的首端连接，那么连接第一个向量的首端与第二个向量的尾端得到的向量即为这两个向量的和. 即向量加法的三角形法则简称为“首尾相连接”. （2）空间向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点为起点的两个已知向量 ,，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量(是平行四边形的对角线)就是向量 与 的和. 即 温馨提示 : 应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. （3）空间向量减法的三角形法则 ①作法 如图，已知非零向量 与 , 在空间内任取一点，作 ， ， ∵据向量加法的三角形法则有 ∴ ②几何意义 对于具有公共起点的非零向量 与 可以表示为从向量的终点指向向量 的终点的向量. 注：向量减法的运算法则可以简称为具有公共起点的两向量“尾尾倒相连”. 3.空间向量的数乘运算 （1）定义 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： （2） 的长度为： | |=|λ|| |； （3） 的方向为： ①当时， 的方向与的方向相同； ②当时， 的方向与的方向相反； ③当时， . 温馨提示 A.向量的数乘 仍是一个向量； B. 实数与向量 不能相加减. 5.空间向量的线性运算及其运算律 与平面向量一样， 空间向量的加、减、数乘运算统称为空间向量的线性运算，且空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): （1）交换律: ; （2）结合律:; （3）分配律:. 思考：你能证明这些运算律吗?证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同? 6.空间中三个不共线向量的和的几何意义 （1）探究：如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量，从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗? 一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? （2）分析： 可以发现，. 一般地，对于空间中三个不共面的向量 , ,以任意点为起点， , 为邻边作平行六面体，则 , 的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量； 【设计意图】通过图形的辅助讲解空间向量的线性运算，使抽象的数学知识变得形象生动、易于理解，同时也培养学生数形结合的数学思想. (六)小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例2 如图，分别是长方体的棱的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间向量的线性运算. （七）成果展示2(迁移变通、检测实践) 例2解： (1) ； (2) ; (3) ; (4) . (八)探究新知3——共线向量与共面向量 1.共线向量的充要条件 对任意两个空间向量 ,（ ），的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使得 . 2.直线的方向向量 如图, 是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在唯一一个实数，使得 , 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. 这样,直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 注1：与直线l平行的任意非零向量都叫做直线的非零向量； 注2：因为的方向是任意的，所以不能作为直线的方向向量. 共面向量 3.共面向量 （1）向量与直线平行：如图 ，如果表示向量的有向线段 所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线. （2）向量与平面平行：如果直线 平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. （3）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 4.三个空间向量共线的充要条件 由平面向量基本定理可知， 如果空间中两个向量 ,不共线，那么向量 与向量 ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使 . 【设计意图】通过图形的辅助讲解共线向量和共面向量的相关知识，使抽象的数学知识变得形象生动、易于理解，同时也培养学生数形结合的数学思想. （九）小组合作、讨论交流3(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例3 如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，在四条射线上分别取点使 . 求证:四点共面. 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间中四点共面的证明方法. （十）成果展示3(迁移变通) 证明： ∵ ∴ ,, , , 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 向量 共面 又∵ 过同一点 ∴四点共面. 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师的同时，也从自己的角度牢固掌握向量的线性运算和共面向量的充分条件，锻炼学生的语言表达能力的同时，也培养了学生数学抽象、数学运算的核心素养. 三、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识了空间向量的实际背景，理解了空间向量的相关概念（数学抽象、直观想象）； 2.理解与掌握了空间向量的线性运算、运算法则、共线向量与共面向量，并能灵活运用其来求解相关的实际问题（数学抽象、数学运算）. 四、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$