4.5利用三角形全等测距离　期末复习考点专训　2023—2024学年北师大版数学七年级下册

师大版七年级下册数学期末复习考点专训 第四章《三角形》 4.5 利用三角形全等测距离 考点：利用三角形全等测距离 一、知识清单 根据： 利用全等三角形的判定（SSS、ASA、AAS、SAS）判定两个三角形全等，再利用全等三角形的对应边相等，测出距离 . 二、考点专训 一、单选题专训 1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 2．如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．只有（1） B．（1）和（2）可以 C．（1）和（3）可以 D．（1）、（2）、（3）都可以 3．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 4．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS 5．如图，张华同学用7块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长是（　　） A．12cm B．16cm C．24cm D．28cm 6．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠D C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAC 7．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DP，EP是连接弹簧和伞骨的支架，且DP＝EP，已知弹簧P在向上滑动的过程中，总有△ADP≌△AEP，其判定依据是（　　） A．ASA B．SSA C．SSS D．AAS 8．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 9．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周长为24cm，CF＝3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为（　　） A．51cm B．48cm C．45cm D．54cm 10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 二、填空题专训 11．利用全等测距离的理论依据是　 　． 12．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 　 　去玻璃店． 13．如图是标准跷跷板的示意图．横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动．如果∠OCA＝90°，∠CAO＝25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为　 　． 14．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度 　 　． 15．小明用自制工具测量花瓶内底的宽．他将两根木条AC，BD的中点连在一起（即AO＝CO，BO＝DO），如图所示放入花瓶内底．此时，只需测量点 　 　与点 　 　之间的距离，即为该花瓶内底的宽，请证明你的结论． 16．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识画出一个与此三角形全等的三角形，他画图依据的基本事实是 　 　． 17．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，△ACP与△BPQ有可能全等． 18．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝　 　． 19．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　cm． 20．现有一块如图所示的草地，经测量，∠B＝∠C，AB＝10米，BC＝8米，CD＝12米，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2米/秒的速度沿BC向点C运动，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D运动．当妞妞的速度为 　 　米/秒时，能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等． 三、解答题专训 21．两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C、D两地．此时C、D到B的距离相等吗？请说明理由． 22．如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度． 23．如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD＝15cm，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时摆球到OA的水平距离CE的长（CE⊥OA）． 24．如图，东营市新开发了一个旅游景点，湖心有一个小岛C，现需要在湖心小岛C上修建一个度假村，需要知道景点A与小岛C的距离．设计人员拟出下列方案：画出∠BAM＝∠BAC，∠ABN＝∠ABC，射线AM与射线BN交于点D，只需量出线段AD的长，就可以知道景点A与小岛C的距离．这个方法是否可行？若可行，请说明理由；若不可行，请设计可行的方法． 25．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由． 26．周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案． 如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点A，B，A，B两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的A，B两点间的距离，可以在湖外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在同一条直线上．若想知道A，B两点之间的距离，只需要测量出线段DE的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确． 27．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可． 乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作∠ADB＝∠BDC，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． （2）请将不可行的方案稍加修改使之可行，你的修改是：　 　，请说明理由． 28．小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）试说明：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 29．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F． （1）求证△ACD≌△CBE； （2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由． 30．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：　 　． 探索延伸： 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离． 参考答案 一、单选题专训分式 1．ABBCD．ACACD． 二、填空题专训 11．　全等三角形的对应边相等　． 12． 　③　． 13．　50°　． 14． 　16米　． 15．　D　、 　C　． 16． 　两角及其夹边分别相等的两个三角形全等　． 17． 　1或1.5　． 18．　135°　． 19． 　30　． 20． 　2或　． 三、解答题专训 21．解：C、D到B的距离相等． 理由如下：如图，由题意得，∠DAB＝∠CAB＝90°，AD＝AC， 在△ABD和△ABC中， ， ∴△ABD≌△ABC（SAS）， ∴BC＝BD， 故C、D到B的距离相等． 22．解：∵在△ABM与△DCM中，， ∴△ABM≌△DCM（AAS）， ∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m， ∴AC＝AM﹣CM＝2m． 即梯子下滑的高度是2m． 23．解：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴CE＝OD＝15cm， ∴摆球到OA的水平距离CE的长为15cm． 24．解：这个方案可行，理由如下： 在△ABC与△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC＝AD， ∴测量出线段AD的长度，就可以知道景点A与小岛C的距离． 25．解：∵O是AB、CD的中点， ∴OA＝OB，OC＝OD， 在△AOD和△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴CB＝AD， ∵AD＝30cm， ∴CB＝30cm． 26．解：测得DE线段的长就是A、B两点的距离，小玮的做法正确，理由如下： ∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠B＝∠EDC＝90°． 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED． 27．解：（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD， 故甲同学的方案可行． （2）DB⊥AC； 理由：在△DBA与△DBC中， ， ∴△DBA≌△DBC（ASA）， ∴AB＝CB． 故答案为：DB⊥AC． 28．解：（1）∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝120m，BF＝38m， ∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝44m． 答：FC的长是44m． 29．解：（1）∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同， ∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE， ∵在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD， ∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD， ＝180°﹣∠ACB， ∵∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFC无变化． 30．解：问题背景：EF＝BE+DF，证明如下： 如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF； 探索延伸： 证明：如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合， 则△ADF≌△ABG， ∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG和△EAF中， ， ∴△EAG≌△EAF，（SAS） ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝DF+BE， ∴EF＝BE+FD； 结论应用：如图3，连接EF， ∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°， ∴∠FOE＝70°∠AOB， 又∵OA＝OB，∠A+∠B＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF＝AE+FB成立． 即，EF＝AE++FB＝2×40+2×50＝180（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为180海里． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$