1.4 探索三角形全等的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.4 探索三角形全等的条件 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【考点2判定全等角形（SAS）】 【考点3判定全等角形（ASA）】 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【考点5 判定全等角形（HL）】 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA． 【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD． 求证：△EAC≌△FBD． 【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点在同一条直线上，.求证：. 【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：. 知识点2 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【考点2判定全等角形（SAS）】 【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED． 【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE． 【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF． 【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，． （1）求证：≌． （2）连结、，求证：． 知识点3 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【考点3判定全等角形（ASA）】 【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED． 【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF． 【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，，，求证：，． 【变式3-3】（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 知识点4 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：△AOB≌△DOC． 【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：. 【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，，，，求证：. 【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：． 知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？ 【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•张家口二模）△ABC如图所示，甲、乙两个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 2．（2024春•罗湖区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠A＝∠D B．BF＝FC C．AC＝DF D．EC＝CF 3．（2024春•法库县期中）如图，AB∥ED，CD＝BF，若要满足△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　） A．∠B＝∠D B．AC＝EF C．AB＝ED D．不用补充 4．（2024•保定二模）如图，已知∠ACB＝∠ACD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DC C．∠CAB＝∠CAD D．∠B＝∠D 5．（2024春•中原区校级期中）过射线OP上一点P分别向∠AOB的两边作垂线，得到垂线段PM与PN，若垂线段PM＝PN，则可以得到一对全等三角形，为了证明△OMP≌△ONP，运用到的全等三角形判定定理是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 6．（2024春•成都期中）下列说法正确的是（　　） A．同旁内角互补 B．两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．内错角相等，两直线平行 7．（2023秋•任丘市期末）如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD 8．（2024春•历城区期中）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，如果只添加一个条件（不加辅助线）使△ABC≌△AED，则添加的条件不能为（　　） A．∠B＝∠E B．∠1＝∠2 C．BC＝ED D．AB＝AE 二．填空题（共3小题） 9．（2024春•禅城区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF．要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是 　 　． 10．（2024春•和平区期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 　 　． 11．（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ＝AB，则当AP＝　 　时，△ABC和△APQ全等． 三．解答题（共5小题） 12．（2024•宁德模拟）如图，∠B＝∠E，AB∥CE，AC＝CD，求证：△ABC≌△CED． 13．（2024春•永新县月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，求证：△ABC≌△DCB． 14．（2024•盘龙区模拟）如图，AD＝AE，AC＝AB．求证：△ACD≌△ABE． 15．（2024•绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE． 16．（2023秋•虞城县期末）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，AD∥BC，FD∥BE，AD＝BC．求证：△ADF≌△CBE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 探索三角形全等的条件 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【考点2判定全等角形（SAS）】 【考点3判定全等角形（ASA）】 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【考点5 判定全等角形（HL）】 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA． 【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA， ∴EA＝EB， ∵DE＝CE， ∴EA+DE＝EB+CE， ∴AD＝BC， 在△ACB和△BDA中， ， ∴△ACB≌△BDA（SSS）． 【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD． 求证：△EAC≌△FBD． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， 在△EAC和△FBD中， ， ∴△EAC≌△FBD（SSS）． 【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点在同一条直线上，.求证：. 【答案】证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴. 【解析】根据已知条件可知AD=BE，结合线段的和差关系可得AB=DE，利用SSS证明△ABC≌△EDF，据此可得结论. 【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴. 【解析】根据BE=CF易得BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，进而根据全等三角形对应角相等即可得出答案. 知识点2 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【考点2判定全等角形（SAS）】 【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED． 【解答】证明：∵EC＝BF， ∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE， 在△CBA和△FED中， ， ∴△CBA≌△FED（ SAS）． 【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE． 【解答】证明：∵AF∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AC＝DB， ∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC， 在△ABF和△DCE中， ∵， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． 【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】解：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即：BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，． （1）求证：≌． （2）连结、，求证：． 【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD ∴△ABC和△DEF是直角三角形 又∵CD＝BF ∴CD+CF＝BF+CF， ∴DF＝BC， 又∵AB=DE， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）． （2）证明：∵△ABC≌△EDF， ∴AC＝EF， ∵AC⊥BD，EF⊥BD ∴∠ACD＝∠EFB， 又∵CD=BF， ∴△ACD≌△EFB（SAS） ∴AD＝BE． 【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可； （2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，进而用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论． 知识点3 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【考点3判定全等角形（ASA）】 【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED． 【解答】证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加∠A＝∠D， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）． 【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，，，求证：，． 【答案】证明：， ， ， ，， 在与中， ≌， ，． 【解析】【分析】先利用“ASA”证明 ≌，再利用全等三角形的性质可得， 【变式3-3】（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE， ∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC， ∵CF＝BE， ∴CF+BF＝BE+BF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 知识点4 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D． 求证：△AOB≌△DOC． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB△DOC（AAS） 【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴. 在和中， ， ∴（）. ∴， ∴，即. 【解析】由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据已知条件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用AAS证明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根据线段的和差关系进行证明. 【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴. 【解析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明. 【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足分别为A，D， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 【解析】先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。 AOB≌△DOC（AAS）． 知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）． 【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌△Rt△BAD（HL）． 【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？ 【解答】解：△ABC与△CDA全等， 理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， ∵AD＝CB，AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）． 【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 【答案】见解析． 【解答】解：连接BD， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD＝CD， ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E＝∠F＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•张家口二模）△ABC如图所示，甲、乙两个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【解答】解：甲的边a，c的夹角和△ABC的边a，c的夹角不对应，故甲三角形与△ABC不全等； 乙的角50°，70°和边b与△ABC的角50°，70°和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与△ABC全等， 故选：B． 2．（2024春•罗湖区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．∠A＝∠D B．BF＝FC C．AC＝DF D．EC＝CF 【答案】A 【解答】解：∵BF＝CE， ∴BC＝EF， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，故A符合题意； 当BF＝FC时，不能判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意； 当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意； 当EC＝CF时，不能判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意； 故选：A． 3．（2024春•法库县期中）如图，AB∥ED，CD＝BF，若要满足△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（　　） A．∠B＝∠D B．AC＝EF C．AB＝ED D．不用补充 【答案】C 【解答】解：添加AB＝ED，理由： ∵AB∥ED， ∴∠B＝∠D， ∵CD＝BF， ∴BC＝DF， 在△ABC与△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）． 故选：C． 4．（2024•保定二模）如图，已知∠ACB＝∠ACD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DC C．∠CAB＝∠CAD D．∠B＝∠D 【答案】A 【解答】解：A、∵AB＝AD，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∴不能证明△ABC≌△ADC，故该选项是符合题意的； B、∵BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∴能证明△ABC≌△ADC（SAS），故该选项是不符合题意的； C、∵∠CAB＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∴能证明△ABC≌△ADC（ASA），故该选项是不符合题意的； D、∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∴能证明△ABC≌△ADC（AAS），故该选项是不符合题意的； 故选：A． 5．（2024春•中原区校级期中）过射线OP上一点P分别向∠AOB的两边作垂线，得到垂线段PM与PN，若垂线段PM＝PN，则可以得到一对全等三角形，为了证明△OMP≌△ONP，运用到的全等三角形判定定理是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．HL 【答案】D 【解答】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴△OMP与△ONP是直角三角形， 在△OMP与△ONP中， ， ∴△OMP≌△ONP（HL）． 故选：D． 6．（2024春•成都期中）下列说法正确的是（　　） A．同旁内角互补 B．两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【解答】解：A．两直线平行，同旁内角互补，所以A选项不符合题意； B．两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，所以B选项不符合题意； C．面积相等的两个三角形不一定全等，所以C选项不符合题意； D．内错角相等，两直线平行，所以D选项符合题意． 故选：D． 7．（2023秋•任丘市期末）如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD， ∴当添加∠B＝∠C时，△ABE≌△ACD（ASA）； 当添加BE＝CD时，不能判断△ABE≌△ACD； 当添加∠AEB＝∠ADC时，△ABE≌△ACD（AAS）； 当添加AE＝AD时，△ABE≌△ACD（SAS）． 故选：B． 8．（2024春•历城区期中）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，如果只添加一个条件（不加辅助线）使△ABC≌△AED，则添加的条件不能为（　　） A．∠B＝∠E B．∠1＝∠2 C．BC＝ED D．AB＝AE 【答案】D 【解答】解：由已知可得， ∠C＝∠D，AC＝AD， ∴添加∠B＝∠E，则△ABC≌△AED（AAS），故选项A不符合题意； 添加∠1＝∠2，则∠CAB＝∠DAE，故△ABC≌△AED（ASA），故选项B不符合题意； 添加BC＝ED，则△ABC≌△AED（SAS），故选项C不符合题意； 添加AB＝AE，无法证明△ABC≌△AED，故选项D符合题意； 故选：D． 二．填空题（共3小题） 9．（2024春•禅城区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF．要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是 　BC＝EF（答案不唯一）　． 【答案】BC＝EF（答案不唯一）． 【解答】解：添加一个条件是：BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：BC＝EF（答案不唯一）． 10．（2024春•和平区期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 　4　． 【答案】4． 【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个． 故答案为：4． 11．（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ＝AB，则当AP＝　8cm或16cm　时，△ABC和△APQ全等． 【答案】8cm或16cm． 【解答】解：∵AM⊥AC， ∴∠PAQ＝90°， ∵∠C＝90°，PQ＝AB， ∴当AP＝AC＝16cm时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）， 当AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 综上所述，AP为8cm或16cm时，△ABC和△APQ全等． 故答案为：8cm或16cm． 三．解答题（共5小题） 12．（2024•宁德模拟）如图，∠B＝∠E，AB∥CE，AC＝CD，求证：△ABC≌△CED． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵AB∥CE， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）． 13．（2024春•永新县月考）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，求证：△ABC≌△DCB． 【答案】见解答． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）． 14．（2024•盘龙区模拟）如图，AD＝AE，AC＝AB．求证：△ACD≌△ABE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）． 15．（2024•绥江县二模）如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 16．（2023秋•虞城县期末）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，AD∥BC，FD∥BE，AD＝BC．求证：△ADF≌△CBE． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠BCE， ∵FD∥BE， ∴∠DFE＝∠BEF， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BEF， ∴∠AFD＝∠BEC， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$