20.2024年学业水平考试预测模拟卷(二)-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 115 — — 116 — — 117 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. 在-4,-2,2,4 中,比-3 小的数是 (　 　 ) A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 2. 将一副直角三角尺按如图所示摆放,其中∠ABC = ∠MAN = 90°,∠BAC = 45°,∠N = 30°。 若 MN∥BA, 则∠CAM 等于 (　 　 ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 3. 原子是化学变化中的最小微粒,按照国际单位制的规定,质量单位是“千克”。 例如:1 个氧原子的质 量是 2. 657×10-26 kg。 若小数 0. 000…026 57 用科学记数法表示为 2. 657×10-26,则这个小数中第一个 非零数前面“0”的个数为 (　 　 ) A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 4. 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2 +a3 =a5 B. ( -2a2) 3 ÷ a 2( ) 2 = -16a4 C. 5a-1 = 1 5a D. ( -m) 7 ÷( -m) 2 = -m5 5. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图所示,小正方形中的数字表示该位置的小 正方体的个数,则这个几何体的左视图是 (　 　 ) A 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 　 D 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A( -2,0),B( -1,2),以原点为位似中心,将线段 AB 放大得 到线段 CD。 若点 C 的坐标为( -6,0),则点 D 的坐标为 (　 　 ) A. (3,6) B. ( -3,6) C. (2,4) D. ( -2,4) 7. 计算 1 2( ) -2 -23 ×0. 125+20 + | -1 |的结果是 (　 　 ) A. 5 B. 3 C. -3 D. 4 8. 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,过点 O 作弦 AD 的垂线,交☉O 于点 E,F,交 AC 于点 C。 若∠C= 27°,则∠BFD 等于 (　 　 ) A. 30° B. 32° C. 38° D. 27° 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的点 A 和点 C 分别落在 y 轴和 x 轴的正半轴上,OC = 8,直线 l:y= 2x+6 经过点 A,将直线 l 向下平移 m 个单位长度。 若直线可将矩形 OABC 的面积平分,则 m 的 值为 (　 　 ) A. 6 B. 9 C. 11 D. 5 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AD= 9 cm,AB= 3 cm,将其沿 EF 翻折,使点 C 与点 A 重合,则折痕 EF 的长为 (　 　 ) A. 10 cm B. 4 cm C. 15 cm D. 5 cm 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 若一个函数的图象经过点( -1,2),则这个函数的表达式可以为　 　 　 　 　 。 (只写一个即可) 12. 在绘画比赛中,小明的作品《美丽的校园》获得 5 位评委给出的分数如下: 评委人数 1 2 2 小明得分 9. 7 9. 3 9. 1 则小明得分数据的方差是　 　 　 　 。 13. 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形和正八边形组成的,其中部分小正方形涂 有阴影,以此规律,第 n 个图案中涂有阴影的小正方形的个数为　 　 　 　 。 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 14. 在新农村建设中,某村依托当地位置条件、资源特色和市场需求,围绕体验性、参与性和互动性,打 造了一批休闲农业类旅游景点。 如图是景区五个景点 A,B,C,D,E 的平面示意图,B,A 在 C 的正西 方向,D 在 C 的正北方向,D,E 在 B 的北偏东 30°方向,E 在 A 的东北方向上,C,D 相距 2 000 3 m, E 在 BD 的中点处,则景点 B,A 之间的距离为 　 　 　 　 m。 (结果保留根号) 15. 如图,在▱ABCD 中,AB=BC= 2,∠ABC = 60°,过点 D 作 DE∥AC,DE = 1 2 AC,连接 AE,则△ADE 的周 长为　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分。 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (10 分)如图,AB = CD,且∠DCA = ∠BAC,试用两种不同的判定方法说明四边形 ABCD 是平行四 边形。 17. (10 分)先化简,再求值: 4a a2 -4 +a -2 a+2( ) ÷ 1 a2 -4 ,其中 a= 5 。 18. (10 分)如图,一次函数 y= kx+b 与反比例函数 y= m x (x>0)的图象相交于点 A(1,3),B(3,n),与坐标 轴分别相交于点 P,Q,过点 B 作 BC⊥OP 于点 C。 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求四边形 ABCO 的面积。 20 2024 年学业水平考试预测模拟卷(二) (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 118 — — 119 — — 120 — 19. (10 分)某省政府高度重视学前教育,2021 年一般公共预算教育经费投入达 733. 4 亿元,据 2022 年 7 月统计显示:普惠性幼儿园覆盖率达 84. 83% ,高于全国平均水平,这项工作持续推进。 某幼儿园 建设工程由甲、乙两个工程队共同承担主体工程建设任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独 施工完成此项任务多用 10 天,且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同。 (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天? (2)若甲、乙两队在一项工程中共同工作 3 天后,乙队因工作需要停止施工,由甲队继续施工,为了 不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的 2 倍,要使甲队总的工作量不少于乙队工作量的 2 倍,那么甲队至少再单独施工多少天? 20. (12 分)2022 年是中国共产党成立 101 周年,全国人民积极学习中国共产党团结带领中国人民从站 起来、富起来到强起来的奋斗历史。 优秀学习平台“齐鲁 APP”的“自测自学”栏目中还设置了“专 题赛”,内容包括“十九大精神”“平语近人”“疫情防控”“党章党规”四个专题赛,某教育系统管理员 随机对某天参与“党章党规”竞赛的部分党员成绩进行了分析,成绩包括优秀、良好、及格、不及格。 并将调查结果绘制成如下两幅统计图。 请根据图中信息,解答下列问题: (1)本次共调查了　 　 　 　 名党员,条形统计图中的 m= 　 　 　 　 ; (2)若该系统这天共有 360 名党员参与了“党章党规”专题竞赛,请你估计成绩优秀的人数为多少; (3)调查发现某单位四名党员“党章党规”专题竞赛成绩均为 100 分,其中有 3 名女党员、1 名男党 员。 若准备从他们中随机抽取 2 名,参加“双人对战”,请用树状图或列表法求恰好抽中一男一女的 概率。 21. (12 分)请阅读下列材料,并完成相应的任务: 【阅读材料】 人类对于一元二次方程的研究经历了漫长的岁月,例如,古希腊数学家丢番图在《算术》中就已经提 到了一元二次方程的问题;阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的著作《代数学》中第一次给出了一元二 次方程的一般代数解法及几何证明;我国南宋的数学家杨辉研究了一元二次方程的解法等等。 数学社团的同学们探究发现用图解法可以求某些特殊的一元二次方程的正实数根(注:在这里图解 法是对数量关系进行适当的几何解释,把代数问题转化为几何问题)。 下面是用图解法求解一元二次方程 x2 +x-1 = 0 的一个正根的过程: 如图 1,剪一张边长为 1 的正方形纸片 ABCD,先折出 BC 的中点 E,再折出线段 AE,然后通过折叠使 BE 落在线段 AE 上,折出点 B 的新位置点 B1,因而 B1E =BE。 类似地,在 AB 上折出点 B2,使 AB2 = AB1。 此时线段 AB2 的长度可以用来表示一元二次方程 x2 +x-1 = 0 的一个正根。 【任务】 (1)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性; (2)反思解法,请说出这种方法在解一元二次方程中存在的问题 　 ; (写出一个,合理即可) (3)数学活动小组的同学们通过探究得到了用图解法求方程 x2 +x-1 = 0 的一个正根的另一种解法: 如图 2,剪一张边长为 1 的正方形纸片 ABCD,先折出 AD,BC 的中点 G,H,再折出线段 AH,然后通过 沿线段 AN 折叠使 AD 落在线段 AH 上,折出点 D 的新位置点 P,因而 AD = AP,此时 x2 +x-1 = 0 的 一个正根可以用线段　 　 　 　 的长度表示。 图 1　 　 　 　 　 　 图 2 22. (13 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC= ∠DCB,E 是 BC 上一点,且 DE∥AB,过点 B 作 BF∥AD 交 DE 的延长线于点 F,连接 CF,CF=BF。 (1)求证:△ADE≌△FCD; (2)如图 2,连接 BD 交 AE 于点 G。 ①若 AG=CD。 求证:BC 平分∠DBF; ②若 BD∥CF,求CF BD 的值。 图 1 　 图 2 23. (13 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= - 4 5 x2 +24 5 x-4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,C(点 B 在点 C 的左侧),其对称轴与 x 轴交于点 D。 (1)求点 A,B,C 的坐标; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使△PAB 的周长最小? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不 存在,说明理由; (3)连接 AC,在直线 AC 上方的抛物线上,试探究是否存在一点 E,使△EAC 的面积最大? 若存在,请 求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由。 ∴ S△BAH = 2S△BMC = 1 2 AB·h= 4。 解得 h= 2。 ∴ 点 H 的纵坐标为 4,代入 y= 1 4 x2 +1, 得 x= ±2 3 。 ∴ 存在符合条件的点 H,其坐标为 ( 2 3 ,4) 或 (-2 3 ,4)。 20 2024 年学业水平考试预测模拟卷(二) 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B D C B A D C A 1. A　 【解析】∵ | -4 | = 4, | -2 | = 2,∴ 比-3 小的数是 -4。 故选 A。 2. B　 【解析】∵ ∠ABC= ∠MAN= 90°,∠N= 30°, ∴ ∠M= 60°。 ∵ MN∥BA,∴ ∠M= ∠BAM= 60°。 ∴ ∠CAM = ∠BAM - ∠BAC = 60° - 45° = 15°。 故 选 B。 3. B　 【解析】若小数 0. 000…026 57 用科学记数法表 示为 2. 657× 10-26,则这个小数中第一个非零数前 面“0”的个数为 26。 故选 B。 4. D　 【解析】A. a2 +a3,无法计算,故此选项错误; B. (-2a2) 3 ÷ ( a2 ) 2 = - 8a6 ÷ a 2 4 = - 32a4,故此选项 错误;C. 5a-1 = 5 a , 故此选 项 错 误; D. ( - m) 7 ÷ (-m) 2 = -m5,故此选项正确。 故选 D。 5. C　 【解析】由俯视图中的数字可得左视图有 2 列, 从左到右分别是 2,2 个正方形。 故选 C。 6. B　 【解析】由题意,得△OAB 与△OCD 为位似图 形,∴ △OAB∽△OCD。 ∵ 点 A(-2,0),C(-6,0),∴ OA= 2,OC= 6。 ∴ △OAB 与△OCD 的相似比为 1 ∶ 3。 ∴ 点 D 的坐标为( - 1 × 3,2 × 3),即( - 3,6)。 故 选 B。 7. A　 【解析】原式= 4-8×0. 125+1+1 = 4-1+1+1 = 5。 故选 A。 8. D　 【解析】∵ AC 是☉O 的切线,∴ ∠BAC= 90°。 ∴ ∠CAD+∠BAD= 90°。 ∵ EF⊥AD,∴ ∠C+∠CAD= 90°。 ∴ ∠BAD= ∠C= 27°。 ∴ ∠BFD= ∠BAD= 27°。 故选 D。 9. C　 【解析】如图,连接 AC,OB 交于点 D。 在直线 l:y = 2x+6 中,当 x = 0 时,y= 6, ∴ 点 A 的坐标为(0,6)。 又∵ OC= 8,∴ 点 B 的坐标为(8,6)。 当直线 l 经过点 D 时,该直线可将矩形 OABC 的面 积平分。 ∵ AC,OB 是矩形 OABC 的对角线,∴ OD=BD。 ∵ 点 O(0,0),B(8,6),∴ 点 D(4,3)。 将直线 l 向下平移 m 个单位长度,则平移后直线的 表达式为 y= 2x+6-m。 ∵ 点 D(4,3),∴ 3 = 2× 4+ 6-m。 解得 m = 11。 故 选 C。 10. A　 【解析】如图,过点 F 作 FG⊥AD,垂足为 G。 根据折叠性质可得 DE = D1E,AF=CF。 在 Rt△AD1E 中, AD21 +D1E 2 =AE2,即 32 +DE2 =(9-DE) 2。 解得 DE= 4。 ∴ AE= 5 cm。 在 Rt△ABF 中,AB2 +BF2 = AF2,即 32 +(9-AF) 2 = AF2。 解得 AF= 5。 ∴ BF= 4 cm。 ∴ AG = 4 cm。 ∴ EG = 1 cm。 ∴ EF = 12 +32 = 10 cm。 故选 A。 11. y= -2x(答案不唯一) 　 【解析】答案不唯一,设这 个函数的表达式为 y = kx。 把点(- 1,2)代入,得 2 = -k,解得 k = - 2。 ∴ 这个函数的表达式为 y = -2x。 12. 0. 048　 【解析】平均数是(9. 7× 1+ 9. 3× 2+ 9. 1× 2)÷5 = 9. 3, 方差是 s2 = 1 5 ×[(9. 7- 9. 3) 2 +(9. 3- 9. 3) 2 × 2+ (9. 1-9. 3) 2 ×2] = 0. 048。 13. 3n+2　 【解析】∵ 第 1 个图案中有 5 = 3×1+2 个涂 有阴影的小正方形, 第 2 个图案中有 8 = 3 × 2 + 2 个涂有阴影的小正 方形, 第 3 个图案中有 11 = 3×3+2 个涂有阴影的小正方 形…… ∴ 第 n 个图案中有( 3n+ 2) 个涂有阴影的小正 方形。 14. 1 000( 3 -1) 　 【解析】如图,过 点 E 作 EF⊥AC 于点 F。 在 Rt△BCD 中, BD= CD cos 30° = 2 000 3 3 2 =4 000(m)。 ∵ E 在 BD 的中点处,∴ BE= 2 000 m。 在 Rt△BEF 中,EF = BE·cos 30° = 2 000 × 3 2 = 1 000 3(m), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96— BF=BE·sin 30° = 2 000× 1 2 = 1 000(m)。 ∵ AF=EF= 1 000 3 m, ∴ AB=AF-BF= 1 000 3 -1 000 = 1 000( 3 -1)m。 15. 3 + 7 　 【解析】如图, 连接 BD 与 AC 相交于 点 O,连接 CE。 ∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,AB=BC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形。 ∵ 菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, ∴ OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,BD 平分∠ABC。 ∵ ∠ABC= 60°,AB= BC,∴ △ABC 是等边三角形。 ∴ AC=AB= 2。 ∴ OA=OC= 1 2 AC= 1,OD=OB= 3 2 AC= 3。 ∵ DE= 1 2 AC= 1,∴ DE=OC。 ∵ DE∥AC,∴ 四边形 OCED 是平行四边形。 ∵ AC⊥BD,∴ 四边形 OCED 是矩形。 ∴ ∠OCE= 90°,CE=OD= 3。 在 Rt△ACE 中,AE= AC2+CE2 = 22+( 3)2 = 7, ∴ △ADE 的周长为 2+1+ 7 = 3+ 7。 16.解:方法一: ∵ AB=CD,∠BAC= ∠DCA,AC=CA, ∴ △ABC≌△CDA(SAS)。 ∴ BC=AD。 ∵ AB=CD,BC=AD, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 方法二: ∵ ∠BAC= ∠DCA,∴ AB∥CD。 又∵ AB=CD, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 17.解:原式= 4a +(a-2) 2 a2 -4 ·(a2 -4) = 4a+a2 -4a+4 =a2 +4。 当 a= 5时,原式= ( 5 ) 2 +4 = 9。 18.解:(1)∵ 点 A 在反比例函数的图象上, ∴ 代入 y= m x ,得 3 = m 1 。 解得 m= 3。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 3 x 。 ∴ 当 x= 3 时,y= 1。 ∴ n= 1。 ∴ 点 B(3,1)。 ∵ 点 A,B 在一次函数的图象上, ∴ k+b= 3, 3k+b= 1。{ 解得 k= -1, b= 4。{ ∴ 一次函数的表达式为 y= -x+4。 (2)由(1)可知当 x= 0 时,y= 4。 当 y= 0 时,x= 4。 ∴ 点 Q(0,4),P(4,0)。 ∴ S四边形ABCO =S△QOP-S△AQO-S△BCP = 1 2 ×4×4- 1 2 ×4× 1- 1 2 ×1×1 = 11 2 。 19.解:(1)设乙队单独完成此项任务需 x 天。 根据题意,得 45 x+10 = 30 x 。 解得 x= 20。 经检验,x= 20 是所列方程的根,且符合实际。 ∴ x+10 = 20+10 = 30。 答:甲、乙两队单独完成此项任务各需 30 天和 20 天。 (2)设甲队再单独施工 y 天。 根据题意,得 3 30 + 2y 30 ≥2× 3 20 。 解得 y≥3。 答:甲队至少再单独施工 3 天。 20.解:(1)60　 20 (2)360×12 60 = 72(人)。 答:估计成绩优秀的人数为 72。 (3)列表如下: 男 女 1 女 2 女 3 男 女 1,男 女 2,男 女 3,男 女 1 男,女 1 女 2,女 1 女 3,女 1 女 2 男,女 2 女 1,女 2 女 3,女 2 女 3 男,女 3 女 1,女 3 女 2,女 3 从四名党员中随机抽取 2 名,共有 12 种情况,且 每种情况出现的可能性相同,其中恰好抽中一男 一女的情况有 6 种,所以恰好抽中一男一女的概 率为 6 12 = 1 2 。 21.解:(1)设 AB2 = x,则 AB1 = x。 ∵ B1E=BE= 1 2 ,∴ AE= x+ 1 2 。 在 Rt△ABE 中,∵ BE2 +AB2 =AE2 , ∴ 1 2( ) 2 +12 = x+ 1 2( ) 2 。 ∴ x2 +x-1 = 0。 ∴ 线段 AB2 的长度可以用来表示一元二次方程 x2 +x-1 = 0 的一个正根。 (2)只能求解正根,不能求解负根(合理即可) (3)DN 22. (1)证明:∵ DE∥AB,∴ ∠DEC= ∠ABC。 ∵ ∠ABC= ∠DCB,∴ ∠DEC= ∠DCB。 ∴ DE=CD。 ∵ DE∥AB,BF∥AD, ∴ 四边形 ABFD 是平行四边形。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —07— ∴ AD=BF,∠ADE= ∠ABF。 ∵ CF=BF,∴ ∠FBC= ∠FCB,AD=CF。 ∴ ∠ABC + ∠FBC = ∠DCB + ∠FCB, 即 ∠ABF = ∠FCD。 ∴ ∠ADE= ∠FCD。 在△ADE 和△FCD 中, AD=FC, ∠ADE= ∠FCD, DE=CD, { ∴ △ADE≌△FCD(SAS)。 (2)①证明:如图,连接 CG。 由(1)得△ADE≌△FCD, ∴ ∠DEA= ∠CDF。 ∴ AE∥CD。 ∵ AG=CD, ∴ 四边形 AGCD 是平行四边形。 ∴ CG∥AD,CG=AD。 ∵ AD=BF,AD∥BF,∴ CG∥BF,CG=BF。 ∴ 四边形 BFCG 是平行四边形。 ∵ CF=BF,∴ 平行四边形 BFCG 是菱形。 ∴ BC 平分∠DBF。 ②解:∵ DE∥AB, ∴ ∠BAE= ∠DEA,∠ABE= ∠DEC。 ∴ ∠BAE= ∠CDF。 ∴ △ABE∽△DEC。 ∴ AB DE =BE EC 。 ∵ 四边形 ABFD 是平行四边形,∴ AB=DF。 ∴ DE DF =CE BE 。 由①可知,四边形 BFCG 是平行四边形, ∴ BD∥CF。 ∴ △BDE∽△CFE。 ∴ CF BD =CE BE =FE DE 。 ∴ DE DF =EF DE 。 ∵ DF=DE+EF, ∴ DE DE+EF =EF DE ,即 DE2 =DE·EF+EF2 。 两边除以 DE2 ,得 1 =EF DE + ( EFDE ) 2 。 解得 EF DE = 5 -1 2 或 EF DE = - 5 -1 2 (舍去)。 ∴ CF BD =EF DE = 5 -1 2 。 23.解:(1)当 x= 0 时,y= -4。 ∴ 点 A 的坐标为(0,-4)。 当 y= 0 时,- 4 5 x2 +24 5 x-4 = 0。 解得 x1 = 1,x2 = 5。 ∵ 点 B 在点 C 的左侧, ∴ 点 B,C 的坐标分别为(1,0),(5,0)。 (2)在抛物线的对称轴上存在一点 P,使△PAB 的 周长最小。 ∵ 点 B,C 的坐标分别为(1,0),(5,0), ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 3。 ∴ 点 D 的坐标为(3,0)。 如图,连接 AC 与抛物线的对称轴交于点 P,此时 PA+PB 最短,即△PAB 的周长最小。 设直线 AC 的函数表达式为 y= kx+b。 把点 A(0,-4),C(5,0)代入,得 b = -4, 5k+b= 0。{ 解得 k= 4 5 , b= -4。 { ∴ y= 45 x-4。 ∵ 点 P 的横坐标为 3,∴ y= 4 5 ×3-4 = - 8 5 。 ∴ 点 P 3,- 8 5( ) 。 ∴ 在抛物线的对称轴上存在一点 P 3,- 8 5( ) ,使 △PAB 的周长最小。 (3)在直线 AC 上方的拋物线上存在一点 E,使 △EAC 的面积最大。 设点 E 的坐标为 t,- 4 5 t2 + 24 5 t-4( ) (0<t<5)。 如图,过点 E 作 EF∥y 轴交 AC 于点 F,交 x 轴于 点 H,过点 A 作 AG⊥EF 于点 G。 由(2)知,直线 AC 的表达式为 y= 4 5 x-4, ∴ 点 F t, 4 5 t-4( ) 。 此时 EF= - 4 5 t2 +24 5 t-4- 4 5 t-4( ) = - 45 t 2 +4t。 ∵ AG+CH=OH+HC=OC= 5, ∴ S△EAC = S△AEF + S△CEF = 1 2 AG·EF + 1 2 EF·CH = 1 2 EF · OC = 1 2 - 4 5 t2 +4t( ) × 5 = - 2t2 + 10t = -2 t- 5 2( ) 2 +25 2 。 ∴ 当 t= 5 2 时,△EAC 的面积最大。 ∵ 当 t= 5 2 时,y= - 4 5 t2 +24 5 t-4 = 3, ∴ 点 E 的坐标为 5 2 ,3( ) 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —17—