18.2023年博山区学业水平第三次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 103 — — 104 — — 105 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 中国航天科技的蓬勃发展,已在世界航天领域占据重要地位。 下列中国航天的图标中,其文字上方 的图案是中心对称图形的是 (　 　 ) A B C D 2. 下列各组数中,互为相反数的是 (　 　 ) A. 3 和 | -3 | B. - | -3 |和-( -3) C. -3 和 3 -27 D. -3 和 1 3 3. 若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,依次按键 2ndF 　 3 = ,对应的计算是 (　 　 ) A. 23 B. 32 C. 3 3 D. 3 4. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. x3 -x= x2 B. ( -2x2) 3 = -6x5 C. (x+2) 2 = x2 +4 D. (2x2y) ÷(2xy)= x 5. 如图所示的电路图中,当随机闭合 S1,S2,S3,S4 中的两个开关时,灯泡能发光的概率为 (　 　 ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,　 　 　 　 ,AC= 9 cm,BC = 3 cm,要使△ACD 和△BCD 的周长差是 6 cm,则横线上 加的条件为 (　 　 ) A. CD 是边 AB 上的中线 B. CD 是∠ACB 的平分线 C. CD 是边 AB 上的垂线 D. CD 是△ABC 的中位线 7. 下表是抽查的某班 10 名同学中考体育测试成绩统计表。 若成绩的平均数为 23,众数是 a,中位数是 b,则 a-b 的值是 (　 　 ) 成绩 /分 30 25 20 15 人数 2 x y 1 A. -5 B. -2. 5 C. 2. 5 D. 5 8. 如图,A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,点 O 为正多边形的中心。 若∠ADB= 18°,则这个正多边形的 边数为 (　 　 ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,函数 y=ax2 -a2x 与 y=ax-a2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是 (　 　 ) A B C D 10. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的顶点均在格点处,点 A 的坐标为(4,-1),点 D 的坐标为 (6,3),以原点 O 为位似中心,把正方形缩小为原来的一半,则点 B 的对应点 B′的坐标为 (　 　 ) A. (4,- 32 ) B. ( -4,- 3 2 ) C. (4,- 32 )或 ( -4,- 3 2 ) D. (4,- 3 2 )或 ( -4, 3 2 ) 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 计算: ( - 13 ) -2 -(π-2) 0 = 　 　 　 　 。 12. 两个最简二次根式 a2 +a与 a+25可以合并,则 a= 　 　 　 　 。 13. 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)中的 x 和 y 满足如表: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y … -5 0 3 4 3 m -5 … 根据表格内容,该二次函数的 m 值为　 　 　 　 。 14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A= 30°,BC= 2。 以点 C 为圆心,CB 为半径画弧,分别交 AC,AB 于 点 D,E,则图中阴影部分的面积为　 　 　 　 (结果保留 π)。 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在菱形 ABCD 中,∠B= 60°,AB= 2,EF 是过点 A 的一条直线,若记∠BAF =α(0°<α≤120°),作 点 B 关于直线 EF 的对称点 P,则下列选项正确的有　 　 　 　 。 ①当 30°<α<45°时,2<BP<2 2 ;②当 60°<α<75°时,2 3 <BP< 6 + 2 ;③当 BP = 1 时,α = 15°;④当 BP= 2 3时,α= 60°或 120°。 三、解答题(本大题共 9 小题,共 90 分) 16. (10 分)定义一种新的运算 x∗y= x +2y x ,如 3∗1 = 3 +2×1 3 = 5 3 ,求(2∗3)∗2 的值。 17. (10 分)解方程: 2x x-3 +1 = 6 3-x 。 18. (10 分)如图,在▱ABCD 中,E,F 是对角线 BD 上的两点,且 BE=DF。 求证:(1)△ADF≌△CBE; (2)四边形 AECF 是平行四边形。 19. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(2,4)。 (1)在图中画出△ABC 关于 x 轴对称的图形△A1B1C1; (2)△A1B1C1 的面积为　 　 　 　 ; (3)在 y 轴上确定一点 P,使△APB 的周长最小,并直接写出点 P 的坐标。 (不写作法,只保留作图 痕迹) 18 2023 年博山区学业水平第三次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 106 — — 107 — — 108 — 20. (10 分)某校随机抽取九年级部分学生接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动, 学校收集整理数据后,将减压方式分为五类,并绘制了图 1、图 2 两幅不完整的统计图。 图 1 　 　 　 　 图 2 请根据图中的信息解答下列问题: (1)九年级接受调查的学生共有多少名? 并补全条形统计图; (2)九年级共有 500 名学生,请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名; (3)若喜欢“交流谈心”的 5 名学生中有三名男生和两名女生,心理老师想从 5 名学生中任选两名学 生进行交流,请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名学生都是女生的概率。 21. (10 分)在博山区红叶柿岩景区,一座美丽壮观的“圆梦塔” 屹立于山顶之上,非常引人注目(如 图 1)。 某数学小组在研学活动中为测量塔的高度,在 A 处(如图 2)测得塔顶 C 的仰角为 45°,然后 沿着斜坡 AB 前进 13 m 到达 B 处,在 B 处测得到塔脚的距离 BD = 15 m,已知 tan∠BAF = 5 12 ,∠E = 90°,求塔的高度 CD。 图 1 　 　 图 2 22. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y= kx+b 与反比例函数 y = m x 的图象相交于 A,B 两点, 过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D,OA= 5,sin∠AOD= 4 5 ,点 B 的坐标为( -6,n)。 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求△AOB 的面积; (3)根据图象直接写出不等式m x <kx+b 的解集。 23. (10 分)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,连接 DE。 过点 A 作 AF⊥DE,垂足为 F,☉O 经过 点 C,D,F,与 AD 相交于点 G。 (1)求证:△AFG∽△DFC; (2)求证:AG=AE; (3)若正方形 ABCD 的边长为 5,AE= 2,求∠EAF 的正切值和☉O 的半径。 24. (10 分)如图,已知抛物线 y= x2 +bx+c(b,c 是常数)与 x 轴交于 A(1,0),B( -3,0)两点,顶点为 C,P 为线段 AB 上的动点(不与点 A,B 重合),过点 P 作 PQ∥BC 交抛物线于点 Q,交 AC 于点 D。 (1)求该抛物线的表达式; (2)求△CPD 面积的最大值; (3)连接 CQ,当 CQ⊥PQ 时,求点 Q 的坐标; (4)点 P 在运动过程中,是否存在以 A,O,D 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 设点 P(x,ax2 - 5ax+ 4a),则 PD = 4a-(ax2 - 5ax+ 4a) = -ax2 +5ax。 ∵ AB∥CD,∴ ∠ABC= ∠BCD。 ∵ ∠BCP= 2∠ABC,∴ ∠PCD= ∠ABC。 ∴ Rt△PCD∽Rt△CBO。 ∴ PD ∶ CO=CD ∶ BO, 即(-ax2 +5ax) ∶ (-4a)= x ∶ 4。 解得 x1 = 0,x2 = 6。 ∴ 点 P 的横坐标为 6。 图 1 　 图 2 (3)如图 2,过点 F 作 FG⊥PK 于点 G。 ∵ AK=KF,∴ ∠KAF= ∠KFA。 ∵ ∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA= ∠FKH+∠KPA, ∠KAH= ∠FKH, ∴ ∠PAH= ∠KPA。 ∴ HA=HP。 ∴ △AHP 为等腰直角三角形。 ∵ 点 P(6,10a), ∴ -10a= 6-1,解得 a= - 1 2 。 在 Rt△PFG 中,∵ PF= -4 2a= 2 2 ,∠FPG= 45°, ∴ FG=PG= 2 2 PF= 2。 在△AKH 和△KFG 中, ∠AHK= ∠KGF, ∠KAH= ∠FKG, KA=FK, { ∴ △AKH≌△KFG(AAS)。 ∴ KH=FG= 2。 ∴ 点 K(6,2)。 设直线 KB 的表达式为 y=mx+n。 把点 K(6,2),B(4,0)代入, 得 6k+b= 2, 4k+b= 0。{ 解得 k= 1, b= -4。{ ∴ 直线 KB 的表达式为 y= x-4。 当 a= - 1 2 时, 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 + 5 2 x-2。 解方程组 y= x-4, y= - 1 2 x2 + 5 2 x-2,{ 得 x= -1,y= -5{ 或 x= 4,y= 0。{ ∴ 点 Q(-1,-5)。 ∵ 点 P(6,-5), ∴ PQ∥x 轴。 ∴ PQ= 7。 18 2023 年博山区学业水平第三次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B C D C A B A B D 1. B　 【解析】选项 A,C,D 都不能找到一个点,使图 形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合,所以不 是中心对称图形;选项 B 能找到一个点,使图形绕 该点旋转 180°后与原来的图形重合,所以是中心对 称图形。 故选 B。 2. B　 【解析】A. 3 和 | - 3 | = 3 不互为相反数,故此选 项不符合题意;B. - | -3 | = -3 和-(-3)= 3 互为相 反数,故此选项符合题意;C. -3 和 3 -27 = -3 不互 为相反数,故此选项不符合题意;D. - 3 和 1 3 不互 为相反数,故此选项不符合题意。 故选 B。 3. C　 【解析】根据按键顺序可知算式为3 3。 故选 C。 4. D　 【解析】A. x3 与-x 不能合并,故此选项不符合 题意;B. ( - 2x2 ) 3 = - 8x6,故此选项不符合题意; C. (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4, 故此选项不符合题 意; D. (2x2y)÷(2xy)= x,故此选项符合题意。 故选 D。 5. C　 【解析】由电路图可知,当同时闭合开关 S1 和 S2 或 S1 和 S3 或 S1 和 S4 时,灯泡能发光,画树状图 如下: 共有 12 种等可能的结果,其中随机闭合两个开关 灯泡能发光的结果有 6 种, ∴ 灯泡能发光的概率为 6 12 = 1 2 。 故选 C。 6. A　 【解析】△ACD 的周长为 AC+CD+AD,△BCD 的 周长为 BC+CD+BD。 ∵ AC= 9 cm,BC = 3 cm,要使△ACD 和△BCD 的周 长差是 6 cm, ∴ AC+CD+AD-(BC+CD+BD)= 6,即 9+CD+AD- (3+CD+BD)= 6。 ∴ AD-BD = 0。 ∴ AD =BD。 故 CD 是边 AB 上的中 线。 故选 A。 7. B　 【解析】∵ 平均数为 23, ∴ 30 ×2+25x+20y+15 10 = 23。 ∴ 25x+20y= 155,即 5x+4y= 31。 ∵ x+y= 10-2-1,∴ x= 3,y= 4。 ∴ 中位数 b= 20 +25 2 = 22. 5,众数 a= 20。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26— ∴ a-b= 20-22. 5 = -2. 5。 故选 B。 8. A　 【解析】∵ A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,点 O 为正多边形的中心, ∴ 点 A,B,C,D 在以点 O 为圆心,OA 为半径的同一 个圆上。 ∵ ∠ADB= 18°,∴ ∠AOB= 2∠ADB= 36°。 ∴ 这个正多边形的边数= 360° 36° = 10。 故选 A。 9. B　 【解析】∵ y=ax2 -a2x=ax(x-a), ∴ 抛物线经过原点和点(a,0)。 ∵ y=ax-a2 =a(x-a), ∴ 函数 y=ax-a2 经过点(a,0)。 ∴ 函数 y=ax2 -a2x 与 y = ax-a2(a≠0)交于 x 轴同 一点(a,0)。 ①当 a>0 时,二次函数 y = ax2 -a2x 的图象开口向 上,对称轴在 y 轴的右侧, 一次函数 y=ax-a2 的图象经过第一、三、四象限,且 两个函数的图象交于 x 轴同一点; ②当 a<0 时,二次函数 y = ax2 -a2x 的图象开口向 下,对称轴在 y 轴的左侧, 一次函数 y=ax-a2 的图象经过第二、三、四象限,且 两个函数的图象交于 x 轴同一点。 故选 B。 10. D　 【解析】由图可得点 B 的坐标为(8,-3)。 ∵ 以原点 O 为位似中心,把正方形缩小为原来的 一半, ∴ 点 B 的对应点 B′的坐标为 ( 8× 12 ,-3× 1 2 ) 或 [ 8× ( - 12 ) ,-3× ( - 1 2 ) ] ,即 ( 4,- 3 2 ) 或 ( -4, 3 2 ) 。 故选 D。 11. 8　 【解析】原式= 9-1 = 8。 12. 5　 【解析】由题意,得 a2 +a=a+25,∴ a2 = 25。 ∴ a= ±5。 当 a= -5 时, a+25 = -5+25 = 20 = 2 5, ∴ a+25不是最简二次根式,a= -5 不符合题意。 ∴ a= 5。 13. 0　 【解析】由表格可得抛物线经过点( - 2,3), (0,3),∴ 抛物线的对称轴为直线 x= -1。 ∴ 点(-3,0),(1,m)关于对称轴对称。 ∴ m= 0。 14. 2 3 π- 3 　 【解析】如图,连接 CE。 ∵ ∠A= 30°, ∴ ∠CBA= 90°-∠A= 60°。 ∵ CE=CB, ∴ △CBE 是等边三角形。 ∴ ∠ECB= 60°,BE=BC= 2。 ∴ S扇形CBE = 22 ×60π 360 = 2 3 π。 ∵ S△BCE = 3 4 BC2 = 3, ∴ 阴影部分的面积为 2 3 π- 3。 15. ①② ④ 　 【解析】如图 1,过点 B 作 BH⊥EF 于 点 H,延长 BH 到点 P,使 PH =BH,则点 P 就是点 B 关于 EF 的对称点,且 BP = 2BH = 2AB·sin α = 4sin α。 　 图 1 当 30°<α<45°时, 1 2 <sin α< 2 2 。 ∴ 2 <BP = 4sin α< 2 2。 故①正确; 当 60°<α<75°时, 3 2 <sin α< 6 + 2 4 。 ∴ 2 3 <BP= 4sin α< 6 + 2。 故②正确; [ 特别说明:如图 2,在△ABC 中,∠A= 90°,∠ACB = 30°,延长 AC 到点 D,使 CD=BC,连接 BD, 图 2 则 sin 75° = sin∠ABD = AD BD = (2+ 3)BA ( 6 + 2)BA = 6 + 2 4 , sin 15° = BA BD = BA ( 6 + 2)BA = 6 - 2 4 。 ] 当 BP= 1 时,BH= 1 2 。 ∴ sin α=BH AB = 1 2 2 = 1 4 。 由特别说明推导可知 sin 15° = 6 - 2 4 ≠ 1 4 。 故③ 不正确; 当 BP= 2 3时,BH= 3。 ∴ sin α=BH AB = 3 2 。 ∴ a= 60°或 120°。 故④正确。 综上所述,正确的有①②④。 16.解:原式= ( 2+2×32 ) ∗2 = 4∗2 = 4+2×2 4 = 2。 17.解:方程两边乘 x-3,得 2x+x-3 = -6。 解得 x= -1。 检验:当 x= -1 时,x-3≠0, 所以 x= -1 是分式方程的解。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— 18.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC。 ∴ ∠ADF= ∠CBE。 在△ADF 和△CBE 中, AD=CB, ∠ADF= ∠CBE, DF=BE, { ∴ △ADF≌△CBE(SAS)。 (2)∵ △ADF≌△CBE, ∴ ∠AFD= ∠CEB,AF=CE。 ∴ ∠AFE= ∠CEF。 ∴ AF∥CE。 ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 19.解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求。 (2)S△A1B1C1 = 3×3- 1 2 ×3×1- 1 2 ×3×1- 1 2 ×2×2 = 4。 (3)如图,作点 A 关于 y 轴的对称点 A′,连接 A′B 交 y 轴于点 P,则点 A′(-1,1)。 设直线 A′B 的表达式为 y= kx+b。 把点 A′(-1,1),B(4,2)代入, 得 -k+b= 1, 4k+b= 2。{ 解得 k= 1 5 , b= 6 5 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 A′B 的表达式为 y= 1 5 x+ 6 5 。 当 x= 0 时,y= 6 5 ,∴ 点 P ( 0, 65 ) 。 20.解:(1)九年级接受调查的学生一共有 10÷20% = 50(名), “听音乐”的人数为 50-(10+5+15+8) = 12,补全 条形统计图如下: (2)估计该校九年级听音乐减压的学生有 500× 12 50 = 120(名)。 (3)画树状图如下: 共有 20 种等可能的结果,同时选出的两名学生都 是女生的结果有 2 种, ∴ 同时选出的两名学生都是女生的概率为 2 20 = 1 10 。 21.解:在 Rt △ABF 中,∵ AB = 13 m,tan ∠BAF = BF AF = 5 12 , ∴ 设 BF= 5k m,AF= 12k m。 ∴ AB= AF2 +BF2 = 13k= 13 m。 ∴ k= 1。 ∴ AF= 12 m,BF= 5 m。 ∵ ∠BFE= ∠BDE= ∠E= 90°, ∴ 四边形 BDEF 是矩形。 ∴ DE=BF= 5 m,EF=BD= 15 m。 ∴ AE=AF+EF= 27 m。 ∵ ∠CAE= 45°,∠E= 90°, ∴ △ACE 是等腰直角三角形。 ∴ CE=AE= 27 m。 ∴ CD= 27-5 = 22(m)。 答:塔的高度 CD 为 22 m。 22.解:(1)∵ AD⊥x 轴于点 D,OA= 5,sin∠AOD= 4 5 , ∴ AD OA = 4 5 。 ∴ AD= 4。 ∴ OD= OA2 -AD2 = 3。 ∴ 点 A(3,4)。 ∵ 反比例函数 y= m x 的图象过点 A, ∴ m= 3×4 = 12。 故反比例函数的表达式为 y= 12 x 。 把点(-6,n)代入,得 n= 12-6 = -2, ∴ 点 B(-6,-2)。 将点 A,B 的坐标代入一次函数的表达式 y= kx+b, 得 3k+b= 4, -6k+b= -2。{ 解得 k= 2 3 , b= 2。 { 故一次函数的表达式为 y= 2 3 x+2。 (2)把 y= 0 代入 y= 2 3 x+2,解得 x= -3。 ∴ 点 C(-3,0)。 ∴ S△AOB =S△AOC+S△BOC = 1 2 ×3×(4+2)= 9。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— (3)观察图象,不等式 m x <kx+b 的解集是- 6<x< 0 或 x>3。 23. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ADC= ∠BAD= 90°,AD=CD。 ∴ ∠CDF+∠ADF= 90°。 ∵ AF⊥DE,∴ ∠AFD= 90°。 ∴ ∠DAF+∠ADF= 90°。 ∴ ∠DAF= ∠CDF。 ∵ 四边形 GFCD 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠FCD+∠DGF= 180°。 ∵ ∠FGA+∠DGF= 180°,∴ ∠FGA= ∠FCD。 ∴ △AFG∽△DFC。 (2)证明:∵ △AFG∽△DFC,∴ AF DF = AG DC 。 ∵ tan∠ADE= AF DF = AE AD , ∴ AE AD = AG DC 。 ∴ AG=AE。 (3)解:如图,连接 CG。 ∵ 正方形 ABCD 的边长为 5, AE= 2, ∴ AG=AE= 2,AD=DC= 5。 ∴ DG=AD-AG= 3。 ∴ CG= CD2+DG2 = 52+32 = 34。 ∵ ∠ADE= ∠EAF= 90°-∠DAF, ∴ tan∠EAF= tan∠ADE= AE AD = 2 5 。 ∵ ∠ADC= 90°,∴ CG 是☉O 的直径。 ∴ ☉O 的半径为 1 2 CG= 34 2 。 24.解:(1)∵ 抛物线 y= x2 +bx+c 与 x 轴交于 A(1,0), B(-3,0)两点, ∴ 1+b+c= 0, 9-3b+c= 0。{ 解得 b= 2, c= -3。{ ∴ 该抛物线的表达式为 y= x2 +2x-3。 (2)∵ y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4, ∴ 顶点 C(-1,-4)。 ∵ 点 A(1,0),B(-3,0),∴ OA= 1,OB= 3。 如图 1,过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E,过点 D 作 DF⊥ x 轴于点 F, 则 CE= 4,OE= 1,∴ AE=OA+OE= 2。 设 OP= t,则 AP= 1+t,AB=OA+OB= 4。 ∵ PQ∥BC, ∴ △APD∽△ABC。 ∴ AD AC =AP AB = 1+t 4 。 ∵ CE⊥x 轴,DF⊥x 轴, 图 1 ∴ CE∥DF。 ∴ △ADF∽△ACE。 ∴ DF CE =AD AC = 1+t 4 。 ∴ DF 4 = 1+t 4 。 ∴ DF= 1+t。 ∴ S△CPD = S△ACP -S△ADP = 1 2 AP·CE- 1 2 AP·DF = 1 2 ×(1+t)×4- 1 2 ×(1+t) 2 = - 1 2 t2 +t+ 3 2 = - 1 2 ( t-1) 2 +2。 ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 t= 1 时,△CPD 面积最大,最大值为 2。 (3)设直线 BC 的表达式为 y= kx+n。 将点 B(-3,0),C(-1,-4)代入,得 -3k+n= 0, -k+n= -4。{ 解得 k= -2, n= -6。{ ∴ 直线 BC 的表达式为 y= -2x-6。 ∵ CQ⊥PQ,PQ∥BC,∴ CQ⊥BC。 ∴ 设直线 CQ 的表达式为 y= 1 2 x+m。 将点 C(-1,-4)代入,得- 1 2 +m= -4。 解得 m= - 7 2 。 ∴ 直线 CQ 的表达式为 y= 1 2 x- 7 2 。 联立,得 y= 1 2 x- 7 2 , y= x2 +2x-3。 { 解得 x= -1,y= -4{ 或 x= - 1 2 , y= - 15 4 。 ì î í ï ï ï ï ∴ 点 Q 的坐标为 ( - 12 ,- 15 4 ) 。 (4)点 P 在运动过程中,存在以 A,O,D 为顶点的 三角形是等腰三角形。 如图 2,过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E,过点 D 作 DF⊥ x 轴于点 F, 则 AC= CE2 +AE2 = 42 +22 = 2 5 。 ①当 AD=OA= 1 时, ∵ PQ∥BC, ∴ △ADP∽△ACB。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56— 图 2 ∴ AP AB =AD AC 。 ∴ AP 4 = 1 2 5 。 解得 AP= 2 5 5 。 ∴ 点 P ( 1-2 55 ,0 ) 。 ②当 AD=OD 时, ∵ DF⊥x 轴,∴ OF=AF= 1 2 。 ∴ 点 D 的横坐标为 1 2 。 设直线 AC 的表达式为 y=ax+d。 将点 A(1,0),C(-1,-4)代入,得 a+d= 0, -a+d= -4。{ 解得 a= 2, d= -2。{ ∴ 直线 AC 的表达式为 y= 2x-2。 当 x= 1 2 时,y= -1,∴ 点 D ( 12 ,-1 ) 。 由(3)知直线 BC 的表达式为 y= -2x-6。 ∵ PQ∥BC,∴ 设直线 PQ 的表达式为 y= -2x+e。 将点 D ( 12 ,-1 )代入,得-2× 1 2 +e= -1。 解得 e= 0。 ∴ 直线 PQ 的表达式为 y= -2x。 ∴ 点 P(0,0)。 ③当 AO=DO= 1 时,则∠OAD= ∠ODA。 由题意,得 CE 垂直平分 AB,∴ BC=AC。 ∴ ∠CAB= ∠CBA。 ∴ ∠OAD= ∠ODA= ∠CAB= ∠CBA。 ∴ △OAD∽△CAB。 ∴ OA CA =AD AB 。 ∴ 1 2 5 =AD 4 。 解得 AD= 2 5 5 。 ∵ CE⊥x 轴,DF⊥x 轴,∴ CE∥DF。 ∴ △AFD∽△AEC。 ∴ AF AE =AD AC 。 ∴ AF 2 = 2 5 5 2 5 。 解得 AF= 2 5 。 ∴ OF= 1-AF= 3 5 。 ∴ 点 D 的横坐标为 3 5 。 当 x= 3 5 时,y=2× 3 5 -2=- 4 5 。 ∴ 点 D ( 35 ,- 4 5 ) 。 设直线 PQ 的表达式为 y= -2x+f。 将点 D ( 35 ,- 4 5 )代入,得-2× 3 5 +f= - 4 5 。 解得 f= 2 5 。 ∴ 直线 PQ 的表达式为 y= -2x+ 2 5 。 令 y= 0,则-2x+ 2 5 = 0,∴ x= 1 5 。 ∴ 点 P ( 15 ,0 ) 。 综上所述,点 P 在运动过程中,存在以 A,O,D 为顶点的三角形是等腰三角形,点 P 的坐标为 ( 1- 2 55 ,0 )或(0,0)或 ( 1 5 ,0 ) 。 19 2024 年学业水平考试预测模拟卷(一) 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D B A A D B D C 1. B　 【解析】2-3 = 2+(-3)= -(3-2)= -1。 故选 B。 2. C　 【解析】将 67 500 用科学记数法表示为 6. 75× 104。 故选 C。 3. D　 【解析】A 不是轴对称图形,是中心对称图形, 故此选项不符合题意;B 是轴对称图形,但不是中 心对称图形,故此选项不符合题意;C 既不是轴对 称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题 意;D 既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选 项符合题意。 故选 D。 4. B　 【解析】∵ 82 = 64,92 = 81,而 64<65<81, ∴ 8< 65 <9。 ∴ 7< 65 -1<8。 故选 B。 5. A　 【解析】原式=a 2 -b2 a-b =(a+b)(a-b) a-b =a+b。 故选 A。 6. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD。 故选项 B 正确; 又∵ 平行四边形的对角线互相平分,∴ OB = OD。 故选项 C 正确; ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AD∥BC。 ∴ ∠ABC+∠BCD= 180°,∠BAD+∠ABC= 180°。 ∴ ∠BAD= ∠BCD。 故选项 D 正确; 假设 AC⊥BD。 又∵ OB=OD,OA=OA, ∴ △ABO≌△ADO。 ∴ AB = AD 与已知 AB≠AD 矛 盾。 故选项 A 错误。 故选 A。 7. D　 【解析】整理,得 x(x-2)+(x-2)= 0。 ∴ (x+1)(x-2)= 0。 ∴ x+1 = 0 或 x-2 = 0。 ∴ x1 = - 1,x2 = 2。 故选 D。 8. B　 【解析】∵ 点 A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在 反比例函数 y= 12 x 的图象上, ∴ x1 = -2,x2 = -6,x3 = 6。 ∴ x2 <x1 <x3。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —66—