专题01 集合与常用逻辑用语（5大题型）-【好题汇编】2024年高考数学三模试题分类汇编（新高考新题型专用）

2024年高考数学三模试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·三模）已知集合 ，则的子集个数是（      ） A．3 个 B．4 个 C．8 个 D．16 个 3．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 8．（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·福建宁德·三模）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川内江·三模）若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·四川成都·三模）满足且的集合的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·陕西西安·三模）设集合，，若，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1或2 17．（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 18．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 19．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 20．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 21．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ． 22．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ． 23．（2024·贵州·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（2024·甘肃酒泉·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·三模）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·重庆·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·四川南充·三模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·宁夏银川·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·内蒙古·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·福建厦门·三模）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山西太原·三模）已知全集 ，则（   ） A． B． C． D． 15．（2024·山东济宁·三模）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024·江西宜春·三模）已知集合，，则（    ） A．（1，2] B． C． D． 17．（2024·安徽合肥·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·福建莆田·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 20．（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 三、填空题 22．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 一、多选题 1．（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 2．（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 4．（2024·福建三明·三模）记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则 ，若，则m的最小值为 . 三、解答题 5．（2024·山西·三模）用n个不同的元素组成m个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作例如，用1，2，3，4这4个元素组成2个非空集合共有7种方案，即；；；；；；．于是． (1)求和：； (2)证明：当时，； (3)某系列手办盲盒共装有4种不同款式的手办，打开其中任何一个盲盒都可以获得1个手办（款式随机，且获得每种款式的概率都相同） ①求购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式的概率p； ②设购买该系列盲盒7盒能获得不同手办款式的种类数为随机变量X，求X的数学期望． 6．（2024·江西景德镇·三模）设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~. (1)设，，，，求集合与； (2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，； (3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合. 7．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 8．（2024·浙江温州·三模）对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，. (1)当时，写出集合； (2)有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示. （ⅰ）已知，试比较大小关系； （ⅱ）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的. 一、单选题 1．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2024·天津·三模）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·四川·三模）已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 9．（2024·四川成都·三模）在中，“是钝角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024·辽宁·三模）已知正实数a，b，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 二、多选题 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·三模）下列有关命题的说法错误的是（ ） A．若命题，则命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”的必要不充分条件是“” D．在中，“”是“”的充要条件 3．（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的”的否定是（    ） A．不存在 B．存在 C．存在 D．对任意的 二、填空题 4．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 试卷第10页，共10页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高考数学三模试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确. 【详解】依题意可得，所以A、D均错误； 因为，所以中含无理数元素，故C错误； 集合中，当时，，所以,所以，所以B正确； 故选：B. 2．（2024·山东潍坊·三模）已知集合 ，则的子集个数是（      ） A．3 个 B．4 个 C．8 个 D．16 个 【答案】C 【分析】由交集的定义求得，根据子集个数的计算方法即可求解． 【详解】由题意得，，则的子集有个， 故选：C． 3．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系. 【详解】全集，，则， ，所以. 故选：D 4．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、两种情况讨论，确定集合，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，符合， 当时，由，解得， 所以， 因为，所以，解得. 综上可得的取值范围为. 故选：D 5．（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 6．（2024·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解. 【详解】解：因为，且， 若，则 故选：D. 7．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得. 【详解】由，可得， 则的子集的个数为. 故选：B. 8．（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 10．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合之间的关系，进而作出判断即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故选项D正确，选项A、B、C错误. 故选：D. 11．（2024·福建宁德·三模）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集定义可得，解出绝对值不等式后可得，计算即可得解. 【详解】由，故， 由，则， 则有，解得，即. 故选：D. 12．（2024·四川内江·三模）若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得. 【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 13．（2024·四川成都·三模）满足且的集合的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合中的元素，即可求解集合的个数. 【详解】由可得：，.又因为， 所以或. 故选：B 14．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得. 【详解】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 15．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得. 【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确； 不能判断，也不能判断，CD错误. 故选：B 16．（2024·陕西西安·三模）设集合，，若，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．1或2 【答案】C 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 综上可得. 故选：C 17．（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】由集合， 因为，所以或，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故选：C． 二、填空题 18．（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 19．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果. 【详解】集合，， 满足B的集合中必有元素2，3， 所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数， 所以满足B的集合的个数为个. 故答案为：7. 20．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据包含关系确定范围即可. 【详解】由，得， 所以，则或， 由，得， 又，所以， 解得. 故答案为：. 21．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】2 【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解. 【详解】由，得. 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，，满足，符合题意； 当时，，不满足，舍去. 综上，. 故答案为：2 22．（2024·山东聊城·三模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】由集合的包含关系，有或，解出的值代入检验可得答案. 【详解】，则，有或，解得或或， 其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去， 所以实数的值为3. 故答案为：3 23．（2024·贵州·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 先由得出；再求出集合A，结合集合的包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为， 所以. 又因为，， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 一、单选题 1．（2024·甘肃酒泉·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数定义域得到，根据补集和并集概念求出答案. 【详解】由题意得，解得，故， . 故选：C 2．（2024·河南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质和一元二次不等式的解法求出集合，然后由集合的并集运算可得. 【详解】由指数函数的值域可得，解不等式得， 所以. 故选：B． 3．（2024·浙江·三模）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解集合中的不等式，解出的范围，再求得即可. 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 4．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 5．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 6．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求解两个集合，再根据选项判断. 【详解】由题意得，则， 则，故错误； ，则，故B错误； 又，故C正确； 或，故错误. 故选：C 7．（2024·安徽·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合定义求出，，再求交集. 【详解】由于，. 故. 故选：D. 8．（2024·重庆·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定数集的范围和交集的定义求解. 【详解】，又， 则. 故选：C. 9．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 10．（2024·四川南充·三模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算即可得解. 【详解】由，，， 可得，，，， 故选：C 11．（2024·宁夏银川·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，集合， 所以， 故选：A 12．（2024·内蒙古·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】依题意得，且,则. 故选：B 13．（2024·福建厦门·三模）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再求出，则图中阴影部分所表示的集合为. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A 14．（2024·山西太原·三模）已知全集 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简两个集合，利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，所以或，所以； 因为，所以，即. . 故选：A 15．（2024·山东济宁·三模）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分式不等式解集合B，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由，得且， 解得，即， 所以，有2个元素. 故选：B 16．（2024·江西宜春·三模）已知集合，，则（    ） A．（1，2] B． C． D． 【答案】D 【分析】分别化简集合，取交集即可. 【详解】，或， 所以或. 故选:D. 17．（2024·安徽合肥·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得集合，进而可得. 【详解】,， 所以， 故选：B． 18．（2024·福建莆田·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可. 【详解】由题意可得，，则. 故选：B. 19．（2024·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算逐项判断即可. 【详解】对A,由，选项A错误； 对B,,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D 二、多选题 20．（2024·安徽安庆·三模）已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】解一元二次不等式可得，结合指数函数性质可解出，结合交集性质即可得解. 【详解】由，解得， 故， 由，可得， ， 要使有且仅有3个不同元素，则，解得， 故选：AB． 21．（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 三、填空题 22．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 一、多选题 1．（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 2．（2024·广西柳州·三模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的，有，则对任意的，下列等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知中，对四个答案的结论逐一进行论证，即可求解结论． 【详解】根据条件“对任意的，，有”，则： A中，无法确定是否一定成立，故A错误； B中，，一定成立，故B正确； C中，，一定成立，故C正确； D中，将看成一个整体，则，故，故D正确. 故选：BCD． 二、填空题 3．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 4．（2024·福建三明·三模）记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则 ，若，则m的最小值为 . 【答案】 21 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解. 三、解答题 5．（2024·山西·三模）用n个不同的元素组成m个非空集合（，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作例如，用1，2，3，4这4个元素组成2个非空集合共有7种方案，即；；；；；；．于是． (1)求和：； (2)证明：当时，； (3)某系列手办盲盒共装有4种不同款式的手办，打开其中任何一个盲盒都可以获得1个手办（款式随机，且获得每种款式的概率都相同） ①求购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式的概率p； ②设购买该系列盲盒7盒能获得不同手办款式的种类数为随机变量X，求X的数学期望． 【答案】(1)1013 (2)证明见详解 (3)①；②分布列见详解； 【分析】（1）分析可知，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解； （2）分类讨论最后一个元素是否单独成一个集合，根据题意结合分类加法计算原理分析证明； （3）根据题意可得：.①根据题意将问题转化为7个元素组成4个非空集合，再将4个非空集合对应4个款式，进而可得结果；由题意可知：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，进而求相应概率和分布列. 【详解】（1）不妨设n个不同的元素为， 对于可知：任一元素要么与1在同一集合，要么与1不在同一集合， 即每个元素均有2种可能性选择，但所有元素不能均与1在同一集合，可知， 可得 ， 所以. （2）当时，用n个不同的元素组成m个非空集合，仅对最后一个元素的情况进行讨论： 若最后一个元素单独成一个集合，则需用个不同的元素组成个非空集合， 此时对应的方案种树为； 若最后一个元素不单独成一个集合，则需用个不同的元素组成个非空集合， 再从中任取一个集合加入最后一个元素， 此时对应的方案种树为； 综上所述：当时，. （3）由题意可知：，结合（2）可得如下表格： 1 2 3 4 1 1 ╳ ╳ ╳ 2 1 1 ╳ ╳ 3 1 3 1 ╳ 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 6 1 31 90 65 7 1 63 301 350 即， ①将7个盲盒编号为，4种款式为， 将购买该系列盲盒7盒就能集齐全部4种款式等价于7个元素组成4个非空集合， 再将4个非空集合对应4个款式， 所以； ②由题意可知：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，则有： ， ， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P X的期望. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义问题，意在考查学生的计算能力转化能力和总和应用能力，其中将定义中的知识转化为已有的知识点是考查的重点，需熟练掌握. 6．（2024·江西景德镇·三模）设，是非空集合，定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若，则称是到的一个关系.当时，则称与是相关的，记作.已知非空集合上的关系是的一个子集，若满足，有，则称是自反的：若，有，则，则称是对称的；若，有，，则，则称是传递的.且同时满足以上三种关系时，则称是集合中的一个等价关系，记作~. (1)设，，，，求集合与； (2)设是非空有限集合中的一个等价关系，记中的子集为的等价类，求证：存在有限个元素，使得，且对任意，； (3)已知数列是公差为1的等差数列，其中，，数列满足，其中，前项和为.若给出上的两个关系和，请求出关系，判断是否为上的等价关系.如果不是，请说明你的理由；如果是，请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)，是上的等价关系，证明见解析， 【分析】（1）结合所给定义，分别求出时对应的的值，时对应的的值； （2）结合所给定义中的自反性、对称性与传递性，借助反证法可得：，总有或，即可得证； （3）借助等差数列的性质计算可得数列为等差数列，结合题目所给条件借助反证法可得，结合所给定义及奇偶性的讨论即可得解. 【详解】（1）由，， ， 当时，有，当时，有，当时，有， 有， 又，， 当时，有，当时，有，当时，有， 则； （2）是中的一个等价关系，由自反性可知，故不为空集， 若，不妨假设， 必有与，由自反性可知即， 再由传递性可知， ，则，而，即， 于是由传递性有，故， ， 同理可证明，， 综上所述，，总有或， 任取构成，又任取构成， 再任取构成， 以此类推，是有限集合， 结合上述结论可知必存在有限个元素， 使得，其中； （3），，， 故，，必存在. 由题意可知当时，有， 整理即：， 将代入得：， 即， 数列为等差数列，设其公差为. 当时，有，显然成立. 当时，，，即数列不为常数列， 则， ， ，即， 由. 而， ， 而，显然此方程无解， ，与题意矛盾， 综上所述只有. . ，由于数列不为常数列， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故为奇数. . ， 而为奇数，与一奇一偶，，，，三奇一偶或两奇两偶， 又，，，，不可能三奇一偶， 故，均为奇数，，均为偶数或，均为偶数，，均为奇数. . 当时，， 是自反的； 当，将，与，取值对调， 则，是对称的； 当与，即， 其中，，为奇数，，，为偶数或，，为偶数，，，为奇数， ，是传递的， 综上所述，是上的等价关系， 其中. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义的几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义中； （4）结合数学知识进行解答. 7．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不一定是数域，证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明； （2）根据题中数环和数域的定义分析证明； （3）举特例，取，举例数列即可. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 8．（2024·浙江温州·三模）对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，. (1)当时，写出集合； (2)有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示. （ⅰ）已知，试比较大小关系； （ⅱ）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】（1）由自然数的子列集合，即可求解； （2）（i）由，根据子列集合的定义，进行列举，分别求得，和，即可求解； （ii）根据题意，得到加强命题转化为，等号成立的条件是，当中相同数字排列在一起的情形，结合数学归纳法，作出证明即可. 【详解】（1）解：由自然数的子列集合，可得： 自然数，可得. （2）解：（i）由， 可得，即， ，即， ，即，所以. （ii）加强命题如下：若由个数字构成题中的自然数（其中，一位整数，本题即为的情形）， 则所求，等号成立的条件是，当中相同数字排列在一起的情形， 证明：①当时，，显然成立； ②设当时，命题成立，即， 当时，相当于在原来字符串的基础上增加了个， 注意到此时时的每一种排列，此时匹配上到个排列， 都能构成时的一种排列，再结合不含有时的任何元素个排列， 则我们有， 而当中相同数字排列在一起时，成立， 则当时，命题也成立，由①②知，成立. 记 ， 显然， 下面证明：是所有中最小的，从而（其中） 设（其中为的一种顺序变换） 即只需证取得最小值时，当且仅当里所有相同的数字必相等， 根据对称性，以为例，即只需证明即可， 记，证明， 构造集合到集合的一种对应关系， 使得，其中中含有个，个，个， 根据的定义，存在唯一的对应，即， 反过来，，设（其中，个，个，个）， 设中的角标分别为，取前个， 设中的角标分别为，取前个， 设中的角标分别为，取前个， 将，，，从小到大排列得到新的角标， 则取，根据子列集合的定义，可知， 因为里含有个，个，个（但是相同的数字不一定相邻） 这个在的作用下，柯达伊与对应，即. 综上所述，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，反之，任取集合中的一个元素，在集合中都能找到一个元素与之对应， 由此可知，所以的最小值为，满足条件的有： ， 【点睛】知识方法点拨：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 一、单选题 1．（2024·北京·三模）在中，角所对的边分别为.则“成等比数列”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先将代入余弦定理，利用基本不等式得到，从而得到，接着根据得到可能为钝角，不满足成等比数列，从而得答案. 【详解】当成等比数列时，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，所以，充分性满足； 当时，， 而当时，为最长的边，不满足成等比数列，必要性不满足. 则“成等比数列”是的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 3．（2024·天津·三模）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式性质，及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】取，满足，而， 反之，，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 4．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】一方面，当，时，是奇函数， 是偶函数，故充分性成立， 另一方面，当时，有是奇函数， 是偶函数， 但此时关于的方程没有解，故必要性不成立， 综上所述，在已知 的情况下， “”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 5．（2024·全国·三模）已知，是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若，，，且，所以直线与平面平行的判定定理知； 若，，，所以直线与平面平行的性质定理知； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（2024·四川·三模）已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将直线和平面放入特殊图形中证明充分性，否定必要性即可. 【详解】   如图，在长方体中，设取为直线，取为平面， 取为直线，满足但，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知， 所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：C. 8．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立. 【详解】若，则，则，故充分性成立； 若，设，则，， 则，或与不一定相等，则必要性不成立， 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 9．（2024·四川成都·三模）在中，“是钝角”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先将等价变形为，两边平方后得，且三点不共线，即可做出判断. 【详解】“”等价于“”， 所以， 从而， 在中，显然三点不共线，即两个向量不能方向相反，则是钝角，则必要性成立， 若是钝角，则，则，则充分性成立， 则“是钝角”是“”的充要条件. 故选：C． 10．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 11．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数定义域为，则， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 因为， 所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 12．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 13．（2024·辽宁·三模）已知正实数a，b，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合基本不等式求解即可. 【详解】取，满足，但， 故“”推不出“”， 因为，当且仅当“”时取等， 当时，， 所以，即，因为， 所以，所以能推出. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B；可化为结合的单调性可判断C. 【详解】对于A，因为，，故故A选项正确； 对于B，取，此时满足，但，B选项错误； 对于C，可得：， 则，因为，即 所以，因为函数在不单调，所以C选项错误； 对于D，由可知，，因为， 所以，故D选项正确， 故选：AD． 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可. 【详解】命题“” 的否定是“”. 故选：A 2．（2024·四川绵阳·三模）下列有关命题的说法错误的是（ ） A．若命题，则命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”的必要不充分条件是“” D．在中，“”是“”的充要条件 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件，三角函数图像及解三角形知识点即可判断． 【详解】对于A，根据存在量词命题的否定可得，A选项说法正确； 对于B，“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，；当时，或， 所以 “”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，根据三角形的性质，大边对大角，大角对大边可知“”是“”的充要条件，故D正确； 故选：C． 3．（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的”的否定是（    ） A．不存在 B．存在 C．存在 D．对任意的 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】“对任意的”的否定是：存在. 故选：C． 二、填空题 4．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 试卷第2页，共38页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$