专题08 80道计算题训练（8大题型）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题08 80道计算题训练（8大题型） 解二元一次方程组计算题 1．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）解方程组： (1) (2) 2．（2024·七年级下贵州铜仁·期末）解方程组： 3．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）解方程组： (1) (2) 4．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）解方程组： (1)； (2)． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）解方程组： (1)； (2)． 6．（21-22七年级下·湖南永州·期末）解下列方程组： (1) (2) 7．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）解方程组： (1)； (2)． 8．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）解方程组： (1)； (2)． 9．（21-22七年级下·湖南永州·期末）解方程组： (1) (2) 10．（21-22七年级下·湖南永州·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 已知二元一次方程组的情况求参数 11．（21-22七年级下·湖南永州·期末）关于x，y的方程组的解满足，， (1)求的值． (2)化简 12．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 13．（22-23七年级下·贵州铜仁·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 14．（21-22·七年级下贵州铜仁·期末）已知方程组的解是一对正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 15．（22-23七年级下·贵州铜仁·期末）阅读以下内容：已知x，y满足，且，求m的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组，再求m的值． (1)你最欣赏______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； (2)根据你所选的思路解答此题． 16．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）已知有理数a，b满足，且，求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组，再求k的值； 乙同学：先解方程组，再求k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)关于上述三种不同思路，正确的画“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路（    ）；乙同学的思路（    ）；丙同学的思路（    ）； (2)试选择其中你认为正确的思路，解答此题． 17．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 18．（21-22七年级下·湖南湘潭·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求a的取值范围． (2)化简：． 19．（21-22七年级下·贵州黔南·期末）关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求的值． 20．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 幂的运算计算题 21．（21-22七年级下·湖南常德·期末）计算：． 22．（2024七年级下·湖南株洲·期末）（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 23．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 24．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①__，__； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 25．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系． 26．（21-22七年级下·湖南永州·期末）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 27．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 28．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 29．（21-22七年级下·湖南湘潭·期末）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 30．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 整式的乘法计算题（含无关问题） 31．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）计算： (1) (2) 32．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 33．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1) (2) 34．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）计算 (1) (2) (3) 35．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）计算： (1)； (2)． 36．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 37．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 38．（22-23七年级下·湖南永州·期末）计算 (1) (2)若关于x的多项式展开合并后不含项，求a的值 39．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）已知关于x的多项式不含项和项，求的值 40．（22-23七年级下·湖南永州·期末）若的积中不含x项与项， (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 乘法公式计算题 41．（21-22·七年级下湖南怀化·期末）先化简，再求值：，其中． 42．（21-22七年级下·湖南永州·期末）利用整式乘法公式简便计算： (1) (2)． 43．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 44．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）计算： (1) (2) 45．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 46．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 47．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）已知．求的值． 48．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，求下列各式的值的． (1) (2) 49．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，求：的值． 50．（22-23七年级下·湖南永州·期末）已知：整式，整式． (1)若是完全平方式，求a的值； (2)若可以分解为，求． 因式分解计算题（公式法） 51．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）因式分解 (1) (2) 52．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 53．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 54．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）把下列各式因式分解： (1) (2) 55．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）请把下列各式分解因式 (1) ； (2)． 56．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）因式分解 (1) (2) 57．（21-22七年级下·湖南永州·期末）因式分解 (1)； (2)． 58．（21-22七年级下·湖南永州·期末）因式分解： (1) (2) 59．（21-22七年级下·湖南永州·期末）因式分解： (1)； (2)． 60．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）因式分解： (1) (2) 因式分解计算题（十字相乘法） 61．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 62．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 63．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 64．（21-22七年级下·湖南永州·期末）提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 65．（20-21七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解题 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． 分解因式：． 多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (1)尝试：分解因式：； (2)应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解． 66．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题． (1)根据材料1，分解因式：． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：． ②分解因式：． 67．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）材料1：由多项式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解：．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料2：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 68．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项．使它与的和成为一个完全平方式．再减去，整个式子的值不变，于是有： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若a＋b＝5．ab＝3．求的值； (3)已知x是任意实数，试比较与大小，并说明理由． 69．（20-21七年级下·湖南永州·期末）探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？     （1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；     （2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b） 此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． 猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____） （3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程． （4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12 70．（20-21七年级下·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 因式分解计算题（十字相乘法） 71．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 72．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 73．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 74．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 75．（21-22七年级下·湖南常德·期末）整式乘法与多项式的因式分解是既有联系又有区别的两种变形．例如：是单项式乘以多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法因式分解．又如：，是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到，，这是运用公式法把多项式因式分解，但有时进行因式分解时，以上方法不能直接运用．观察下列甲，乙两名同学进行的分解因式： 甲： （分成两组） （分别提公因式） （再提公因式） 乙： （添一项减一项，凑成完全平方式） （分成两组） （运用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)； (2) 76．（21-22七年级下·湖南·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等． 如“2+2”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 77．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解． 过程如下：． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)若、、为非零实数，且，求证：． 78．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求a、b的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 79．（20-21八年级·湖南长沙·期末）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤： 解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2； ＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组； ＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）； ＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）； ＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底． （1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6． （2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6． 80．（20-21七年级下·湖南永州·期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 80道计算题训练（8大题型） 解二元一次方程组计算题 1．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）直接利用代入法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ， 将①代入②得，， 解得：， 将代入①得：， 原方程组的解为：； （2）解：， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 2．（2024·七年级下贵州铜仁·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 先化简①式，再运用加减消元法即可求解． 【详解】解： ①式化简去分母得，， 整理得，， ∴得，， ∴， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为． 3．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． （1）方程组运用代入消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得，， 整理得，， 解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴方程组的解为． 4．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）方程组利用加减消元法求出解即可； （）方程组利用加减消元法求出解即可； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入得，则， ∴方程组的解为：； （2） 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为：． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）运用代入法解二元一次方程组即可． （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． （2） 用①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得： ∴原方程组的解为：． 6．（21-22七年级下·湖南永州·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 把①代入②，得 解得   把代入①， 解得   因此原方程组的解是； （2） 得   ③ 得    ④ 得   解得 把代入①，解得 因此原方程组的解是 7．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 8．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程组的解是 (2)原方程组的解是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，可得：，解得， 把代入，解得， 原方程组的解是． （2）解：， ，可得，解得， 把代入，可得：，解得， 原方程组的解是． 9．（21-22七年级下·湖南永州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1） 得， 解得：， 将代①入得， ； 则该方程组的解为； （2） 原方程组可变形为 得 解得：， 将代入得 解得： 则该方程组的解为 10．（21-22七年级下·湖南永州·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 已知二元一次方程组的情况求参数 11．（21-22七年级下·湖南永州·期末）关于x，y的方程组的解满足，， (1)求的值． (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将，，代入方程组解答即可， （2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：； （2）把代入得 原式 . 12．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将方程组中的两个方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可． （2）把k代入原方程组，利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1） 得，， ， 二元一次方程组的解满足， ， 解得：； （2）将代入原方程组得 得， ， 将代入得， ， 解得：， 原方程组的解为． 13．（22-23七年级下·贵州铜仁·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】0 【分析】因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以满足方程，将代入可求，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的没有看错，所以满足方程，将代入可求，最后将、代入求解即可． 【详解】解：将代入方程中得：，即； 将代入方程中的得：，即，. 将，代入， 则． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的错看问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键． 14．（21-22·七年级下贵州铜仁·期末）已知方程组的解是一对正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法求出方程组的解，即可求出的取值范围； （2）由绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴原方程组可得：， ∵因为方程组的解为一对正数， ∴， ∴； ∴的取值范围为：； （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴ ； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，绝对值的化简，解题的关键是掌握加减消元法解方程组． 15．（22-23七年级下·贵州铜仁·期末）阅读以下内容：已知x，y满足，且，求m的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组，再求m的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学：先解方程组，再求m的值． (1)你最欣赏______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路； (2)根据你所选的思路解答此题． 【答案】(1)乙（任选一种皆可） (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）根据题意求解即可； （2）根据乙同学的思路求解即可． 【详解】（1）∵乙同学是利用整体思想求解，运算更简便， ∴最欣赏乙的思路； 故答案为：乙； （2）∵， ∴得，， ∴， ∵x，y满足， ∴， ∴． 16．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）已知有理数a，b满足，且，求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于a，b的方程组，再求k的值； 乙同学：先解方程组，再求k的值； 丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)关于上述三种不同思路，正确的画“√”，错误的画“×”． 甲同学的思路（    ）；乙同学的思路（    ）；丙同学的思路（    ）； (2)试选择其中你认为正确的思路，解答此题． 【答案】(1)√，√，√ (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． （1）根据二元一次方程组的性质和解法即可得； （2）利用加减消元法分别求解即可得． 【详解】（1）解：甲同学的思路、乙同学的思路、丙同学的思路均正确， 故答案为：√，√，√． （2）解：若选择甲同学的思路， ， 由②①得：，解得， 将代入②得：，解得， ∵， ∴， 解得． 若选择乙同学的思路， ， 由②①得：，解得， 将代入①得：，解得， 将，代入得：，解得． 若选择丙同学的思路， ， 将两个方程相加得：，即， ∵， ∴， 解得． 17．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握解法步骤是解本题的关键，先把②①，得．再利用代入法可得新的方程，再解方程可得答案． 【详解】解：令， ②①，得． 方程组的解满足， ． ． 解得． 18．（21-22七年级下·湖南湘潭·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求a的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了解方程组，由方程组的解的情况求参数，化简绝对值， （1）解方程组得，，由，，得，解得； （2）利用（1）化简绝对值计算即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵，， ∴， 解得； （2）由（1）得， ∴， ∴． 19．（21-22七年级下·贵州黔南·期末）关于x，y的二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程、二元一次方程（组）的解，解答的关键是理解方程（组）的解得含义，能将二元一次方程（组）的解转化为关于k的一元一次方程的解． 先将方程组的解用k表示，根据方程的解的定义得到关于k的方程，解之即可． 【详解】解：由方程组得：， ∵ 此方程组的解也是方程的解 ∴， 解得：． 20．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 幂的运算计算题 21．（21-22七年级下·湖南常德·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 22．（2024七年级下·湖南株洲·期末）（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 23．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法运算； （1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①__，__； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】(1)①3，5；②2； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解题题目所给新定义，明确运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数乘方的运算方法，以及同底数幂的运算法则． （1）根据题目所给您新定义进行解答即可； （2）根据题意可得，，，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3，5； ②根据题意可得： ， ∴， 解得：， 故答案为：2． （2）解：∵，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 25．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[应用]若，，，试求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，同底数幂乘法计算： （1）根据所给新定义结合乘方计算法则求解即可； （2）根据新定义得到，则有，进而得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（21-22七年级下·湖南永州·期末）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）先整理，再代入，，即可作答． （3）先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）； （3）∵ ∴ ． 27．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）若（且，m，n都是正整数），则． 利用上述结论解决下列问题： (1)若，求n的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方逆运算法则，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方逆运算法则把与化为底数为3的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法逆运算法则把变形为即可解答． 【详解】（1）解：， ， 即，解得． n的值为3． （2）解：， ， 即， 解得． x的值为2． 28．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方及同底数幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先变换，即，再计算，最后找到关于的方程式即可得出答案； （2）利用同底数幂的乘法运算法则即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ． 29．（21-22七年级下·湖南湘潭·期末）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 30．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，正确计算是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可； （3）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可； （4）根据同底数幂的乘法及幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 整式的乘法计算题（含无关问题） 31．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法法则． （1）先算乘法，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： 原式 （2） 原式 32．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握各自的运算法则是解本题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）直接利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （3）直接利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ； 33．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的乘法运算． （1）利用完单项式乘以单项式进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 34．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）利用单项式乘以单项式法则计算即可； （2）利用单项式乘以多项式法则计算即可； （3）利用多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 35．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． （1）先根据积的乘方法则先算乘方，再按照单项式乘单项式法则进行计算； （2）先计算乘方，然后算乘法，最后算加法． 【详解】（1） ； （2） ； 36．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）利用单项式乘多项式直接展开即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂乘法将原式化简，再合并同类项即可； 掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： （2） ． 37．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法以及单项式乘多项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘多项式运算法则即可求出答案； （2）根据整式的除法运算法则即可求出答案． 【详解】（1） ； （2） 38．（22-23七年级下·湖南永州·期末）计算 (1) (2)若关于x的多项式展开合并后不含项，求a的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，多项式中不含项计算 （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可． （2）先乘法，合并后，令项的系数为零计算即可． 【详解】（1） ． （2） ∵多项式展开合并后不含项， ∴， 解得． 39．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）已知关于x的多项式不含项和项，求的值 【答案】1 【分析】此题考查多项式不含项问题，已知字母的值求代数式的值，若多项式不含某项则该项的系数为零，由此列得，求出m，n的值即可求代数式的值，正确理解多项式不含项的解题方法是解题的关键． 【详解】解：由题可得：，              ∴                                 ∴． 40．（22-23七年级下·湖南永州·期末）若的积中不含x项与项， (1)求p、q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)33 【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，解方程即可； （2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成，再将p、的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵积中不含x项与项， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值． 乘法公式计算题 41．（21-22·七年级下湖南怀化·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本图考查了整式的乘法与化简求值，先根据乘法公式进行化简，进而根据条件式根据等式的性质可得，整体代入即可求解． 【详解】解： ， ∵，且， ∴， 即， ∴原式 42．（21-22七年级下·湖南永州·期末）利用整式乘法公式简便计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了整式乘法公式，涉及完全平方公式、平方差公式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式得，再运用平方差公式进行展开，即可作答． （2）先整理原式得，再运用完全平方公式进行展开，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的应用，化简求值，先利用乘法公式计算乘法运算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： 当，时， ． 44．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用单项式乘以单项式，以及幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 45．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1) (2)63平方米 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键． （1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可； （2）将，代入（1）所求式子，求值即可． 【详解】（1）解： ， 答：绿化的面积是平方米； （2）解：当，时，原式， 答：绿化的面积是63平方米． 46．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）阅读理解：若x满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)如图，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1) (2) (3)384 【分析】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键． （1）根据题目提供的方法，进行计算即可； （2）设，，， ，可得，从而得出，所以，代入求值即可； （3）根据题意可得，，根据（1）中提供的方法，求出的结果就是阴影部分的面积． 【详解】（1）设，，则， ， ∴； （2）设，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）由题意得，，， ∵长方形CEPF的面积为160， ∴， ∴阴影部分的面积为， 设，，则， ， ∴， ∵， ， ∴阴影部分的面积和为384． 47．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）已知．求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ，． 48．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，求下列各式的值的． (1) (2) 【答案】(1)5 (2)7 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）根据完全平方公式的变形，即可求解； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 49．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）已知，，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用及代数式的求值，根据完全平方公式将转化为，然后代入计算即可．能灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 50．（22-23七年级下·湖南永州·期末）已知：整式，整式． (1)若是完全平方式，求a的值； (2)若可以分解为，求． 【答案】(1)或者 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出值即可解答． 【详解】（1）解： ， 为完全平方式 ， 或； （2）解： ， ， ． 因式分解计算题（公式法） 51．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 52．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1） （2）解： ； 53．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）先提取公因式再利用平方差公式分解因式即可求解； （2）根据完全平方公式分解因式； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和公式法分解因式即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 54．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （2）把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 55．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）请把下列各式分解因式 (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，利用公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解，利用公式法进行因式分解是解题的关键． （1）综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）先利用平方差，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 56．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． （1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式进行分解即可； （2）先凑出公因式，然后再提取公因式求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 57．（21-22七年级下·湖南永州·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 58．（21-22七年级下·湖南永州·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）用平方差公式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 59．（21-22七年级下·湖南永州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解； 本题考查了因式分解的综合运用，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ． 60．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）直接提取公因式进行分解因式即可； （2）先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 因式分解计算题（十字相乘法） 61．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握各类分解方法是解题关键． （1）利用提公因式法即可求解； （2）综合利用提公因式法和平方差公式即可求解； （3）先分组，再综合利用提公因式法和完全平方公式即可求解； （4）根据十字相乘法即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 62．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用提供因式法分解因式即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可； （3）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可； （4）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】此题考查了提公因式法，十字相乘法，公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 63．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：   ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 64．（21-22七年级下·湖南永州·期末）提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把拆成即可； （2）把拆成，把-14拆成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． 65．（20-21七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解题 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：． 示例：分解因式：． 分解因式：． 多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (1)尝试：分解因式：； (2)应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解． 【答案】(1)2，4； (2)， 【分析】（1）将常数项分解为两数之积，且这两数之和等于一次项系数即可分解； （2）将常数项分解为两数之积，且这两数之和等于一次项系数即可分解； 【详解】（1）． 故答案为：2，4； （2）； ． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，明确多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和是解答本题的关键． 66．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式分解因式时，如果能满足，且，则可以把分解因式成．例如：①；②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到了整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题． (1)根据材料1，分解因式：． (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：． ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将写成，根据材料1的方法可得）即可； （2）①令，原式可变为，再利用十字相乘法分解因式即可； ②令，原式可变为，即，利用十字相乘法可分解为，再将“”还原，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）①令， ∴ ∴ ②令， ， ∴ ． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的结构特征是解题的关键． 67．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）材料1：由多项式乘法，，将该式子从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解：．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和． 材料2：因式分解：，将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原得：原式． 上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将写成即可根据材料一的方法因式分解； （2）令（x-y）=A，将（x-y）=A代入原式再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）令，将，代入原式后化简，再用材料一的方法因式分解即可． 【详解】（1） 原式= = （2） 令（x-y）=A 原式= = 还原A得：原式=； （3） 令， 原式 = =（A-4）（A+1） 还原A得：原式==． 【点睛】此题主要以阅读理解的形式考查了因式分解得“十字相乘”和“换元法”，正确地运用十字相乘法和换元法以及仔细理解题意是解题的关键． 68．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项．使它与的和成为一个完全平方式．再减去，整个式子的值不变，于是有： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式： (2)若a＋b＝5．ab＝3．求的值； (3)已知x是任意实数，试比较与大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】(1)加1再减1，可以组成完全平方式； (2)①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2 再减2a2b2，可以组成完全平方式； (3)把所给的代数式进行配方，然后比较即可． 【详解】（1）解：． （2）解：因为，，所以， 所以； （3）解：因为， ， 所以 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，(1)实质上是十字相乘法分解因式． 69．（20-21七年级下·湖南永州·期末）探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？     （1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；     （2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b） 此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． 猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____） （3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程． （4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12 【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3） 【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可； （2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案； （3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可； （4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案． 【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2， 所以x2+8x+15不是完全平方公式， 故答案为：不能； （2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5） ∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5）， 故答案为：3，5，3，5，3，5； （3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15， ∴x2+8x+15=（x+3）（x+5） 因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的； （4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）的结构特征是正确应用的前提． 70．（20-21七年级下·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2 【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可； （2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可； ②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可． 【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）； （2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16， A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2， 所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2； ②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3， 即B2-2B-3=（B-3）（B+1） =（m2-2m-3）（m2-2m+1） =（m-3）（m+1）（m-1）2， 所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2． 【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 因式分解计算题（十字相乘法） 71．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 72．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键． （1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可． 【详解】（1）解： ； （2） ∴因式能被9整除． 73．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，通过观察进行正确的分组是解题关键． （1）按照题目提示分组，分别提取公因式即可求解； （2）将原式按照“三一分组”：，即可利用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 故答案为： （2）解：原式 74．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 75．（21-22七年级下·湖南常德·期末）整式乘法与多项式的因式分解是既有联系又有区别的两种变形．例如：是单项式乘以多项式的法则；把这个法则反过来，得到，这是运用提取公因式法因式分解．又如：，是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到，，这是运用公式法把多项式因式分解，但有时进行因式分解时，以上方法不能直接运用．观察下列甲，乙两名同学进行的分解因式： 甲： （分成两组） （分别提公因式） （再提公因式） 乙： （添一项减一项，凑成完全平方式） （分成两组） （运用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式可分成两组，分别提取公因式后，再整体提公因式，最后结合平方差公式进行因式分解； （2）首先提取公因式2，括号内加上并减去，先利用完全平方公式进行因式分解，再结合平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．本题的关键一是合理进行分组，二是结合完全平方公式进行配凑．注意因式分解要彻底． 76．（21-22七年级下·湖南·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等． 如“2+2”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1)）； (2)； (3)． 【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： =； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． 77．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解． 过程如下：． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案； （2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案； （3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查分组分解法，阅读材料，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键． 78．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求a、b的值； (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，详见解析 【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解． （2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边． （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． 79．（20-21八年级·湖南长沙·期末）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤： 解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2； ＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组； ＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）； ＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）； ＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底． （1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6． （2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6． 【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2） 【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案； （2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案． 【详解】（1）x3﹣7x+6 ＝x3﹣x﹣6x+6 ＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1） ＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x﹣6） ＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）； （2）x4﹣5x2+6 ＝（x2﹣2）（x2﹣3） ＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）． 【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键． 80．（20-21七年级下·湖南永州·期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+64 （2）x4+4y4； （3）x2﹣2ax﹣b2+2ab． 【答案】（1）（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（3）（x﹣b）（x+b﹣2a） 【分析】（1）根据苏菲•热门的做法，将原式配上16x2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）根据苏菲•热门的做法，将原式配上4x2y2后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （3）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】解：（1）原式＝x4+16x2+82﹣16x2 ＝（x2+8）2﹣（4x）2 ＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）； （2）原式＝x4+4y4+4x2y2﹣4x2y2 ＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）； （3）原式＝（x2﹣b2）+（﹣2ax+2ab） ＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b） ＝（x﹣b）（x+b﹣2a）． 【点睛】本题考查了添项法凑公式因式分解，用公式法因式分解，分组分解法，掌握因式分解的方法是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$