专题07选择填空中档题型：表面积与体积的计算-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题07 选择填空中档题型：表面积与体积的计算 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为14cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度为（    ）（单位：cm）    A． B． C．16 D．32 3．（22-23高一下·江苏无锡·期末）半径 的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏苏州·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（    ）      A． B． C． D．21 5．（22-23高一下·江苏镇江·期末）龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ）      A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·江苏苏州·期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有四个点，，，恰好构成三棱锥，若，，且，，，，则该鞠的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·江苏无锡·期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ） A．224 B．448 C． D．147 11．（21-22高一下·江苏苏州·期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=（    ） A． B．2 C．3 D． 13．（2022·安徽合肥·模拟预测）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（    ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A． B． C． D． 14．（21-22高一下·江苏南通·期末）若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，直三棱柱中，是的中点，则   （    ） A． B． C． D． 16．（21-22高一下·江苏南通·期末）将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高一下·江苏南通·期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高一下·江苏无锡·期末）一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 20．（21-22高一下·江苏南通·期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（    ） A．1 B． C． D． 21．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C． D．2 22．（21-22高一下·江苏镇江·期末）斜三棱柱中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D．Sa 23．（21-22高一下·江苏连云港·期末）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 24．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）用以棱长为2的正方体的各个顶点为球心，1为半径分别作球面截该正方体，则该正方体所剩部分的体积为 ，表面积为 ． 25．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正方体的棱长为2，点是底面（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则的取值范围为 ；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为 ． 26．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在古代数学中，把正四棱台叫做“方亭”，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了“方亭”的体积公式，为方亭的下底面边长，为上底面边长，为高.某市为改善城市形象，决定开挖一条笔直的景观河道，该河道横截面为等腰梯形，上底为80米，下底为40米，开挖深度10米，河道长度10.98千米.同时在沿岸修葺30座亭台、楼阁，它们的地基都设计为同样大小的“方亭”结构，为了便于施工，决定使用开挖河道产生土方的1%修筑地基.已知设计“方亭”地基的下底面边长为30米，上底面边长为24米，则“方亭”地基的高为 米. 27．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 ． 28．（22-23高一下·江苏常州·期末）正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是 ． 29．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 ． 30．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知正四面体的棱长为4，三棱柱内接于正四面体（如图），其中E，F，G分别在侧棱，，上，M，N，H在平面内，则该三棱柱的体积最大值为 .（均值不等式的n维形式为：≤ ()，当且仅当时取等号）.     . 31．（22-23高一下·江苏连云港·期末）直四棱柱的各个顶点都在一个球的表面上，且， ，，侧棱，则直四棱柱外接球的表面积是 ． 32．（22-23高一下·江苏镇江·期末）某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为 ． 33．（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为 ．    34．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 35．（21-22高一下·江苏无锡·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为 ． 36．（21-22高一下·江苏南通·期末）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为 ． 37．（21-22高一下·江苏苏州·期末）若圆台上下底面半径分别为和，高为，则此圆台的体积为 ． 38．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图几何体是由一个正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 ． 39．（21-22高一下·江苏南通·期末）有如下解法求棱长为的正四面体BDA1C1的体积：构造一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，我们称之为该正四面体的”生成正方体”（如图一），正四面体BDA1C1的体积 ．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别，，（如图二），则该四面体的体积为 ． 40．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为 ；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 . 41．（21-22高一下·江苏镇江·期末）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为 ． 42．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的体积为 ，三棱锥的内切球的表面积为 ． 43．（21-22高一下·江苏常州·期末）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为 . 44．（21-22高一下·江苏泰州·期末）如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为，则这个漏斗的容积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 选择填空中档题型：表面积与体积的计算 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正四棱锥的底边长与体积可得正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求. 【详解】正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上， 如图，连接交于点，连接，    正四棱锥的底面边长为，设高为， ∴，解得， 设球的半径为，， 则，解得， 则球的体积为. 故选：B. 2．（22-23高一下·江苏常州·阶段练习）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为14cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度为（    ）（单位：cm）    A． B． C．16 D．32 【答案】A 【分析】根据圆台的体积公式可得蛋糕体积，然后由圆柱体积公式可得. 【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为， 圆柱的体积为， 故圆柱制作液态蛋糕原料高度约为. 故选：A. 3．（22-23高一下·江苏无锡·期末）半径 的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的直径等于内接正方体的体对角线，求得棱长，由此得解. 【详解】半径为的球内接一个正方体，设正方体的棱长为， 则该球即为正方体的外接球，其直径长度为正方体的体对角线长， 则，解得， 所以正方体的体积为. 故选：C. 4．（22-23高一下·江苏苏州·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（    ）      A． B． C． D．21 【答案】D 【分析】首先求出正六棱台的上、下底面面积，再根据台体的体积公式求出正六棱台的体积，根据祖暅原理可得. 【详解】因为正六棱台的上下底面为正六边形， 所以，， 所以， 由祖暅原理知该几何体的体积也为. 故选：D． 5．（22-23高一下·江苏镇江·期末）龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴截面和相似关系, 以及圆台体积即可求解. 【详解】如图所示, 画出圆台的立体图形和轴截面平面图形, 并延长 EC 与FD交于点G.    根据题意, , 设 , 所以 , 解得 , 所以 , 故选：B. 6．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案. 【详解】    如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形. 7．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台，圆锥的高均为，再计算体积即可. 【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图，    所以即为圆台母线与底面所成角，即， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，则四边形为矩形，且， 因为，，， 所以，，所以，，且， 因为，则， 所以，圆台，圆锥的高均为， 所以，该工业部件的体积为 . 故选：B. 8．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易知圆锥的高为，母线长为2，底面圆半径为1，再由大圆锥的体积减小圆锥的体积即可得出圆台体积. 【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为， 则，解得：，， 所以， 所以圆台体积为：， 故选：A. 9．（22-23高一下·江苏苏州·期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有四个点，，，恰好构成三棱锥，若，，且，，，，则该鞠的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求，证明，结合，利用线面垂直判定定理证明平面，由此确定三棱锥的外接球的球心及半径，利用球的表面积公式求解. 【详解】在中，，，， 所以， 在中，，，， 所以，所以， 在中，，，， 所以， 在中，，，， 所以，所以， 所以，都是以为斜边的直角三角形， 取的中点，则， 所以点为三棱锥的外接球的球心，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积， 即该鞠的表面积为. 故选：C.    10．（22-23高一下·江苏无锡·期末）四棱台中，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该棱台的体积为（ ） A．224 B．448 C． D．147 【答案】B 【分析】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，即可得到是四棱台其中一条侧棱与底面所成的角，利用锐角三角函数求出棱台的高，再根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， .   因为四棱台上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等， 所以底面，又，所以底面， 所以是四棱台其中一条侧棱与底面所成的角，则， 因为，所以，， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则， 即四棱台的高为， 则该四棱台的体积. 故选：B． 11．（21-22高一下·江苏苏州·期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，代入求解即可 【详解】由题，圆锥部分高度为，故，即，可解得， 故选：B 12．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆，且该圆锥的体积为，则r=（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】用表示出圆锥的母线、底面半径、高，再由圆锥体积公式列方程求解． 【详解】由题意圆锥的母线长为， 设圆锥底面半径为，高为，则，， ， 所以，． 故选：B． 13．（2022·安徽合肥·模拟预测）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（    ） 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论． 【详解】棱锥， 由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥 所以图1中几何体体积为， 所以牟合方盖体积为． 故选：C． 14．（21-22高一下·江苏南通·期末）若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，由圆台的侧面积得，再由圆台的高为可得体积． 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为， 则圆台的侧面积，可得， 又因为圆台的高为，可知，故有， 圆台的体积． 故选：B. 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）如图，直三棱柱中，是的中点，则   （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等体积转化计算可得答案. 【详解】因为是的中点， ， ， . 故选：C. 16．（21-22高一下·江苏南通·期末）将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意旋转后的几何体圆锥，由题意求出其底面半径和高，从而可得出答案. 【详解】设为斜边为2的等腰直角三角，将其绕直角边旋转一周形成圆锥，如图 则, 则圆锥的底面圆的半径为 ，高为 所以其体积为 故选：C. 17．（21-22高一下·江苏南通·期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， 圆锥的侧面积记为， 截去的小圆锥的侧面积即为， 故圆台的侧面积为, 故选：C. 18．（21-22高一下·江苏无锡·期末）一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和 【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成， 所以所形成的几何体的表面积为 ， 故选：D. 19．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积. 【详解】如图，正三棱锥中， ，取的中点，连接， 则在上，且， 又，所以， 所以，则， 所以， 故三棱锥的表面积为. 故选：D. 20．（21-22高一下·江苏南通·期末）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，则由题意得，，分别用表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案. 【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点， 则由题意得：， 则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，， 设该四棱锥侧面积为， 所以. 故选：D. 21．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，再根据题意列式求解即可 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，，即，解得 故选：B. 22．（21-22高一下·江苏镇江·期末）斜三棱柱中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D．Sa 【答案】C 【分析】斜三棱柱补形为平行六面体，求平行六面体的体积即可得解. 【详解】在斜三棱柱的一侧补上一个三棱柱，使之成为一个平行六面体，如图， 显然，它的体积为，所以斜三棱柱的体积为. 故选：C. 23．（21-22高一下·江苏连云港·期末）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高，代入圆台底面积及侧面积公式，求出两底面积及侧面积，可得答案． 【详解】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高． 如图示，过点作于，则中， ，， ． ． 故选：D. 二、填空题 24．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）用以棱长为2的正方体的各个顶点为球心，1为半径分别作球面截该正方体，则该正方体所剩部分的体积为 ，表面积为 ． 【答案】； 【分析】根据题意确定剩余几何体构成，结合正方体、球体体积、表面积求法求所剩部分的体积、表面积. 【详解】由题意，以各顶点为球心所截几何体均为一个八分之一球体，且没有重叠部分， 所以正方体所剩部分的体积为， 其表面积为正方体表面积减去6个半径为1的圆，再加上球体表面积， 所以表面积为. 故答案为：，. 25．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正方体的棱长为2，点是底面（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则的取值范围为 ；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】； 【分析】作出辅助线，得到点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，数形结合得到的最值，得到取值范围；再作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】连接，因为⊥平面， 所以即为线AP与平面所成的角， 因为平面平面， 故直线AP与平面所成的角等于直线AP与平面所成的角， 故，在中，， 故点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分， 故连接，与圆弧交于点，当与重合时，取得最小值，最小值为， 当与或重合时，取得最大值，最大值为2， 故的取值范围是； 连接相交于点，连接与相交于点，连接，则，， 球心在上，连接，则， 其中，设，则， 由勾股定理得， ， 故，解得， 则， 当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为. 故答案为：；. 26．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在古代数学中，把正四棱台叫做“方亭”，数学家刘徽用切割的方法巧妙地推导出了“方亭”的体积公式，为方亭的下底面边长，为上底面边长，为高.某市为改善城市形象，决定开挖一条笔直的景观河道，该河道横截面为等腰梯形，上底为80米，下底为40米，开挖深度10米，河道长度10.98千米.同时在沿岸修葺30座亭台、楼阁，它们的地基都设计为同样大小的“方亭”结构，为了便于施工，决定使用开挖河道产生土方的1%修筑地基.已知设计“方亭”地基的下底面边长为30米，上底面边长为24米，则“方亭”地基的高为 米. 【答案】3 【分析】设“方亭”地基的高为米，计算出河道的体积再乘以就对于30“方亭”的体积可得答案. 【详解】设“方亭”地基的高为米，根据题意可得 ， 解得，则“方亭”地基的高为米. 故答案为：3. 27．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正四棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】在正四棱柱中，连接，则为直线与平面所成角，结合题中的条件可得侧棱长，进一步得到外接球的半径，得到答案. 【详解】连接，在正四棱柱中，平面， 所以为直线与平面所成角， 因为在等腰直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，， 所以，， 又正四棱柱的外接球的直径为，则半径. 所以球的表面积为：. 故答案为：. 28．（22-23高一下·江苏常州·期末）正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是 ． 【答案】 【分析】根据正棱台的性质，求得正四棱台的斜高，结合题意侧面积等于两底面面积之和列出关系式，求得高，然后代入棱台体积公式即可求解. 【详解】 由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，高为， 可得上、下底面面积为， 如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点， 分别连接，过点作， 在直角中，可得， 因为侧面积等于两底面面积之和，可得， 可得. 代入棱台体积公式：，得： 故答案为：. 29．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 ． 【答案】； 【分析】由题意可知三棱锥的三条侧棱两两垂直，首先求得三条侧棱的棱长，然后计算外接球的半径，最后计算其体积即可；等体积法计算三棱锥内切球的半径，从而求出内切球的表面积. 【详解】解：设三棱锥中，面，面，面两两垂直，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，可设三条侧棱的长度分别为a，b，c， 由题意可得：，解得， 设三棱锥的外接球半径为，则，即， 外接球的体积； 设三棱锥的内切球半径为，由勾股定理可知：， 则， 则有， 解得：，则表面积为：.    故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥与其外接球和内切球的综合问题，求其内切球半径的关键是利用等体积法，考查空间想象能力，属于较难题. 30．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知正四面体的棱长为4，三棱柱内接于正四面体（如图），其中E，F，G分别在侧棱，，上，M，N，H在平面内，则该三棱柱的体积最大值为 .（均值不等式的n维形式为：≤ ()，当且仅当时取等号）.    【答案】 【分析】根据题意的四面体也为正四面体，三棱柱为正三棱柱，取和的中心，求得，根据棱柱的体积公式和均值不等式的n维形式，即可求解. 【详解】如图所示，分别取和的中心和，连接，则平面， 因为正四面体的棱长为，则底面是边长为的等边三角形， 可得，所以， 由四面体为正四面体，可得三棱柱为正三棱柱， 设等边的边长为， 因为四面体为正四面体，所以四面体也为正四面体， 同理可得，所以， 所以， 该三棱柱的体积为 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以四棱柱体积的最大值为. 故答案为：.   . 31．（22-23高一下·江苏连云港·期末）直四棱柱的各个顶点都在一个球的表面上，且， ，，侧棱，则直四棱柱外接球的表面积是 ． 【答案】 【分析】连接， 由题意可得底面四边形与有相同的外接圆，且，由余弦定理得，再由余弦定理求出及，由正弦定理可得圆的半径，设直四棱柱的外接球的球心为，即为直四棱柱外接球的半径，利用勾股定理可得，再由球的表面积公式计算可得答案. 【详解】连接， 因为直四棱柱底面有外接球， 所以底面四边形与有相同的外接圆，且， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以， 因为 ，所以， 由正弦定理可得，所以圆的半径为， 即，设直四棱柱的外接球的球心为， 连接、，即为直四棱柱外接球的半径， 所以底面，， 可得， 直四棱柱外接球的表面积是. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：解题的关键点是在中利用勾股定理求出球的半径，考查了学生的空间想象能力. 32．（22-23高一下·江苏镇江·期末）某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台体积为 ． 【答案】 【分析】先利用比值与锥体的体积公式求得小圆锥的体积，再利用作差法即可得到圆台的体积. 【详解】依题意，设小锥体的底面半径为，小锥体的高为，则大锥体的底面半径为，大锥体的高为为， 因为大圆锥的体积即为，整理得， 所以小圆锥的体积为， 因此该圆台体积为. 故答案为：. 33．（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为 ．    【答案】 【分析】利用割补法结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可得：正三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 所以四棱锥的体积. 故答案为：. 34．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】分别取的中点，得到为异面直线与所成的角，得出，设，由余弦定理求得的值，再找出三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图，    分别取、、、的中点、、、， 连接、、、、，可得，， 则为异面直线与所成角，∴， 由面，而，故面，面，则， 设，可得，，，，则， 在中，由余弦定理，可得， ，解得， 设底面三角形的中心为，三棱锥的外接球的球心为， 连接，则平面， 由底面三角形是边长为2的等边三角形，可得， ∴为三棱锥外接球的球心，∴，则，， 又，可得， 则三棱锥的外接球的半径． ∴三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． 35．（21-22高一下·江苏无锡·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为 ． 【答案】 【分析】证明是鳖臑外接球直径，然后设，由体积法求得其内切球半径，再计算比值． 【详解】由题意，， 又平面，平面，则，同理，， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是鳖臑外接球直径， 设，则，因此，， ，， ， 设鳖臑内切球半径为， 则， 所以， 因此鳖臑外接球半径与内切球半径比为， 故答案为：． 36．（21-22高一下·江苏南通·期末）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意将三棱锥还原到长方体中，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积. 【详解】将三棱锥还原到长方体中，如图所示 则长方体的外接球的半径为，故 所以三棱锥外接球的表面积为， 故答案为：. 37．（21-22高一下·江苏苏州·期末）若圆台上下底面半径分别为和，高为，则此圆台的体积为 ． 【答案】 【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果. 【详解】解：设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为， 则圆台的体积. 故答案为：. 38．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图几何体是由一个正四棱柱和正四棱锥组成的，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 ． 【答案】 【分析】设正四棱柱和正四棱锥的高为，依题可得，即可求解半径，从而求得球的表面积． 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为， 则其外接球的半径为 解得，所以 故球的表面积为. 故答案为：. 39．（21-22高一下·江苏南通·期末）有如下解法求棱长为的正四面体BDA1C1的体积：构造一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，我们称之为该正四面体的”生成正方体”（如图一），正四面体BDA1C1的体积 ．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别，，（如图二），则该四面体的体积为 ． 【答案】2 【分析】根据条件，结合“生成长方体”的特征，即可求解. 【详解】设等腰四面体的“生成长方体”的长，宽，高，分别是，由条件可知， ，解得：， 所以该四面体的体积. 故答案为：2. 40．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为 ；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 . 【答案】； 【分析】将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，由圆台的体积公式代入即可得出答案；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为一个底面半径和高均为2的圆柱，中间挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥后所形成的组合体，由圆锥和圆柱的表面积公式代入即可得出答案. 【详解】由题意，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，故其体积为：. 将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为一个底面半径和高均为2的圆柱，中间挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥后所形成的组合体. 圆柱的表面积为：， 圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积为：， 所以该几何体的表面积为：. 故答案为：；. 41．（21-22高一下·江苏镇江·期末）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为 ． 【答案】 【分析】设正四面体的棱长为，外接球半径为，画出正四面体的图形，则在中，由，可求出，从而可求出该四面体的体积 【详解】设正四面体的棱长为，外接球半径为， 如图正四面体中，为的中点，为的中心，连接，则平面，为正四面体外接球的球心，连接， 则， 所以， 因为正面体外接球的表面积为24π，所以，得, 所以， 所以, 在中，， 则，解得或（舍去）， 所以该四面体的体积为， 故答案为：. 42．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的体积为 ，三棱锥的内切球的表面积为 ． 【答案】 6； 【分析】根据已知条件可得，利用三棱锥的体积公式结算即可；利用线面垂直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的半径，利用球的表面积公式结算即可. 【详解】解：因为，，，在中，, 所以，又平面，所以， 因为平面，平面,所以，，，故 又，，所以平面， 又平面，所以， 所以均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为， 则, 即， 解得，故三棱锥的内切球的表面积. 故答案为：6；. 43．（21-22高一下·江苏常州·期末）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周.如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】利用周长的比值可求得圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】解：设圆锥的母线长为，则圆锥绕顶点滚动所形成的圆的半径为，周长为， 又圆锥底面半径为5，则底面周长为， 故，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故答案为：. 44．（21-22高一下·江苏泰州·期末）如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为，则这个漏斗的容积为 . 【答案】 【分析】设圆柱和圆锥的底面积为，圆柱的高为，再表达出圆柱和圆锥的体积表达式求解即可 【详解】设圆柱和圆锥的底面积为，圆柱的高为，则，故这个漏斗的容积为 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$