精品解析：陕西省宝鸡市千阳县职业中等专业学校2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

2021级第一学期期末考试数学试题（卷） 第一题：选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1. 已知集合且，那么（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 下列函数在其定义域内为增函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 设a，b是正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 经过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 等差数列中，若，则（ ） A. 28 B. 40 C. 45 D. 54 8. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 9. 已知圆球内有一内接正方体,则这个球的体积与正方体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 若直线始终平分圆的周长，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 12. 从0，1，2，3这四个数中任选2个数组成一个两位数，则两位数小于20的概率是（ ） A. B. C. D. 第二题：填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某企业有职工150人，其中高级职称20人，中级职称45人，一般职员若干，现用分层抽样法抽取30人调查其身体状况，则在一般职员中抽取的人数为_________． 14. _________． 15. 函数的定义域为_________． 16. 若是三角形的一个内角，且则满足条件的角组成的集合为_________． 第三题、解答题（本大题共6小题，每小题70分） 17. 已知， （1）求； （2）若，求． 18. 已知向量 （1）若，求； （2），若，求． 19. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 20. 如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外的一点，平面ABCD． （1）线段PD上是否存在一点Q，使平面QAC,若存在，指出Q点位置并证明，若不存在说明理由； （2）当Q是PD的中点，时，求三棱锥的体积． 21. 2020年西安市新城社区通过网络征集疫情防控知识作品，作品上交起止时间为3月1日至3月31日，评委会把群众上交的作品按照5天一组分组统计，并绘制了频率分布直方图（如图），已知从左向右各长方形的高的比为，第三组的频数为12． 请解答下列问题． （1）本次活动共征集了多少件作品？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件 （3）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高． 22. 某公司出售丝绸,丝绸的售价为元/m,成本为元/m,若订购量超过时,每多订购,这次订购的所有丝绸的售价将降价元/m,最低售价为元/m． （1）某客户订购这种丝绸,应付款多少元？ （2）写出利润与订购量之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021级第一学期期末考试数学试题（卷） 第一题：选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1. 已知集合且，那么（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的交集求得参数，再计算的并集. 【详解】∵，且， ∴，即，故. ∴. 故选：C. 2. 下列函数在其定义域内为增函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判别. 【详解】选项A中，根据正弦函数的性质可知，是奇函数，在（为整数）上递增，故不符合. 选项B中，，函数为奇函数；和 在定义域上都是增函数，故也为增函数，符合. 选项C中，，函数为偶函数，不符合. 选项D中，，，，函数为非奇非偶函数，不符合. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断角范围及终边所在象限，再根据对应三角函数值正负情况求解. 【详解】， 终边在第三象限， 则，，，. 故选：C. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】指数函数为减函数，题目已知，，故. 化掉绝对值，得到或，解得或. 故解集为，. 故选：D. 5. 设a，b是正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质判断充分必要性. 【详解】当时，根据对数的性质，可知. 故“”“”. 当时，因为底数为2，故，且根据得到，故得到，即“”“”. 综上，“”“”. 故选：A. 6. 经过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】考虑截距为0和不为0的情况，设立直线方程，代入点坐标，即可求解. 【详解】当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时， 设该直线的方程为， 把代入所设方程，得到， 则所求直线方程为. 当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为， 把代入所设方程，得到， 则所求直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 故选：C. 7. 等差数列中，若，则（ ） A. 28 B. 40 C. 45 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式和题目已知条件，得到的值，再计算. 【详解】根据等差数列的性质，令等差数列首项为，公差为， 得到，，， 故可化为， ，即. 得到. . 故选：D. 8. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 故选:C. 9. 已知圆球内有一内接正方体,则这个球的体积与正方体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由球的体积及正方体的体积公式即可得解. 【详解】设正方体的棱长为,球的半径为. 所以. 所以球的体积为. 正方体的体积为. 所以球的体积与正方体的体积之比为. 故选:. 10. 若直线始终平分圆的周长，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程得到圆心坐标，再根据题意得到圆心位于直线上，代入即得求解. 【详解】∵直线始终平分圆的周长， ∴直线过圆心. 圆心坐标为，代入直线，得到. 即. 故选：A. 11. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性即可得出. 【详解】∵形如函数在定义域R上是增函数， 形如函数在定义域上是减函数， ∴， 又， ∴. 故选：D. 12. 从0，1，2，3这四个数中任选2个数组成一个两位数，则两位数小于20的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法得出两位数，利用古典概型公式求得结果． 【详解】从0，1，2，3这四个数中任选2个数组成的两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，共9个， 其中小于20的两位数有：10，12，13，共3个， 则两位数小于20的概率是． 故选：A． 第二题：填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某企业有职工150人，其中高级职称20人，中级职称45人，一般职员若干，现用分层抽样法抽取30人调查其身体状况，则在一般职员中抽取的人数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由分层抽样法的概念结合题目中数据求解即可. 【详解】某企业有职工150人，其中高级职称20人，中级职称45人， 一般职员为，现用分层抽样法抽取30人， 则在一般职员抽取的人数为人. 故答案为：. 14. _________． 【答案】1 【解析】 【分析】由指数幂和对数运算计算即可. 【详解】， ， 所以. 故答案为:1. 15. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据算术平方根底数为非负得到对数不等式，再根据对数的底数大于1，解一元二次不等式，即可求解. 【详解】根据算术平方根底数为非负可知，， 即，因为底数大于1，得到. 化简为，解得或. 故定义域为. 故答案为：. 16. 若是三角形的一个内角，且则满足条件的角组成的集合为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角的范围及特殊角三角函数值求解即可. 【详解】是三角形的一个内角， 则有，由可得：或. 故答案为：. 第三题、解答题（本大题共6小题，每小题70分） 17. 已知， （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过诱导公式化简式子求解即可. （2）通过同角的三角函数的平方关系及商数关系将式子化成正切相关式子求值即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 已知向量 （1）若，求； （2），若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量平行，得到与的关系，再根据同角三角函数的平方关系求解. （2）先将化简，再根据，求得的值. 【小问1详解】 ∵，而， ∴，即，，. 而，代入，得到. 【小问2详解】 ， 故 当时，. ∵，∴. 即，得到. 19. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合条件列出等差数列基本量的两个方程求解，再代入等差数列通项公式即可. （2）求出数列通项公式，证等比数列后再代等比数列前n项和公式即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 则由，可得： ，，则， 数列的通项公式为：. 【小问2详解】 ， 则由，可知： 数列是首项为，公比为的等比数列， 则前n项和. 20. 如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外的一点，平面ABCD． （1）线段PD上是否存在一点Q，使平面QAC,若存在，指出Q点位置并证明，若不存在说明理由； （2）当Q是PD的中点，时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）存在，Q是PD的中点，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线及线面平行的判断定理即可证明； （2）先通过线面垂直的判断定理求出三棱锥的高，再利用等体积法求出三棱锥的体积． 【小问1详解】 线段PD上存在一点Q，使平面QAC， 且易看出点Q为PD的中点时，此时平面QAC. 连接BD交AC于点O，连接OQ，如图所示， ∵四边形ABCD为矩形，∴O为AD的中点， 而点Q为PD的中点，即OQ是的中位线， ∴，而面QAC，面QAC ， ∴平面QAC. 【小问2详解】 易知， ∵平面ABCD，而面ABCD， ∴， 又∵ABCD是矩形， ∴， ∵面PAD， ∴面PAD， ∴面QAD. 取AD的中点M，连接QM，如图所示， ∵在中，Q是PD的中点，M为AD的中点， ∴，， 又平面ABCD，∴平面ABCD， ∵面ABCD，∴. ∴ . 21. 2020年西安市新城社区通过网络征集疫情防控知识作品，作品上交起止时间为3月1日至3月31日，评委会把群众上交的作品按照5天一组分组统计，并绘制了频率分布直方图（如图），已知从左向右各长方形的高的比为，第三组的频数为12． 请解答下列问题． （1）本次活动共征集了多少件作品？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少件 （3）经过评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高． 【答案】（1）60 （2）第四组，18 （3）第六组 【解析】 【分析】（1）利用高之比等于频率之比，根据第三组的频率建立等量关系，求出样本容量即可. （2）矩形高最高的就是上交作品数量最多的，根据第四组的频率建立等量关系，即可求得频数. （3）先求出第四组和第六组的作品数，再根据第四组和第六组的作品获奖数求出获奖概率，比较大小即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图和第三组的频数可知，，得到，所以本次活动共征集了60件作品. 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知，第四组的矩形最高，即上交作品数量最多，即，得到，所以第四上交的作品数量最多，有18件. 【小问3详解】 先求第六组上交作品数，，得到，而第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，即第四组获奖率为，第六组获奖率为，，故本次第六组获奖率更高. 22. 某公司出售丝绸,丝绸的售价为元/m,成本为元/m,若订购量超过时,每多订购,这次订购的所有丝绸的售价将降价元/m,最低售价为元/m． （1）某客户订购这种丝绸,应付款多少元？ （2）写出利润与订购量之间的函数关系式． 【答案】（1）元 （2） 【解析】 【分析】（）由题意求出售价即可得解. （）由题意列出分段函数的解析式即可得解. 【小问1详解】 由题意可知订购丝绸，售价为元/m. 所以应付款为元. 【小问2详解】 由题意可知：当时，. 由题意可知最低售价为，即当订购量超过时，售价为元不变. 所以当时，. 当时，. 所以利润与订购量之间的函数关系式为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $