10.2023年沂源县学业水平第一次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 55 — — 56 — — 57 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 下列实数是无理数的是 (　 　 ) A. -2 B. 0. 101 0 C. 1 3 D. - 3 2. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. 9 ÷ 3 = 3 B. 3 × 5 = 15 C. 2 + 3 = 5 D. 3 2 - 2 = 2 3. 有以下命题:①对顶角相等;②经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行;③同位角相等。 其中是假命题的是 (　 　 ) A. ①② B. ② C. ③ D. ②③ 4. 若不等式组 x-4<0, x≥m{ 有解,则 m 的值可以是 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 某中学学生会想要统计最受本校学生欢迎的春运会运动项目,以下是打乱的统计步确:①根据统计 表绘制条形统计图;②制作调查问卷,对全校学生进行问卷调查;③从条形统计图中分析出最受欢迎 的春运会项目;④整理问卷调查数据并绘制统计表。 统计步骤的正确排列顺序为 (　 　 ) A. ④③②① B. ②④①③ C. ②①③④ D. ②④③① 6. 如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的展开图可以是 (　 　 ) A B C D 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 某村办工厂 2023 年前五个月生产某种产品的总量 c(万件)与时间 t(月)的函数图象如图所示,则该 厂对这种产品来说 (　 　 ) A. 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4,5 两月每月生产总量逐月减少 B. 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4,5 两月生产总量与 3 月持平 C. 1 月至 3 月每月生产总量不变,4,5 两月均停止生产 D. 1 月至 3 月每月生产总量逐月增加,4,5 两月均停止生产 8. 关于 x 的方程 x2 -2mx+m2 = 4 的两个根 x1,x2 满足 x1 = 2x2 +3,且 x1 >x2,则 m 的值为 (　 　 ) A. -3 B. 1 C. 3 D. 9 9. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的外部,∠DCE = ∠DEC,连接 AE 交 CD 于点 F,∠CDE 的平分线交 EF 于 点 G,AE= 2DG。 若 BC= 8,则 AF 等于 (　 　 ) A. 4 B. 4 2 C. 4 3 D. 4 6 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,已知 A,B 两点的坐标分别为(8,0),(0,8),C,F 分别是直线 x= -5 和 x 轴上的动点,CF= 10,D 是线段 CF 的中点,连接 AD 交 y 轴于点 E。 当△ABE 的面积取得最小值时,tan∠BAD 的值是 (　 　 ) A. 8 17 B. 7 17 C. 4 9 D. 5 9 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 因式分解:3a2 -6a-9 = 　 　 　 　 　 　 　 　 。 12. 如图,将木条 a,b 与 c 钉在一起,∠1 = 70°,∠2 = 50°,在同一平面内,要使木条 a 与 b 平行,木条 a 需 绕着固定点顺时针旋转的最小度数是　 　 　 　 。 第 12 题图 　 　 　 　 　 　 第 13 题图 13. 如图,ABCD 是围墙,AB∥CD,∠ABC= 120°,一根 6 m 长的绳子,一端拴在围墙一角的柱子 B 处,另一 端 E 处拴着一只羊,这只羊活动区域的最大面积为　 　 　 　 。 14. 运用科学计算器进行计算,按键顺序如下,则计算器显示的结果是　 　 　 　 。 ( 3 × ( ( -) 2 ) yx 3 + 6 ) + ( ( -) 6 ab / c 5 ) + 2ndF 　 64 = 15. 如果恰好只有一个实数 a 是方程(k2 -9)x2 -2(k+1)x+1 = 0 的根,那么 k 的值为　 　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)(1)计算: 8 - | -2 | -tan 30°+( 3 ) -1; (2)解不等式:4x-2>3x-1。 17. (10 分)小明解方程 1 x -x-2 x = 1 的过程如下: 解:方程两边乘 x,得 1-(x-2)= 1。 ① 去括号,得 1-x-2 = 1。 ② 移项,得-x= 1-1+2。 ③ 合并同类项,得-x= 2。 ④ 解得 x= -2。 ⑤ 所以,原分式方程的解为 x= -2。 ⑥ 请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程。 18. (10 分)有一块形状如图所示的玻璃,不小心把 DEF 部分打碎,现在只测得 AB = 60 cm,BC = 80 cm, ∠A= 120°,∠B= 60°,∠C= 150°,你能设计一个方案,根据测得的数据求出 AD 的长吗? 10 2023 年沂源县学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 58 — — 59 — — 60 — 19. (10 分)在学校“红歌唱响校园”主题活动中,校广播站循环播放了 4 首红歌:A《谁不说俺家乡好》、 B《歌唱祖国》、C《没有共产党就没有新中国》、D《我的祖国》。 为了解学生最喜欢哪首歌,随机抽取 部分学生进行调查,绘制了如下不完整的统计图。 　 　 请结合图中信息回答下列问题: (1)本次抽样调查的学生有　 　 　 　 人; (2)图中 a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,并把条形统计图补充完整; (3)某学生最喜欢歌曲《我的祖国》,若音乐老师准备在四首歌中任选 2 首进行教唱,利用列表法或 画树状图法,求能选中他喜欢的歌曲的概率。 20. (12 分)如图,B,C 为☉O 上两定点,A 为☉O 上一动点,过点 B 作 BE∥AC,交☉O 于点 E,D 为射线 BC 上一动点,且 AC 平分∠BAD,连接 CE。 (1)求证:AD∥CE; (2)连接 AE,若 BC=CD,试判断四边形 EBCA 的形状,并说明理由。 21. (12 分)某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售,考虑到实际情况,一共开展了 30 次线上 销售,综合考虑各种因素,该种水果的成本价为每吨 2 万元,销售结束后,经过统计得到了如下信息: 信息 1:设第 x 次线上销售水果 y(吨),且第一次线上销售水果为 39 吨,然后每一次总比前一次销售 量减少 1 吨; 信息 2:该水果的销售单价 p(万元 /吨)均由基本价和浮动价两部分组成,其中基本价保持不变,第 1 次线上销售至第 15 次线上销售的浮动价与销售场次 x 成正比,第 16 次线上销售至第 30 次线上销 售的浮动价与销售场次 x 成反比; 信息 3: x /次 2 8 24 p /万元 2. 2 2. 8 3 请根据以上信息,解决下列问题: (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)若 p= 3. 2(万元 /吨),求 x 的值; (3)在这 30 次线上销售中,哪一次线上销售获得的利润最大? 最大利润是多少? 22. (13 分)如图 1,在△ABC 中,∠ACB= 90°,BC=AC,点 D 在 AB 上,DE⊥AB 交 BC 于点 E,F 是 AE 的 中点。 (1)写出线段 DF 与线段 CF 的关系并证明; (2)如图 2,将△BDE 绕点 B 逆时针旋转 α(0°<α<90°),其他条件不变,线段 FD 与线段 FC 的关系 是否变化,写出你的结论并证明; (3)将△BDE 绕点 B 逆时针旋转一周,如果 BC= 4,BE= 2 2 ,直接写出线段 BF 的范围。 图 1 　 　 图 2 23. (13 分)如图,抛物线 y= - 1 4 x2 +bx+c 与 x 轴的一个交点为 A( -2,0),与 y 轴的交点为 B(0,4),对称 轴与 x 轴交于点 P。 (1)求抛物线的表达式; (2)M 为 y 轴正半轴上的一个动点,连接 AM,过点 M 作 AM 的垂线,与抛物线的对称轴交于点 N,连 接 AN。 ①若△AMN 与△AOB 相似,求点 M 的坐标; ②若点 M 在 y 轴正半轴上运动到某一位置时,△AMN 有一边与线段 AP 相等,并且此时这一边与线 段 AP 具有对称性,我们把这样的点 M 称为“对称点”,请直接写出“对称点”M 的坐标。 　 　 备用图 ∴ 二次函数的表达式为 y=x2 -8x+12=(x-4) 2 -4。 ∴ 顶点 P 的坐标为(4,-4)。 (2)存在。 ∵ 点 A(2,0),对称轴为直线 x= 4, ∴ 点 B(6,0)。 设点 D(m,2m),直线 PD 的表达式为 y= kx+n。 ∴ 4k+n= -4, mk+n= 2m。{ 解得 k= 2m+4 m-4 , n= - 12m m-4 。 ì î í ï ï ï ï ∴ y= 2m +4 m-4 x- 12m m-4 。 当点 D 在 x 轴上方时, 令 y = 0,得 x = 6m m+2 ,即直线 PD 与 x 轴的交点 为 6m m+2 ,0( ) 。 ∵ S△ODB =S△DPB, ∴ 1 2 ×6×2m= 1 2 × 6- 6m m+2 ×(2m+4)。 解得 m= 2 或 m= -2(舍去)。 ∴ 点 D(2,4)。 如图 1,当点 D 在 x 轴下方时,设 PD 与 y 轴交于 点 E。 令 x= 0,得 y= - 12m m-4 ,即点 E 0,- 12m m-4( ) 。 ∵ S△DPB =S△OPD +S△OPB -S△ODB = 1 2 × - 12m m-4 ×(4- m)+ 1 2 ×6×4- 1 2 ×6× | 2m | , ∴ 1 2 ×6× | 2m | = 1 2 × - 12m m-4 ×(4-m) + 1 2 ×6×4- 1 2 ×6× | 2m | 。 解得 m= -2。 ∴ 点 D(-2,-4)。 综上所述,在直线 y = 2x 上存在点 D,使 S△ODB = S△DPB,点 D 的坐标为(2,4)或(-2,-4)。 图 1 　 　 图 2 (3)①如图 2,当 0<t≤2 时,设直线 MN 与对称轴 交于点 H, ∵ 点 M 以每秒 2个单位长度的速度运动,运动时 间为 t 秒,∴ MP= 2 t。 ∵ 点 O(0,0),P(4,-4), ∴ 易得直线 OP 的表达式为 y= -x。 ∴ ∠PMN= 45°。 ∴ PH= t,MH= t。 ∴ 点 M(4-t,t-4)。 设直线 BP 的表达式为 y= px+q。 ∵ B(6,0),P(4,-4), ∴ 6p+q= 0, 4p+q= -4。{ 解得 p= 2, q= -12。{ ∴ 直线 BP 的表达式为 y= 2x-12。 ∴ 点 N t +8 2 ,t-4( ) 。 ∴ MN= t+82 -(4-t)= 3 2 t。 ∴ S= 1 2 MN·PH= 1 2 × 3 2 t×t= 3 4 t2 。 　 图 3 ②如图 3,当 2<t<4 时, P1G= 2t-4,P1H= t。 ∵ MN∥OB, ∴ △P1EF∽△P1MN。 ∴ S△P1EF SP1MN = P1G P1H( ) 2 , 即 S△P1EF 3 4 t2 = 2t-4 t( ) 2 。 ∴ S△P1EF = 3t 2 -12t+12。 ∴ S= 3 4 t2 -(3t2 -12t+12)= - 9 4 t2 +12t-12。 综上所述,当 0<t≤2 时,S = 3 4 t2 ;当 2<t<4 时,S = - 9 4 t2 +12t-12。 10 2023 年沂源县学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C A B A C C D B 1. D　 【解析】A. -2 是整数,属于有理数,故不符合题 意;B. 0. 101 0 是有限小数,属于有理数,故不符合 题意;C. 1 3 是分数,属于有理数,故不符合题意; D. - 3是无理数,故符合题意。 故选 D。 2. B　 【解析】A. 9 ÷ 3 = 3,故计算错误;B. 3 × 5 = 15,故计算正确;C. 2, 3 不能合并,故计算错 误;D. 3 2 - 2 = 2 2,故计算错误。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 3. C　 【解析】对顶角相等,故①为真命题;经过直线 外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,故② 为真命题;两直线平行,同位角相等,故③为假命 题。 故选 C。 4. A　 【解析】解不等式 x-4<0,得 x<4。 ∵ 不等式组 x-4<0, x≥m{ 有解,∴ m<4。 故选 A。 5. B　 【解析】统计的一般步骤为收集数据,整理数 据,绘制统计图表,分析图表得出结论, ∴ 正确的步骤为②④①③。 故选 B。 6. A　 【解析】根据题意,这个几何体是圆柱,其展开 图如下: 故选 A。 7. C　 【解析】由函数图象可知,1 月至 3 月每月生产 总量不变,3 月以后总量没变,故 4,5 两月均停止 生产。 故选 C。 8. C　 【解析】∵ x2 -2mx+m2 = 4,∴ x2 -2mx+m2 -4 = 0。 ∴ (x-m+2)(x-m-2)= 0。 ∴ x-m+2 = 0 或 x-m-2 = 0。 ∵ x1 >x2,∴ x1 =m+2,x2 =m-2。 ∵ x1 = 2x2 +3,∴ m+2 = 2(m-2)+3。 解得 m= 3。 故选 C。 9. D　 【解析】如图,过点 D 作 DH⊥AE 于点 H,连接 CG。 设 DG= x。 ∵ ∠DCE= ∠DEC, ∴ DC=DE。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=DC,∠ADF= 90°。 ∴ AD=DE。 ∵ DH⊥AE,AE= 2DG, ∴ AH=EH=DG= x。 ∵ DG 平分∠CDE,∴ ∠GDC= ∠GDE。 又∵ DC=DE,∴ △GDC≌△GDE(SAS)。 ∴ CG=EG,∠DCG= ∠DEG= ∠DAF。 ∵ ∠AFD= ∠CFG,∴ ∠ADF= ∠CGF= 90°。 ∴ ∠HDF= ∠GCF= ∠DEG。 在 Rt△DHE 中,∠HDE+∠DEH= 90°, 即∠HDF+∠GDC+∠GDE+∠DEG= 90°。 ∴ 2∠GDE+2∠DEG= 90°。 ∴ ∠GDE+∠DEG= 45°。 ∴ ∠DGH= 45°。 ∴ DH= 2 2 x。 ∴ 82 = x2 + ( 22 x ) 2 。 解得 x= 8 3 6。 ∵ △ADH∽△AFD,∴ AD2 =AH·AF。 ∴ AF= 64 8 3 6 = 4 6。 故选 D。 10. B　 【解析】如图,设直线 x = - 5 交 x 轴于点 K,过 点 E 作 EH⊥AB 于点 H。 由题意,得 DK = 1 2 CF = 5, ∴ 点 D 的运动轨迹是以 点 K 为圆心,5 为半径 的圆。 ∴ 当直线 AD 与☉K 相 切时,△ABE 的面积最小。 ∵ AD 是☉K 的切线,D 是切点,∴ AD⊥DK。 ∵ AK= 13,DK= 5,∴ AD= 12。 ∵ tan∠EAO=OE OA =DK AD ,∴ OE 8 = 5 12 。 ∴ OE= 10 3 。 ∴ AE= OE2 +OA2 = 26 3 。 ∵ S△ABE = 1 2 AB·EH=S△AOB-S△AOE,∴ EH= 7 2 3 。 ∴ AH= AE2 -EH2 = 17 2 3 。 ∴ tan∠BAD=EH AH = 7 2 3 17 2 3 = 7 17 。 故选 B。 11. 3(a+1)(a-3)　 【解析】原式= 3(a2 -2a-3)= 3(a+ 1)(a-3)。 12. 20°　 【解析】如图,∵ ∠AOC= ∠2 = 50°时,OA∥b, ∴ 要使木条 a 与 b 平行,木条 a 旋转的度数最小 是 70°-50° = 20°。 13. 38π 3 m2 　 【解析】如图,扇形 BFG 和扇形 CGH 为 这只羊活动的区域。 ∵ AB∥CD,∴ ∠BCD= ∠ABC= 120°。 ∴ ∠GCH= 60°。 ∵ S扇形BFG = 120π×62 360 = 12π(m2), S扇形CGH = 60π×(6-4) 2 360 = 2 3 π(m2), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— ∴ 这只羊活动区域的最大面积为12π+ 2 3 π=38π 3 (m2)。 14. - 76 5 　 【解析】 根据题意可知 [ 3 × ( - 2) 3 + 6] + ( - 65 ) + 3 64 =(-24+6)- 6 5 +4 = -76 5 。 15. ±3 或-5　 【解析】①当原方程是一个一元一次方 程时,方程只有一个实数根,则 k2 - 9 = 0,解得 k = ±3;②当原方程是一元二次方程时,方程有两个 相等的实数根,则 Δ = b2 - 4ac = 0,即 4( k+ 1) 2 - 4(k2 -9)= 0,解得 k= -5。 16.解:(1)原式= 2 2 -2- 3 3 + 3 3 = 2 2 -2。 (2)移项,得 4x-3x>-1+2, 合并同类项,得 x>1。 17.解:小明的解法有三处错误:步骤①去分母有误; 步骤②去括号有误;步骤⑥前少“检验”步骤。 正确的解答过程: 方程两边同乘 x,得 1-(x-2)= x。 去括号,得 1-x+2 = x。 移项,得-x-x= -1-2。 合并同类项,得-2x= -3。 系数化为 1,得 x= 1. 5。 经检验,x= 1. 5 是原方程的解。 ∴ 原分式方程的解是 x= 1. 5。 18.解:如图,过点 C 作 CM∥AB,交 AD 于点 M。 ∵ ∠A= 120°,∠B= 60°, ∴ ∠A+∠B= 180°。 ∴ AM∥BC。 ∵ AB∥CM,∴ 四边形 ABCM 是平行四边形。 ∴ AB=CM= 60 cm,BC = AM = 80 cm,∠B = ∠AMC = 60°。 ∵ AD∥BC,∠BCD= 150°, ∴ ∠D= 180°-150° = 30°。 ∴ ∠MCD= 60°-30° = 30° = ∠D。 ∴ CM=DM= 60 cm。 ∴ AD=AM+DM= 80+60 = 140(cm)。 19.解:(1)本次抽样调查的学生有 6÷10% = 60(人)。 (2)∵ a% = 18÷60×100% = 30% ,∴ a= 30。 ∵ D 的人数为 60×40% = 24, ∴ C 的人数为 60-18-6-24 = 12。 ∴ b% = 12÷60×100% = 20% 。 ∴ b= 20。 补全条形统计图如下。 (3)画树状图如下: 共有 12 个等可能的结果,能选中他喜欢的歌曲的 结果有 6 个, ∴ 能选中他喜欢的歌曲的概率为 6 12 = 1 2 。 20. (1)证明:∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠BAC= ∠DAC。 ∵ ∠BEC= ∠BAC,∴ ∠BEC= ∠DAC。 ∵ BE∥AC,∴ ∠BEC= ∠ACE。 ∴ ∠ACE= ∠DAC。 ∴ AD∥CE。 (2)解:四边形 EBCA 是矩形。 理由如下: ∵ AC 平分∠BAD,BC=CD, ∴ ∠ACB= ∠ACD= 90°。 ∴ AB 是☉O 的直径。 ∴ ∠AEB= 90°。 又∵ BE∥AC,∴ ∠EBC= ∠ACD= 90°。 ∴ 四边形 EBCA 是矩形。 21.解:(1)∵ 第一次线上销售水果为 39 吨,然后每一 次总比前一次销售量减少 1 吨, ∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y= 40-x。 (2)设第 1~15 场时 p 与 x 的函数表达式为 p=ax+b; 第 16~ 30 场时 p 与 x 的函数表达式为 p= m x +b。 根据题意,得 2a+b= 2. 2, 8a+b= 2. 8。{ 解得 a= 1 10 , b= 2。 { ∴ p= 1 10 x+2。 又∵ 当 x= 24 时,p= 3,∴ 3 = m 24 +2, 解得 m= 24。 ∴ p= 24 x +2。 当 1≤x≤15 时,p= 1 10 x+2 = 3. 2,解得 x= 12; 当 16≤x≤30 时,p= 24 x +2 = 3. 2,解得 x= 20。 (3)设每场获得的利润为 w 万元。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 当 1≤x≤15 时,w= (40-x) ( 110x+2-2 ) = - 1 10 x2 + 4x= - 1 10 (x-20) 2 +40, ∴ 当 x= 15 时,w 最大,最大值为 37. 5。 当 16≤x≤30 时, w= (40-x) ( 24x +2-2 ) = 960 x -24, 当 x= 16 时,w 最大,最大值为 36。 ∵ 37. 5>36,∴ 第 15 次线上销售获得的利润最大, 最大利润是 37. 5 万元。 22.解:(1)结论:DF=CF,DF⊥CF。 证明:∵ DE⊥AB,∴ ∠ADE= ∠ACE= 90°。 ∵ F 是 AE 的中点,∴ AF=EF。 ∴ DF=AF=EF=CF。 ∴ ∠FAD= ∠FDA,∠FAC= ∠FCA。 ∴ ∠DFE = ∠FDA + ∠FAD = 2 ∠FAD, ∠EFC = ∠FAC+∠FCA= 2∠FAC。 ∵ BC=AC,∠ACB= 90°,∴ ∠BAC= 45°。 ∴ ∠DFC = ∠EFD + ∠EFC = 2 ( ∠FAD + ∠FAC) = 90°。 ∴ DF⊥CF。 　 图 1 (2)结论不变。 证明:如图 1,延长 AC 到 点 M,使得 CM = AC,延长 ED 到点 N,使得 DN =DE, 连接 BN,BM,EM,AN,延 长ME 交 AN 于点 H,交 AB 于点 O。 ∵ ∠ACB= 90°,CM=AC, ∴ BA=BM。 同理可得 BE=BN。 ∵ ∠ABM= ∠EBN= 90°, ∴ ∠NBA= ∠EBM。 ∴ △ABN≌△MBE(SAS)。 ∴ AN=EM,∠BAN= ∠BME。 ∵ AF=EF,AC=CM,∴ CF= 1 2 EM,CF∥EM。 同理可得 DF= 1 2 AN,DF∥AN,∴ DF=CF。 ∵ ∠BME+∠BOM= 90°,∠BOM= ∠AOH, ∴ ∠BAN+∠AOH= 90°。 ∴ ∠AHO= 90°。 ∴ AN⊥MH。 ∴ DF⊥CF。 (3)如图 2,当点 E 落在 AB 上时,BF 的长最大。 在 Rt△ABC 中,BC=AC= 4, ∴ AB= BC2 +AC2 = 4 2 。 ∵ BE= 2 2 ,∴ AE=AB-BE= 2 2 。 ∵ F 是 AE 的中点,∴ AF=EF= 1 2 AE= 2 。 ∴ BF 的最大值为 3 2 。 图 2 　 　 图 3 如图 3, 当点 E 落在 AB 的延长线上时, BF 的 长最小。 ∵ BE= 2 2 ,AB= 4 2 ,∴ AE= 6 2 。 ∴ AF=EF= 3 2 。 ∴ BF 的最小值为 2 。 综上所述, 2 ≤BF≤3 2 。 23.解:(1)将点 A(-2,0),B(0,4)分别代入 y= - 1 4 x2 + bx+c, 得 -1-2b+c= 0, c= 4。{ 解得 b= 3 2 , c= 4。 { ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 4 x2 + 3 2 x+4。 (2)①抛物线的对称轴为直线 x= - 3 2 2× ( - 14 ) = 3。 如图,过点 M 作 MD⊥直线 x= 3 于点 D,过点 A 作 AE⊥MD 于点 E。 ∵ ∠AMN= ∠AOB, ∴ 当AM BO = MN OA ,即 AM MN = BO OA = 4 2 = 2 时,△AMN∽ △BOA,如图 1。 ∵ ∠EAM+∠EMA= 90°,∠DMN+∠EMA= 90°, ∴ ∠EAM= ∠DMN。 ∵ ∠AEM= ∠MDN= 90°,∴ △AEM∽△MDN。 ∴ AE MD = AM MN = 2。 而 MD= 3,∴ AE= 6。 此时点 M 的坐标为(0,6); 图 1 　 图 2 当 AM AO = MN OB , 即 AM MN = AO OB = 2 4 = 1 2 时, △AMN ∽ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— △AOB,如图 2。 同理可得△AEM∽△MDN。 ∴ AE MD = AM MN = 1 2 。 而 MD= 3,∴ AE= 3 2 。 此时点 M 的坐标为 ( 0, 32 ) 。 综上所述,点 M 的坐标为(0,6)或 ( 0, 32 ) 。 ②∵ 点 A(-2,0),P(3,0),∴ AP= 5。 当 AM=AP= 5 时,OM= 52 -22 = 21 ,此时点 M 的坐标为(0, 21 )。 当 AN=AP= 5 时,点 N 与点 P 重合,则 OM2 =OA· OP, ∴ OM= 2×3 = 6 ,此时点 M 的坐标为(0, 6 )。 当 MN= 5 时,在 Rt△MND 中,DN= 52 -32 = 4。 ∵ △AEM∽△MDN,∴ AE MD =EM DN ,即AE 3 = 2 4 。 解得 AE= 3 2 ,此时点 M 的坐标为 ( 0, 32 ) 。 综上所述,“对称点”M 的坐标为(0, 21 )或 ( 0, 3 2 )或(0, 6 )。 11 2023 年张店区学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B C B A D C C 1. B　 【解析】-3 的相反数是 3。 故选 B。 2. B　 【解析】第一个图案不是轴对称图形,也不是中 心对称图形。 故错误;第二个图案是轴对称图形, 也是中心对称图形。 故正确;第三个图案是轴对称 图形,但不是中心对称图形。 故错误;第四个图案 是轴对称图形,也是中心对称图形。 故正确。 故 选 B。 3. D　 【解析】A. a2 ·a3 = a2+3 = a5,故原运算错误,不 符合题意;B. a7 和 a5 不是同类项,不能合并,故原 运算错误,不符合题意;C. a6 ÷a3 = a6-3 = a3,故原运 算错误,不符合题意;D. (- 2a2) 3 = - 8a6,故原运算 正确,符合题意。 故选 D。 4. B　 【解析】如图。 　 在直尺 DEFG 中,DG∥EF,∠ABC+∠1 = 30° +20° = 50°,∴ ∠AHC= 50°。 在 Rt△AHC 中,∠2 = 90°-50° = 40°。 故选 B。 5. C　 【解析】由统计表可知众数为 4. 7;共有 48 人, 中位数应为第 24 与 25 个数的平均数,而第 24 与 25 个数都是 4. 7,则中位数为 4. 7。 故选 C。 6. B　 【解析】根据题意,在实验中有 3 个阶段: ①铁块在液面以下,液面的高度不变; ②铁块的一部分露出液面,但未完全露出时,液面 高度降低; ③铁块在液面以上,完全露出时,液面高度又维持 不变。 故选 B。 7. A　 【解析】根据题意,得(92- 2x) (60-x)= 5 310。 故选 A。 8. D　 【解析】如图,过点 C 作 CF⊥DF 于点 F,连 接 AE。 ∵ DE 垂直平分 AB, ∴ DE ⊥ AB, AD = BD, AE =BE。 ∵ ∠ACB= 90°,AD=BD, ∴ BD=DC。 ∵ CF⊥DF,DE⊥AB,∴ CF∥AB。 ∴ △FEC∽△DEB,即CE BE =CF BD =CF DC 。 在 Rt△CFD 中,tan∠CDE= 3 4 , 则 CE BE =CF DC = sin∠CDE= 3 5 。 ∵ BE+CE=BC= 8, ∴ BE=AE= 5,CE= 3。 在 Rt△ACE 中,AC= 52 -32 = 4。 故 S△ABC = 1 2 BC·AC= 1 2 ×8×4 = 16。 故选 D。 9. C　 【解析】当 1≤x<2 时, 1 3 x2 = 1,解得 x1 = 3,x2 = - 3(舍去); 当 0≤x<1 时, 1 3 x2 = 0,解得 x1 = x2 = 0; 当-1≤x<0 时, 1 3 x2 = -1,方程没有实数解; 当-2≤x<-1 时, 1 3 x2 = -2,方程没有实数解。 所以方程[x] = 1 3 x2 的解为 x= 0 或 3,共 2 个。 故 选 C。 10. C　 【解析】如图,连接 AD,OP,OB,过点 A 作 AG⊥ DP,交 DP 的延长线于点 G,则∠G = 90°。 过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,则 AH=BH。 ∵ 点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心, ∴ AD 经过点 O 且 OA =OD =OB = AB,△AOB 是等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73—