专题12 不等式与不等式组压轴题真题分类-2023-2024学年七年级数学下册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

专题12 《不等式与不等式组》压轴题真题分类 专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》这一章的压轴题，所选题目源自长沙各名校月考、期中期 末试题中的压轴题中代表性强的经典好题，分成三类题型：含参不等式组的整数解问题、方程组与不等式 综合类压轴题、不等式组的新定义压轴题。 题型一：含参不等式组的整数解问题 1．（麓山国际）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 2．（雅礼）关于的的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为 ． 3．（雅礼）对定义一种新运算，规定: (其中均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如: ． (1)已知． ①求的值: ②若关于的不等式组无解，求实数的取值范围． (2)若对任意实数都成立(这里和均有意义)，则应满足怎样的关系式 4．（师大）新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则例如：，，，， 试解决下列问题： (1)填空： ______ 为圆周率； 如果，则实数的取值范围为______ ． (2)求满足的所有非负实数的值． (3)若关于的不等式组的整数解有个，求的取值范围．即可求解． 题型二：方程组与不等式综合类压轴题 5．（青竹湖）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 6．（雅礼）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“美美与共方程”． (1)在一元一次方程①；②；③中，不等式组的“美美与共方程”是 　 　；（填序号） (2)若关于x的方程 是不等式组的“美美与共方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程 是关于x的不等式组的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若，求M的取值范围． 7．（青竹湖）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 8．（明德）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程． （1）在方程①，②，③中，写出是不等式组的相伴方程的序号　　　　． （2）写出不等式组的一个相伴方程，使得它的根是整数：　　　　． （3）若方程；都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 9．（青竹湖）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 10．（雅礼）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． (1)若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； (2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； (3)已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 11．（师大博才）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程就是不等式组的“关联方程”． (1)方程①，②是不等式是的关联方程的是___________________． (2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值． (3)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 题型三：不等式组的新定义压轴题 12．（明德）若不等式（组①的解集中的任意解都满足不等式（组②，则称不等式（组①被不等式（组②“包含”，其中不等式（组①与不等式（组②均有解． 例如：不等式被不等式 “包含”． （1）下列不等式（组中，能被不等式 “包含”的是 　　． ． ． （2）若关于的不等式被 “包含”，若且，，求的最小值． （3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得和存在“包含”关系，且被 “包含”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/13 10:39:29；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.com；学号：3611968 13.（南雅）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”。例如：不等式组是的“子集”。 （1）若不等式组，，则其中不等式组 是不等式组的“子集”（填“”或“”）； （2）若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是 ； （3）已知为不互相等的整数，其中，下列三个不等式组，，满足：是的“子集”，是的“子集”，求的值． （4）已知不等式组有解，N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件。 14.（青竹湖）对于不等式：（且），当时，，当时，. 请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于的不等式：； （2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； （3）若关于的不等式：（且），在上存在的值使得其成立，求的取值范围. 15．（立信）规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1，则称这两个数关于1的“刹那 又一年”，例如：或，则称6与5是关于1的“刹那又一年”，请你尝试运用上述规定，解答下列问题： （1）填空：（在横线上填“是”或“不是” ①已知：在坐标系的原点上，那么与是否关于1的“刹那又一年”　　； ②已知不等式组的整数解为，，那么与是否关于1的“刹那又一年”　　； （2）已知方程组：的解和是关于1的“刹那又一年”，求的值； （3）已知：且中的和是关于1的“刹那又一年”，当为正整数时，，满足条件的整数有且只有8个，令，化简． 16．（师大滨江）新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题： （1）填空： ①　　为圆周率）， ②如果，则实数的取值范围 　　； （2）若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围： （3）若是正整数），例：（3）．下列结论： ①（1）；②；③；④或1． 正确的有 　　（填序号）． 17.（明德）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：. （1）填空：若，则 .若，则的取值范围 . （2）若对于正整数满足，求的值； （3）若对于两个非负数满足，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 《不等式与不等式组》压轴题真题分类 专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》这一章的压轴题，所选题目源自长沙各名校月考、期中期 末试题中的压轴题中代表性强的经典好题，分成三类题型：含参不等式组的整数解问题、方程组与不等式 综合类压轴题、不等式组的新定义压轴题。 题型一：含参不等式组的整数解问题 1．（麓山国际）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为 ． 【解答】解：，由得：，由得：．不等式组有四个整数解， 不等式组的整数解是：，0，1，2．则实数的取值范围是：． 故答案为：． 2．（雅礼）关于的的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为 ． 【解答】解：由①得：，由②得：x＜2a， 所以不等式组的解集是＜x＜2a，∵x的不等式组 恰有两个整数解， ∴1＜2a≤2，∴． 3．（雅礼）对定义一种新运算，规定: (其中均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如: ． (1)已知． ①求的值: ②若关于的不等式组无解，求实数的取值范围． (2)若对任意实数都成立(这里和均有意义)，则应满足怎样的关系式。 【解答】解：（1）①根据题中的新定义得：，解得：，故答案为：，； ②由①知：，，根据题中的新定义化简得：，整理得：， ∵关于的不等式组无解，∴，∴； （2）∵，∴，化简得：， ∵对任意实数都成立，∴应满足的关系式是． 4．（师大）新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则例如：，，，， 试解决下列问题： (1)填空： ______ 为圆周率； 如果，则实数的取值范围为______ ． (2)求满足的所有非负实数的值． (3)若关于的不等式组的整数解有个，求的取值范围．即可求解． 【解答】解：（1）解：∵，∴；故答案为：， ，∴，即，∴；故答案为：； （2）解：根据题意可得：，为整数，设，为整数，则，， ，，，，，，则，，； （3）解：，由①可得：，由②可得：，∵不等式组有解， ∴，∵该不等式组有且只有4个整数解，∴，则， ∴． 题型二：方程组与不等式综合类压轴题 5．（青竹湖）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”． (1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”； (2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值； (3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，方程的解为：， ①不等式的解集为：，②不等式的解集为：，③不等式的解集为：，不等式①的解集是方程 的“青一范围”． （2）由题意，解不等式组的得：．是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，，，，， ，，，当时，有最小值为5． （3）由题意，不等式组，解不等式①，得：，解不等式②，得：． 不等式组的解集为．又方程的解为， ．，且．．．． 6．（雅礼）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“美美与共方程”． (1)在一元一次方程①；②；③中，不等式组的“美美与共方程”是 　 　；（填序号） (2)若关于x的方程 是不等式组的“美美与共方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程 是关于x的不等式组的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若，求M的取值范围． 【解答】解：（1）解①，得；解②，得；解③，得； 解不等式组得；由题意得：①③是不等式组的“美美与共方程”； （2）解得，解得，由题：， 解得：； （3）解得，解得，由题意得：①且②，解不等式①得：，解不等式②得：，∴， 解得，∴，解得：． 7．（青竹湖）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【解答】解：（1）解方程得，解①得：，故方程不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程不是②“梦想解”；解③得：，故方程是③的“梦想解”； 故答案为：③ （2）解方程，得：，∴，∵解是不等式组的梦想解， ∴，∴，m为整数，∴m为14或15； （3）解不等式组得：，不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，，，则有：，． 故，且，，，，， 解方程得：，方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得，综上的取值范围是． 8．（明德）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程． （1）在方程①，②，③中，写出是不等式组的相伴方程的序号　　　　． （2）写出不等式组的一个相伴方程，使得它的根是整数：　　　　． （3）若方程；都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【解答】解：（1）分别求解一元一次方程为①x=1；②x=；③x=2；解得不等式组的解集为； 故答案为：①③； （2）由不等式组，解得：，则它的相伴方程的解是整数，相伴方程，故答案为：； （3）解不等式组得，方程都是不等式组的相伴方程， ，. 9．（青竹湖）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【解答】解：（1）解：①，整理得： 解得： ②， 解得： ③，解得： ，解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．故答案为：① （2）解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： （3）解：由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有5个整数解，令整数的值为： ∴ 则 解得： 而为整数，则 因为，解得： 根据“相依方程”的含义可得： 解可得： 而恒成立， 所以不等式组的解集为： 综上：． 10．（雅礼）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． (1)若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； (2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； (3)已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）不等式A：的解集为，A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”； （2）∵不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，且C是D的“子式”，∴，解得； （3）由求得，∵，，∴，解得， ∵k为整数，∴k的值为； 不等式P：整理得，；不等式的解集为， ①当时，不等式P的解集是全体实数，∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”， ②当时，不等式P的解集为，不能满足P与Q存在“雅含”关系， ③当时，不等式P：的解集为，∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”， ∴，且，解得，∴，综上k的值为0或1． 11．（师大博才）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程就是不等式组的“关联方程”． (1)方程①，②是不等式是的关联方程的是___________________． (2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值． (3)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【解答】解：（1）解：解方程得：，解方程得：， 解不等式组得：，所以不等式组的关联方程是②； （2）解方程为整数）得：，解不等式组得：， 关于的方程为整数）是不等式组的一个关联方程，， 解得，整数，0； （3）解方程得：，解方程得：， 解不等式组得：， 方程，都是关于的不等式组的关联方程，， 即的取值范围是． 题型三：不等式组的新定义压轴题 12．（明德）若不等式（组①的解集中的任意解都满足不等式（组②，则称不等式（组①被不等式（组②“包含”，其中不等式（组①与不等式（组②均有解． 例如：不等式被不等式 “包含”． （1）下列不等式（组中，能被不等式 “包含”的是 　　． ． ． （2）若关于的不等式被 “包含”，若且，，求的最小值． （3）已知，，，，且为整数，关于的不等式，，请分析是否存在，使得和存在“包含”关系，且被 “包含”，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 9【解答】解：（1），解得：，故不符合题意；．，解得：，故不符合题意；．，解得：，故符合题意；，无解，故不符合题意． 故答案为：． （2）不等式被 “容纳”，，解得， 又，解得，，，， 的最小值是19； （3）由求得，，，，解得， 为整数，的值为，0，1，2； 不等式整理得，；不等式的解集为， ①当时，不等式的解集是全体实数，与存在“雅含”关系，且是的“子式”， ②当时，不等式的解集为，不能满足与存在“包含”关系， ③当时，不等式的解集为， 与存在“包含”关系，且是的“子式”，，且，解得，． 综上所述，的值为0或1． 13.（南雅）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”。例如：不等式组是的“子集”。 （1）若不等式组，，则其中不等式组 是不等式组的“子集”（填“”或“”）； （2）若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是 ； （3）已知为不互相等的整数，其中，下列三个不等式组，，满足：是的“子集”，是的“子集”，求的值． （4）已知不等式组有解，N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件。 【解答】解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，则不等式组A是不等式组M的子集，故答案为A； （2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，∴a≥2，故答案为a≥2； （3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4， 故答案为﹣4； （4）不等式组M：整理得：，由不等式组有解得到＜，即≤x＜， ∵N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，∴≤1，＞3，即m≤2，n＞9，故答案为m≤2，n＞9． 14.（青竹湖）对于不等式：（且），当时，，当时，. 请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于的不等式：； （2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； （3）若关于的不等式：（且），在上存在的值使得其成立，求的取值范围. 【解答】解：（1）∵25x﹣1＞23x+1，∴5x﹣1＞3x+1，∴2x＞2，∴x＞1； （2）∵（）kx﹣1＜（）5x﹣2，∴kx﹣1＞5x﹣2，∴（k﹣5）x＞﹣1，若k＞5，则x＞， 若k＜5，则x＜﹣，其解集中无正整数解，∴k＜5且k﹣5≤﹣1，∴k≤4，∴k的取值范围为：k≤4． （3）当a＞1时，∴x﹣k＜5x﹣2，∴x＞，由题意：＜﹣1，∴k＞6． 当0＜a＜1时，∴x﹣k＞5x﹣2，∴x＜，由题意：﹣2＜，∴k＜10． 15．（立信）规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1，则称这两个数关于1的“刹那 又一年”，例如：或，则称6与5是关于1的“刹那又一年”，请你尝试运用上述规定，解答下列问题： （1）填空：（在横线上填“是”或“不是” ①已知：在坐标系的原点上，那么与是否关于1的“刹那又一年”　　； ②已知不等式组的整数解为，，那么与是否关于1的“刹那又一年”　　； （2）已知方程组：的解和是关于1的“刹那又一年”，求的值； （3）已知：且中的和是关于1的“刹那又一年”，当为正整数时，，满足条件的整数有且只有8个，令，化简． 【解答】解：（1）①在坐标系的原点上，，， ，，，与是关于1的“刹那又一年”，故答案为：是； ②，由①得；由②得，原不等式的解集为， 整数解为，，或，，或，与是关于1的“刹那又一年”，故答案为：是； （2），①②得，，把代入①，，解得， 这个方程组的解为，方程组的解和是关于1的“刹那又一年”， 或，解得或； （3）中的和是关于1的“刹那又一年”，且， ，，即， ，， ， 为正整数，，，且是整数， 的整数有且只有8个，即的整数有且只有8个， ，解得，，，，， ，，，，即． 16．（师大滨江）新定义：对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，试解决下列问题： （1）填空： ①　　为圆周率）， ②如果，则实数的取值范围 　　； （2）若点位于第一象限，其中，是方程组的解，求的取值范围： （3）若是正整数），例：（3）．下列结论： ①（1）；②；③；④或1． 正确的有 　　（填序号）． 【解答】解：（1）①根据题意知；②，， 解得，故答案为：①3；②． （2）解关于，是方程组得，点位于第一象限， ，解得，则，； （3）（1），故①正确； ，故②正确； 当时，，而（3），故③错误； 当为自然数）时，，当为其它的正整数时，，所以④正确； 故答案为：①②④． 17.（明德）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：. （1）填空：若，则 .若，则的取值范围 . （2）若对于正整数满足，求的值； （3）若对于两个非负数满足，求实数的取值范围. 【解答】解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0，整理可得﹣x﹣x+0.5＝0，解得x＝； 由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，解得x＞1，故答案为，x＞1； （2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3，∴1＜mn＜3，∵m、n是正整数，∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1，∴m+n＝3； （3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k﹣1，∴①+②得：2x＝2k+1，解得：x＝， ①+②×3得：4y＝4k﹣1解得：y＝，∵非负数x，y，∴，解得，k≥， 实数k的取值范围为k≥． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$