16.2023年高青县学业水平第二次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 91 — — 92 — — 93 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 如图,几何体的三视图是 (　 　 ) A B C D 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 2. 如图,一个含有 30°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上。 如果∠1 = 20°,那么∠2 的度数 为 (　 　 ) A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 3. 如图,放在水平桌面上,已调节平衡的天平左右两个盘里,分别放入甲、乙两个实心正方体,天平仍然 保持平衡。 下列比较甲、乙的质量 m甲 和 m乙、密度 ρ甲 和 ρ乙 大小关系正确的是 (　 　 ) A. ρ甲>ρ乙 B. ρ甲<ρ乙 C. m甲>m乙 D. m甲<m乙 4. 某男子足球队队员的年龄分布如图所示,这些队员年龄的众数和中位数为 (　 　 ) A. 5 岁和 23 岁 B. 24 岁和 24 岁 C. 24 岁和 23 岁 D. 24 岁和 23. 5 岁 第 4 题图 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 第 8 题图 5. 若 51的整数部分为 m,则 m 的算术平方根的值最接近整数 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好。 若舞台长 20 米,主持人从舞 台一侧进入,设他至少走 x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP 长为 x),则 x 满足的方程是 (　 　 ) A. (20-x) 2 = 20x B. x2 = 20(20-x) C. x(20-x)= 202 D. 以上都不对 7. 已知 m>0,关于 x 的一元二次方程(x+1)(x-3) -m= 0 的解为 x1,x2(x1 <x2),则下列结论正确的是 (　 　 ) A. x1 <-1<3<x2 B. -1<x1 <3<x2 C. -1<x1 <x2 <3 D. x1 <-1<x2 <3 8. 如图,在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中,一段圆弧经过格点 A,B,C,CE 的延长线经过格点 D,则 AE ( 的长为 (　 　 ) A. 3π 4 B. π 2 C. 5π 8 D. 13 4 π 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,D 是 AC 的中点,AC= 8,tan∠CAB= 1 2 ,则 sin∠ABD 等于 (　 　 ) A. 1 2 B. 10 10 C. 6 - 2 2 D. 5 3 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,正方形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴上,点 A,C 在反比例函数 y = k x (k>0,x>0)的图象上。 若直线 BC 的函数表达式为 y= 1 2 x-4,则反比例函数的表达式为 (　 　 ) A. y= 6 x B. y= 12 x C. y= 16 x D. y= 24 x 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 如图,在长为 37 米、宽为 26 米的长方形地块上,有纵横交错的几条小路,宽均为 1 米,其他部分均种 植花草,则种植花草的面积为　 　 　 　 平方米。 第 11 题图 　 　 　 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 12. 定义一种新运算:对于任意非零实数 a,b,a⊗b= 1 a + 1 b 。 若(x+1)⊗x= 2,则 x 的值为　 　 　 　 。 13. 公元 3 世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”。 如图,设勾 a = 6,弦 c = 10,则小正方形 ABCD 的面积为　 　 　 　 。 14. 如图,边长为 2 的正方形 OA1B1C1 的顶点 A1 在 x 轴的正半轴上,将正方形 OA1B1C1 绕顶点 O 顺时针 旋转 75°得正方形 OABC,使点 B 恰好落在函数 y=ax2(a<0)的图象上,则 a 的值为　 　 　 　 。 15. 如图,A 为等边三角形 BCD 外一点,连接 AB,AD 且 AB = AD,过点 A 作 AE∥CD 分别交 BC,BD 于点 E,F。 若 3BD= 4AE,EF= 5,则线段 AE 的长为　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)解不等式组 1 2 x-1≤7- 3 2 x, x+1 3 < x-1 2 +1, ì î í ï ïï ï ï 并求它的整数解。 17. (10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B= 40°,D 是线段 BC 上任意一点,连接 AD,作∠ADE = 40°,DE 交线段 AC 于点 E。 (1)若∠BDA= 115°,求∠DEC 的度数; (2)若 DC=AB,求证:△ABD≌△DCE。 18. (10 分)如图,一次函数 y1 = kx+b 的图象与反比例函数 y2 = m x 的图象交于点 A 和 B( -3,-2),点 A 的 纵坐标是 6,点 C 在 x 轴上,且点 C 的横坐标是 2。 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)根据图象直接写出当 y1 >y2 时,x 的取值范围; (3)求△ABC 的面积。 19. (10 分)春季开学后,某校为了让学生有效应用压岁钱,开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动, 将捐款捐赠给本市敬老院。 学生会为了了解学生捐款的情况,随机调查了该校部分学生,根据调查 结果,绘制了两幅不完整的统计图。 　 　 　 　 　 　 捐款金额的扇形统计图　 　 　 　 　 捐款金额的条形统计图 　 　 　 　 　 16 2023 年高青县学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 94 — — 95 — — 96 — 请根据相关信息,解答下列问题: (1)本次调查的学生人数为　 　 　 　 ,在扇形统计图中,捐款金额为 100 元所在扇形的圆心角的度 数是　 　 　 　 ,在调查的这组学生中,捐款金额的中位数是　 　 　 　 元; (2)补全条形统计图; (3)学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱,选出甲、乙、丙和丁四人从不同的方面在全校进行 讲解,但由于时间的限定,临时调整只能两人讲解。 因此,学生会采用随机抽签的方式从甲、乙、丙 和丁四人中确定两名讲解人选。 请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少。 20. (12 分)某汽车网站对两款价格相同、续航里程相同的汽车做了一次评测,一款为燃油车,另一款为 纯电新能源车,得到相关数据如下: 燃油车 纯电新能源车 油箱容积:48 升 电池容量:90 千瓦时 油价:8 元 /升 电价:0. 6 元 /千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为 a 千米,请用含 a 的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶 费用; (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多 0. 55 元。 ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用; ②若燃油车和纯电新能源车每年的其他费用分别为 4 800 元和 8 100 元。 问:每年行驶里程超过多 少千米时,纯电新能源车的年费用更低? (年费用=年行驶费用+年其他费用) 21. (12 分)综合与探究 问题提出:某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题:在等腰直角三角尺 ABC 中,∠BAC = 90°,AB=AC,D 为 BC 的中点,用两根小木棒构建角,将顶点放置于点 D 上,得到∠MDN,将∠MDN 绕点 D 旋转,射线 DM,DN 分别与边 AB,AC 交于 E,F 两点,如图 1 所示。 (1)操作发现:如图 2,当 E,F 分别是 AB,AC 的中点时,试猜想线段 DE 与 DF 的数量关系:　 　 　 　 ; (2)类比探究:如图 3,当 E,F 不是 AB,AC 的中点,但满足 BE=AF 时,求证:△BED≌△AFD; (3)拓展应用:如图 4,将两根小木棒构建的角,放置于边长为 4 的正方形纸板上,顶点和正方形对角 线 AC 的中点 O 重合,射线 OM,ON 分别与 CD,BC 交于 E,F 两点,且满足 DE =CF,请求出四边形 OFCE 的面积。 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 22. (13 分)如图,△ABC 内接于☉O,BC 是☉O 的直径,A 是 CM ( 的中点,CD 交☉O 于点 M,CD 交 AB 于 点 E,BD=DE。 (1)求证:BD 是☉O 的切线; (2)求证:∠D= 2∠ACD; (3)若 BD= 6,CD= 10,求 ME 的长。 23. (13 分)如图,已知抛物线 y=ax2 +bx+c(a>0)与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C(0,2),抛物线的 对称轴为直线 x= 5 2 ,且 OB= 2OC,连接 BC,D 是线段 OB 上一点(不与点 O,B 重合),过点 D 作 x 轴 的垂线,交 BC 于点 M,交抛物线于点 N。 (1)求抛物线的表达式; (2)当线段 MN 最大时,求点 M 的坐标; (3)连接 BN,以 B,D,N 为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似? 若能,请求出点 N 的坐标;若不 能,请说明理由。 ∴ cos∠CBD=BH BD = 9 2 x 12x = 3 8 。 23.解:(1)抛物线 y= x2 +bx+c(b,c 是常数)与 x 轴交 于 A,B 两点,点 A(1,0),AB= 4, ∴ 点 B(-3,0)。 ∴ 9-3b+c= 0, 1+b+c= 0。{ 解得 b= 2, c= -3。{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 +2x-3。 (2)如图 1,过点 Q 作 QE⊥x 轴于点 E,过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F。 设点 P(m,0),则 PA= 1-m。 ∵ y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4, ∴ 点 C(-1,-4)。 ∴ CF= 4。 ∵ PQ∥BC,∴ △PQA∽△BCA。 ∴ QE CF =AP AB ,即QE 4 = 1-m 4 。 ∴ QE= 1-m。 ∴ S△CPQ =S△PCA-S△PQA = 1 2 PA·CF- 1 2 PA·QE = 1 2 (1-m)×4- 1 2 (1-m)(1-m) = - 1 2 (m+1) 2 +2。 ∵ -3≤m≤1,∴ 当 m= -1 时,S△CPQ 有最大值 2。 ∴ △CPQ 面积的最大值为 2,此时点 P 的坐标为 (-1,0)。 图 1 　 　 图 2 (3)如图 2,过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H,设 BH=a。 由(1) ( 2) 中结论可知点 A ( 1, 0),B ( - 3, 0), C(-1,-4),tan∠ABC=CF BF = 4 2 = 2。 ∵ ∠PDB= 90°, ∴ ∠ABC+∠BDH= 90°,∠PDH+∠BDH= 90°。 ∴ ∠ABC= ∠PDH。 ∴ tan∠ABC=DH BH = 2,tan∠PDH=PH DH = 2。 ∴ DH= 2a,PH= 4a,BP=BH+PH=a+4a= 5a。 设直线 BC 的函数表达式为 y= k1x+b1 。 代入点 B(-3,0),C(-1,-4), 得 -3k1 +b1 = 0, -k1 +b1 = -4。 { 解得 k1 = -2, b1 = -6。 { 故直线 BC 的函数表达式为 y= -2x-6。 设直线 AC 的函数表达式为 y= k2x+b2 。 代入点 A(1,0),C(-1,-4), 得 -k2 +b2 = -4 k2 +b2 = 0。 { 解得 k2 = 2, b2 = -2。 { 故直线 AC 的函数表达式为 y= 2x-2。 设点 D(a-3,-2a)。 ∵ DQ∥AB,PQ∥BD, ∴ 四边形 BDQP 是平行四边形。 ∴ 点 Q(1-a,-2a),DQ= 1-a-a+3 = -2a+4。 ∵ BP=DQ,即-2a+4 = 5a, 解得 a= 4 7 ,∴ BP= 5a= 20 7 。 ∵ 点 B(-3,0),∴ 点 P ( - 17 ,0 ) 。 16 2023 年高青县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D B A A D B D 1. C　 【解析】该几何体主视图中不存在轮廓,则不用 画虚实线,因此排除 B,D 选项;该几何体的左视图 和俯视图均存在看得见的轮廓,因此要画实线,故 A 选项错误,C 选项正确。 故选 C。 2. A　 【解析】如图, ∵ FB∥AE,∴ ∠3 = ∠1。 ∵ ∠1 = 20°,∴ ∠3 = 20°。 ∵ ∠CBA= 90°-30° = 60°, ∴ ∠2 = ∠CBA-∠3 = 60°-20° = 40°。 故选 A。 3. B　 【解析】由题图可知,在已调节平衡的天平左右 两个盘里,分别放入甲、乙两个实心正方体,天平仍 然保持平衡,说明甲、乙两个实心正方体质量相等, 由于甲的体积大于乙的体积,根据密度公式 ρ = m V 可知,甲的密度小于乙的密度,即 ρ甲 <ρ乙。 故选 B。 4. D　 【解析】根据题图可得 24 岁的队员人数最多, 故众数为 24 岁,根据题图可得人数为 3+1+2+5+1 = 12,故第 6 和 7 名队员年龄的平均值为中位数, 即中位数为 23+24 2 = 23. 5(岁)。 故选 D。 5. B　 【解析】∵ 49<51<64,∴ 7< 51 <8。 ∴ 51的整数部分为 7。 ∴ m= 7。 ∴ m 的算术平方根为 7。 ∵ 2. 52 <7<32,∴ 2. 5< 7 <3。 ∴ 7的值最接近整数 3。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 6. A　 【解析】由题意知,P 是 AB 的黄金分割点,且 BP<AP,BP= x,则 AP= 20-x,∴ BP AP =AP AB 。 ∴ AP2 =BP·AB,即(20-x) 2 = 20x。 故选 A。 7. A　 【解析】二次函数 y = (x+ 1)( x- 3) 的图象如图所示, 它与 x 轴的交点坐标为(-1, 0),(3,0)。 关于 x 的一元二次方程(x+1)(x-3)-m= 0 的解为 x1,x2,可以看做是直线 y=m(m>0)与二次函数 y = (x+1)(x-3)交点的横坐标。 由图象可知 x1 <- 1< 3<x2。 故选 A。 8. D　 【解析】如图,连接 AC,AD,取 AC 的中点 O,连 接 OE。 ∵ ∠ABC= 90°,∴ AC 是☉O 的直径。 ∵ AC2 =AD2 = 32 +22 = 13,CD2 = 12 +52 = 26, ∴ AC2 +AD2 =CD2。 ∴ △ACD 是等腰直角三角形。 ∴ ∠ACD= 45°。 ∴ ∠AOE= 2∠ACD= 90°。 ∵ AO= 1 2 AC= 13 2 , ∴ AE ( 的长为 90π× 13 2 180 = 13 4 π。 故选 D。 9. B　 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E。 ∵ D 是 AC 的中点,AC= 8,∴ AD=CD= 1 2 AC= 4。 ∵ tan∠CAB=DE AE =BC AC = 1 2 , ∴ 设 DE=a,则 AE= 2a,BC= 4。 根据勾股定理,得 DE2 + AE2 = AD2,即 a2 + ( 2a) 2 = 42。 解得 a= 4 5 5 ,即 DE= 4 5 5 。 根据勾股定理,得 BD= CD2 +BC2 = 4 2。 ∴ sin∠ABD=DE BD = 4 5 5 4 2 = 10 10 。 故选 B。 10. D　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E,过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F,直线 BC 与 y 轴交于点 G。 在 y= 1 2 x-4 中,令 y= 0,则 x= 8; 令 x= 0,则 y= -4, ∴ 点 B(8,0),G(0,-4)。 ∴ OB= 8,OG= 4。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠ABC= 90°。 ∴ ∠BAE+∠ABE= ∠ABE+∠CBF= 90°。 ∴ ∠BAE= ∠CBF。 在△AEB 和△BFC 中, ∠AEB= ∠BFC= 90°, ∠BAE= ∠CBF, AB=BC, { ∴ △AEB≌△BFC(AAS)。 ∴ AE=BF,BE=CF。 ∵ ∠BOG= ∠BFC= 90°,∠OBG= ∠FBC, ∴ △OBG∽△FBC。 ∴ CF BF =GO BO = 1 2 。 ∴ 设 CF= x,BF= 2x。 ∴ AE= 2x,BE= x。 ∴ 点 A(8-x,2x),C(8+2x,x)。 ∵ 点 A,C 在反比例函数 y = k x ( k> 0,x> 0)的图 象上, ∴ 2x(8-x)= x(8+2x)。 ∴ x1 = 2,x2 = 0(不合题意,舍去)。 ∴ 点 A(6,4)。 ∴ k= 4×6 = 24。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 24 x 。 故选 D。 11. 900　 【解析】由平移的性质可知种植花草的面积 相当于长为(37 - 1) 米与宽为(26 - 1) 米的长方 形面积,∴ 种植花草的面积 = (37- 1) ×(26- 1)= 900(平方米)。 12. ± 2 2 　 【解析】∵ a⊗b= 1 a + 1 b , ∴ (x+1)⊗x= 1 x+1 + 1 x = x+x+1 x(x+1) = 2x+1 x2 +x 。 ∵ (x+1)⊗x= 2,∴ 2x +1 x2 +x = 2。 解得 x= ± 2 2 。 经检验,x= ± 2 2 是方程 2x+1 x2 +x = 2 的解。 13. 4　 【解析】∵ 勾 a= 6,弦 c= 10, ∴ 股 b= 102 -62 = 8。 ∴ 小正方形的边长= 8-6 = 2。 ∴ 小正方形的面积= 22 = 4。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55— 14. - 2 6 　 【解析】如图,连接 OB,过点 B 作 BD⊥x 轴 于点 D。 ∵ 正方形 OA1B1C1 的顶点 A1 在 x 轴的正半轴上,将正 方形 OA1B1C1 绕顶点 O 顺 时针旋转 75°, ∴ x 轴正半轴与 OA 的夹角 为 75°。 ∵ ∠AOB= 45°, ∴ OB 与 x 轴正半轴的夹角为 75°-45° = 30°。 ∵ BC=OC= 2, ∴ OB= 2 2。 ∴ BD= 2。 ∴ OD= 6。 ∴ 点 B( 6,- 2)。 把点 B 的坐标代入 y=ax2 中,得- 2 =( 6) 2a。 解得 a= - 2 6 。 15. 15　 【解析】如图,连接 AC 交 BD 于点 O。 ∵ 3BD= 4AE, ∴ BD AE = 4 3 。 设 BD= 4x,则 AE= 3x。 ∵ △BCD 是等边三角形, ∴ BC=CD=BD= 4x, ∠DCB= ∠DBC= 60°。 ∵ AB=AD,BC=CD, ∴ AC 是 BD 的垂直平分线。 ∴ OB=OD= 2x,CO 平分∠BCD,∠AOF= 90°。 ∴ ∠DCO= 1 2 ∠BCD= 30°。 ∴ OC= CD2 -OD2 = 2 3 x。 ∵ AE∥CD,∴ ∠AEB= ∠BCD= 60°。 ∴ ∠AEB= ∠FBE= ∠BFE= 60°。 ∴ △BEF 是等边三角形。 ∴ BE=BF=EF= 5。 ∴ OF=OB-BF= 2x-5,AF=AE-EF= 3x-5。 ∵ ∠AFO= ∠BFE= 60°,∴ ∠CAF= 30°。 ∴ AF= 2OF。 ∴ 3x-5 = 2(2x-5)。 解得 x= 5。 ∴ AE= 3x= 15。 16.解:解不等式 1 2 x-1≤7- 3 2 x,得 x≤4。 解不等式 x+1 3 <x -1 2 +1,得 x>-1。 ∴ 不等式组的解集是-1<x≤4。 ∴ 原不等式组的整数解是 0,1,2,3,4。 17. (1)解:∵ ∠BDA= 115°,∠ADE= 40°, ∴ ∠EDC = 180°-∠BDA-∠ADE = 180°-115°-40° = 25°。 ∵ AB=AC,∴ ∠C= ∠B= 40°。 ∴ ∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠C = 180° - 25° - 40° = 115°。 (2)证明:∵ ∠ADC = ∠B+ ∠BAD = 40° + ∠BAD, ∠ADC= ∠ADE+∠CDE= 40°+∠CDE, ∴ ∠BAD= ∠CDE。 在△ABD 和△DCE 中, ∠BAD= ∠CDE, AB=DC, ∠B= ∠C, { ∴ △ABD≌△DCE(ASA)。 18. 解:(1)∵ 反比例函数 y2 = m x 的图象经过点 B(-3, -2),∴ m= (-3)×(-2)= 6。 ∴ 反比例函数的表达式是 y2 = 6 x 。 ∵ 点 A 的纵坐标是 6,且在反比例函数 y2 = 6 x 的图 象上, ∴ 点 A(1,6)。 ∵ 一次函数 y1 = kx + b 的图象经过点 A ( 1, 6), B(-3,-2), ∴ k+b= 6, -3k+b= -2。{ 解得 k= 2, b= 4。{ ∴ 一次函数的表达式是 y1 = 2x+4。 (2)观察图象可得当 y1 >y2 时,x 的取值范围为 x>1 或-3<x<0。 (3)设当 y= 0 时,0 = 2x+4,则 x= -2, ∴ 直线 AB 与 x 轴的交点为 D(-2,0)。 ∵ 点 C 的横坐标是 2, ∴ CD= 2-(-2)= 4。 ∴ S△ABC = 1 2 CD×(yA-yB)= 1 2 ×4×(6+2)= 16。 19.解:(1)本次调查的学生人数为 21÷35% = 60。 捐款金额为 100 元所在扇形的圆心角的度数是 360°×18 60 = 108°。 捐款金额为 20 元的对应人数为 60×20% = 12, 3+12 = 15,15+21 = 36, 捐款金额的中位数是第 30,31 两个数,即 50 元。 (2)捐款金额为 200 元的对应人数为 60- 3- 12- 21-18 = 6,补全条形统计图如下: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— (3)画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,恰好抽中甲和乙两位学 生的结果有 2 种,∴ P(抽中甲和乙)= 2 12 = 1 6 。 20.解:(1)燃油车的每千米行驶费用为 48×8 a = 384 a (元), 纯电新能源车的每千米行驶费用为 90×0. 6 a = 54 a (元)。 (2)①由题意,得384 a -54 a = 0. 55。 解得 a= 600。 经检验,a= 600 是分式方程的解,且符合题意。 ∴ 384 600 = 0. 64(元), 54 600 = 0. 09(元)。 答:燃油车的每千米行驶费用为 0. 64 元,纯电新 能源车的每千米行驶费用为 0. 09 元。 ②设每年行驶里程为 x 千米时,纯电新能源车的 年费用更低。 由题意,得 0. 64x+4 800>0. 09x+8 100。 解得 x>6 000。 答:当每年行驶里程超过 6 000 千米时,纯电新能 源车的年费用更低。 21.解:(1)∵ ∠BAC= 90°,AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴ ∠B= ∠C= 45°,BD=CD。 ∵ E,F 分别是 AB,AC 的中点, ∴ BE= 1 2 AB,CF= 1 2 AC。 ∴ BE=CF。 ∴ △BDE≌△CDF(SAS)。 ∴ DE=DF。 (2)∵ ∠BAC= 90°,AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴ AD 平分∠BAC。 ∴ ∠BAD= ∠DAC= 90°× 1 2 = 45°。 ∴ ∠BAD= ∠DAC= ∠B。 ∴ BD=AD。 在△BED 和△AFD 中, BE=AF, ∠B= ∠DAF, BD=AD, { ∴ △BED≌△AFD(SAS)。 (3)如图,连接 OD。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ OD⊥AC,OD=OC, ∠ODE= ∠ACB= 45°。 在△ODE 和△OCF 中, DE=CF, ∠ODE= ∠OCF, OD=OC, { ∴ △ODE≌△OCF(SAS)。 ∴ S四边形OFCE = S△OCF + S△OCE = S△ODE+S△OCE =S△ODC = 1 4 ×4×4 = 4。 22. (1)证明:∵ BC 是☉O 的直径,∴ ∠A= 90°。 ∵ A 是 CM ( 的中点,∴ AM ( =AC ( 。 ∴ ∠ABC= ∠ACM。 ∵ BD=DE,∠DEB= ∠AEC, ∴ ∠DBE= ∠DEB= ∠AEC。 ∴ ∠DBC= ∠DBE+∠ABC= ∠AEC+∠ACM= 90°。 ∴ DB⊥OB。 ∵ OB 是☉O 的半径, ∴ BD 是☉O 的切线。 (2)证明:∵ BC 是☉O 的直径,∴ ∠BMC= 90°。 ∴ ∠D= ∠MBC= 90°-∠BCD。 ∵ ∠ABM= ∠ABC= ∠ACD, ∴ ∠MBC= 2∠ABC= 2∠ACD。 ∴ ∠D= 2∠ACD。 (3)解:如图,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F。 ∵ EM⊥BM,AB 平分∠MBC, ∴ EF=EM。 ∵ ∠DBC = 90°, DB = 6, DC = 10, ∴ BC = DC2-DB2 = 102-62 =8。 ∵ S△DBC = 1 2 DC·BM= 1 2 BC·DB, ∴ 1 2 ×10BM= 1 2 ×8×6。 ∴ BM= 24 5 。 ∴ CM= BC2 -BM2 = 82 - ( 245 ) 2 = 32 5 。 ∵ S△MBC = 1 2 BM·ME+ 1 2 BC·FE= 1 2 BM·CM, ∴ ME= 12 5 。 23.解:(1)∵ 点 C(0,2),∴ OC= 2。 ∴ OB= 2OC= 4。 ∴ 点 B(4,0)。 ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 5 2 ,点 A 与点 B 关于 直线 x= 5 2 对称, ∴ 点 A(1,0)。 把 A(1,0),B(4,0),C(0,2)分别代入 y=ax2 +bx+c, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— 得 a+b+c= 0, 16a+4b+c= 0, c= 2。 { 解得 a= 1 2 , b= - 5 2 , c= 2。 ì î í ï ïï ï ïï ∴ 抛物线的表达式为 y= 1 2 x2 - 5 2 x+2。 (2)设直线 BC 的表达式为 y= kx+d。 把点 B(4,0),C(0,2)分别代入,得 4k+d= 0, d= 2。{ 解得 k= - 1 2 , d= 2。 { ∴ 直线 BC 的表达式为 y= - 1 2 x+2。 设点 D( t,0),且 0<t<4,则点 M ( t,- 12 t+2 ) , N ( t, 12 t 2 - 5 2 t+2 ) , ∴ MN = - 1 2 t+ 2 - ( 12 t 2 - 5 2 t+ 2 ) = - 12 t 2 + 2t = - 1 2 ( t-2) 2 +2。 ∵ - 1 2 <0, ∴ 当 t= 2 时,线段MN 最大,最大值为 2,此时点M 的坐标为(2,1)。 (3)设点 D(n,0),且 0<n<4, 则点 N ( n, 12 n 2 - 5 2 n+2 ) 。 又∵ 点 B(4,0),C(0,2), ∴ BD= 4-n,DN= 1 2 n2 - 5 2 n+2 ,OB= 4,OC= 2。 当△BDN∽△BOC 时, ∴ DN OC =BD BO ,即 1 2 n2 - 5 2 n+2 2 = 4-n 4 。 解得 n= 0 或 n= 4 或 n= 2。 ∵ 0<n<4, ∴ n= 0 或 n= 4 均不符合题意。 ∴ 当 n= 2 时,△BDN∽△BOC 成立, 此时点 N(2,-1)。 当△BDN∽△COB 时, ∴ DN OB =BD CO ,即 1 2 n2 - 5 2 n+2 4 = 4-n 2 。 解得 n= 4 或 n= -3 或 n= 5。 ∵ 0<n<4, ∴ n= 4 或 n= -3 或 n= 5 均不符合题意, 即△BDN∽△COB 不成立。 综上所述,以 B,D,N 为顶点的三角形能与△OBC 相似,此时点 N 的坐标是(2,-1)。 17 2023 年沂源县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C B A C A B D D 1. A　 【解析】根据乘积等于 1 的两数互为倒数,可直 接得到- 1 2 的倒数是-2。 故选 A。 2. B　 【解析】A. 左视图与主视图是全等的矩形,高相 等,底边都是圆柱的底面圆的直径,故此选项不符 合题意;B. 主视图是一个矩形中间加一条竖的实 线,左视图是一个矩形,故此选项符合题意;C. 左视 图与主视图都是边长相等的两个正方形,故此选项 不符合题意;D. 左视图与主视图都是等腰三角形, 底边都是底面圆的直径,腰都是圆锥的母线,故此 选项不符合题意。 故选 B。 3. C　 【解析】A. (x+1) 2 = x2 +2x+1,原式计算错误,不 符合题意;B. 3a3 ÷(2a3)= 3 2 ,原式计算错误,不符 合题意;C. (-x3) 2 = x6,原式计算正确,符合题意; D. 2a3 与 3a2 不是同类项,不能合并,原式计算错 误,不符合题意。 故选 C。 4. B　 【解析】A. 由于被调查的人数较多,不适合普查 的方法进行调查,故此选项错误;B. 甲队的方差小 于乙队的方差,故甲队成绩比乙队成绩稳定,故此 选项正确;C. 明天下雨的概率是 99% ,属于随机事 件,故此选项错误;D. 将这组数据从小到大排列,中 间的数是 7,故中位数是 7,这组数据中 6 和 7 都出 现了 2 次,故众数是 6 和 7,故此选项错误。 故选 B。 5. A　 【解析】如图,过点 B 作 BD∥l1,则∠CBD= ∠β。 ∵ l1∥l2,∴ BD∥l2。 ∴ ∠DBA= ∠α= 25°。 ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠ABC= 60°。 ∴ ∠β = ∠CBD = ∠ABC- ∠DBA = 60°-25° = 35°。 故选 A。 6. C　 【解析】∵ x1 = 30+(x3 -35)= x3 -5,∴ x3 >x1。 ∵ x2 = 50+(x1 -55)= x1 -5,∴ x1 >x2。 ∴ x3 >x1 >x2。 故选 C。 7. A　 【解析】依题意,得表示的计算式为-42 - 5 6 。 故 选 A。 8. B　 【解析】∵ ∠C= 90°,AB= 5,BC= 4, ∴ AC= AB2 -BC2 = 3。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85—