专题08 平面向量、概率、统计、计数原理（10大题型）-【好题汇编】2024年高考数学三模试题分类汇编（新高考新题型专用）

2024高考三模数学试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·三模）已知，向量为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西·三模）已知钝角的面积为，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或6 4．（2024·河南·三模）在菱形中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西·三模）向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（    ） A．-7 B．-1 C．1 D．7 7．（2024·陕西渭南·三模）已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（    ） A．4 B．2 C． D．或4 8．（2024·河北·三模）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D．与有关 9．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江·三模）已知单位向量满足，则（    ） A．0 B． C． D．1 11．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 13．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（    ） A．1 B． C． D．2 14．（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 15．（2024·广东广州·三模）设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论： ①若，，则； ②若且，则； ③若，则对于任意向量，都有； ④若，则对于任意向量，都有； 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④ 16．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（    ） A．3 B． C． D． 17．（2024·贵州毕节·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 18．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 19．（2024·辽宁·三模）已知平面非零向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D．0 20．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（    ） A． B．1 C． D． 21．（2024·河南新乡·三模）已知向量，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．5 D． 22．（2024·浙江温州·三模）平面向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 23．（2024·四川·三模）已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 24．（2024·河南·三模）在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数使得 D．的夹角的取值范围是 26．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 27．（2024·安徽·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 28．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 . 29．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数 30．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 31．（2024·黑龙江·三模）已知过点的动直线与圆交于两点，为的中点，则直线的斜率的取值范围是 ，为坐标原点的取值范围为 . 32．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 33．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影为 . 34．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 35．（2024·内蒙古·三模）已知单位向量的夹角为，，则 . 【答案】或 36．（2024·全国·三模）在中，，.若，则的面积为 . 37．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 38．（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 39．（2024·福建莆田·三模）已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是 . 40．（2024·安徽合肥·三模）在中，若，则 . 一、单选题 1．（2024·江西南昌·三模）我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为7，2，4，4，6，1，8，则这组数据的分位数为（    ） A．1 B．2 C．8 D．7 2．（2024·河北保定·三模）若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 3．（2024·江西·三模）已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024·陕西榆林·三模）在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 5．（2024·山西太原·三模）数据的第25百分位数为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（2024·福建莆田·三模）已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2024·山西·三模）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．（2024·浙江金华·三模）样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（    ） A．33 B．35 C．46 D．51 9．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 10．（2024·天津·三模）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 11．（2024·江苏南通·三模）某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 12．（2024·安徽安庆·三模）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 13．（2024·四川眉山·三模）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：    根据该折线图判断，下列结论正确的是（    ） A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 14．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 15．（2024·四川成都·三模）已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若，均小于4，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 16．（2024·黑龙江·三模）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．极差是 17．（2024·浙江杭州·三模）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（    ） A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡 18．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（    ） A．图中a的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人 C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为83分 19．（2024·全国·三模）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 45 88 1 乙 45 90 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024·河南新乡·三模）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（    ） A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为 21．（2024·湖北黄石·三模）已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（    ） A．这两组数据的第80百分位数相等 B．这两组数据的极差相等 C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D．甲组数据比乙组数据分散 22．（2024·辽宁·三模）甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（    ） A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同 C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小 三、填空题 23．（2024·河南·三模）若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 24．（2024·河北·三模）某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为 ． 25．（2024·上海·三模）某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为 ． 26．（2024·安徽·三模）从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数： 选手 选手1 选手2 选手3 选手4 选手5 选手6 选手7 选手8 个数 141 171 161 147 145 171 170 172 则跳绳个数的第60百分位数是 . 27．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    28．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 一、单选题 1．（2024·江西南昌·三模）我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为7，2，4，4，6，1，8，则这组数据的分位数为（    ） A．1 B．2 C．8 D．7 2．（2024·河北保定·三模）若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 3．（2024·江西·三模）已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024·陕西榆林·三模）在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 5．（2024·山西太原·三模）数据的第25百分位数为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（2024·福建莆田·三模）已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2024·山西·三模）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．（2024·浙江金华·三模）样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（    ） A．33 B．35 C．46 D．51 9．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 10．（2024·天津·三模）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 11．（2024·江苏南通·三模）某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 12．（2024·安徽安庆·三模）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 13．（2024·四川眉山·三模）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：    根据该折线图判断，下列结论正确的是（    ） A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 14．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 15．（2024·四川成都·三模）已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若，均小于4，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2024·湖南邵阳·三模）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（    ） A． B． C． D． 17．（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 18．（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （    ） A． B． C．1 D． 19．（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 20．（2024·广西桂林·三模）具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（    ） A．40 B．32 C．8 D．12.8 二、多选题 21．（2024·黑龙江·三模）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．极差是 22．（2024·浙江杭州·三模）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（    ） A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡 23．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（    ） A．图中a的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人 C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为83分 24．（2024·全国·三模）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 45 88 1 乙 45 90 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024·河南新乡·三模）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（    ） A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为 26．（2024·湖北黄石·三模）已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（    ） A．这两组数据的第80百分位数相等 B．这两组数据的极差相等 C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D．甲组数据比乙组数据分散 27．（2024·辽宁·三模）甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（    ） A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同 C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小 28．（2024·山西晋中·三模）下列有关回归分析的结论中，正确的有（    ） A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变 B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强 C．若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则决定系数 D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 29．（2024·浙江金华·三模）某班主任用下表分析高三前5次考试中本班级在年级中的成绩排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次考试排名，但他记得平均排名，于是分别用和得到了两个经验回归方程：，，对应的样本相关系数分别为，，排名y对应的方差分别为，，则（    ） x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 附：，，． A． B． C． D． 30．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）下列说法正确的是（    ） A．数据的频率分布直方图的纵坐标为频率 B．已知样本数据的平均数为，则数据与原数据的极差､平均数都相同 C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强 D．已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为-1.9 三、填空题 31．（2024·河南·三模）若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 32．（2024·河北·三模）某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为 ． 33．（2024·上海·三模）某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为 ． 34．（2024·安徽·三模）从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数： 选手 选手1 选手2 选手3 选手4 选手5 选手6 选手7 选手8 个数 141 171 161 147 145 171 170 172 则跳绳个数的第60百分位数是 . 35．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    36．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 四、解答题 37．（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； (3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 38．（2024·河南郑州·三模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； (2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； (3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 39．（2024·四川眉山·三模）某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润（单位：亿元）与年份代码共5组数据（其中年份代码分别指2019年，2020年，年），并得到如下值：. (1)若用线性回归模型拟合变量与的相关关系，计算该样本相关系数，并判断变量与的相关程度（精确到0.01）； (2)求变量关于的线性回归方程，并求2024年利润的预报值. 附：①；②若，相关程度很强；，相关程度一般；，相关程度较弱；③一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；相关系数. 40．（2024·山东聊城·三模）今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额（万元） 19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4 由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59. (1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差； (2)计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）； (3)该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润（单位：元）情况如下表： 2 4 6 400 600 800 已知成等比数列. 设该公司销售两台电视机所获得的利润为（单位：元），当的概率取得最大值时，求利润的分布列和数学期望. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.相关数据. 41．（2024·四川南充·三模）近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表. 月份 2023.11 2023.12 2024.01 2024.02 2024.03 月份编号x 1 2 3 4 5 利润（y万元） 27 23 20 17 13 (1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）； (2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率. 附：参考数据： 相关系数. 42．（2024·四川攀枝花·三模）随着互联网的普及和数字化技术的发展，网络直播成为了一种新型的营销形式，因其更低的营销成本，更快捷的营销覆盖而深受商家青睐．某电商统计了最近5个月某商品的网络直播线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 53 49 51 50 47 月销售量（千件） 5 9 7 10 9 (1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为52元/件时，该商品的线上月销售量为多少千件？ 参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：． 43．（2024·四川泸州·三模）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了A、两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对A、两种不同型号的新能源汽车进行综合评估（得分越高接受程度就越高），综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）： (1)以综合得分的平均数为依据，判断A、两种不同型号的新能源汽车哪种型号更受大众喜欢； (2)为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为，求与的相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销量与年份的相关性强弱. 参考公式：（ⅰ）线性回归方罡：，其中，； （ⅱ）相关系数（若，则相关性较弱：若，则相关性较强；若，则相关性很强）. 44．（2024·四川德阳·三模）某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 7 8 10 收益 20 30 34 37 他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值． 7 30 1470 370 (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型? (2)残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除． （i）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ii）若广告投入量x=19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01) 附：对于一组数据 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： . 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：（）， 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．甲班人数少于乙班人数 B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率 C．表中的值为15，的值为50 D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” 二、解答题 2．（2024·四川内江·三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 3．（2024·安徽·三模）某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示. (1)以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差. (2)为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？ 男生 女生 评分 30 35 评分 20 15 (3)若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 4．（2024·甘肃酒泉·三模）为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为． (1)完成下面的列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 (2)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ (3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 5．（2024·湖南永州·三模）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株. (1)根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？ 列联表 类别 树苗成活情况 合计 成活 不成活 含元素 不含元素 合计 (2)从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差 参考公式：， 参考数据：             0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 6．（2024·安徽·三模）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 (1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联； (2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 7．（2024·贵州毕节·三模）2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 (1)完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值； (2)用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 一、单选题 1．（2024·湖南邵阳·三模）邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有（    ） A．144种 B．240种 C．288种 D．336种 2．（2024·河北保定·三模）某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 4．（2024·湖南永州·三模）为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（    ） A．26 B．25 C．24 D．23 5．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 6．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（2024·河北·三模）小李买了新手机后下载了4个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且和放在同一排，则不同的排列方式有（    ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 8．（2024·黑龙江·三模）现有红色､黄色､蓝色的小球各4个，从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，则不同取法有（   ） A．160种 B．208种 C．256种 D．472种 9．（2024·福建厦门·三模）某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 10．（2024·河北秦皇岛·三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 11．（2024·宁夏银川·三模）现将包含甲、乙在内的5名老师全都安排到3个不同的班级，每个班级必须至少有1名老师，且甲、乙必须去同一个班级，则不同的选派方案共有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 12．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 13．（2024·安徽·三模）2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（    ） A．96 B．144 C．240 D．360 14．（2024·浙江金华·三模）在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 15．（2024·四川眉山·三模）四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·四川南充·三模）某大学开学时选择选修课程，甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程，每门选修课程至少有一人选择，甲、乙都不选音乐鉴赏，但能选择其他三门选修课程，丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程，则不同的选择方法有（    ）种． A．324 B．234 C．216 D．126 二、填空题 17．（2024·山西·三模）清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有 种(请用数字作答). 18．（2024·山东聊城·三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种. 19．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 种. (用数字作答) 20．（2024·全国·三模）在龙年元宵节的一项无人机飞行表演中，将7架不同的“焰火”无人机和架不同的“灯光”无人机排成一列.已知每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻，设这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为p，要使得，则n的最小值为 . 21．（2024·陕西铜川·三模）有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种. 22．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种. 一、单选题 1．（2024·江西·三模）的展开式中，的系数为（    ） A．96 B．144 C．180 D．216 2．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 3．（2024·山东济南·三模）展开式中的系数为（    ） A． B．5 C．15 D．35 4．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·四川凉山·三模）在二项式的展开式中，的系数是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 6．（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 7．（2024·河南·三模）在的展开式中，第8项的系数为（    ） A． B．144 C．18 D． 8．（2024·浙江温州·三模）已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与有关 9．（2024·辽宁沈阳·三模）已知二项式的展开式中的系数是280，则实数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D． 10．（2024·山东济宁·三模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．120 D．160 11．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 12．（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（    ） A．168 B． C．1512 D． 13．（2024·广西桂林·三模）若，则（    ） A．18 B． C．12 D． 14．（2024·山东聊城·三模）设正项数列的前项和满足表示从个不同元素中任取个元素的组合数，则（    ） A．512 B．1024 C．5120 D．10240 15．（2024·福建漳州·三模）二项式展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·湖南永州·三模）的展开式中第四项的系数为540，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·贵州遵义·三模）的展开式中的系数为（    ） A．8 B．12 C．10 D．15 二、多选题 18．（2024·辽宁·三模）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第三项系数为270 B．的系数为90 C．二项式系数和为 D．系数和为 19．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 20．（2024·山西·三模）已知函数，则（    ） A． B．展开式中，二项式系数的最大值为 C． D．的个位数字是1 21．（2024·湖南岳阳·三模）下列结论正确的是（    ） A．，则 B． C．的展开式的第6项的系数是 D．的展开式中的系数为 三、填空题 22．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 23．（2024·重庆·三模）已知，则 . 24．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 25．（2024·福建福州·三模）的展开式中常数项为 ． 26．（2024·甘肃酒泉·三模）若的展开式中的系数与的系数之和为 ． 27．（2024·安徽·三模）的展开式中的系数为 . 28．（2024·河南·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 29．（2024·广东广州·三模）在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为 ． 30．（2024·宁夏银川·三模）的展开式中的系数为 . 一、单选题 1．（2024·重庆·三模）故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州毕节·三模）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古·三模）三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·三模）某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A．0.85 B．0.7 C．0.5 D．0.4 8．（2024·福建厦门·三模）设A，B为随机事件，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河南·三模）有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件：从中任取1个函数是奇函数；事件：从中任取1个函数是偶函数，事件的对立事件分别为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西渭南·三模）已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川凉山·三模）凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球，60%的同学爱好乒乓球，70%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在凉山地区的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．0.9 13．（2024·江西景德镇·三模）六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 15．（2024·甘肃酒泉·三模）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（    ） A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945 16．（2024·四川内江·三模）文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·宁夏石嘴山·三模）寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2024·贵州遵义·三模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·云南昆明·三模）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（    ） A． B．A与相互独立 C． D． 20．（2024·江西宜春·三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（    ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 三、填空题 21．（2024·山东济宁·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 . 22．（2024·湖北荆州·三模）天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 （结果用既约分数表示） 23．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 24．（2024·重庆·三模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 25．（2024·陕西榆林·三模）在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 . 26．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ． 27．（2024·辽宁·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则 . . 一、单选题 1．（2024·山东济宁·三模）若随机变量，随机变量，则（    ） A．0 B． C． D．2 2．（2024·湖北荆州·三模）上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·三模）在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（    ） A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.8 4．（2024·江西宜春·三模）下列说法不正确的是（    ） A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5 B．一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是 C．若随机变量，则方差 D．若随机变量，且，则 二、多选题 5．（2024·山东聊城·三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（    ） A． B． C． D．随的增大先增大后减小 6．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·江苏南通·三模）已知随机变量．若，则 ，若，则的方差为 ． 四、解答题 8．（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有个红球. (1)若，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量，求的方差 (2)从袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量，若的期望，方差，求; (3)若，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若，求红球占比估计值的误差不超过的概率. 参考数据: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0282 0.0121 0.0052 0.0022 0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 9．（2024·湖南邵阳·三模）古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶. (1)在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率； (2)每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元，70元，50元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望. 10．（2024·河北保定·三模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. (1)当时，求； (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值. 11．（2024·重庆·三模）重庆一中被评为“全国最美校园书屋”，学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议，重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. (1)设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为，求的分布列与数学期望； (2)若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 12．（2024·宁夏石嘴山·三模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 某电信公司为了解当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为. (1)根据题中信息完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？ (2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费充值卡的总金额数为元，求的数学期望. 优秀奖 非优秀奖 合计 男 女 合计 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 13．（2024·江西·三模）某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过100元，则可以抽奖一次，奖池中有8张数字卡片，其中两张卡片数字为1，两张卡片数字为2，两张卡片数字为3，两张卡片数字为4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为1的卡片，则可获得10元的奖励，抽到两张数字为1的卡片，则可获得20元的奖励，抽到其他卡片没有奖．小华购物金额为120元，有一次抽奖机会. (1)求小华抽到两张数字不同的卡片的概率； (2)记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望． 14．（2024·河南·三模）已知函数随机变量，随机变量，的期望为. (1)当时，求； (2)当时，求的表达式. 15．（2024·陕西榆林·三模）“直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图： (1)根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ (2)将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率； (3)综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（2024·河南·三模）甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立． (1)求进行双打比赛的概率； (2)设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望． 17．（2024·浙江·三模）为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.  记寒假第天不下雪的概率为 . (1)求的值，并求; (2)设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望. 18．（2024·北京·三模）某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个. 表①：表示加工一个口罩的利润. 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2 1 0.5 (1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率； (2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值. 19．（2024·河南·三模）多年统计数据表明如果甲､乙两位选手在决赛中相遇，甲每局比赛获胜的概率为，乙每局比赛获胜的概率为.本次世界大赛，这两位选手又在决赛中相遇.赛制为五局三胜制（最先获得三局胜利者获得冠军）. (1)现在比赛正在进行，而且乙暂时以领先，求甲最终获得冠军的概率； (2)若本次决赛最终甲以的大比分获得冠军，求甲失分局序号之和的分布列和数学期望. 20．（2024·河北·三模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 10 30 15 丙的射击频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立. (1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由； (2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； (3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由. 21．（2024·上海·三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数． (1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由； (2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望． 22．（2024·河南新乡·三模）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球． (1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望． 23．（2024·浙江杭州·三模）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N. 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计. 乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时. (1)当，时，求条件概率； (2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值； (3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明. 24．（2024·黑龙江·三模）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ (2)现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 25．（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 26．（2024·河北秦皇岛·三模）教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据： 甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81 乙 71 81 73 73 71 73 85 73 已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差. (1)求这20次投篮次数的平均数与方差. (2)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望. 27．（2024·福建莆田·三模）跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示. 性别 跑步 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 (1)依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关? (2)该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据； 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 28．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． (1)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 3．（2024·浙江杭州·三模）传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号，其中干扰信号为服从正态分布的随机变量，令累积信号，则Y服从正态分布，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（    ）倍 A． B．m C． D． 4．（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 5．（2024·贵州毕节·三模）随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.66 B．0.34 C．0.17 D．0.16 6．（2024·安徽·三模）已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（    ） 参考数据：若，则. A．13272 B．16372 C．16800 D．19518 7．（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 8．（2024·浙江金华·三模）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 9．（2024·四川南充·三模）某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 10．（2024·福建厦门·三模）已知随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 11．（2024·福建三明·三模）随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024·河南开封·三模）在某项测验中，假设测验数据服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（附：若，则，）（    ） A．94 B．86 C．82 D．78 二、多选题 13．（2024·浙江·三模）下列说法正确的是（    ） A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B．已知随机变量服从正态分布越小，表示随机变量分布越集中 C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，则 14．（2024·安徽·三模）下列关于概率统计的说法中正确的是（    ） A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 15．（2024·辽宁沈阳·三模）下列说法正确的是（    ） A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 三、填空题 16．（2024·重庆·三模）已知随机变量，则 . 17．（2024·浙江温州·三模）设随机变量服从正态分布，若，则 . 四、解答题 18．（2024·福建福州·三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 19．（2024·宁夏银川·三模）银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 20．（2024·广西桂林·三模）年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． (1)根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率． 参考数据：若，则，． 21．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数与时间（单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：，相关指数）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（    ） A．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取取常用对数的做法，我们也可采用函数模型来拟合 B．根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的倍 C．虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D．根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为，可以推断地球生命可能并非诞生于地球 二、解答题 2．（2024·浙江温州·三模）现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. (1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率； (2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 3．（2024·河南·三模）定义1  进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如． 定义2  三角形数：形如，即的数叫做三角形数． (1)若是三角形数，试写出一个满足条件的的值； (2)若是完全平方数，求的值； (3)已知，设数列的前项和为，证明：当时，． 4．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设，，记，，并规定．记，并规定．定义 (1)若，求和； (2)求； (3)证明：． 5．（2024·江苏南通·三模）“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．） (1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； (2)若拋郑一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024高考三模数学试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律求出、、，即可求出、、，再根据夹角公式计算可得. 【详解】由题意得，则有，解得， 又由，则有，解得， 同理可得， 所以， ， ， 所以. 故选：A 2．（2024·重庆·三模）已知，向量为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标求出模，将，运用向量数量积运算律展开求得，最后利用向量夹角公式计算即得. 【详解】因为，由，则， 所以. 故选：B 3．（2024·江西·三模）已知钝角的面积为，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或6 【答案】C 【分析】根据题设求得，依题分角为钝角和角为钝角两种情况讨论检验，利用向量数量积的定义即可分别求得. 【详解】依题意，，解得， 若角为钝角，则， 由余弦定理，,符合题意， 此时，； 若角为钝角，则， 由余弦定理，， 此时,即，符合题意， 此时. 故选：C. 4．（2024·河南·三模）在菱形中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由、菱形的对角线平分对角计算即可. 【详解】如图所示， 在菱形中，， 所以向量与的夹角等于向量与的夹角， 所以向量与的夹角为. 故选：C. 5．（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对等式两边同时平方即可得到，再利用向量数量积定义和向量夹角的范围即可得到答案. 【详解】，即， ，即，则， 因为，的夹角为， 故选：C. 6．（2024·山西·三模）向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（    ） A．-7 B．-1 C．1 D．7 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，写出两向量的坐标，求出数量积. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则， 则. 故选：C 7．（2024·陕西渭南·三模）已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（    ） A．4 B．2 C． D．或4 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求出，再结合反向共线即可得解. 【详解】由向量，共线，得，解得或， 当时，，，与同向，不符合题意， 当时，，，与反向，符合题意， 所以实数的值为4. 故选：A 8．（2024·河北·三模）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据向量模长的坐标表示可得，进而可得，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C. 9．（2024·广西·三模）已知向量，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】对于A，因为，所以不垂直，故A错误； 对于B，因为，所以不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以不垂直，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 10．（2024·浙江·三模）已知单位向量满足，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】计算出，，，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】， ，故， ，故， 所以. 故选：B 11．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，结合数量积得运算律求出，再根据向量夹角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 12．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得. 【详解】在中，由，得， 即，由，同理得， 显然，即与不重合，否则，同理， 则，即，， 于是平分，同理平分， 所以点P是的内心. 故选：D 13．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出.思路二：由共线向量基本定理即可得解. 【详解】方法一：由已知有，，解得. 方法二：设，由题意，解得. 故选：B. 14．（2024·黑龙江·三模）已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，得到，即可求出结果. 【详解】由题知 ， 而，所以当时，有最小值为， 故选：C. 15．（2024·广东广州·三模）设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论： ①若，，则； ②若且，则； ③若，则对于任意向量，都有； ④若，则对于任意向量，都有； 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】根据题意结合向量的坐标运算逐项分析①③，举反例判断②④. 【详解】对于①：若，，则，所以，故①正确； 对于②：取，满足， 则，满足，但，故②错误； 对于③：若，则，且， 设，则， 可知，所以，故③正确； 对于④：取，可知， 但，即，故④错误； 故选：C. 16．（2024·重庆·三模）已知向量，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 17．（2024·贵州毕节·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】由得，进而得到，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】由得，， 故，即，得， 设的高为，可得，    由得，，故， 而，故，则， 故，化简得，故A正确. 故选：A 18．（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 【答案】B 【分析】由已知可得，可求得，进而计算可求. 【详解】由，两边平方可得， 所以，所以. 故选：B. 19．（2024·辽宁·三模）已知平面非零向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由向量数量积表示垂直，再结合数量积的定义计算即可. 【详解】因为非零向量，，满足，且， 所以， 即， 所以， 故选：A. 20．（2024·四川雅安·三模）已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的几何意义及坐标运算求解投影即可. 【详解】因为向量，所以向量在向量方向上的投影是. 故选：C. 21．（2024·河南新乡·三模）已知向量，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标求出，即可利用向量数量积公式求出结果. 【详解】， 则， 故选：A. 22．（2024·浙江温州·三模）平面向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解. 【详解】，由于，所以，解得， 故选：A 23．（2024·四川·三模）已知单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对左右同时平方得到条件等式，再利用平面向量夹角的定义求解即可. 【详解】由题意知，两边同时平方得， 设夹角为，故，且是单位向量， 故化简可得，， 故，则夹角的余弦值为，故D正确. 故选：D 二、多选题 24．（2024·河南·三模）在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，根据复数的四则运算以及几何意义可得，再结合向量垂直的坐标表示分析求解. 【详解】设，则， 可知，即， 若，则， 整理得所以或， 对比选项可知ACD正确，B错误. 故选：ACD． 25．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数使得 D．的夹角的取值范围是 【答案】BC 【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误； 对B：， 故有最小值，故B正确； 对C：若，则有 即，即，即， 解得，即当时，，故C正确； 对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向， 故的夹角不可能为，故D错误. 故选：BC. 26．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 27．（2024·安徽·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC，由投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于BC，由于，，故B错误，C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 28．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据投影向量公式得在上的投影向量为，结合已知可得结果. 【详解】设与的夹角为，且，， 则在上的投影向量为， 即，所以，所以， 故答案为：. 29．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数 【答案】 【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案. 【详解】， ， 解得. 故答案为： 30．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 【答案】/ 【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，， 因此，所以. 故答案为： 31．（2024·黑龙江·三模）已知过点的动直线与圆交于两点，为的中点，则直线的斜率的取值范围是 ，为坐标原点的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，联立直线与圆的方程，利用判别式法求得的取值范围；由数量积定义得，结合直线与圆的位置关系求得，即可求解. 【详解】设，直线的方程为. 由，得， 所以，解得； 由，可得，所以， 又若直线与圆相切于点，则， 当与重合时，取最大值，所以，所以.    故答案为：， 32．（2024·山东济宁·三模）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得，表示点与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解. 【详解】由，得， 即，解得. ， 表示点与点的距离之和. 如图，点关于x轴的对称点为，连接， 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）. 33．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影为 . 【答案】 【分析】由与垂直，结合与的夹角为135°，利用数量积的定义得到，解得，再利用在上的投影的定义求解. 【详解】解：因为与垂直， 所以，即， 解得， 又因为与的夹角为135°， 所以，解得， 所以在上的投影为， 故答案为： 34．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 35．（2024·内蒙古·三模）已知单位向量的夹角为，，则 . 【答案】或 【分析】首先求出，再将两边平方，根据数量积的运算律得到方程，解得即可. 【详解】因为单位向量的夹角为，所以， 又因为，所以， 所以，解得或. 故答案为：或 36．（2024·全国·三模）在中，，.若，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合复数模的运算，根据数量积的定义求得，利用同角三角函数基本关系求得，然后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】，， 则，所以， 所以. 所以. 故答案为： 37．（2024·山东聊城·三模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】先根据题意得到，即，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，再结合等面积法和向量运算，即可求解离心率. 【详解】设，直线:， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 联立，整理得， 且， ，， 则， 所以 整理得， 即由到直线:的距离， 又， 即， 而， 因为，即， 所以， 又， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，其中利用等面积法转化为关键. 38．（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 因为，所以， 又因为，所以． 故答案为：. 39．（2024·福建莆田·三模）已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即可得，再根据夹角公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故答案为： 40．（2024·安徽合肥·三模）在中，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得和，设为线段上靠近的四等分点，得到，设，求得，即可求解. 【详解】由，可得， 即，可得，所以， 又由，可得，即， 设为线段上靠近的四等分点，则， 设，则， 所以，则， 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·江西南昌·三模）我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为7，2，4，4，6，1，8，则这组数据的分位数为（    ） A．1 B．2 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由百分位的定义计算即可得到答案. 【详解】由某个密码使用的符号对应的字节数从小到大排列后为1，2，4，4，6，7，8， 可得，所以这组数据的分位数为7． 故选：D． 2．（2024·河北保定·三模）若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用平均数和方差的定义结合条件求解即得. 【详解】解：易知新的一组数据的平均数为， 所以新数据的方差. 故选：D. 3．（2024·江西·三模）已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由方差公式即可运算求解. 【详解】由方差公式得，因此． 加入数据后，新数据的平均数为4，方差为． 故选：A． 4．（2024·陕西榆林·三模）在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 5．（2024·山西太原·三模）数据的第25百分位数为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的定义求出答案. 【详解】将8个数据从小到大排列，得到， ， 故选取第2个和第3个数的平均数作为第25百分位数，即. 故选：B 6．（2024·福建莆田·三模）已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的性质得到答案. 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 记数据的平均数为，方差为， 则， ， 由题意可得，. 故选：C 7．（2024·山西·三模）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】设参加射门比赛的男教师人数为，根据总体的平均数求出，设女教师进球数的方差为，根据方差公式计算可得. 【详解】设参加射门比赛的男教师人数为，则全部参赛教师进球数的平均数， 解得，即参赛的男女教师各有人， 设女教师进球数的方差为， 依题意可得，解得. 故选：B 8．（2024·浙江金华·三模）样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（    ） A．33 B．35 C．46 D．51 【答案】D 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】将12，46，38，11，51，24，33，35，55从小到大排列为11，12，24，33，35，38，46，51，55， ，故第80百分位数为第八个数51， 故选：D 9．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 【答案】C 【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得. 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10， 所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 10．（2024·天津·三模）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【分析】分别求出两组数据的第50百分位数、第80百分位数，求出即可得解. 【详解】依题意，甲组数据的第50百分位数为14，乙组数据的第50百分位数为，则， 由，得甲组数据的第80百分位数为，乙组数据的第80百分位数为， 因此，解得，所以. 故选：C 11．（2024·江苏南通·三模）某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据题意分析可知：平均数为，中位数为2，列式求解即可. 【详解】由题意可知：这组数据的平均数为， 除外，将数据按升序排列可得， 结合的任意性可知中位数为2，则，解得. 故选：D. 12．（2024·安徽安庆·三模）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 【答案】B 【分析】根据平均数的定义表示，结合已知列等式，作差比较即可. 【详解】由题意可知，， ，于是， 又，所以， 所以，两式相减得， 所以. 故选：B 13．（2024·四川眉山·三模）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：    根据该折线图判断，下列结论正确的是（    ） A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 【答案】B 【分析】根据中位数定义判断A；利用扩张和收缩情况判断BC； 根据数据波动情况判断D. 【详解】根据图表可知，各月PMI的中位数小于，A错误； 2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确； 2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误. 故选：B 14．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 【答案】D 【分析】由图表数据分析可判断A，B；由方差的意义可判断C；由极差的计算公式分析D. 【详解】对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误； 对于B，“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 高”，故B错误； 对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温” 的波动大， 则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误； 对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为：， “多年平均气温”的极差为， 则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确. 故选：D. 15．（2024·四川成都·三模）已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若，均小于4，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意结合中位数的定义易求得. 【详解】因为均小于，所以由茎叶图可知，中位数为    ， 解得. 故选：C. 二、多选题 16．（2024·黑龙江·三模）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．极差是 【答案】BC 【分析】A选项，根据平均数定义计算出的平均数为；B选项，根据中位数的定义得到的中位数为；C选项，利用方差的定义得到C正确；D选项，利用极差的定义得到的极差为. 【详解】A选项，由题意得， 则， 则的平均数是，A错误； B选项，从小到大排列后为， 取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即， 由于，故从小到大排列为， 取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，B正确； C选项，由题意得， 则 ，故方差是，C正确； D选项，从小到大排列后为， 故， 其中从小到大排列后为， 则，故极差是，D错误. 故选：BC 17．（2024·浙江杭州·三模）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（    ） A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡 【答案】BCD 【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的. 【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积， 根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误； 对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确； 对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确； 对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少， 因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确, 故选：BCD. 18．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（    ） A．图中a的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人 C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为83分 【答案】AC 【分析】利用频率分布直方图逐项求解 【详解】对于A，由，解得，故A对； 对于B，低于70分的考生人数约为，故B错； 对于C，考生成绩的平均分约为 ，故C对； 对于D，成绩落在内频率为， 落在内频率为， 故考生成绩第80百分位数落在，设为m， 由，解得， 故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D错误； 故选：AC 19．（2024·全国·三模）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 45 88 1 乙 45 90 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】代入公式计算即可. 【详解】依题意得，. 故选：BD. 20．（2024·河南新乡·三模）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（    ） A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出新数据组的平均数，再利用分层抽样的方差公式求出方差即得. 【详解】依题意，这组新数据的平均数为，方差为. 故选：BC 21．（2024·湖北黄石·三模）已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（    ） A．这两组数据的第80百分位数相等 B．这两组数据的极差相等 C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D．甲组数据比乙组数据分散 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数、极差、平均数、方差的意义依次判断ABCD即得. 【详解】对于A，由，得甲组数据的第80百分位数为7， 由，乙组数据的第80百分位数为8，A错误； 对于B，甲组数据与乙组数据的极差均为为8，B正确； 对于C，甲组数据去掉前后的均值分别为；乙组数据去掉前后的均值分别为5，5，C正确； 对于D，甲组数据的方差， 乙组数据的方差，显然， 因此乙组数据较分散，D错误. 故选：BC 22．（2024·辽宁·三模）甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（    ） A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同 C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小 【答案】BCD 【分析】由中位数，极差的概念即可判断AC，由平均数、方差计算公式可分别判断BD. 【详解】对于A，甲的得分中位数是5，乙的得分中位数是5，故A错误； 对于B，甲的得分平均数是，乙的得分平均数是，故B正确； 对于C，甲的得分极差是，乙的得极差是，故C正确； 对于D，甲的得分方差是， 乙的得方差是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 23．（2024·河南·三模）若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 【答案】 【分析】根据中位数和方差的关系求值. 【详解】因为数据的中位数为16，方差为64， 所以数据的中位数为4，方差为， 所以数据的中位数为，方差为4. 故答案为：3；4. 24．（2024·河北·三模）某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为 ． 【答案】10.2 【分析】先求平均数，再结合分层抽样的方差公式运算求解. 【详解】由题意可知：这25名学生体育成绩的平均数为， 所以这25名学生体育成绩的方差为. 故答案为：10.2. 25．（2024·上海·三模）某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为 ． 【答案】185 【分析】利用80百分位数的定义求解即得. 【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为. 故答案为：185 26．（2024·安徽·三模）从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数： 选手 选手1 选手2 选手3 选手4 选手5 选手6 选手7 选手8 个数 141 171 161 147 145 171 170 172 则跳绳个数的第60百分位数是 . 【答案】170 【分析】本题依据百分位数的概念，先把数据从小到大排好，然后计算其位置数，取整数5，即第5位数据即为所求. 【详解】先把8位选手跳绳个数的数据按从小到大排列：， 然后计算，取整数5， 故跳绳个数的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即170. 故答案为：170. 27．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    【答案】 【分析】利用频率分布折线图中的数据，结合求平均数的公式求解即可. 【详解】因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10， 结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为， 所以此次考试成绩的平均数大约为 故答案为：. 28．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用直方图直方块总面积为，进行运算解出即可. 【详解】由直方图可知：组距为， 所以， 解得. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·江西南昌·三模）我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数，若某个密码使用的符号对应的字节数分别为7，2，4，4，6，1，8，则这组数据的分位数为（    ） A．1 B．2 C．8 D．7 【答案】D 【分析】由百分位的定义计算即可得到答案. 【详解】由某个密码使用的符号对应的字节数从小到大排列后为1，2，4，4，6，7，8， 可得，所以这组数据的分位数为7． 故选：D． 2．（2024·河北保定·三模）若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为.已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用平均数和方差的定义结合条件求解即得. 【详解】解：易知新的一组数据的平均数为， 所以新数据的方差. 故选：D. 3．（2024·江西·三模）已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由方差公式即可运算求解. 【详解】由方差公式得，因此． 加入数据后，新数据的平均数为4，方差为． 故选：A． 4．（2024·陕西榆林·三模）在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（    ） A．中位数一定不变，方差可能变大 B．中位数可能改变，方差可能变大 C．中位数一定不变，方差可能变小 D．中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 5．（2024·山西太原·三模）数据的第25百分位数为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】将数据从小到大排列，利用百分位数的定义求出答案. 【详解】将8个数据从小到大排列，得到， ， 故选取第2个和第3个数的平均数作为第25百分位数，即. 故选：B 6．（2024·福建莆田·三模）已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的性质得到答案. 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 记数据的平均数为，方差为， 则， ， 由题意可得，. 故选：C 7．（2024·山西·三模）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】设参加射门比赛的男教师人数为，根据总体的平均数求出，设女教师进球数的方差为，根据方差公式计算可得. 【详解】设参加射门比赛的男教师人数为，则全部参赛教师进球数的平均数， 解得，即参赛的男女教师各有人， 设女教师进球数的方差为， 依题意可得，解得. 故选：B 8．（2024·浙江金华·三模）样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（    ） A．33 B．35 C．46 D．51 【答案】D 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】将12，46，38，11，51，24，33，35，55从小到大排列为11，12，24，33，35，38，46，51，55， ，故第80百分位数为第八个数51， 故选：D 9．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 【答案】C 【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得. 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10， 所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 10．（2024·天津·三模）按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；乙组：5，10，n，18，20，若这两组数据的第50百分位数、第80百分位数分别对应相等，则=（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【分析】分别求出两组数据的第50百分位数、第80百分位数，求出即可得解. 【详解】依题意，甲组数据的第50百分位数为14，乙组数据的第50百分位数为，则， 由，得甲组数据的第80百分位数为，乙组数据的第80百分位数为， 因此，解得，所以. 故选：C 11．（2024·江苏南通·三模）某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据题意分析可知：平均数为，中位数为2，列式求解即可. 【详解】由题意可知：这组数据的平均数为， 除外，将数据按升序排列可得， 结合的任意性可知中位数为2，则，解得. 故选：D. 12．（2024·安徽安庆·三模）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为.若数据，的平均数为，其中，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．的大小关系不确定 【答案】B 【分析】根据平均数的定义表示，结合已知列等式，作差比较即可. 【详解】由题意可知，， ，于是， 又，所以， 所以，两式相减得， 所以. 故选：B 13．（2024·四川眉山·三模）采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于，则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：    根据该折线图判断，下列结论正确的是（    ） A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 【答案】B 【分析】根据中位数定义判断A；利用扩张和收缩情况判断BC； 根据数据波动情况判断D. 【详解】根据图表可知，各月PMI的中位数小于，A错误； 2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确； 2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误. 故选：B 14．（2024·四川成都·三模）“数九”从每年“冬至”当天开始计算， 每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束， 天气就变得温暖起来. 如图， 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: )，下列说法正确的是（    ）    A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B．“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差 【答案】D 【分析】由图表数据分析可判断A，B；由方差的意义可判断C；由极差的计算公式分析D. 【详解】对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误； 对于B，“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 高”，故B错误； 对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温” 的波动大， 则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误； 对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为：， “多年平均气温”的极差为， 则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确. 故选：D. 15．（2024·四川成都·三模）已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若，均小于4，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意结合中位数的定义易求得. 【详解】因为均小于，所以由茎叶图可知，中位数为    ， 解得. 故选：C. 16．（2024·湖南邵阳·三模）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析求得以及，然后将正确数据代入，即可求得样本中心点，代入回归直线即可得到结果. 【详解】由题意可得，即修正前的样本中心点为， 假设甲输入的为， 则，则， 且，则， 则改为正确数据后，则，， 所以修正后的样本中心点为， 将点代入回归直线方程可得，解得. 故选：A. 17．（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 【答案】C 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 18．（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出. 【详解】由可得：， 由可得：， 由回归方程 必过样本中心点，即过点， 所以，解得， 故选：C. 19．（2024·四川凉山·三模）调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 20．（2024·广西桂林·三模）具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（，，2，…，5），其经验回归方程为，则（    ） A．40 B．32 C．8 D．12.8 【答案】A 【分析】由题意求出，将中心代入回归直线方程即可求解. 【详解】由题意得，， 因为点在回归直线上得， 所以． 故选：A 二、多选题 21．（2024·黑龙江·三模）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．极差是 【答案】BC 【分析】A选项，根据平均数定义计算出的平均数为；B选项，根据中位数的定义得到的中位数为；C选项，利用方差的定义得到C正确；D选项，利用极差的定义得到的极差为. 【详解】A选项，由题意得， 则， 则的平均数是，A错误； B选项，从小到大排列后为， 取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即， 由于，故从小到大排列为， 取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，B正确； C选项，由题意得， 则 ，故方差是，C正确； D选项，从小到大排列后为， 故， 其中从小到大排列后为， 则，故极差是，D错误. 故选：BC 22．（2024·浙江杭州·三模）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（    ） A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵 B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加 C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降 D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡 【答案】BCD 【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的. 【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积， 根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误； 对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确； 对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确； 对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少， 因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确, 故选：BCD. 23．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（    ） A．图中a的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人 C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为83分 【答案】AC 【分析】利用频率分布直方图逐项求解 【详解】对于A，由，解得，故A对； 对于B，低于70分的考生人数约为，故B错； 对于C，考生成绩的平均分约为 ，故C对； 对于D，成绩落在内频率为， 落在内频率为， 故考生成绩第80百分位数落在，设为m， 由，解得， 故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D错误； 故选：AC 24．（2024·全国·三模）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表： 班级 人数 平均分 方差 甲 45 88 1 乙 45 90 2 记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】代入公式计算即可. 【详解】依题意得，. 故选：BD. 25．（2024·河南新乡·三模）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（    ） A．这组新数据的平均数为3 B．这组新数据的平均数为6 C．这组新数据的方差为 D．这组新数据的方差为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出新数据组的平均数，再利用分层抽样的方差公式求出方差即得. 【详解】依题意，这组新数据的平均数为，方差为. 故选：BC 26．（2024·湖北黄石·三模）已知甲组数据为：1，1，3，3， 5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（    ） A．这两组数据的第80百分位数相等 B．这两组数据的极差相等 C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变 D．甲组数据比乙组数据分散 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数、极差、平均数、方差的意义依次判断ABCD即得. 【详解】对于A，由，得甲组数据的第80百分位数为7， 由，乙组数据的第80百分位数为8，A错误； 对于B，甲组数据与乙组数据的极差均为为8，B正确； 对于C，甲组数据去掉前后的均值分别为；乙组数据去掉前后的均值分别为5，5，C正确； 对于D，甲组数据的方差， 乙组数据的方差，显然， 因此乙组数据较分散，D错误. 故选：BC 27．（2024·辽宁·三模）甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（    ） A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同 C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小 【答案】BCD 【分析】由中位数，极差的概念即可判断AC，由平均数、方差计算公式可分别判断BD. 【详解】对于A，甲的得分中位数是5，乙的得分中位数是5，故A错误； 对于B，甲的得分平均数是，乙的得分平均数是，故B正确； 对于C，甲的得分极差是，乙的得极差是，故C正确； 对于D，甲的得分方差是， 乙的得方差是，故D正确. 故选：BCD. 28．（2024·山西晋中·三模）下列有关回归分析的结论中，正确的有（    ） A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变 B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强 C．若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则决定系数 D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 【答案】CD 【分析】对于A，若在回归方程上；对于B，C，由相关系数和相关指数的性质判断；对于D，由残差点分布的特征判断. 【详解】对于A，若去除的点恰好在原回归直线上，则去除该点后，回归方程不会发生改变，故A错误； 对于B，越接近于1，则之间的线性相关程度越强，故B错误； 对于C，若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，决定系数故C正确； 对于D，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故D正确． 故选：CD 29．（2024·浙江金华·三模）某班主任用下表分析高三前5次考试中本班级在年级中的成绩排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次考试排名，但他记得平均排名，于是分别用和得到了两个经验回归方程：，，对应的样本相关系数分别为，，排名y对应的方差分别为，，则（    ） x 1 2 3 4 5 y 10 m 6 n 2 附：，，． A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】当时，根据相关数据结合，可求得，进而利用可求，利用相关系数公式可求得，利用方差公式可求得，同理计算时，，，，，进而可得结论. 【详解】当时，，，解得， 则 ， ，得， ， ； 同理，当时，，，，， 所以，，，． 故选：AD． 30．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）下列说法正确的是（    ） A．数据的频率分布直方图的纵坐标为频率 B．已知样本数据的平均数为，则数据与原数据的极差､平均数都相同 C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强 D．已知关于的回归直线方程为，则样本点的残差为-1.9 【答案】BD 【分析】根据频率分布直方图的制图规则判断A；分别求出两组数据的平均数和极差可判断B；比较相关系数绝对值大小判断C；根据回归直线可求得估计值，再计算实际观测值与估计值的差可判断D 【详解】频率分布直方图的纵坐标为频率与组距的比值，故A错； 由题意得， 数据的平均数为， 所以数据与原数据的平均数相等， 设数据的最大数为a，最小值为b， 若，则，所以数据的极差为，且， 所以数据的极差也为， 数据与原数据的极差相等，故B对， 因为，所以A组数据比组数据的线性相关性弱，故C错； 当时，， 样本点的残差为，故D对； 故选：BD 三、填空题 31．（2024·河南·三模）若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为 ，方差为 . 【答案】 【分析】根据中位数和方差的关系求值. 【详解】因为数据的中位数为16，方差为64， 所以数据的中位数为4，方差为， 所以数据的中位数为，方差为4. 故答案为：3；4. 32．（2024·河北·三模）某校为调查高三年级的体育成绩情况，随机调查了高三一班10名学生，体育成绩平均分是90，方差是3；高三二班15名学生，体育成绩平均分是85，方差是5，则这25名学生体育成绩的方差为 ． 【答案】10.2 【分析】先求平均数，再结合分层抽样的方差公式运算求解. 【详解】由题意可知：这25名学生体育成绩的平均数为， 所以这25名学生体育成绩的方差为. 故答案为：10.2. 33．（2024·上海·三模）某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为 ． 【答案】185 【分析】利用80百分位数的定义求解即得. 【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为. 故答案为：185 34．（2024·安徽·三模）从安徽省体育局获悉：第四届长三角体育节将于4月至9月在安徽省宣城市举办.据介绍，本届体育节以“绿色､健康､融合､共享”为主题，共设置山水生态类､快乐时尚类､传统体育类共21项赛事.下表是4月8日安徽代表队传统跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数： 选手 选手1 选手2 选手3 选手4 选手5 选手6 选手7 选手8 个数 141 171 161 147 145 171 170 172 则跳绳个数的第60百分位数是 . 【答案】170 【分析】本题依据百分位数的概念，先把数据从小到大排好，然后计算其位置数，取整数5，即第5位数据即为所求. 【详解】先把8位选手跳绳个数的数据按从小到大排列：， 然后计算，取整数5， 故跳绳个数的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即170. 故答案为：170. 35．（2024·辽宁·三模）某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，将每个小矩形上方线段的中点连接起来，并将小矩形擦去，得到频率分布折线图（如图所示）．已知该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10，据此估计此次考试成绩的平均数是 ．    【答案】 【分析】利用频率分布折线图中的数据，结合求平均数的公式求解即可. 【详解】因为该同学绘制频率分布直方图时确定的极差为60，组距为10， 结合频率分布折线图可得各组的中点数据分别为， 所以此次考试成绩的平均数大约为 故答案为：. 36．（2024·河北石家庄·三模）为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用直方图直方块总面积为，进行运算解出即可. 【详解】由直方图可知：组距为， 所以， 解得. 故答案为：. 四、解答题 37．（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程； (3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润． 参考公式及数据； ，， ，，，， 【答案】(1)适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型 (2) (3)估计2024年的企业利润为93.3亿元 【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案； （2）利用最小二乘法求出即可得解； （3）令即可得解. 【详解】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型； （2）由题意得：，， ， ， 所以； （3）令，， 估计2024年的企业利润为99.25亿元． 38．（2024·河南郑州·三模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 (1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； (2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； (3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 【答案】(1) (2) (3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15% 【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数 ，即可得出答案； （2）由（1）知，接近1，即可说明线性相关关系极强；根据（1）中求出的数据，即可求出，，进而得到回归直线方程； （3）将代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 【详解】（1）由己知可得，， ， 由题可列下表： 0 1 2 1.3 0.4 ， ． （2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述． 由小问1知，， ， 所求经验回归方程为． （3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%． 39．（2024·四川眉山·三模）某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润（单位：亿元）与年份代码共5组数据（其中年份代码分别指2019年，2020年，年），并得到如下值：. (1)若用线性回归模型拟合变量与的相关关系，计算该样本相关系数，并判断变量与的相关程度（精确到0.01）； (2)求变量关于的线性回归方程，并求2024年利润的预报值. 附：①；②若，相关程度很强；，相关程度一般；，相关程度较弱；③一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；相关系数. 【答案】(1)，变量与的相关程度很强 (2)，78（亿元） 【分析】（1）根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由最小二乘法的计算公式代入计算即可得到，，从而得到线性回归方程. 【详解】（1）依题意，， ， 则， 则，故变量与的相关程度很强. （2）令变量与的线性回归方程为. ， 所以， 所以，变量关于的回归方程为. 2024年，即时，（亿元）. 所以，该公司2024年利润的预报值为78（亿元）. 40．（2024·山东聊城·三模）今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额（万元） 19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4 由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59. (1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差； (2)计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）； (3)该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润（单位：元）情况如下表： 2 4 6 400 600 800 已知成等比数列. 设该公司销售两台电视机所获得的利润为（单位：元），当的概率取得最大值时，求利润的分布列和数学期望. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.相关数据. 【答案】(1)日期每增加一天，销售额约增加万元，第4天的残差为 (2)，销售额和日期的相关程度较强 (3)分布列见解析，1200 【分析】（1）根据线性回归方程特点分析，再将代入回归方程计算，利用残差定义求解即可； （2）由相关系数的公式结合题中的数据计算，然后根据相关系数与1比较即可判断； （3）先根据等比中项性质得，，由题意可得的可能取值有，计算其对应的概率，利用基本不等式求得的概率取得最大值时，从而列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）根据线性回归方程，日期每增加一天，销售额约增加万元， 把代入回归直线方程，得， 因为，所以第4天的残差为； （2）由得， 比较接近于1，故销售额和日期的相关程度较强. （3）由成等比数列，得，且， 设其公比为，则，所以， 由题意可得的值分别为， 则，，， ，， 又，取得最大值的条件即， 此时， 故分布列为： 800 1000 1200 1400 1600 期望. 41．（2024·四川南充·三模）近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表. 月份 2023.11 2023.12 2024.01 2024.02 2024.03 月份编号x 1 2 3 4 5 利润（y万元） 27 23 20 17 13 (1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）； (2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率. 附：参考数据： 相关系数. 【答案】(1)，具有较强的线性相关关系 (2) 【分析】（1）计算相关系数中的量，代入相关系数公式，由计算结果得出结论； （2）列出基本事件空间，根据古典概型计算概率. 【详解】（1），， ， 又， 所以可以判断与具有较强的线性相关关系. （2）从5个月的利润中任选2个，不同的结果有: (27,23), (27,20), (27,17), (27,13), (23,20), (23,17), (23,13), (20,17), (20,13), (17,13), 共10个基本事件， 记“m，n均不小于20万元”为事件A，则事件A包含的基本事件为(27, 23), (27,20), (23,20),共3个基本事件. 所以，即事件“m, n均不小于20万元"的概率为. 42．（2024·四川攀枝花·三模）随着互联网的普及和数字化技术的发展，网络直播成为了一种新型的营销形式，因其更低的营销成本，更快捷的营销覆盖而深受商家青睐．某电商统计了最近5个月某商品的网络直播线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表所示． 售价（元/件） 53 49 51 50 47 月销售量（千件） 5 9 7 10 9 (1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）； (2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为52元/件时，该商品的线上月销售量为多少千件？ 参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 参考数据：． 【答案】(1)，可以 (2)6.6千件 【分析】（1）由表中数据易计算得到，再利用相关系数公式,等价转化为，从而代入已知数据可计算得到相关系数，然后通过题目中给的条件来判定相关性的强弱，来决定是否用线性回归模型拟合. （2）直接使用斜率和截距的最小二乘估计公式和，来进行计算求出线性回归方程，当时，代入线性回归方程，计算得出月销售量的估计值. 【详解】（1）由已知得． 则相关系数 ， 因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合． （2）由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 故当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为6.6千件． 43．（2024·四川泸州·三模）随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.某公司生产了A、两种不同型号的新能源汽车，为了解大众对生产的新能源汽车的接受程度，公司在某地区采用随机抽样的方式进行调查，对A、两种不同型号的新能源汽车进行综合评估（得分越高接受程度就越高），综合得分按照，，，分组，绘制成评估综合得分的频率分布直方图（如图）： (1)以综合得分的平均数为依据，判断A、两种不同型号的新能源汽车哪种型号更受大众喜欢； (2)为进一步了解该地区新能源汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销量（单位：万台）关于年份的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为，求与的相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销量与年份的相关性强弱. 参考公式：（ⅰ）线性回归方罡：，其中，； （ⅱ）相关系数（若，则相关性较弱：若，则相关性较强；若，则相关性很强）. 【答案】(1)A型号的新能源汽车更受大众喜欢 (2)该地区新能源汽车销量与年份的相关性很强 【分析】（1）根据频率分布直观图平均数公式求出，然后比较大小可得 （2）把相关系数公式变形为，代入计算并根据相关系数范围判断强弱 【详解】（1）设A、两种不同型号的新能源汽车的综合得分的平均数为， 由题可知，， ， 由于，所以A型号的新能源汽车更受大众喜欢； （2）相关系数， 所以， 该地区新能源汽车销量与年份的相关性很强 44．（2024·四川德阳·三模）某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 7 8 10 收益 20 30 34 37 他们分别用两种模型①，②进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值． 7 30 1470 370 (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型? (2)残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除． （i）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ii）若广告投入量x=19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01) 附：对于一组数据 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： . 【答案】(1)模型①； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）观察残差图，利用残差波动大小选择. （2）（i）利用给定数据，计算最小二乘法公式中相关量，求出回归直线方程；（ii）利用求得的回归方程进行数据估计. 【详解】（1）由于模型①残差波动小，应该选择模型①. （2）（i）剔除异常数据，即3月份的数据，剩下数据的平均数为， ，，， ，， ， 所以所选模型的回归方程为. （ii）若广告投入量， 则该模型收益的预报值是(万元). 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：（）， 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．甲班人数少于乙班人数 B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率 C．表中的值为15，的值为50 D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” 【答案】D 【分析】根据条件解出，，然后直接计算即可判断A，B，C错误，使用的计算公式计算，并将其与比较，即可得到D正确. 【详解】对于C，由条件知，，故，. 所以，，故C错误； 对于A，由于甲班人数为， 乙班人数为，故A错误； 对于B，由于甲班优秀率为，乙班优秀率为，故B错误； 对于D，由于，故D正确. 故选：D. 二、解答题 2．（2024·四川内江·三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 (1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； (2)若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)表格见解析，没有 【分析】（1）利用表中数据结合最小二乘法计算回归直线即可； （2）根据题意补全列联表即可，再由卡方公式及独立性检验的思想判定结果即可. 【详解】（1）由表格可知， ，，所以， 则； （2）根据数据补全表格如下： 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 40 50 90 女性观众 60 50 110 总计 100 100 200 所以， 故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关. 3．（2024·安徽·三模）某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同学对活动方案的评分（满分100分），所得评分统计如图所示. (1)以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在的人数为，求的数学期望和方差. (2)为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据的独立性检验，能否认为评分与性别有关？ 男生 女生 评分 30 35 评分 20 15 (3)若将（2）中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据的独立性检验，所得结论与（2）中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)； (2) 不能认为评分与性别有关； (3)不一致. 【分析】（1）由题意可得，即可得的数学期望和方差； （2）求出的值，即可判断； （3）将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，求出的值，即可得结论. 【详解】（1）解：由频率分布直方图可知评分在的频率为， 所以. 所以. （2）解：依题意， 故依据的独立性检验，不能认为评分与性别有关. （3）解：将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后， . 所以能认为评分与性别有关， 故所得结论与（2）中所得结论不一致. 4．（2024·甘肃酒泉·三模）为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为． (1)完成下面的列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 (2)根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ (3)从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见详解 (2)“阅读达标情况”与“性别”有关联 (3)分布列见详解， 【分析】（1）根据分析阅读达标与阅读不达标的人数，以及阅读达标的女生与男生的人数，进而可得列联表； （2）根据列联表计算，并与临界值对比分析，结合独立性检验分析说明； （3）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200， 阅读达标的女生与男生的人数比为， 据此可得列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 （2）零假设： “阅读达标情况”与“性别”没有关联， 由（1）可得：， 依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立， 所以“阅读达标情况”与“性别”有关联. （3）因为抽取5人中男、女生人数分别为， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为. 5．（2024·湖南永州·三模）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举.某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株.甲地土质含有元素，乙地土质不含有元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析.经统计，甲地成活45株，乙地成活40株. (1)根据所给数据，完成下面的列联表（单位：株），并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与元素含量有关联？ 列联表 类别 树苗成活情况 合计 成活 不成活 含元素 不含元素 合计 (2)从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为，求的分布列及方差 参考公式：， 参考数据：             0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析，该品种树苗成活与元素含量无关联 (2)的分布列见解析，方差为. 【分析】（1）题意可得列联表，进而计算可得，进而可得结论； （2）的可能取值为,求得分布列，进而可得数学期望与方差. 【详解】（1）依题意可得列联表如下：         类别 树苗成活情况 合计 成活 不成活 含元素 45 5 50 不含元素 40 10 50 合计 85 15 100 零假设为：该品种树苗成活与元素含量无关联. 根据列联表中的数据， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为该品种树苗成活与元素含量无关联. （2）由题意知，不成活的树苗共有株，甲地不成活的树苗有株，的可能取值为, 故，， ， 故的分布列为： 期望； 方差. 6．（2024·安徽·三模）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 (1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联； (2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)不能 (2)分布列见解析，3 【分析】（1）先得出，对照临界值表可得结论； （2）依题意，，得出对应概率，可得X的分布列以及数学期望. 【详解】（1）完善二联表如下： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计 初中生 160 40 200 高中生 140 60 200 总计 300 100 400 零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联， 则， 故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立， 因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联； （2）喜欢增加体育运动时间的人数有300人，故喜欢增加体育运动时间的概率为 依题意，， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 则. 7．（2024·贵州毕节·三模）2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 (1)完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值； (2)用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ，其中． 【答案】(1)列联表见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再由题意可得，即可求出； （2）由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解. 【详解】（1）列联表如下： 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 ， 因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关， 所以， 由题可知，n是10的倍数，所以n的最小值为； （2）由（1）可知，所以不关注的人数为， 用频率估计概率，所以不关注的概率为， X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以. 一、单选题 1．（2024·湖南邵阳·三模）邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法有（    ） A．144种 B．240种 C．288种 D．336种 【答案】C 【分析】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6，选一个年级相邻，分类讨论这个年级分别站在1，2号、2，3号、4，5号、5，6号和3，4号的情况，利用分类加法计数原理即可得解. 【详解】将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6， 当恰有一个年级站在1，2号， 则再选一个年级站在3，5号，另外一个年级站在4，6号即可， 且每个年级中的两人可以交换位置，从而有种站法； 当恰有一个年级站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样， 从而共有种站法； 当恰有一个年级站在3，4号，则从余下的两个年级中各任选一人站在1，2号即可， 从而有种站法． 综上可知，总站法有（种）． 故选：C． 2．（2024·河北保定·三模）某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对立事件思想解题即可. 【详解】该人不能欣赏到舞蹈“科目三”的概率， 则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率， 故选：B. 3．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 【答案】B 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 4．（2024·湖南永州·三模）为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（    ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】C 【分析】用插板法求得将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份的分法总数，再减去甲、乙两人分得的份数相同的分法总数，即可求解. 【详解】将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，每人至少分得一份，有种分法， 而甲、乙两人分得的份数相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4种分法， 所以每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为种. 故选：C 5．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 【答案】A 【分析】分有和没有两种情况讨论，选项出数字，再排列. 【详解】若这三个数字里没有，则共有个， 若这三个数字里有，则共有个，则共有个. 故选：A. 6．（2024·浙江杭州·三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可. 【详解】依据题意，分两种情况讨论， 情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻， 当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种， 当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种， 情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位， 若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种， 若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种， 易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种， 故符合题意的情况有种，故B正确. 故选：B. 7．（2024·河北·三模）小李买了新手机后下载了4个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且和放在同一排，则不同的排列方式有（    ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【答案】D 【分析】分两种情况，①和单独放一排，②和与或其中的一个放一排，再结合排列组合知识求解． 【详解】分两种情况讨论： ①和单独放一排，有种排列方式， ②和与或其中的一个放一排，有种排列方式， 所以不同的排列方式有种． 故选：D． 8．（2024·黑龙江·三模）现有红色､黄色､蓝色的小球各4个，从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，则不同取法有（   ） A．160种 B．208种 C．256种 D．472种 【答案】B 【分析】利用分类分步计数原理求解，或用总的取法减去对立事件的取法. 【详解】解法1： 若取出的3个球颜色各不相同，不同的取法有种；若取出的2个球颜色不同，可能出现的取法有红1黄2，红1蓝2，红2黄1，红2蓝1，黄1蓝2，黄2蓝1， 即，故不同取法有种. 解法2： 从中任取3个球共有种取法，3个球颜色全相同共有种取法， 则颜色不全相同的取法有种. 故选：B. 9．（2024·福建厦门·三模）某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 【答案】B 【分析】分只有同学甲去A公司及除同学甲外还有一名同学去A公司进行讨论，结合排列数与组合数的计算即可得. 【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能， 若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能， 故共有种可能. 故选：B. 10．（2024·河北秦皇岛·三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】B 【分析】根据参加晚会的人数分类讨论，利用排列组合数求解即可. 【详解】第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法； 第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法. 故选：B 11．（2024·宁夏银川·三模）现将包含甲、乙在内的5名老师全都安排到3个不同的班级，每个班级必须至少有1名老师，且甲、乙必须去同一个班级，则不同的选派方案共有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】C 【分析】首先根据条件分组，然后再求解分配方法种数即可. 【详解】先将人分成组，有和两种分法， 若按分组，则甲、乙还需一人，此时分组方法有种， 若按分组，则只需将除甲、乙以外的人分成组，此时分组方法有种， 所以不同的选派方案共有种. 故选：C. 12．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】先排第一及最后一个节目，再排歌唱节目，最后用插空法计算即可得. 【详解】先从3个不同的舞蹈节目选出2个分别安排在第一及最后一个，有种， 再将3个不同的歌唱节目排成一列，有种， 3个不同的歌唱节目中间有2个空，从中选1个安排最后一个节目，有种， 故共有. 故选：B. 13．（2024·安徽·三模）2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区､崧泽文化区､良渚文化区､钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长､谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲､乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲､乙两人安排在相同区域的方法种数为（    ） A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】C 【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域， 【详解】先将6名同学分成4组，则4个组的人数为或， 当甲､乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有种分组方法； 当甲､乙在3人组，甲､乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有种分组方法， 再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为. 故选：C. 14．（2024·浙江金华·三模）在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【分析】间接法，先求出小生和老生不相邻的情况，再减去老旦排在最右边的情况，即可得解. 【详解】首先按照小生和老生不相邻的要求共有种排法， 其中老旦排在最右边情况，左侧4个位置，先排花旦、正旦有， 由此所成的3个空中将小生、老生插入有， 所以排法有种， 所以满足题意的不同排法总数是. 故选：C 15．（2024·四川眉山·三模）四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助排列数、组合数求出符合要求的情况种数及所有可能情况种数即可得. 【详解】. 故选：C. 16．（2024·四川南充·三模）某大学开学时选择选修课程，甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程，每门选修课程至少有一人选择，甲、乙都不选音乐鉴赏，但能选择其他三门选修课程，丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程，则不同的选择方法有（    ）种． A．324 B．234 C．216 D．126 【答案】D 【分析】根据题意，按甲乙是否选择同一门课程分2种情况讨论，由加法原理计算可得结果. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙选择同一门课程，有种选法， ②甲乙不选择同一门课程，有种选法， 则不同选法总数为种. 故选：D. 二、填空题 17．（2024·山西·三模）清明小长假期间，某学校打算安排甲、乙、丙等6位教师值班.从4月4日至4月6日每天的上、下午各需要安排一名教师到学校值班，每位教师只安排半天值班.已知甲只能值上午班，乙、丙二人只能值下午班，其他三人上下午均可值班，则不同的值班安排方式共有 种(请用数字作答). 【答案】108 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解. 【详解】从三个上午班中选择一个安排甲，再从下午的三个班中选择两个安排乙丙，剩余三个人安排在剩余的班位上，故一共有, 故答案为：108 18．（2024·山东聊城·三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种. 【答案】15 【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可. 【详解】不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论： 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 综上，不同的分法共有种. 故答案为：15 19．（2024·浙江·三模）甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 种. (用数字作答) 【答案】180 【分析】采用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】易知甲有6种站法，则乙有5种站法，丙有6种站法，总共有种. 故答案为：180 20．（2024·全国·三模）在龙年元宵节的一项无人机飞行表演中，将7架不同的“焰火”无人机和架不同的“灯光”无人机排成一列.已知每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻，设这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为p，要使得，则n的最小值为 . 【答案】4047 【分析】先求出这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为，解不等式即可. 【详解】方法一：从排列的角度看问题.每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火"无人机相邻有四种情况， 情况1：7架“焰火”无人机排在一起，此时有种方法， 情况2：，组成方式为〇〇，〇〇〇〇〇，此时有种方法， 情况3：，组成方式为〇〇〇，〇〇〇〇，此时有种方法. 情况4：.组成方式为〇〇，〇〇，〇〇〇， 此时有种方法. 所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为， 所以. 因为，所以n的最小值为4047. 方法二：我们可以不考虑“灯光”无人机的排法，同时也不考虑“焰火”无人机之间的相对位置，只需将对应的“焰火”无人机放入“灯光”无人机形成的空位中即可. 对7架“焰火”无人机排法进行分类， ①7架在一起，有种排法； ②，由插空法知有，种排法； ③，由插空法知有种排法； ④.由插空法知有种排法； 所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为.所以. 因为，所以n的最小值为4047. 故答案为：4047 【点睛】关键点点睛：排列组合中有关不相邻的计算，一般可以用插空法，计数时注意分类讨论. 21．（2024·陕西铜川·三模）有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有 种. 【答案】240 【分析】先从5名学生中选2人组成一组，再将4组学生分配到4个景点. 【详解】先从5名学生中选2人组成一组，有种方法， 然后将4组学生分配到4个景点，有种方法， 由分步计数原理知共有种不同的游玩方式. 故答案为：240. 22．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种. 【答案】 【分析】根据题意，分甲或乙参加A活动和甲和乙都不参加A活动，两种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·江西·三模）的展开式中，的系数为（    ） A．96 B．144 C．180 D．216 【答案】D 【分析】由二项式展开式的通项公式，就可求出指定项的系数. 【详解】．当时，, 故选:D． 2．（2024·北京·三模）已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（    ） A． B．240 C．60 D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】由题意可知：二项式系数之和为，可得， 其展开式的通项为， 令，解得， 所以其展开式的常数项为. 故选：B. 3．（2024·山东济南·三模）展开式中的系数为（    ） A． B．5 C．15 D．35 【答案】A 【分析】由分类、分步计数原理结合组合数即可运算求解. 【详解】若要产生这一项，则 当在中取1时，再在中取2个、取4个1， 当在中取时，再在中取3个、取3个1， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 4．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解. 【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误. 故选：D 5．（2024·四川凉山·三模）在二项式的展开式中，的系数是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】D 【分析】写出二项展开式的通项，令字母的指数为1，即可求出该项，从而求得系数即可. 【详解】展开式的通项为， 由题令，得， 所以， 故选：D. 6．（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 7．（2024·河南·三模）在的展开式中，第8项的系数为（    ） A． B．144 C．18 D． 【答案】A 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 则. 故选：A. 8．（2024·浙江温州·三模）已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与有关 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质知，，再用组合数的定义验证. 【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项. 即，， 所以，从而. 故选：A. 9．（2024·辽宁沈阳·三模）已知二项式的展开式中的系数是280，则实数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得展开式的通项，确定的值，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，解得，所以，解得. 故选：C. 10．（2024·山东济宁·三模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．120 D．160 【答案】A 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得. 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，所以的展开式中的系数为. 故选：A 11．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 12．（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（    ） A．168 B． C．1512 D． 【答案】D 【分析】利用多项式展开性质及组合数的应用求解即可. 【详解】原问题可以理解为8个相乘，要想得到，需要8个因式中有2个取项，1个取项， 还剩5个取常数项，由题意的系数为：. 故选：D 13．（2024·广西桂林·三模）若，则（    ） A．18 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】利用二项展开式的通项分别求出和的展开式中的项，进而求得的值. 【详解】由题意可知， 展开式的通项，令，则， 所以展开式中系数为； 展开式的通项，令，则， 所以展开式中系数为； 所以. 故选：C． 14．（2024·山东聊城·三模）设正项数列的前项和满足表示从个不同元素中任取个元素的组合数，则（    ） A．512 B．1024 C．5120 D．10240 【答案】C 【分析】根据，利用数列通项和前n项和的关系求解得，结合组合数性质及二项式系数和性质即可求解. 【详解】由，当时，，解得， 当时，，则， 整理， 又数列为正项数列，则，所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 因为， 所以. 故选：C 15．（2024·福建漳州·三模）二项式展开式中，项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的展开式的通项，再求出展开式中项系数即可． 【详解】根据题意，二项式的展开式的通项， 其中项为，， 所以的展开式中项的系数为． 故选：D． 16．（2024·湖南永州·三模）的展开式中第四项的系数为540，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式的通项公式可得，求得，再根据余弦的二倍角公式，结合齐次弦化切即可求解. 【详解】因为的展开式中第四项为， 所以，解得， 所以. 故选：C 17．（2024·贵州遵义·三模）的展开式中的系数为（    ） A．8 B．12 C．10 D．15 【答案】A 【分析】将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，分别考虑它们的展开式中的系数即得. 【详解】因， 的通项公式为， 当时，，则得的展开式中的系数为； 当时，，则得的展开式中的系数为. 故的展开式中的系数为. 故选：A. 二、多选题 18．（2024·辽宁·三模）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．第三项系数为270 B．的系数为90 C．二项式系数和为 D．系数和为 【答案】ACD 【分析】求出二项式展开式的通项公式， 第三项的系数判断A，求含项的系数判断B，根据二项式系数的性质判断C，求系数和判断D. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 对于A，展开式中第项的系数为，A正确； 对于B，令，可得，故展开式中含的项为第四项，该项的系数为，B错误； 对于C，的展开式的二项式系数和为，C正确， 对于D，二项式的展开式的系数和为，D正确； 故选：ACD. 19．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（    ） A．所有奇数项的二项式系数的和为128 B．二项式系数最大的项为第5项 C．有理项共有两项 D．所有项的系数的和为 【答案】AB 【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D. 【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确； 对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确； 对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误； 对于D,令，则所有项系数和为，故D错误. 故选：AB. 20．（2024·山西·三模）已知函数，则（    ） A． B．展开式中，二项式系数的最大值为 C． D．的个位数字是1 【答案】BD 【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解. 【详解】对于选项A：的展开式的通项为， 令，可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确； 对于选项C：令，可得； 令，可得； 所以，故C错误； 对于选项D：因为， 且的展开式的通项为， 可知当，均为20的倍数，即个位数为0， 当时，，所以的个位数字是1，故D正确； 故选：BD. 21．（2024·湖南岳阳·三模）下列结论正确的是（    ） A．，则 B． C．的展开式的第6项的系数是 D．的展开式中的系数为 【答案】BD 【分析】根据组合数的性质，解不等式判断A，利用组合数的性质证明结论判断B，根据二项式展开式的通项公式求第6项，确定其系数，判断C，结合二项式展开式的通项公式及组合数性质求展开式中的系数，判断D. 【详解】对于A，因为，由组合数性质可得或，A错误， 对于B，， 所以，B正确， 对于C，展开式的第6项为，所以第6项的系数是，C错误， 对于D，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为 ，D正确， 故选：BD. 三、填空题 22．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 . 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 23．（2024·重庆·三模）已知，则 . 【答案】242 【分析】利用二项展开式中系数的特点得到，从而利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 所以， 对上式，令，得， 令，得， 故. 故答案为：242. 24．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】160 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以展开式中的项为， 所以的系数为． 故答案为： 25．（2024·福建福州·三模）的展开式中常数项为 ． 【答案】49 【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令次数为0即为常数项． 【详解】展开式的通项公式为 ，， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 26．（2024·甘肃酒泉·三模）若的展开式中的系数与的系数之和为 ． 【答案】30 【分析】根据二项式定理可得展开式通项，根据通项求相应项的系数，即可得结果. 【详解】因为的展开式通项为， 令，解得，可得的系数为； 令，解得，可得的系数为； 所以的系数与的系数之和为. 故答案为：30. 27．（2024·安徽·三模）的展开式中的系数为 . 【答案】-30 【分析】利用乘方的几何意义和二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：因为是由5个相乘得到， 使用要想产生，则出1个，出2个，y出2个， 故所求系数为. 故答案为：-30 28．（2024·河南·三模）的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】6 【分析】因式分解得，分别由和通项相乘得，根据可得. 【详解】， 的展开式通项为，的展开式通项为， ， 令，得， 所以的系数为． 故答案为：6 29．（2024·广东广州·三模）在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为 ． 【答案】 【分析】令，即可表示出二项式系数之和求出，然后利用通项公式直接求解即可. 【详解】由题知，令，则原式为， 因为各项系数的和为，所以，则， 则原式为， 因为通项为， 所以的系数为. 故答案为： 30．（2024·宁夏银川·三模）的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式定理求出展开项的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 所以的通项公式可以看为两项分别为，， 即，当时，， ，当时，， 故的展开式中的系数为：. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·重庆·三模）故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，符合题意的“吉数”的组合有：，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】由题意知，从5个阳数中和4个阴数中各取一个数组成的“吉数”的组合有：， 所以取到的两位数为“吉数”的概率为. 故选：A 2．（2024·贵州毕节·三模）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案. 【详解】设为“第次按对密码”（）， 则事件 “不超过2次就按对”可表示为， 记“密码的最后一位数字是奇数”为事件， 由条件概率的性质可得. .故选：C. 3．（2024·内蒙古·三模）三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举基本事件空间，可得概率. 【详解】设三人为，，，则参加晚会的情况有，，，，，，，共种情况， 其中恰有一人参加晚会的情况有种， 故所求的概率为， 故选：B. 4．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 5．（2024·河南·三模）某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分第三行选择猴、第三行不选择猴两类计算可得答案. 【详解】若第三行选择猴，则前两行至少要选1个六畜中的生肖， 则有种选法； 若第三行不选择猴，则有种选法， 故所求概率为. 故选：C. 6．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分抛掷次数为及抛掷次数为，利用列举法及概率乘法公式计算即可得. 【详解】抛掷次数为的概率为，点数可能为或， 抛掷次数为的概率为， 此时基本事件有、、、、、、、共八种， 其中点数之和至少为4的情况有、、、、共五种， 故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为. 故选：A. 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A．0.85 B．0.7 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】根据给定条件，对立事件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概率为0.5， 因此面试失败的概率为， 所以该同学通过面试的概率为. 故选：A 8．（2024·福建厦门·三模）设A，B为随机事件，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可判断AB；取特例可判断C；由，可判断D. 【详解】对于A，由可知A，B为互斥事件，概率不一定相等，A错误； 对于B，由可知A，B相互独立，与概率大小无关，B错误； 对于C，抛掷一颗骰子，记掷出点数为事件A，掷出点数为事件B， 则事件表示掷出点数为，为不可能事件， 所以，，， 显然，由推不出，C错误； 对于D，， ， 若，则， 即，反之亦然， 故的充要条件是，D正确. 故选：D 9．（2024·河南·三模）有以下6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥.记事件：从中任取1个函数是奇函数；事件：从中任取1个函数是偶函数，事件的对立事件分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可. 【详解】对于①：，则，解得， 所以，故为偶函数且为奇函数； 对于②为奇函数；对于③为奇函数；对于④为偶函数； 对于⑤：定义域为，为非奇非偶函数； 对于⑥为非奇非偶函数； 则事件为：①，②，③；事件为：④，⑤，⑥； 事件为：①，④；事件为：②，③，⑤，⑥； 事件为：①，②，③，④；为：⑤，⑥； 所以，，，， ，， 所以，，故A、C错误； 又为：①；所以为：②，③，④，⑤，⑥，所以， 则，故B错误； 又，，所以，故D正确. 故选：D 10．（2024·陕西渭南·三模）已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，有放回的随机取两球，所以， 因为事件“，中有偶数且”， 所以， 因为事件“为偶数”， 事件“，中有偶数且”， 所以事件“，均为偶数且”， 所以， 所以. 故选：. 11．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 12．（2024·四川凉山·三模）凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球，60%的同学爱好乒乓球，70%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在凉山地区的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】由题设出事件，设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，根据已知条件求出，再利用条件概率公式求出即可. 【详解】设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，则由题：， 所以， 随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球为， 故选：C. 13．（2024·江西景德镇·三模）六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排列应用问题、及组合计数求出基本事件数，再利用古典概率计算即得. 【详解】不妨假设六位爸爸已经站好了位置，不同站位方法数为， 小孩找到各自的爸爸，则其为定序问题，不同站位方法数为 所以不需要插队的概率. 故选：B 14．（2024·安徽·三模）托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（    ） A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】本题利用题目信息给出的贝叶斯公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”， 由题意可知： ，， 故. 故选：C. 15．（2024·甘肃酒泉·三模）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（    ） A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945 【答案】B 【分析】根据概率与条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件表示为“任选一件零件为甲车床生产的”， 事件表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件表示为“任选一件零件为正品”， 则，，，， 所以. 故选：B. 16．（2024·四川内江·三模）文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用缩小样本空间的方法计算条件概率即可. 【详解】由题意可知甲乙随机选择路口有种方法， 而甲乙都不选A路口的可能有种，即事件M的样本点有7个， 而在甲乙至少一人选择A路口的前提下，两人选择的路口不同有种情况， 所以. 故选：B 17．（2024·宁夏石嘴山·三模）寒假期间，甲、乙、丙、丁名同学相约到4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式可知，然后根据古典概型分别求解代入计算即可. 【详解】由题意得：，， 所以, 故选：C. 二、多选题 18．（2024·贵州遵义·三模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品， 故有，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 19．（2024·云南昆明·三模）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（    ） A． B．A与相互独立 C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，根据互斥得到，；B选项，根据求出，故，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据求出D正确. 【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确； B选项，， 即，故， 故，A与相互独立，B正确； C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误； D选项， ， 因为，故，D正确. 故选：ABD 20．（2024·江西宜春·三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（    ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 【答案】BC 【分析】对于A，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于C，计算出，根据可以判定两个事件是否相互独立；对于D，由前面可知，即可判断是否相等. 【详解】由题意，得，，， 对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误； 对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确； 对于D，由上知，，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 21．（2024·山东济宁·三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 . 【答案】/0.5 【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和， 显然事件与互斥，，， 所以. 故答案为： 22．（2024·湖北荆州·三模）天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 （结果用既约分数表示） 【答案】 【分析】利用条件概率的公式可求答案. 【详解】记事件“抽取学生是勤生”， 事件“抽取学生是懒生”， 事件“抽取学生流下了悔恨的泪水”， 则依题意有，， ; 同理，， 故, . 故答案为： 23．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 【答案】 /0.375 【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可. 【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则； 若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为； 若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个， 若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为； 若抽奖人更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率. 24．（2024·重庆·三模）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则 ． 【答案】 【分析】根据和事件的概率公式求出，再由条件概率公式求解即可. 【详解】由， 解得， 所以， 故答案为： 25．（2024·陕西榆林·三模）在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为.则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为 . 【答案】 【分析】利用条件概率公式直接求解即可. 【详解】若在4次独立重复试验中，试验每次成功的概率为， 则在至少成功1次的条件下，4次试验全部成功的概率为， 由条件概率公式得. 故答案为：. 26．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可. 【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件， 则，， 所以， 故答案为：． 27．（2024·辽宁·三模）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则 . . 【答案】 / 【分析】先求出他手中3张单张卡片含有张相同卡片的概率，进而得出和间的递推关系，用累乘方法求解即可. 【详解】张卡片选取张卡片的选法共有：种， 事件“手中这张单张卡片中含有张相同卡片”的选法共有：种； 由古典概型的计算公式可得其概率为：， 若书包中张卡片全部被拿走的概率为， 将这两张相同的卡片拿掉以后，相当于从对相同的卡片中已拿出一张卡， 事件“书包中张卡片全部被拿走”发生需保证事件“书包中卡片全部被拿走”发生， 且书包中卡片全部被拿走概率为， 因而，且， 则， ， 故答案是：（或），. 【点睛】思路点睛：本题主要考查递推数列与概率知识的交汇问题，解决该类问题应该注意的事项有： （1）做好互斥事件的划分，正确进行独立事件概率的计算； （2）借助待定系数方法建立不同事件概率间的递推关系，即构建递推数列； （3）正确运用数列求通项公式或求和的方法解决问题. 一、单选题 1．（2024·山东济宁·三模）若随机变量，随机变量，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果. 【详解】由可知：， 又因为，所以， ， 则， 故选：B. 2．（2024·湖北荆州·三模）上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，求得学生得分在的概率，再根据二项分布方差的计算方法求解即可. 【详解】由正态分布知，学生得分在的概率为， 抽取个学生得分在的人数服从二项分布， . 故选：. 3．（2024·辽宁·三模）在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（    ） A．21 B．6.6 C．3.6 D．4.8 【答案】C 【分析】由二项分布的方差公式求出，再根据求出结果即可. 【详解】由题意可知，随机变量服从二项分布，即， 则， 又， 则， 故选：C. 4．（2024·江西宜春·三模）下列说法不正确的是（    ） A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5 B．一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是 C．若随机变量，则方差 D．若随机变量，且，则 【答案】C 【分析】对于A，先把数据从小到大排列，利用百分位定义计算即可；对于B，根据中位数的定义讨论即可；对于C，根据二项分布的方差公式计算即可；对于D，根据正态分布的对称性求解. 【详解】对于A，该组数据共8个，且，所以25％分位数为从小到大排列后第2个数和第3个数的平均数，即为，故A正确； 对于B，若，则这组数据由小到大排列依次为2，3，5，，7或2，3，5，7，，中位数为5，不合题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为2，3，，5，7，中位数为，不合题意； 若，则这组数据由小到大排列依次为2，，3，5，7或，2，3，5，7，中位数为3，故实数的取值范围是，故B正确； 对于C，若随机变量，则，所以，故C错误； 对于D，若随机变量，且，则，故D正确． 故选：C． 二、多选题 5．（2024·山东聊城·三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（    ） A． B． C． D．随的增大先增大后减小 【答案】CD 【分析】根据二项分布的方差性质判断A，根据二项分布的期望公式及方差结合正态分布的期望与方差判断B，根据二项分布概率公式和正态分布的性质求概率判断C，根据二项分布的概率公式单调性判断D. 【详解】由题意，则， 所以，故选项A错误； ，则，设当时概率最大， 则有，即， 解得，由，所以当时概率最大， 则， 即随的增大先增大后减小，故D选项正确； 又，则，， 所以，故选项B错误； ， 又，所以，故选项C正确. 故选：CD 6．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项. 【详解】对于A，易知，故A正确； 对于D，易知，故D正确； 对于B、C，易知可取，则, ，所以， ，故B正确；C错误； 故选：ABD 三、填空题 7．（2024·江苏南通·三模）已知随机变量．若，则 ，若，则的方差为 ． 【答案】 0.4/ 64 【分析】由题意可知：，根据方差的性质可得；根据正态分布的对称性可得. 【详解】由题意可知：，即，所以； 因为，且， 所以. 故答案为：0.4；64. 四、解答题 8．（2024·山西·三模）袋中装有大小、形状、材质完全相同的n个小球，其中有个红球. (1)若，现从袋中随机摸出2个小球，其中红球的个数为随机变量，求的方差 (2)从袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一个小球，其中摸到红球的次数为随机变量，若的期望，方差，求; (3)若，现从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球，记录颜色后将摸出的小球放回袋中.以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，若，求红球占比估计值的误差不超过的概率. 参考数据: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0282 0.0121 0.0052 0.0022 0.0010 0.0004 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 【答案】(1) (2)15 (3)0.708 【分析】（1）根据题意服从超几何分布，先计算概率，再计算期望代入方差公式即可. （2）有放回的摸球，所以服从二项分布，利用期望，方差公式联立求出. （3）有放回的摸球，每次摸一个球，摸10次，红球出现的次数是服从二项分布的，想利用摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，当红球有30个时，红球实际的比例为如果红球占比估计值的误差不超过，，则只能取2、3或4.，又因为红球出现的次数是服从二项分布的，所以概率利用二项分布的计算可得. 【详解】（1）X的取值有0，1，2.且服从超几何分布.因此,,; 分布列如下： X 0 1 2 P . . （2）因为有放回地摸取1个小球次，每次摸到红球的概率是，所以 ，，，即， 所以. （3）设从袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1个小球中红球出现次， 所以摸出红球的频率为，当，红球所占比例为，如果以摸出红球的频率估计袋中红球所占比例，且误差不超过，因此：，即只能取2、3或4.所以红球占比估计值的误差不超过的概率：. 9．（2024·湖南邵阳·三模）古楼雪峰茶，产于洞口县古楼，1991年被评为湖南省名茶.其中雪峰茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某雪峰茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为，，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至多有两道工序合格的概率为.三道工序加工都合格的雪峰茶为特级雪峰茶，恰有两道工序加工合格的雪峰茶为一级雪峰茶，恰有一道工序加工合格的雪峰茶为二级雪峰茶，其余的为不合格雪峰茶. (1)在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率； (2)每盒雪峰茶原材料及制作成本为20元，其中特级雪峰茶、一级雪峰茶、二级雪峰茶的出厂价分别为100元，70元，50元，而不合格雪峰茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒雪峰茶的利润为元，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)随机变量的分布列为： 故随机变量的数学期望为. 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式求解即得. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）因为三道工序至多有两道工序合格的概率为， 所以三道工序都合格的概率为， 即，解得. 记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件， 这三道工序加工中恰有两道工序合格记为事件， 则, ， 所以. 所以在雪峰茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为. （2）由题意可知随机变量的所有可能取值为, ， ， ， ， 则随机变量的分布列为： 故随机变量的数学期望为. 10．（2024·河北保定·三模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. (1)当时，求； (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值. 【答案】(1) (2)157 【分析】（1）根据二项分布的概率公式计算； （2）运用二项分布公式算出和，再根据题意求出中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解. 【详解】（1）由已知， 所以； （2）由已知，所以，， 若，则，即， 即， 由切比雪夫不等式， 要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，则， 解得，所以估计信号发射次数n的最小值为157. 11．（2024·重庆·三模）重庆一中被评为“全国最美校园书屋”，学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议，重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. (1)设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为，求的分布列与数学期望； (2)若小张同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)小张同学第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析 【分析】（1）由已知可得到相应的概率和条件概率，再逆用条件概率公式求解分布列，最后用数学期望的定义可以求出期望； （2）利用条件概率公式，比较此条件下两个事件的发生概率即可. 【详解】（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，则表示第次借阅“文献书籍”，. 则；，. 依题意，随机变量的可能取值为0，1，2. ； ； . 随机变量的分布列 X 0 1 2 P 所以. （2）在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下： 第一次借阅“期刊杂志”的条件概率； 第一次借阅“文献书籍”的条件概率. 而，所以在小张第二次借阅“文献书籍”的条件下，他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对条件概率公式的运用. 12．（2024·宁夏石嘴山·三模）2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 某电信公司为了解当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为. (1)根据题中信息完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？ (2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费充值卡的总金额数为元，求的数学期望. 优秀奖 非优秀奖 合计 男 女 合计 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析；有的把握 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算得出男市民获奖人数，再计算女市民获奖人数，直接作出列联表，根据卡方公式及独立性检验思想得出结果即可； （2）根据二项分布的期望公式计算即可. 【详解】（1），，， 故男市民中得优秀奖的人数为，女市民中得优秀奖的人数为， 可得如下列联表： 优秀奖 非优秀奖 合计 男 25 75 100 女 5 95 100 合计 30 170 200 故， 故有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关. （2）由上可知：获奖的概率，令为获得优秀奖的市民人数， 则，有， 易知元. 13．（2024·江西·三模）某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过100元，则可以抽奖一次，奖池中有8张数字卡片，其中两张卡片数字为1，两张卡片数字为2，两张卡片数字为3，两张卡片数字为4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为1的卡片，则可获得10元的奖励，抽到两张数字为1的卡片，则可获得20元的奖励，抽到其他卡片没有奖．小华购物金额为120元，有一次抽奖机会. (1)求小华抽到两张数字不同的卡片的概率； (2)记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率计算公式以及组合数计算即可得解； （2）由古典概型概率计算公式以及组合数计算即可得对应概率，进一步可得分布列以及数学期望. 【详解】（1）由题可得：小华抽到两张数字不同的卡片的概率为：． （2）由题可知的取值为：0，10，20， 故的分布列为： 0 10 20 ，故. 14．（2024·河南·三模）已知函数随机变量，随机变量，的期望为. (1)当时，求； (2)当时，求的表达式. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，根据分段函数的性质代入求解，即可由期望公式求解， （2）根据期望公式可得面，结合二项分布的期望公式，即可化简求解. 【详解】（1）当时，的可能取值为. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故. （2）当时，的可能取值为. 当时，； 当时，；当时，. 因为， 所以. 又因为， 所以， 所以. 15．（2024·陕西榆林·三模）“直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲､乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲､乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图： (1)根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？ (2)将样本数据的频率视为概率，现在甲､乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲､乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率； (3)综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关 (2) (3)应进行检验，理由见解析 【分析】（1）列列联表，由表中数据计算卡方，即可判断； （2）利用独立事件乘法公式计算甲、乙展示的商品均为一等品的概率及只有一轮展示的商品为一等品的概率，进而利用互斥事件概率加法公式求解即可； （3）设每箱30个商品中的三等品个数为，由题意知，利用二项分布期望公式求解，然后根据数学期望的定义及性质分别求解进行检验和不进行检验的数学期望，比较大小即可得出结论. 【详解】（1）由题意得列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲 70 30 100 乙 60 40 100 合计 130 70 200 ， 所以没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关. （2）两轮中，甲展示的商品均为一等品的概率为， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为； 两轮中，乙展示的商品均为一等品的概率为， 只有一轮展示的商品为一等品的概率为. 则两轮活动中恰有三个一等品的概率为：. （3）由已知，每个零件为三等品的概率为， 设每箱30个商品中的三等品个数为，则，所以. 若不进行检验，则450元. 若进行检验，则总检验费用的期望值为元. 因为，所以应进行检验. 16．（2024·河南·三模）甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失败一方积0分．已知每场单打比赛甲班获胜的概率为，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立． (1)求进行双打比赛的概率； (2)设随机变量为比赛场次，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可求解； （2）的可能取值为3，4，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）设进行双打比赛为事件A，甲班前3场获胜2场为事件，乙班前3场获胜2场为事件， 所以， 所以， 所以． 所以进行双打比赛的概率为； （2）的可能取值为3，4， ，由（1）可知，， 的分布列为： 3 4 ，所以的数学期望为． 17．（2024·浙江·三模）为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步20 分钟”和“跳绳20 分钟” 中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天他跑步的概率为，跳绳的概率为. 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为. 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能量卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.  记寒假第天不下雪的概率为 . (1)求的值，并求; (2)设小王寒假第天通过运动消耗的能量为，求的数学期望. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意得到，且得到，利用构造法得到为等比数列，从而求出通项公式； （2）求出，及对应的概率，得到的数学期望. 【详解】（1）由题意得， 第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪， 故， 依题意， 整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 即 ，所以； （2）， 由（1）得， 则他第天通过运动锻炼消耗的能量的期望为 . 18．（2024·北京·三模）某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个. 表①：表示加工一个口罩的利润. 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2 1 0.5 (1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率； (2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值. 【答案】(1)0.3 (2)分布列见详解；元 (3)（答案不唯一，满足即可） 【分析】（1）根据可得A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解； （2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望； （3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，由题意可知：Y的可能取值为，求相应的概率，进而可得期望，令运算求解即可. 【详解】（1）设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为， 用频率估计概率可得：， 记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件， 所以. （2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有： ， ， 所以X的分布列为 X 2 1 0.5 P 0.3 0.5 0.2 X的期望（元）. （3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为， 设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为， 由题意可知：Y的可能取值为，则有： ， ， ， 所以Y的期望（元）， 令，即，解得， 例如符合题意. 19．（2024·河南·三模）多年统计数据表明如果甲､乙两位选手在决赛中相遇，甲每局比赛获胜的概率为，乙每局比赛获胜的概率为.本次世界大赛，这两位选手又在决赛中相遇.赛制为五局三胜制（最先获得三局胜利者获得冠军）. (1)现在比赛正在进行，而且乙暂时以领先，求甲最终获得冠军的概率； (2)若本次决赛最终甲以的大比分获得冠军，求甲失分局序号之和的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，5 【分析】（1）借助题意分析出甲最终获得冠军的所有情况，结合概率公式计算即可得； （2）借助题意分析出甲失分局序号之和的所有可能取值并计算其概率即可得其分布列，由分布列即可得其期望. 【详解】（1）由于乙以1：0领先，那么甲在接下来的比赛中，第局连胜3局获得冠军， 或第局比赛中丢失1局，直到第5局获胜而获得冠军， 所以甲获得冠军的概率； （2）甲以的大比分获得冠军，表明第五局一定是甲获胜， 前四局中甲､乙比赛结果为平， 即前四局比赛中，甲丢失了2局，分别是第1，2局； 或第1，3局；或第1，4局；或第2，3局或第2，4局或第3，4局， 所以的取值为 ， 3 4 5 6 7 . 20．（2024·河北·三模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 10 30 15 丙的射击频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立. (1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由； (2)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； (3)甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由. 【答案】(1)甲进入决赛，理由见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）分别计算出丙射击成绩和甲射击成绩，比较大小即可判断. （2）根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率，再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的乘法公式求解即可. （3）根据题意服从二项分布，利用二项分布方差公式求出每一个a对应的，即可解答. 【详解】（1）甲进入决赛，理由如下： 丙射击成绩的总环数为， 甲射击成绩的总环数为， 因为，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛. （2）根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为， “甲命中10环”的概率可估计为， “乙命中9环”的概率可估计为， “乙命中10环”的概率可估计为， 所以估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率为 . （3）或（写出其中一个即可）. 根据题中数据： 当时，在每次射击中，甲击中大于6环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于6环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于6环的概率为， 由题意可知，，， 此时，，，不满足． 当时，在每次射击中，甲击中大于7环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于7环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于7环的概率为， 由题意可知，，， 此时，，，满足． 当时，在每次射击中，甲击中大于8环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于8环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于8环的概率为， 由题意可知，，， 此时，， 满足． 当时，在每次射击中，甲击中大于9环的概率为， 在每次射击中，乙击中大于9环的概率为， 在每次射击中，丙击中大于9环的概率为， 由题意可知，，， 此时，，， 不满足. 21．（2024·上海·三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数． (1)设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由； (2)已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望． 【答案】(1)不相互独立 (2)分布列见解析，期望为1. 【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出，再利用相互独立事件的定义判断即得. （2）求出取得白球个数的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）依题意，，， 显然， 所以、不是相互独立的. （2）两个点数奇偶性不同的概率为，两个点数奇偶性相同的概率也是， 记取出白球的个数为，则可能的取值为：0，1，2， ，， ， 所以的分布为： 0 1 2 期望. 22．（2024·河南新乡·三模）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球． (1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）记这2个球颜色相同为事件，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，利用全概率公式求出，，，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）记这2个球颜色相同为事件， 则； （2）依题意的可能取值为、、， 则， ， ， 所以的分布列为： 所以. 23．（2024·浙江杭州·三模）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N. 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计. 乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时. (1)当，时，求条件概率； (2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值； (3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意分别求出和，代入条件概率公式计算即得； （2）根据题意，列出的可能取值，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可； （3）直观判断，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得. 【详解】（1）由，知，当时，最大编号为5， 另2辆坦克编号有种可能，故， 由，有，解得，故总编号和小于9， 则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2， 故， 因此； （2）依题意，用M作为N的估计值，因，则的可能取值有， 于是，，， ，， 于是M的分布列如下： M 4 5 6 7 8 P 故； （3）直观上可判断， 证明：因 . 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于，正确理解题意，将相关量合理表达，如把握的含义，求出和；以及用M作为N的估计值时，的可能值的概率；最后对于的推理证明. 24．（2024·黑龙江·三模）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ (2)现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）抽取的8人中，周平均锻炼时长少于和不少于5小时的人数，得出所有可能的取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式求得数学期望. 【详解】（1）解：零假设周平均锻炼时长与年龄无关联. 由列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）解：抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有人，不少于5小时的有人，则所有可能的取值为， 所以； 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 25．（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，2 (2) 【分析】（1）根据题意可知，进而利用二项分布求出的分布列及数学期望； （2）由题意可知，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况，即甲获胜2局，甲获胜3局，从而结合（1）可得结果. 【详解】（1）由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3， 则，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以X的期望. （2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况： 甲获胜2局，甲获胜3局， 所以所求概率为. 26．（2024·河北秦皇岛·三模）教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据： 甲 77 73 77 81 85 81 77 85 93 73 77 81 乙 71 81 73 73 71 73 85 73 已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差. (1)求这20次投篮次数的平均数与方差. (2)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望. 【答案】(1)平均数78，方差33； (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算公式及分层抽样的方差公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【详解】（1）甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数. 这20次投篮次数的平均数， 方差 . （2）的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 . 27．（2024·福建莆田·三模）跑步是一种方便的体育锻炼方法，坚持跑步可以增强体质，提高免疫力.某数学兴趣小组成员从某校大学生中随机抽取100人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如表所示. 性别 跑步 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 (1)依据的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关? (2)该数学兴趣小组成员为进一步调查该校大学生喜欢跑步的原因，采用分层抽样的方法从样本中喜欢跑步的大学生中随机抽取11人，再从这11人中随机抽取4人进行调查，记最后抽取的4人中，女大学生的人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据； 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据列联表中的数据，计算得到，结合附表，即可得到答案； （2）根据题意，求得抽取的男大学生有人，女大学生有人，得到的所有可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：零假设为：该校大学生是否喜欢跑步与性别无关， 根据列联表中的数据，计算得到， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该校大学生是否喜欢跑步与性别有关，此推断犯错误的概率不大于. （2）解：由题意可知抽取的男大学生有人，女大学生有人， 则随机变量的所有可能取值为， 可得，， ，， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以期望为. 28．（2024·辽宁·三模）为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X． (1)求随机变量X的分布列及数学期望； (2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型． ①求该组第三次交流中甲被选择的概率； ②求第n次交流中甲被选择的概率（，）． 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；② 【分析】（1）列出随机变量的可能取值，并根据超几何分布计算每个可能取值的概率，并计算分布列和数学期望； （2）①根据第三次交流中甲被选择，第二次交流中甲未参与，计算概率即可； ②根据第次被选择的概率，第次未被选择的概率，得出数列递推公式，再通过数列计算通项即可. 【详解】（1）由题随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以随机变量的数学期望． （2）①甲、乙两同学被同伴选择的概率均为． 其他三名同学被选择的概率相等． 比赛由甲同学起稿建立模型， 第三次交流中甲被选择， 所以第二次交流中甲未参与． 设“第三次交流中甲被选择”， 则． ②第次交流中甲被选择， 则第次交流中甲未被选择． 设第次交流中甲被选择的概率为． 则， 所以，且． 所以， 所以． 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据题意利用正态曲线的对称性进行解答即可， 【详解】解：依题意，， 故选：D. 2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解. 【详解】由题意得， ， ， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293. 故选：B. 3．（2024·浙江杭州·三模）传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号，其中干扰信号为服从正态分布的随机变量，令累积信号，则Y服从正态分布，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如的信噪比为，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（    ）倍 A． B．m C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解. 【详解】由Y服从正态分布，则的信噪比为， 又接收一次信号的信噪比为，所以， 所以累积信号Y的信噪比是接收一次信号的m倍. 故选：B 4．（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 5．（2024·贵州毕节·三模）随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.66 B．0.34 C．0.17 D．0.16 【答案】D 【分析】根据正态分布对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以. 故选：D. 6．（2024·安徽·三模）已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（    ） 参考数据：若，则. A．13272 B．16372 C．16800 D．19518 【答案】C 【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解. 【详解】依题意，故所求人数为. 故选：C. 7．（2024·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 8．（2024·浙江金华·三模）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】数学测试成绩服从正态分布， 则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故99分为B等级． 故选：B． 9．（2024·四川南充·三模）某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（    ） A．1000 B．2000 C．3000 D．4000 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性可得，结合题意即可得结果. 【详解】由题意可知：，且， 则， 所以该农作物茎高在范围内的株数约为. 故选：C. 10．（2024·福建厦门·三模）已知随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求概率. 【详解】随机变量，， 则， 故， 故选：C. 11．（2024·福建三明·三模）随机变量，函数没有零点的概率是，则μ的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据函数没有零点，求得，结合题意可得出，继而由正态分布的对称性，可得答案. 【详解】由函数没有零点，得， 函数没有零点的概率是，即, 结合，可知， 故选：D 12．（2024·河南开封·三模）在某项测验中，假设测验数据服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是（附：若，则，）（    ） A．94 B．86 C．82 D．78 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解． 【详解】测验数据服从正态分布， 则，， 故， 故等级的分数线应该是． 故选：C 二、多选题 13．（2024·浙江·三模）下列说法正确的是（    ） A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3 B．已知随机变量服从正态分布越小，表示随机变量分布越集中 C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点为，则 【答案】BC 【分析】根据百分位数的定义即可判断A；根据正态曲线的性质即可判断B；根据方差的性质即可判断C；根据观测值与预测值的区别即可判断D. 【详解】对于A，数据按照从小到大的顺序排列为， 因为， 所以数据7，5，3，10，2的第40百分位数是，故A错误； 对于B，越小，即方差越小，随机变量分布越集中，故B正确； 对于C，已知一组数据的方差为3， 则的方差为，故C正确； 对于D，散点不一定在回归直线为上， 所以由散点无法求出的值，故D错误. 故选：BC. 14．（2024·安徽·三模）下列关于概率统计的说法中正确的是（    ） A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 【答案】AC 【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断. 【详解】对于，故， 令，解得，故，故A正确； 对于，故错误； 对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确； 对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误. 故选：AC. 15．（2024·辽宁沈阳·三模）下列说法正确的是（    ） A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 【答案】BCD 【分析】求出判断A；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用二项分布的方差公式计算判断C，利用正态分布的特定区间的概率判断D. 【详解】对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误； 对于B，显然随机变量服从超几何分布，则，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确. 故选：BCD 三、填空题 16．（2024·重庆·三模）已知随机变量，则 . 【答案】0.12 【分析】根据均值结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为均值为2，故. 故答案为：. 17．（2024·浙江温州·三模）设随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 18．（2024·福建福州·三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D，得到，分别求得，结合条件概率和全概率的公式，即可求解. （2）设不合格品件数为，得到，求得，结合，求得的范围，即可求解. 【详解】（1）解：记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D， 因为，所以， ， ． 所以 ，       则 所以该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率为． （2）解：从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为，则， 所以， 由，解得． 所以当时，；当时，； 所以最大，因此当时最大． 19．（2024·宁夏银川·三模）银川市唐徕中学一研究性学习小组为了解银川市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），春节期间对游览某网红景区的100名银川市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取两位市民的支出数据，求两人旅游支出不低于10000元的概率； (2)若市民的旅游支出费用X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①假定银川市常住人口为300万人，试估计银川市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上； ②若在银川市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值. 附：若，则，， 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析， 【分析】（1）根据题意可得旅游支出不低于元的有人，结合古典概型概率公式即可求解； （2）① 根据题意可得，，结合正态曲线的对称性即可求解； ②根据题意可得所有可能取值为，结合二项分布求概率和均值即可求解． 【详解】（1）样本中总共人，其中旅游支出不低于元的有人， 所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据， 两人旅游支出均不低于元的概率为； （2）以下涉及旅游支出费用，则默认单位均为千元， ， 所以，，服从正态分布， ， ， 估计襄阳市有个市民每年旅游费用支出在元以上； ②由①知，，则， 的所有可能取值为， ，， ，； 所以随机变量的分布列为： 均值为. 20．（2024·广西桂林·三模）年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． (1)根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率． 参考数据：若，则，． 【答案】(1) (2)0.16 【分析】（1）利用分位数左边矩形的面积和为0.75可求得样本的分位数； （2）根据正态分布的对称性求出概率即可 【详解】（1）根据频率分布直方图，可得， ， 所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是． （2）由， 所以， 所以， 故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16． 21．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 【答案】(1)182人； (2). 【分析】（1）先根据频率分布直方图平均数估算公式求出样本平均数，然后根据正态分布的性质求得概率，即可求解； （2）根据题意确定的取值，并求出对应的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，样本平均数的估计值为 ， 因为学生初试成绩服从正态分布，其中则， 所以， 所以估计初试成绩不低于85分的人数为人. （2）记该考生的复试成绩为，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分， ， ， ， 所以该考生进入面试的概率为. 一、单选题 1．（2024·四川成都·三模）地球生命来自外星吗？一篇发布在《生物学快讯》上的文章《基因库的增长是生命起源和演化的时钟》可能给出了一种答案．该论文的作者根据生物功能性基因组里的碱基排列数的大小定义了基因库的复杂度y（单位：1），通过研究各个年代的古代生物化石里基因库的复杂度，提出了一个有趣的观点：生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的，只要知道生物基因库的复杂度就可以推测该生物体出现的年代．如图是该论文作者根据生物化石（原核生物，真核生物，蠕虫，鱼类，哺乳动物）中的基因复杂度的常用对数与时间（单位：十亿年）的散点图及回归拟合情况（其中回归方程为：，相关指数）．根据题干与图中的信息，下列说法错误的是（    ） A．根据信息生物基因库的复杂度近似是随时间呈指数增长的情况，不同于作者采取取常用对数的做法，我们也可采用函数模型来拟合 B．根据回归方程可以得到，每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的倍 C．虽然拟合相关指数为0.97，但是样本点只有5个，不能很好地阐释其统计规律，所以增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程 D．根据物理界主流观点：地球的形成始于45亿年前，及拟合信息：地球在诞生之初时生物的复杂度大约为，可以推断地球生命可能并非诞生于地球 【答案】B 【分析】利用指数式与对数式互化判断A；利用回归方程的意义判断B；利用相关指数的意义判断C；求出地球在诞生之初时生物的复杂度，结合描述判断D. 【详解】对于A，由，得， 令，满足，A正确； 对于B，观察散点图，所给5个点不全在回归直线上，回归拟合是近似的， 不能说每过10亿年，生物基因库的复杂度一定增加到原来的倍，B错误； 对于C，数据越多，拟合的准确性越高，因此增加可靠的样本点可以更好地完善回归方程，C正确； 对于D，当时，，根据回归方程可知， 当时，，即地球在诞生之初时生物的复杂度大约为， 可以推断地球生命可能并非诞生于地球，D正确. 故选：B 二、解答题 2．（2024·浙江温州·三模）现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. (1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率； (2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）（ⅰ）根据阶矩的定义、期望公式及等差数列求和公式计算可得；（ⅱ）首先求出样本数据的阶矩及阶矩，结合（ⅰ）的中的结果得到方程组，解得即可. 【详解】（1）依题意可得抽到的个数字互不相同的概率； （2）（ⅰ）依题意的可能取值为，，，， 且（且）， 所以 ， 依题意的可能取值为，，， 且（且）， 所以 ； （ⅱ）依题意样本数据，，，为期望（平均数）为， 则，，，为期望（平均数）为， 所以， 消去得， 整理得，解得（负值已舍去）， 又，，所以. 3．（2024·河南·三模）定义1  进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如． 定义2  三角形数：形如，即的数叫做三角形数． (1)若是三角形数，试写出一个满足条件的的值； (2)若是完全平方数，求的值； (3)已知，设数列的前项和为，证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据9进制的概念，先计算，然后把因数分解成的形式，观察可得的值. （2）先计算，利用，分为偶数和奇数讨论求的值. （3）先求利用等比数列的求和公式求，结合二项式定理证明不等式. 【详解】（1）， 当时，就是一个三角形数． （2）， ，即． 若是偶数，则和是两个连续正整数，所以上式不成立，得是奇数． 所以． 解得，即． （3）由题意可知：，且， 则 ． ． 【点睛】关键点点睛：是完全平方数，写明确，构造不等式，即，然后分为偶数和奇数讨论求值. 4．（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设，，记，，并规定．记，并规定．定义 (1)若，求和； (2)求； (3)证明：． 【答案】(1)， (2)，． (3)证明见解析 【分析】（1）结合新定义，分别带入计算即可得； （2）结合新定义，分及进行计算即可得； （3）令，可得，，即可得再分且与进行计算即可得. 【详解】（1）若，， 而； （2）当时，． 当时，由 ， 可得． 因此，； （3）要证， 只需证 ， 令， 一方面，， 另一方面，， 当且时，由于， 比较两式中的系数可得， 则， 由可知， 当时，由，可知： ， 此时命题也成立． 当时，也成立． 综上所述，． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义的几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义中； （4）结合数学知识进行解答. 5．（2024·江苏南通·三模）“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．） (1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； (2)若拋郑一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据定义代入计算，再比较大小即可； （2）（i）根据步骤列出分布列，再计算即可；（ii）当时，，再计算出时，，最后代入公式计算化简即可. 【详解】（1）时，， 时， 因为，所以，所以. 说明硬币质地均匀时，抛掷正面向上的不确定性更大. （2）（i）当时，的分布列： . （ii）当时，第次正面向上，前次中有次正面向上， 所以， 所以 . 当时，第次反面向上，前次中有次正面向上， 所以， 所以. 所以 . 由， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是列出当时，的分布列，然后再计算相关值，第二小问的关键是对和的讨论，最后代入题目所给公式计算即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$