9.2023年高青县学业水平第一次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 49 — — 50 — — 51 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是 1 cm),刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上 的 3 和 0,那么刻度尺上“3. 6 cm”对应数轴上的数为 (　 　 ) A. -0. 4 B. -0. 6 C. -1. 6 D. 1. 4 2. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　 　 ) A B C D 3. 如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的,它的主视图是 (　 　 ) A B C D 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 一个不透明的箱子里装有 m 个球,其中红球 3 个,这些球除颜色不同外其余都相同,每次搅拌均匀 后,任意摸出一个球记下颜色后再放回,大量重复试验发现,摸到红球的频率稳定在 0. 2 附近,则可以 估算出 m 的值为 (　 　 ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 5. 将一张长方形纸片按如图方式折叠,BD,BE 为折痕,点 C′恰好落在 A′B 上。 若∠ABE= 20°,则∠CBD 为 (　 　 ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6. 《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉;下禾五秉,益实一斗,当上禾二秉。 问 上、下禾实一秉各几何?”其大意是今有上等稻子三捆,若打出来的谷子再加六斗,则相当于十捆下等 稻子打出来的谷子;有下等稻子五捆,若打出来的谷子再加一斗,则相当于两捆上等稻子打出来的谷 子。 问上、下等稻子每捆打多少斗谷子? 设上等稻子每捆打 x 斗谷子,下等稻子每捆打 y 斗谷子,根 据题意可列方程组为 (　 　 ) A. 3y+6 = 10x, 5x+1 = 2y{ 　 B. 3x-6 = 10y, 5y-1 = 2x{ 　 C. 3x+6 = 10y, 5y+1 = 2x{ 　 D. 3y-6 = 10x, 5x-1 = 2y{ 7. 如图,在矩形 ABCD 中,连接 BD,分别以点 B,D 为圆心,大于 1 2 BD 的长为半径画弧,两弧交于 P,Q 两 点,作直线 PQ,分别与 AD,BC 交于点 M,N,连接 BM,DN。 若 AB = 3,BC = 6,则四边形 MBND 的周长 为 (　 　 ) A. 15 B. 9 C. 15 4 D. 9 4 第 7 题图 　 　 　 　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④ 　 … 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,每一个图形都是由一些小黑方块按一定的规律排列组成的,其中第①个图形中有 1 个小黑方 块,第②个图形中有 5 个小黑方块,第③个图形中有 11 个小黑方块……按此规律,则第⑨个图形中小 黑方块的个数是 (　 　 ) A. 89 B. 71 C. 55 D. 41 9. 某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩 A 和 B,售价均为 90 元,按成本计算,超市人员发现冰 墩墩 A 盈利了 50% ,而冰墩墩 B 却亏损了 40% ,则这次超市 (　 　 ) A. 不赚不赔 B. 赚了 C. 赔了 D. 无法判断 10. 如图,在矩形 ABCD 中,∠BAC= 60°,点 E 在 AB 上,且 BE ∶ AB = 1 ∶ 3,点 F 在 BC 边上运动,以线段 EF 为斜边在点 B 的异侧作等腰直角三角形 GEF,连接 CG。 当 CG 最小时,CF AD 的值为 (　 　 ) A. 3 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 3 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 已知实数 m,n 满足 m-3 + n-12 = 0,则 m + n = 　 　 　 　 。 12. 已知 xy= 1,3y-x= 3,则 3xy2 -x2y-xy 的值为　 　 　 　 。 13. 如图,有一块直角三角形纸片,∠ACB = 90°,AC = 4 cm,BC = 3 cm,将斜边 AB 翻折,使点 B 落在直角 边 AC 的延长线上的点 E 处,折痕为 AD,则 DE 的长是　 　 　 　 。 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 14. 如图,点 P 在以 MN 为直径的半圆上运动(点 P 不与点 M,N 重合),PQ⊥MN 于点 Q,NE 平分 ∠MNP,交 PM 于点 E,交 PQ 于点 F。 若 PN2 =PM·MN,则MQ NQ = 　 　 　 　 。 15. 如图,在平面直角坐标系中,点 A( -3,0),B(0,1),形状相同的抛物线 Cn(n= 1,2,3,4,…)的顶点在 直线 AB 上,其对称轴与 x 轴交点的横坐标依次为 2,3,5,8,13,…,根据上述规律,抛物线 C8 的顶点 坐标为　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)先化简,再求值: ( -6x x-3 -x+3 ) ÷x 2 +9 x ÷ 3x x2 -9 ,其中 x 为不等式组 x+4>0, 5x+1<2(x-1){ 的整数解。 17. (10 分)如图,在△ABC 中,CF⊥AB 于点 F,DE∥CF,∠1 = ∠2。 (1)求证:FG∥BC; (2)若∠A= 60°,∠AGF= 70°,求∠B 及∠2 的度数。 18. (10 分)如图,已知 A( -2,n),B(1,-2)是一次函数 y1 = kx+b 和反比例函数 y2 = m x 图象的两个交点。 (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求△AOB 的面积; (3)观察图象,直接写出当 y1 <y2 时,x 的取值范围。 9 2023 年高青县学业水平第一次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 52 — — 53 — — 54 — 19. (10 分)中国共产党的助手和后备军———中国共青团,担负着为中国特色社会主义事业培养合格建 设者和可靠接班人的根本任务。 成立一百周年之际,各中学持续开展了 A:青年大学习、B:青年学党 史、C:中国梦宣传教育、D:社会主义核心价值观培育践行等一系列活动,学生可以任选一项参加。 为了解学生参与情况,进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图。 　 　 　 　 请根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)在这次调查中,一共抽取了　 　 　 　 名学生; (2)补全条形统计图; (3)若该校共有学生 1 180 名,请估计参加 B 项活动的学生数; (4)小杰和小慧参加了上述活动,请用列表或画树状图的方法,求他们参加同一项活动的概率。 20. (12 分)如图,在一条河的北岸有两个目标 M,N,现在位于它的对岸设定两个观测点 A,B。 已知 AB ∥MN,在点 A 测得∠MAB= 60°,在点 B 测得∠MBA= 45°,AB= 800 m。 (1)求点 M 到 AB 的距离(结果保留根号); (2)在点 B 又测得∠ABN= 53°,求 MN 的长(结果精确到 1 m)。 (参考数据: 3 ≈1. 732,sin 53°≈ 4 5 ,cos 53°≈ 3 5 ,tan 53°≈ 4 3 ) 21. (12 分)五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售,其进价与售价如表: 进价 / (元 /台) 售价 / (元 /台) 电饭煲 240 290 电压锅 200 260 (1)一季度,五星店购进这两种电器共 40 台,用去了 9 000 元,并且全部售完,问五星店在该买卖中 购进电饭煲和电压锅各多少台? (2)为了满足市场需求,二季度五星店决定用不超过 11 000 元的资金采购电饭煲和电压锅共 50 台, 且电饭煲的数量不少于电压锅数量的 5 6 ,问五星店有哪几种进货方案? 并说明理由; (3)在(2)的条件下,请你通过计算判断,哪种进货方案五星店赚钱最多? 22. (13 分)在▱ABCD 中,∠ADC 的平分线交直线 BC 于点 E,交 AB 的延长线于点 F,连接 AC。 (1)如图 1,若∠ADC= 90°,G 是 EF 的中点,连接 AG,CG。 ①求证:BE=BF; ②请判断△AGC 的形状,并说明理由; (2)如图 2,若∠ADC= 60°,将线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60°至 FG,连接 AG,CG,判断△AGC 的形状 (直接写出结论不必证明)。 图 1 　 　 图 2 23. (13 分)如图,已知二次函数的图象经过 A(2,0),C(0,12)两点,且对称轴为直线 x= 4。 设顶点为 P, 与 x 轴的另一交点为 B。 (1)求二次函数的表达式及顶点 P 的坐标; (2)如图 1,在直线 y= 2x 上是否存在点 D,使 S△ODB =S△DPB? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请 说明理由; (3)如图 2,M 是线段 OP 上的一个动点(O,P 两点除外),以每秒 2个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动,过点 M 作直线 MN∥x 轴,交 PB 于点 N。 将△PMN 沿直线 MN 对折,得到△P1MN。 在动点 M 的运动过程中,设△P1MN 与梯形 OMNB 重叠部分的面积为 S,运动时间为 t 秒。 求 S 关于 t 的函数 表达式。 图 1 　 　 图 2 ∵ ∠APM+∠PAM= 90°,∴ ∠CAO= ∠APM。 ∵ ∠COA= ∠AMP, ∴ △COA∽△AMP。 ∴ OA MP =OC MA 。 ∴ OA·MA=OC·PM, 即 3(m-3)= 6 1 4 m2 - 11 4 m+6( ) 。 解得 m1 = 3(舍去),m2 = 10。 ∴ 点 P 的坐标为 10,- 7 2( ) 。 图 1 　 　 图 2 (3)如图 2,过点 P 作 PN⊥x 轴交 BC 于点 N,过点 N 作 NE⊥y 轴于点 E。 ∵ 点 P m,- 1 4 m2 + 11 4 m-6( ) , ∴ 点 N m, 3 4 m-6( ) 。 ∴ PN= - 1 4 m2 +11 4 m-6- 3 4 m-6( ) = - 14 m 2 +2m。 ∵ PN⊥x 轴,∴ PN∥y 轴。 ∴ ∠PNQ= ∠OCB。 ∵ ∠PQN= ∠BOC= 90°, ∴ △PQN∽△BOC。 ∴ PN BC =NQ CO =PQ BO 。 ∵ OB= 8,OC= 6,∴ BC= 10。 ∴ NQ= 3 5 PN,PQ= 4 5 PN。 ∵ EN⊥y 轴,∴ EN∥x 轴。 ∴ △CNE∽△CBO。 ∴ CN CB =EN OB ,即CN 10 = m 8 。 ∴ CN= 5 4 m。 ∴ CQ+ 1 2 PQ = CN+NQ+ 1 2 PQ = CN+ 3 5 PN+ 1 2 × 4 5 PN=CN+PN。 ∴ CQ+ 1 2 PQ= 5 4 m- 1 4 m2 +2m= - 1 4 m2 +13 4 m = - 1 4 m- 13 2( ) 2 +169 16 。 ∴ CQ+ 1 2 PQ 的最大值是169 16 。 9 2023 年高青县学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B B D C A A C A 1. B　 【解析】根据题意可知刻度尺上“3. 6 cm”在原 点的左侧 0. 6 的位置,∴ 刻度尺上“3. 6 cm”对应数 轴上的数为-0. 6。 故选 B。 2. D　 【解析】A. 是轴对称图形,但不是中心对称图 形,故不符合要求;B. 是轴对称图形,但不是中心对 称图形,故不符合要求;C. 不是轴对称图形,是中心 对称图形,故不符合要求;D. 既是轴对称图形,又 是中心对称图形,故符合要求。 故选 D。 3. B　 【解析】从正面看,底层是一个矩形,上层是一 个圆。 故选 B。 4. B　 【解析】根据题意,得 0. 2 = 3 m ,解得 m= 15,符合 要求。 故选 B。 5. D　 【解析】根据翻折的性质可知∠ABE = ∠A′BE, ∠DBC= ∠DBC′。 ∵ ∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′= 180°, ∴ ∠ABE+∠DBC= 90°。 ∵ ∠ABE= 20°,∴ ∠DBC= 70°。 故选 D。 6. C　 【解析】设上等稻子每捆打 x 斗谷子,下等稻子 每捆打 y 斗谷子。 根据题意可列方程组为 3x+6 = 10y, 5y+1 = 2x。{ 故选 C。 7. A 　 【解析】由作图过程可得 PQ 为 BD 的垂直平分线, ∴ BM=MD,BN=ND。 如图,设 PQ 与 BD 交于点 O, 则 BO=DO。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC,AD=BC= 6。 ∴ ∠MDO= ∠NBO,∠DMO= ∠BNO。 在△MDO 和△NBO 中, ∠MDO= ∠NBO, ∠DMO= ∠BNO, OD=OB, { ∴ △MDO≌△NBO(AAS)。 ∴ DM=BN。 ∴ 四边形 MBND 为平行四边形。 ∵ BM=MD,∴ 四边形 MBND 为菱形。 ∴ 四边形 MBND 的周长= 4BM。 设 BM= x,则 DM=BM= x,AM=AD-DM= 6-x。 在 Rt△ABM 中,AB2 +AM2 =BM2,即 32 +(6-x) 2 = x2, 解得 x= 15 4 。 ∴ 四边形 MBND 的周长= 4BM= 15。 故选 A。 8. A　 【解析】第①个图形:1; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 第②个图形:1+4 = 5; 第③个图形:1+4+6 = 11; 第④个图形:1+4+6+8 = 19…… 第⑨个图形:1+4+6+8+10+12+14+16+18 = 89。 故 选 A。 9. C　 【解析】设冰墩墩 A 的成本价为 x 元。 根据题意,得 90-x= x×50% 。 解得 x= 60。 设冰墩墩 B 的成本价为 y 元。 根据题意,得 90-y= y×(-40% )。 解得 y= 150。 90-60+(90-150)= -30(元)。 故这次超市赔了。 故选 C。 10. A　 【解析】如图 1,取 EF 的中点 O,连接 OB,OG, 作射线 BG。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC= 90°。 ∵ O 是 EF 的中点,∴ OB=OE=OF。 ∵ ∠EGF= 90°,O 是 EF 的中点, ∴ OG=OE=OF。 ∴ OB=OG=OE=OF。 ∴ B,E,G,F 在以点 O 为圆心的圆上。 ∴ ∠EBG= ∠EFG。 ∵ ∠EGF= 90°,EG=FG, ∴ ∠GEF= ∠GFE= 45°。 ∴ ∠EBG= 45°。 ∴ BG 平分∠ABC。 图 1 　 　 图 2 当 CG⊥BG 时,CG 最小,此时,如图 2。 ∵ BG 平分∠ABC, ∴ ∠ABG= ∠GBC= 1 2 ∠ABC= 45°。 ∵ CG⊥BG, ∴ △BCG 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形, ∠BGC= 90°。 ∴ BG=CG。 ∵ ∠EGF= ∠BGC= 90°, ∴ ∠EGF-∠BGF= ∠BGC-∠BGF。 ∴ ∠EGB= ∠FGC。 在△EGB 和△FGC 中, BG=CG, ∠EGB= ∠FGC, EG=FG, { ∴ △EGB≌△FGC(SAS)。 ∴ BE=CF。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD=BC。 设 AB=m。 ∵ BE ∶ AB= 1 ∶ 3,∴ CF=BE= 1 3 m。 在 Rt△ABC 中,∠BAC= 60°, ∴ BC=AB·tan 60° = 3m。 ∴ AD= 3m。 ∴ CF AD = 1 3 m 3m = 3 9 。 故选 A。 11. 3 3 　 【解析】∵ m-3 + | n-12 | = 0, ∴ m-3 = 0, n-12 = 0。{ 解得 m= 3, n= 12。{ ∴ m+ n = 3 + 12 = 3 +2 3 = 3 3。 12. 2　 【解析】原式= xy(3y-x-1)。 代入 xy= 1,3y-x= 3,得原式= 1×(3-1)= 2。 13. 5 3 cm　 【解析】在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AB= AC2 +BC2 = 5 cm。 根据折叠的性质可知 AE=AB= 5 cm,DB=DE。 ∵ AC= 4 cm,∴ CE=AE-AC= 1 cm。 设 DB=DE= x cm,则 CD=BC-BD=(3-x)cm。 在 Rt△CDE 中,由勾股定理,得 CE2 +CD2 = DE2, 即 12 +(3-x) 2 = x2。 解得 x= 5 3 ,即 DE= 5 3 cm。 14. 5 -1 2 　 【解析】∵ MN 是☉O 的直径, ∴ ∠MPN= 90°。 ∵ PQ⊥MN 于点 Q,∴ ∠PQN= ∠MPN= 90°。 ∵ ∠PNQ= ∠MNP,∴ △NPQ∽△NMP。 ∴ PN MN =NQ NP 。 ∴ PN2 =NQ·MN。 ∵ PN2 =PM·MN,∴ PM·MN=NQ·MN。 ∴ PM=NQ。 ∵ ∠MQP= ∠MPN= 90°,∠PMQ=NMP, ∴ △MPQ∽△MNP。 ∴ PM NM =MQ MP 。 ∴ PM2 =MQ·MN。 ∴ NQ2 =MQ·MN。 设 MQ=m,NQ=n。 ∴ n2 =m(m+n),整理,得 m2 +mn-n2 = 0。 解得 m = 5 -1 2 n 或 m = - 5 -1 2 n (不符合题意, 舍去)。 ∴ MQ NQ = m n = 5 -1 2 。 15. 55, 58 3( ) 　 【解析】设直线 AB 的表达式为 y= kx+b (k≠0)。 ∵ 点 A(-3,0),B(0,1), ∴ -3k+b= 0, b= 1。{ 解得 k= 1 3 , b= 1。 { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— ∴ 直线 AB 的表达式为 y= 1 3 x+1。 ∵ 对称轴与 x 轴交点的横坐标依次为 2,3,5,8, 13,…,观察发现:每个数都是前两个数的和, ∴ 抛物线 C8 的顶点坐标的横坐标为 55。 当 x= 55 时,y= 55 3 +1 = 58 3 。 ∴ 抛物线 C8 的顶点坐标为 55, 58 3( ) 。 16.解:原式= -6x-(x-3) 2 x-3 · x x2 +9 ·x 2 -9 3x = -6x-x 2 +6x-9 x-3 · x x2 +9 ·x 2 -9 3x = -(x 2 +9) x-3 · x x2 +9 ·(x +3)(x-3) 3x = -x+3 3 。 解不等式组 x+4>0,① 5x+1<2(x-1)。 ②{ 解不等式①,得 x>-4。 解不等式②,得 x<-1。 ∴ 不等式组的解集为-4<x<-1。 ∵ x 为不等式组 x+4>0, 5x+1<2(x-1){ 的整数解, ∴ 不等式组的整数解是 x= -3 或-2。 ∵ x≠±3 且 x≠0,∴ x= -2。 当 x= -2 时,原式= - 1 3 。 17. (1)证明:∵ DE∥CF,∴ ∠FCB= ∠1。 又∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠FCB= ∠2。 ∴ FG∥BC。 (2)解:∵ ∠A= 60°,∠AGF= 70°, ∴ ∠AFG= 180°-∠A-∠AGF= 50°。 ∵ CF⊥AB, ∴ ∠2 = 90°-∠AFG= 90°-50° = 40°。 ∵ FG∥BC,∴ ∠B= ∠AFG= 50°。 18.解:(1) ∵ 点 B(1,-2)在反比例函数 y2 = m x 的图 象上, ∴ m= -2×1 = -2。 ∴ 反比例函数的表达式为 y2 = - 2 x 。 ∵ 点 A(-2,n)在 y= - 2 x 上,∴ n= 1。 ∴ 点 A(-2,1)。 ∵ y1 = kx+b 经过点 A(-2,1),B(1,-2), ∴ -2k+b= 1, k+b= -2。{ 解得 k= -1, b= -1。{ ∴ 一次函数的表达式为 y1 = -x-1。 (2)∵ C 是直线 AB 与 x 轴的交点, ∴ 当 y= 0 时,x= -1。 ∴ 点 C(-1,0)。 ∴ OC= 1。 ∴ S△AOB =S△ACO+S△BCO = 1 2 ×1×1+ 1 2 ×1×2 = 1. 5。 (3)由图象可知当 y1 <y2 时,x 的取值范围为 x> 1 或-2<x<0。 19.解:(1)一共抽取了 40÷ 72° 360° = 200(名)学生。 (2)C 的人数为 200-20-80-40 = 60,补全条形统 计图如下。 (3)1 180× 80 200 = 472(名)。 答:估计参加 B 项活动的学生为 472 名。 (4)画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中他们参加同一项活 动的结果有 4 种, ∴ 他们参加同一项活动的概率为 4 16 = 1 4 。 20.解:(1)如图,过点 M 作 MD⊥AB 于点 D。 则∠MDA= ∠MDB= 90°。 ∵ ∠MAB= 60°,∠MBA= 45°, ∴ 在 Rt△ADM 中,MD AD = tan A= 3 ; 在 Rt△BDM 中,MD BD = tan∠MBD= 1。 ∴ BD=MD= 3AD。 ∵ AB= 800 m,∴ AD+BD= 800 m。 ∴ AD+ 3AD= 800 m。 ∴ AD= (400 3 -400)m。 ∴ BD=MD= (1 200-400 3 )m。 ∴ 点 M 到 AB 的距离为(1 200-400 3 )m。 (2)如图,过点 N 作 NE⊥ AB 于点 E。 ∵ MD⊥AB,NE⊥AB, ∴ MD∥NE。 ∵ AB∥MN, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— ∴ 四边形 MDEN 为平行四边形。 ∴ NE=MD= (1 200-400 3 )m,MN=DE。 ∵ ∠NBA= 53°, ∴ 在 Rt△NEB 中,NE BE = tan 53°≈ 4 3 。 ∴ BE= (900-300 3 )m。 ∴ MN=BD-BE= 300-100 3 ≈127 m。 21.解:(1)设五星店在该买卖中购进电饭煲 x 台、电 压锅 y 台。 根据题意,得 x+y= 40, 240x+200y= 9 000。{ 解得 x= 25, y= 15。{ 答:五星店在该买卖中购进电饭煲 25 台、电压锅 15 台。 (2) 设五星店购进电饭煲 a 台,则购进电压锅 (50-a)台。 根据题意,得 240a+200(50-a)≤11 000, a≥ 5 6 (50-a)。{ 解得 250 11 ≤a≤25。 又∵ a 为正整数,∴ a 可取 23,24,25。 ∴ 五星店有三种进货方案:①购进电饭煲 23 台、 电压锅 27 台;②购进电饭煲 24 台、电压锅 26 台; ③购进电饭煲 25 台、电压锅 25 台。 (3)设五星店赚钱数额为 w 元。 当 a= 23 时,w= 23×(290-240) +27×(260-200)= 2 770(元); 当 a= 24 时,w= 24×(290-240) +26×(260-200)= 2 760(元); 当 a= 25 时,w= 25×(290-240) +25×(260-200)= 2 750(元)。 ∵ 2 770>2 760>2 750, ∴ 当 a= 23 时,w 最大,即购进电饭煲 23 台、电压 锅 27 台时,五星店赚钱最多。 22. ( 1) ① 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∠ADC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ∴ ∠ABC= 90°,AB∥CD,AD∥BC。 ∴ ∠F= ∠FDC,∠BEF= ∠ADF。 ∵ DF 是∠ADC 的平分线, ∴ ∠ADF= ∠FDC。 ∴ ∠F= ∠BEF。 ∴ BE=BF。 ②解:△AGC 是等腰直角三角形。 理由如下: 如图 1,连接 BG。 由①知,BF=BE,∠FBC= 90°, ∴ ∠F= ∠BEF= 45°。 ∵ G 是 EF 的中点, ∴ BG=FG,∠F= ∠CBG= 45°。 ∵ ∠FAD= 90°,∴ AF=AD。 又∵ AD=BC,∴ AF=BC。 在△AFG 和△CBG 中, AF=CB, ∠F= ∠CBG, FG=BG, { ∴ △AFG≌△CBG(SAS)。 ∴ AG=CG,∠FAG= ∠BCG。 又∵ ∠FAG+∠GAC+∠ACB= 90°, ∴ ∠BCG+∠GAC+∠ACB = 90°,即∠GAC+∠ACG = 90°。 ∴ ∠AGC= 90°。 ∴ △AGC 是等腰直角三角形。 图 1 　 图 2 (2)解:△AGC 是等边三角形。 证明:如图,连接 BG。 ∵ 线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60°至 FG, ∴ △BFG 是等边三角形。 ∴ FG=BG,∠FBG= ∠BFG= 60°。 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∠ADC= 60°, ∴ ∠ABC= ∠ADC= 60°。 ∴ ∠CBG= 180° -∠FBG-∠ABC = 180° - 60° - 60° = 60°。 ∴ ∠AFG= ∠CBG。 ∵ DF 是∠ADC 的平分线,∴ ∠ADF= ∠FDC。 ∵ AB∥DC,∴ ∠AFD= ∠FDC。 ∴ ∠AFD= ∠ADF。 ∴ AF=AD=BC。 在△AFG 和△CBG 中, FG=BG, ∠AFG= ∠CBG, AF=CB, { ∴ △AFG≌△CBG(SAS)。 ∴ AG=CG,∠FAG= ∠BCG。 在△ABC 中, ∠ACB + ∠BAC = ∠ACB + ∠BAG + ∠GAC= ∠ACB+∠BCG+∠GAC = ∠GAC+∠ACG = 180°-60° = 120°, ∴ ∠AGC = 180° - ( ∠GAC + ∠ACG) = 180° - 120° = 60°。 ∴ △AGC 是等边三角形。 23.解:(1)设二次函数的表达式为 y=ax2 +bx+c。 根据题意,得 - b 2a = 4, c= 12, 4a+2b+c= 0。 ì î í ï ï ï ï 解得 a= 1, b= -8, c= 12。 { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— ∴ 二次函数的表达式为 y=x2 -8x+12=(x-4) 2 -4。 ∴ 顶点 P 的坐标为(4,-4)。 (2)存在。 ∵ 点 A(2,0),对称轴为直线 x= 4, ∴ 点 B(6,0)。 设点 D(m,2m),直线 PD 的表达式为 y= kx+n。 ∴ 4k+n= -4, mk+n= 2m。{ 解得 k= 2m+4 m-4 , n= - 12m m-4 。 ì î í ï ï ï ï ∴ y= 2m +4 m-4 x- 12m m-4 。 当点 D 在 x 轴上方时, 令 y = 0,得 x = 6m m+2 ,即直线 PD 与 x 轴的交点 为 6m m+2 ,0( ) 。 ∵ S△ODB =S△DPB, ∴ 1 2 ×6×2m= 1 2 × 6- 6m m+2 ×(2m+4)。 解得 m= 2 或 m= -2(舍去)。 ∴ 点 D(2,4)。 如图 1,当点 D 在 x 轴下方时,设 PD 与 y 轴交于 点 E。 令 x= 0,得 y= - 12m m-4 ,即点 E 0,- 12m m-4( ) 。 ∵ S△DPB =S△OPD +S△OPB -S△ODB = 1 2 × - 12m m-4 ×(4- m)+ 1 2 ×6×4- 1 2 ×6× | 2m | , ∴ 1 2 ×6× | 2m | = 1 2 × - 12m m-4 ×(4-m) + 1 2 ×6×4- 1 2 ×6× | 2m | 。 解得 m= -2。 ∴ 点 D(-2,-4)。 综上所述,在直线 y = 2x 上存在点 D,使 S△ODB = S△DPB,点 D 的坐标为(2,4)或(-2,-4)。 图 1 　 　 图 2 (3)①如图 2,当 0<t≤2 时,设直线 MN 与对称轴 交于点 H, ∵ 点 M 以每秒 2个单位长度的速度运动,运动时 间为 t 秒,∴ MP= 2 t。 ∵ 点 O(0,0),P(4,-4), ∴ 易得直线 OP 的表达式为 y= -x。 ∴ ∠PMN= 45°。 ∴ PH= t,MH= t。 ∴ 点 M(4-t,t-4)。 设直线 BP 的表达式为 y= px+q。 ∵ B(6,0),P(4,-4), ∴ 6p+q= 0, 4p+q= -4。{ 解得 p= 2, q= -12。{ ∴ 直线 BP 的表达式为 y= 2x-12。 ∴ 点 N t +8 2 ,t-4( ) 。 ∴ MN= t+82 -(4-t)= 3 2 t。 ∴ S= 1 2 MN·PH= 1 2 × 3 2 t×t= 3 4 t2 。 　 图 3 ②如图 3,当 2<t<4 时, P1G= 2t-4,P1H= t。 ∵ MN∥OB, ∴ △P1EF∽△P1MN。 ∴ S△P1EF SP1MN = P1G P1H( ) 2 , 即 S△P1EF 3 4 t2 = 2t-4 t( ) 2 。 ∴ S△P1EF = 3t 2 -12t+12。 ∴ S= 3 4 t2 -(3t2 -12t+12)= - 9 4 t2 +12t-12。 综上所述,当 0<t≤2 时,S = 3 4 t2 ;当 2<t<4 时,S = - 9 4 t2 +12t-12。 10 2023 年沂源县学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C A B A C C D B 1. D　 【解析】A. -2 是整数,属于有理数,故不符合题 意;B. 0. 101 0 是有限小数,属于有理数,故不符合 题意;C. 1 3 是分数,属于有理数,故不符合题意; D. - 3是无理数,故符合题意。 故选 D。 2. B　 【解析】A. 9 ÷ 3 = 3,故计算错误;B. 3 × 5 = 15,故计算正确;C. 2, 3 不能合并,故计算错 误;D. 3 2 - 2 = 2 2,故计算错误。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33—