专题02 复数、不等式及其性质（5大题型）-【好题汇编】2024年高考数学三模试题分类汇编（新高考新题型专用）

2024高考三模数学试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·浙江·三模）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 3．（2024·江西宜春·三模）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A．-25 B．-5 C．1 D．5 4．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C． D．5 5．（2024·四川德阳·三模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位i，cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数满足，则正确的是（   ） A．的共轭复数为 B．的实部为1 C．的虚部为i D．的模为1 6．（2024·陕西西安·三模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·山东聊城·三模）设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（    ） A．的实部为1 B．关于轴对称 C． D． 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·四川成都·三模）若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·内蒙古·三模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 7．（2024·四川眉山·三模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题 9．（2024·河南·三模）在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东聊城·三模）设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（    ） A．的实部为1 B．关于轴对称 C． D． 三、填空题 11．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 12．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西榆林·三模）已知，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．（2024·重庆·三模）已知是纯虚数，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D． 4．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 5．（2024·宁夏银川·三模）若，则（    ） A． B．2 C． D． 6．（2024·山西太原·三模）（   ） A． B． C． D．1 7．（2024·四川·三模）已知复数是纯虚数，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 10．（2024·广西桂林·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽安庆·三模）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·山东济南·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建漳州·三模）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 14．（2024·辽宁沈阳·三模）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D． 15．（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（    ） A．的最小值是1 B．的最大值是2 C．的最大值是3 D．的最大值是4 17．（2024·全国·三模）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 18．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（2024·山东泰安·三模）已知满足，且在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 20．（2024·浙江金华·三模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江金华·三模）已知复数z，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 三、填空题 23．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 . 24．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ． 25．（2024·四川凉山·三模）已知，若为纯虚数，则 ． 26．（2024·云南昆明·三模）已知复数满足，则 27．（2024·安徽·三模）若复数z满足，则 ． 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·安徽安庆·三模）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 5．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·湖南益阳·三模）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是的充分不必要条件 C．若，则 D．若a，，且，则的最小值为9 7．（2024·安徽合肥·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建厦门·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 一、单选题 1．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西太原·三模）已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 5．（2024·福建漳州·三模）设，且，则的（    ） A．最小值为-3 B．最小值为3 C．最大值为-3 D．最大值为3 6．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 7．（2024·福建莆田·三模）若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（    ） A． B．2 C． D．4 8．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 9．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 10．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50 二、多选题 12．（2024·湖南益阳·三模）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是的充分不必要条件 C．若，则 D．若a，，且，则的最小值为9 13．（2024·湖北·三模）已知，则下列结论正确的有（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 三、填空题 14．（2024·四川成都·三模）若为锐角三角形，当取最小值时，记其最小值为，对应的，则 . 15．（2024·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为 ； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ． 16．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 17．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ． 18．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 . 19．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 20．（2024·湖北黄石·三模）设，，若，则的最小值为 ，此时的值为 . 21．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 22．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 23．（2024·广西柳州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024高考三模数学试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·浙江·三模）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为， 所以复数的虚部是. 故选：D 2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则的虚部为. 故选：A 3．（2024·江西宜春·三模）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A．-25 B．-5 C．1 D．5 【答案】B 【分析】由复数的模定义求得，利用复数的四则运算求得，再由共轭复数定义得即可得出结论. 【详解】由，得， 所以，所以． 故选：B． 4．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】利用方程根的意义，结合复数为0的充要条件求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，，即，又， 则，所以. 故选：C 5．（2024·四川德阳·三模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位i，cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数满足，则正确的是（   ） A．的共轭复数为 B．的实部为1 C．的虚部为i D．的模为1 【答案】D 【分析】由欧拉公式计算可得，再根据共轭复数、实部、虚部定义以及模长公式可得结果. 【详解】由可得， 所以，可得， 所以的共轭复数为，即A错误； 的实部为0，即B错误； 的虚部为，所以C错误； 的模为1，可知D正确. 故选：D 6．（2024·陕西西安·三模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的虚部为. 故选：B. 二、多选题 7．（2024·山东聊城·三模）设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（    ） A．的实部为1 B．关于轴对称 C． D． 【答案】BCD 【分析】解方程得，根据复数减法运算及复数概念判断A，根据复数的几何意义判断B，根据复数模的运算判断C，根据共轭复数的定义和乘法运算求解判断D. 【详解】由实系数一元二次方程求根公式知： 方程的两根为， 则，所以的实部为0，故A错误； 在复平面内对应的点分别是， 他们关于轴对称，故B正确； 由得， 即，故C正确； 由得 ， 故D正确. 故选：BCD 一、单选题 1．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可. 【详解】由题意得，故， 故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确. 故选：D 2．（2024·河北秦皇岛·三模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设，根据共轭复数结合复数运算可得，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】设，则. 因为，则， 可得，解得， 即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解． 【详解】 因为，所以， 故复数在复平面内的对应点位于第一象限， 故选：A． 4．（2024·四川成都·三模）若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可． 【详解】由，则， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 5．（2024·内蒙古·三模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设，代入利用相等复数的概念可求，进而可得结论. 【详解】设，因为，所以， 所以，即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 6．（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】A 【分析】由条件结合复数的几何意义，得到，根据可得为实数，列方程可求的值. 【详解】因为复数在复平面上对应的点为， 所以， 因为， 因为为实数， 得. 故选：A. 7．（2024·四川眉山·三模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由复数的除法法则计算即可. 【详解】由，对应的点为，该点位于第二象限， 故选：B. 8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解. 【详解】由题意知三点的坐标为， 设复平面内点，则， 又四边形是复平面内的平行四边形，则，则，解得，则． 故选:B． 二、多选题 9．（2024·河南·三模）在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，根据复数的四则运算以及几何意义可得，再结合向量垂直的坐标表示分析求解. 【详解】设，则， 可知，即， 若，则， 整理得所以或， 对比选项可知ACD正确，B错误. 故选：ACD． 10．（2024·山东聊城·三模）设方程的两根在复平面内对应的点分别是，则（    ） A．的实部为1 B．关于轴对称 C． D． 【答案】BCD 【分析】解方程得，根据复数减法运算及复数概念判断A，根据复数的几何意义判断B，根据复数模的运算判断C，根据共轭复数的定义和乘法运算求解判断D. 【详解】由实系数一元二次方程求根公式知： 方程的两根为， 则，所以的实部为0，故A错误； 在复平面内对应的点分别是， 他们关于轴对称，故B正确； 由得， 即，故C正确； 由得 ， 故D正确. 故选：BCD 三、填空题 11．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】整理得到不等式组，解出即可. 【详解】由于， 故点位于第四象限，因此，解得， 即的取值范围是. 故答案为：. 12．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 【答案】 【分析】设，结合复数的运算以及共轭复数求，并结合复数的几何意义取舍. 【详解】设，则， 因为，则， 解得或， 又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知， 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·陕西咸阳·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求得，再求出共轭复数. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：D 2．（2024·陕西榆林·三模）已知，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先计算出，再由共轭复数及复数的模计算. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：D. 3．（2024·重庆·三模）已知是纯虚数，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算进行化简，根据纯虚数的定义，由实部等于0，虚部不等于0，列式求解即可得a，再结合复数的乘法运算以及共轭复数的概念即可得答案. 【详解】 复数是纯虚数，且， ，解得， 所以，， 所以， 故选：B. 4．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 即， 故. 故选：B. 5．（2024·宁夏银川·三模）若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助复数四则运算及共轭复数定义与模长公式计算即可得. 【详解】， 故. 故选：C. 6．（2024·山西太原·三模）（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定复数，利用复数除法及乘方运算计算即得. 【详解】. 故选：C 7．（2024·四川·三模）已知复数是纯虚数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算性质化简，再利用纯虚数建立方程求解即可. 【详解】易知，故， 若是纯虚数，则，解得，故，显然，故B正确. 故选：B 8．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即， 所以，解得， 所以． 故选：D． 9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意可知：，根据共轭复数的概念以及乘法运算求解. 【详解】由题意可知：，所以. 故选：D. 10．（2024·广西桂林·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A． 11．（2024·安徽安庆·三模）复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用复数的除法运算求，进而求即可. 【详解】由条件知， 所以. 故选：D． 12．（2024·山东济南·三模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以. 故选：A 13．（2024·福建漳州·三模）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解. 【详解】， 所以 故选：B 14．（2024·辽宁沈阳·三模）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的除法及乘方运算计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 15．（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代数形式的复数加法、乘法运算，结合复数的模及共轭计算判断BCD；举例说明判断A. 【详解】设， 对于A，令，，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，， 则，， 因此，C正确； 对于D，，D正确. 故选：A 二、多选题 16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（    ） A．的最小值是1 B．的最大值是2 C．的最大值是3 D．的最大值是4 【答案】ABC 【分析】对于A，设，依题意可得，可知复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意可得，表示复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，根据图形和可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公式证明，结合图形求得，然后可判断C；对于D，根据复数减法的几何意义可知，结合图形转化为求的最值，根据点在椭圆上，利用二次函数性质求解可得. 【详解】设， 对于A，因为，所以， 所以，复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，点到原点的最小距离为1，即的最小值是1，A正确； 对于B，因为， 所以，复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上， 由椭圆几何性质可知，点到原点的最大距离为2，即的最大值为2， 又，所以的最大值是2，B正确； 对于C，因为， 所以 ， 由图可知，，所以当时，取得最大值3，C正确；    对于D，因为表示的距离， 所以的最大值为，设，则，即， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最大值，D错误.    故选：ABC 17．（2024·全国·三模）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的几何意义确定点的轨迹，结合的几何意义确定其最大值，判断A，求的最小值判断B，由图象确定的范围，结合余弦函数性质证明，判断C，结合复数运算及，判断D. 【详解】因为，， 复数在复平面的对应的点为, 所以点Z在以为圆心、以r为半径的圆上或圆内. 对于选项A，B，由复数的几何意义可得表示点Z与的距离， 又点到点的距离为， 所以的最大值为，A正确， 的最小值为，B正确， 对于C，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，设切点为， 设，则或， 所以，所以，所以C错误. 对于D，设，有（其中是z的辐角的主值）， 由于，所以，所以D正确. 故选：ABD. 18．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 19．（2024·山东泰安·三模）已知满足，且在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据复数的模的公式结合已知求出的关系，即可判断AB；根据的关系结合复数的模的公式即可判断CD. 【详解】由题意可得，则， 所以，整理得，故A项正确，B项错误； ， 当时，取得最小值，故C项正确，D项错误. 故选：AC. 20．（2024·浙江金华·三模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由，结合每个选项计算可判断其正确性. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 所以，所以，故B不正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：AD. 21．（2024·浙江金华·三模）已知复数z，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由复数的定义，共轭复数，模长计算，复数的运算逐一判断即可. 【详解】设复数，则， A：，故A正确； B：，故B错误； C：，，故C错误； D：，故D正确； 故选：AD. 22．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 【答案】AC 【分析】根据题意，复数，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】设复数，则， 对于A中，由，且，可得，所以， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得，即， 但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误； 对于C中，由均为纯虚数，可得， 此时，所以C正确； 对于D中，由为实数，即， 可得，但不一定为，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 23．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】， 因为是纯虚数， 所以，得. 故答案为： 24．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ． 【答案】/ 【分析】利用复数的乘法运算直接求得，进而求得即可. 【详解】由，得，所以. 故答案为：. 25．（2024·四川凉山·三模）已知，若为纯虚数，则 ． 【答案】1 【分析】先将化简，结合为纯虚数，求出，再计算即可． 【详解】， 因为为纯虚数，所以，即，所以，则， 故答案为：1． 26．（2024·云南昆明·三模）已知复数满足，则 【答案】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【详解】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 27．（2024·安徽·三模）若复数z满足，则 ． 【答案】 【分析】借助复数四则运算与共轭复数定义计算即可得. 【详解】由，则，即， 故. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，根据糖水不等式可得，即充分性成立； 若，则，即且，故，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确； 对于B中，例如，此时，所以B不正确； 对于C中，由函数在为单调递减函数， 因为，所以，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时，所以D不正确. 故选：C. 3．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2024·安徽安庆·三模）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 【答案】B 【分析】根据平均数的定义表示，结合已知列等式，作差比较即可. 【详解】由题意可知，， ，于是， 又，所以， 所以，两式相减得， 所以. 故选：B 5．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由得，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值，进而比较、；由两边同除以得，构造函数，求导利用导数判断函数的单调性求最值，进而比较、，由此可比较，，的大小. 法二：化为，作差法并构造函数，求导利用导数求出函数最值，比较、大小，再利用作差法比较、大小，即可比较，，的大小. 【详解】法一： 由得，令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以在上恒成立， 所以，即，所以，所以； 由两边同除以得，令， 则，所以在上恒成立， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以，即，所以，从而． 法二： 由得，即，所以 ， 令，， 当时，，在单调递增， 所以，所以， 则有； 由得，即， 所以， 因为，，，所以，即 故． 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小. 二、多选题 6．（2024·湖南益阳·三模）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是的充分不必要条件 C．若，则 D．若a，，且，则的最小值为9 【答案】BD 【分析】利用基本不等式判断A，解不等式即可判断B，举反例即可判断C，根据基本不等式即可判断D. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 由得或，所以“”是的充分不必要条件，故B正确； 当时，，但，故C错误； 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D选项正确. 故选： 7．（2024·安徽合肥·三模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用作差比较法，结合不等式的性质，可判定A错误，B正确；令，利用导数求得函数的单调性，得到，进而判定C正确；结合在上单调递增，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，可得，所以A错误； 对于B中，由，则，所以B正确； 对于C中，令，可得， 当时，，单调递增， 因为，则，所以，即， 所以，所以C正确； 对于D中，由函数在上单调递增， 因为，则，即， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为结合的单调性可判断C. 【详解】对于A，因为，，故故A选项正确； 对于B，取，此时满足，但，B选项错误； 对于C，可得：， 则，因为，即 所以，因为函数在不单调，所以C选项错误； 对于D，由可知，，因为， 所以，故D选项正确， 故选：AD． 9．（2024·福建厦门·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A、B：借助不等式的性质即可得；对C：借助指数函数的单调性即可得；对D：借助基本不等式计算即可得. 【详解】对A：由，则，故A正确； 对B：由，则，故B错误； 对C：由在上单调递增，故，故C错误； 对D：由，则，故， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 一、单选题 1．（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 2．（2024·山西太原·三模）已知 中，是的中点，且 ，则 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用中线得到，结合不等式得出，进而得到面积的最大值. 【详解】因为所以， 因为是中线，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立； 面积为. 故选：A 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 4．（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 5．（2024·福建漳州·三模）设，且，则的（    ） A．最小值为-3 B．最小值为3 C．最大值为-3 D．最大值为3 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式先求的范围，然后结合对数的运算性质即可求解. 【详解】因为，且， 所以，即， 当且仅当时取等号， 所以， 即. 故选：C. 6．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可． 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 7．（2024·福建莆田·三模）若制作一个容积为的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，则该圆锥的高是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设圆锥的高与半径，利用体积公式得出高与半径的关系，再消元转化得出侧面积，法一、利用三元均值不等式计算即可；法二、利用导数计算单调性与最值即可. 【详解】设该圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则，从而，即， 该圆锥的侧面积. 法一、因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 法二、令， 易知时单调递减，时单调递增，即， 所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2. 故选：B 8．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. 9．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 10．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式求解的最大值. 【详解】因为，， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 11．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50 【答案】B 【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得. 【详解】由可得， 因则等差数列的公差，故， 则，当且仅当时取等号， 即当时，取得最大值25. 故选：B. 二、多选题 12．（2024·湖南益阳·三模）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是的充分不必要条件 C．若，则 D．若a，，且，则的最小值为9 【答案】BD 【分析】利用基本不等式判断A，解不等式即可判断B，举反例即可判断C，根据基本不等式即可判断D. 【详解】当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 由得或，所以“”是的充分不必要条件，故B正确； 当时，，但，故C错误； 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D选项正确. 故选： 13．（2024·湖北·三模）已知，则下列结论正确的有（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】对于ABC根据题意利用基本不等式分析判断；对于D，整理可得，构建函数，，利用导数判断函数单调性，结合单调性分析即可判断. 【详解】因为， 对于A，因为，当且仅当时，等号成立， 但，可得，则， 可得，可知不为的最大值，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，因为，则， 即，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 这与题干不符，故3不为的最小值，故C错误； 对于D，由题意可知：，，则， 构建函数，，则，在内恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 14．（2024·四川成都·三模）若为锐角三角形，当取最小值时，记其最小值为，对应的，则 . 【答案】160 【分析】令，则，，代入中，通过构造，利用基本不等式和二次函数的性质求最小值和最小值成立的条件. 【详解】为锐角三角形， ，， 令，则，， 令， 则 . 前两个“”取“=”的条件是，在时，所有“”全部取“=”， 所以当且仅当时， 取最小值40， 即，所以. 故答案为：160. 【点睛】关键点点睛：令，构造成是关键，可利用基本不等式和二次函数性质求最小值，而且等号成立的条件相同. 15．（2024·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为 ； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 9 【分析】（1）由的图象过点得，根据基本不等式“1”的妙用计算即可； （2）由的图象过点得，进而得出，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值． 【详解】（1）由的图象过点得，，即， 所以，当且仅当，即时等号成立． 由恒成立得，， （2）因为的图象过点，则，即， 当时，不合题意舍， 所以，即，则，则由得， 所以， 设， 所以 ， 当且仅当，即，则时，等号成立， 故答案为：9；． 【点睛】方法点睛：第二空由的图象过点得出，代入消元得出关于的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得． 16．（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，利用基本不等式得到，再将右式配凑成的倍数，从而得解. 【详解】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解. 17．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】解法1、根据题意，得到，结合基本不等式求得，进而求得的最大值； 解法2、根据题意，得到，利用权方和不等式得，进而求得的最大值． 【详解】解法1、由，可得， 由基本不等式得，可得， 所以，当且仅当时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 解法2、由，可得， 因为，由权方和不等式得，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 联立方程组，解得，，故的最大值为2． 故答案为：. 18．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 . 【答案】 （其中，），或， / 【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围； （2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减， 所以满足的关系式为（，）或，；    方案1：设游泳池的面积为， 由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以； 方案2：设游泳池的面积为，取的中点， 连接，，设，，在中，， 则，解得，当且仅当时取等号， ， 而， 所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为. 故答案为：（，），或，； 【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键. 19．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故答案为：. 20．（2024·湖北黄石·三模）设，，若，则的最小值为 ，此时的值为 . 【答案】 2 【分析】利用基本不等式求出的取值范围，再变形所求式，借助单调求出最小值. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 因此，， 令，函数在上单调递减，当时，， 所以当，即时，取得最小值. 故答案为：；2 21．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】因为是正实数，，所以， 当且仅当时取等号，于是， 所以的最大值为. 故答案为： 22．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 23．（2024·广西柳州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用三角形面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可. 【详解】如图所示，则的面积为， 则，所以，显然， 故， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到的关系式，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$