专题06 数列（6大题型）-【好题汇编】2024年高考数学三模试题分类汇编（新高考新题型专用）

2024高考三模数学试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·辽宁·三模）已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论： ①对任意的，都有 ②数列可能为常数列 ③若，则当时， ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2024·陕西西安·三模）定义，，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·三模）已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 二、多选题 6．（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若，且，，则时取最小值 三、填空题 7．（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 一、单选题 1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 2．（2024·浙江温州·三模）数列的前项和为，则可以是（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 3．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（    ） A．530 B．531 C．578 D．579 4．（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 5．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和满足,则（    ） A．272 B．152 C．68 D．38 6．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 7．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 8．（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．（2024·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 三、填空题 10．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 . 11．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 四、解答题 12．（2024·重庆·三模）已知数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列的公差不为0，数列中的部分项组成数列，，，…，恰为等比数列，其中，，，求数列的通项公式. 一、单选题 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为等差数列的前项和，，则（    ） A．8 B．10 C．16 D．20 2．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．25 B．27 C．30 D．35 3．（2024·四川雅安·三模）在等差数列中，若，则（    ） A．21 B．24 C．27 D．29 4．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50 6．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北秦皇岛·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 9．（2024·内蒙古·三模）记等差数列的前项和为.若，，则（    ） A．140 B．70 C．160 D．80 10．（2024·四川·三模）在等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．10 B．13 C．16 D．81 11．（2024·江西宜春·三模）设等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 12．（2024·全国·三模）已知等差数列的公差为，且，则的值为（    ） A．1980 B．1981 C．1982 D．1983 13．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（    ）斤棉花？ A．99 B．116 C．133 D．150 15．（2023·浙江温州·三模）已知数列的各项均为正数，满足，，则下列结论正确的是（　　） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 16．（2024·四川泸州·三模）记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（    ） A．6 B．7 C．7或8 D．8或9 17．（2024·陕西西安·三模）已知是等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为 三、填空题 19．（2024·山东潍坊·三模）已知关于 的方程 的所有正实根从小到大排列构成等差数列， 请写出实数 的一个取值为 20．（2024·河南开封·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则 ． 21．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列的前项和为，则 ． 一、单选题 1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2024·山东济南·三模）已知是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·三模）已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西景德镇·三模）已知是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江金华·三模）已知是等比数列，若，，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 6．（2024·浙江·三模）设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （    ） A．2 B．-2 C． D． 7．（2024·广东广州·三模）等比数列满足，，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2024·宁夏银川·三模）已知函数有3个零点，，，有以下四种说法： ① ② ③存在实数a，使得，，成等差数列 ④存在实数a，使得，，成等比数列 则其中正确的说法有（    ）种. A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 10．（2024·河南郑州·三模）已知等比数列的前三项和为56，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 11．（2024·福建漳州·三模）已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·山西临汾·三模）已知等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则的前6项和为（    ） A． B． C．3 D．8 13．（2024·福建宁德·三模）记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列满足，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 15．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 16．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 17．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 18．（2024·四川攀枝花·三模）若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024·江西·三模）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 三、填空题 20．（2024·江西南昌·三模）正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形的边长为，且，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为，第个正方形的面积为，则 . 21．（2024·湖南长沙·三模）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 22．（2024·浙江杭州·三模）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项． 23．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 . 24．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在等比数列中，，则 . 25．（2024·山西晋中·三模）下面给出一个“三角形数阵”： 该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为第2行的数由左至右依次为依次类推，则 ． 四、解答题 26．（2024·贵州毕节·三模）在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列． (1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和； (2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列； (3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列． 27．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求 . 28．（2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 一、单选题 1．（2024·山西太原·三模）已知定义域是的函数 满足对于任意 都有 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 3．（2024·甘肃酒泉·三模）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则 ． 4．（2024·山西临汾·三模）已知首项为1的正项数列，其前项和．用表示不超过的最大整数，则 ． 5．（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 6．（2024·四川内江·三模）平面内条直线可以将平面分成若干块区域，记分成的区域数的最大值为，则数列的前项和为 . 三、解答题 7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和. (1)证明：是等差数列，并求； (2)如果，求数列的前项和. 9．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和. 10．（2024·四川成都·三模）设为数列的前项和，已知. (1)证明: 数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 11．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 12．（2024·陕西榆林·三模）已知等差数列满足，前项和为是关于的二次函数且最高次项系数为1. (1)求的通项公式； (2)已知，求的前项和. 13．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． (1)求第个等边三角形的边长； (2)求数列的前项和． 14．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 15．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 16．（2024·宁夏·二模）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式 (2)若，求数列前项和 17．（2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 19．（2024·四川雅安·三模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 20．（2024·陕西铜川·三模）已知数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若，求正整数的最大值. 21．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 22．（2024·贵州遵义·三模）已知数列的前n项和为，，且点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 一、单选题 1．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（    ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 二、解答题 4．（2024·河北保定·三模）在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和. (1)若，，，求； (2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同； (3)证明：为完全平方数. 5．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和为，若数列满足： ①数列为有穷数列； ②数列为递增数列； ③，，，使得； 则称数列具有“和性质”. (1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论） (2)若首项为1的数列具有“和性质”. （ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由； （ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值. 6．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”. (1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”； (2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式； (3)若数列满足：求数列的前项和. 7．（2024·河南·三模）已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数． (1)若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由； (2)已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 8．（2024·北京·三模）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度. (1)若，，，，，求和； (2)求证：，； (3)求的最小值. 9．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律． (1)若，，，求，，，； (2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得； (3)若，，证明：当时，． 10．（2024·山东泰安·三模）对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，. (1)若为等比数列，求； (2)求在，，，…，中，3级十全十美数的个数. 11．（2024·安徽·三模）特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①对应的特征方程为，该方程有两个不等实数根；②令，其中，为常数，利用求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小整数的值； (3)记数列的所有项构成的集合为M，求证：都不是的元素． 12．（2024·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 13．（2024·河南新乡·三模）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 14．（2024·安徽·三模）定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. (1)若，求的前项和； (2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； (3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 15．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”. (1)判断是否为“数列”，并说明理由； (2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有 (3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024高考三模数学试题分类汇编 一、单选题 1．（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解. 【详解】由，得 ， ， ， ， ， ， 则是以6为周期的周期数列， 所以. 故选：C 2．（2024·辽宁·三模）已知数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论： ①对任意的，都有 ②数列可能为常数列 ③若，则当时， ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可. 【详解】解：对于①，在数列中，，则， 又对于任意的都有，则，即， 即对于任意的，都有， 所以的值不确定大小，故①项错误； 对于②，不妨设数列可能为常数列，则， 又，则，则， 即时，数列为常数列，故②项正确； 对于③，，则，因为数列中各项均为正数， 即，同理，当，都有， 又，即数列为递增数列， 即当时，，故③项正确. 对于④， 又，则，即， 同理，当，都有，即， 同理，当，都有， 即， 即，即数列为递减数列，故④项正确； 故选：C. 【点睛】关键点睛：数列与不等式以及数列与单调性等问题，常利用作差法，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 3．（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解. 【详解】报出的数字依次是，除了首项以外是个周期为6的周期数列. 去掉首项后的新数列第一项为2， 因为，所以原数列第2024个被报出的数应该为2. 故选：A. 4．（2024·陕西西安·三模）定义，，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按给定定义把元素排成三角形数阵，再探求规律求解即得. 【详解】依题意，把排列成如下数阵： 第n行有n个数对，各个数对的两数和为，每个数对的第一个数从左起依次为1，2，3，…，n， 则前n行共有个数对，显然数列单调递增，而， 所以是第64行第一个数对，即. 故选：D 5．（2024·陕西西安·三模）已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用构造法得到数列为等比数列，从而求得的通项公式，再利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可得解. 【详解】，， ，则， 时，，，则， 故， 因此是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 根据题中条件， 则，， 因此. 当时，； 当时，. 综上，不等式成立的的最小值为12. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用构造法求得，从而利用放缩法即可得解. 二、多选题 6．（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若，且，，则时取最小值 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意易得，，可判断结论；对于B，在时，通过取反例即可排除B；对于C，分析时数列的特征即可判断；对于D，先求出的表示式，通过作商分析的大小关系即得. 【详解】对于A，设数列的公比为，由可得，， 因，则得，解得或， 因是正项数列，故，，故是单调递增数列，即A正确； 对于B，由上分析知，或， 当时，， 此时，若为偶数，则都是0，故不符合，即B错误； 对于C，若，则是递增数列， 此时不存在，使对都成立； 若时，易得，故存在，使得对都成立， 此时为常数列，故是公差为0的等差数列，故C正确； 对于D，因，，故由上分析知， 则， 由， 当时，，故，数列递减，且； 当时，，故，数列递增，且； 则当时，取最小值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（2024·上海·三模）已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为 ． 【答案】144 【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足，， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列的个数为， 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：144 【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键. 一、单选题 1．（2024·河南·三模）设为数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】根据的关系可得递推公式，利用递推公式可得. 【详解】当时，，所以， 整理得，所以. 故选：B． 2．（2024·浙江温州·三模）数列的前项和为，则可以是（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】易通过，可得，也可求得，但此数列存在不确定的首项，所以在求和后发现结果为，与选项中的四个数进行对比分析，发现一定不能为负整数，所以只能选C. 【详解】由可得：且， 由上式又有：， 还有，两式相减得：， 两边同时除以得：， 由上式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差为1， 所以 ， 由此数列的奇数项公式为，又由， 所以可以判断一定不能为负整数，即只能有， 故选：C. 3．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（    ） A．530 B．531 C．578 D．579 【答案】C 【分析】根据等差数列可得，再利用累加法求. 【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以， 又因为，即， 可得， 累加可得， 则，所以. 故选：C. 4．（2024·江苏南通·三模）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 【答案】B 【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案. 【详解】时，，则. 时，， ， 是2为首项，2为公比的等比数列，， 故选：B. 5．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和满足,则（    ） A．272 B．152 C．68 D．38 【答案】B 【分析】借助数列前n项和性质计算即可得. 【详解】， 则. 故选：B. 6．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 【答案】A 【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 . 故选：A 7．（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【答案】C 【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可. 【详解】法一：由题得， 所以. 法二：由题，， 所以. 故选：C. 8．（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据可得为公比为2的等比数列，即可求解，进而可得，根据的表示即可求解. 【详解】由可得，， 故为公比为2的等比数列，故， 所以，故， 因此 故， 要使，则， 当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6， 故选：B 二、多选题 9．（2024·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 【答案】BC 【分析】由数列的前项和为求出判断B；由递推公式探讨数列的特性判断C；求出判断A；由求出，再利用裂求和法求解即得. 【详解】由，得，， 当时，，满足上式，因此， 数列是等比数列，B正确； 由，得，，解得，，A错误； 当时，，两式相减得， 于是，两式相加得， 整理得，因此数列是等差数列，C正确； 当时，等差数列的公差为1，通项，， 所以，D错误. 故选：BC 三、填空题 10．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】② 【分析】①:先确定最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到，再进一步通过放缩判断；③④求出，然后举例排除. 【详解】对于①：，则， 则，即， 假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形， 则为斜边，所以， 所以，所以或，与矛盾，故①错误； 对于②：，当且仅当等号成立， 所以，所以， 所以，②正确； 对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误； 对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误. 故答案为：②. 【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的. 11．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 四、解答题 12．（2024·重庆·三模）已知数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列的公差不为0，数列中的部分项组成数列，，，…，恰为等比数列，其中，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由结合可得，则，两式相减即可证明数列成等差数列. （2）由等比数列的性质可得，可得子数列为首项为，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式. 【详解】（1）证明：由，得， 所以，即， 所以， 两式相减得， 所以. 所以数列成等差数列. （2）解：等差数列的公差，其子数列恰为等比数列， 其中，，，可得，，， 且有，即， 化为，则， 子数列为首项为，公比为的等比数列， 则，可得. 一、单选题 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为等差数列的前项和，，则（    ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】借助等差数列及其前项和基本性质可得数列的公差，再利用等差数列求和公式计算即可得. 【详解】依题意，，所以， 故，所以数列的公差为， 所以. 故选：D． 2．（2024·河北石家庄·三模）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．25 B．27 C．30 D．35 【答案】A 【分析】借助等差数列及其前项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 又，则，解得， 则. 故选：A. 3．（2024·四川雅安·三模）在等差数列中，若，则（    ） A．21 B．24 C．27 D．29 【答案】A 【分析】由等差中项的性质、以及等差数列基本量的计算得公差，进一步即可得解. 【详解】在等差数列中，若，即 则公差，所以. 故选：A. 4．（2024·河南·三模）已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果. 【详解】成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：C. 5．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50 【答案】B 【分析】由，利用等差数列的性质推出，再利用基本不等式计算即得. 【详解】由可得， 因则等差数列的公差，故， 则，当且仅当时取等号， 即当时，取得最大值25. 故选：B. 6．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 7．（2024·河北秦皇岛·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，由题意可得，，进一步求出，的通项公式，即可得出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，则， 所以是首项为和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到的相关推递式，从而得解. 8．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差中项求解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以 解得 ， 所以， 故选：C 9．（2024·内蒙古·三模）记等差数列的前项和为.若，，则（    ） A．140 B．70 C．160 D．80 【答案】D 【分析】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以， 故. 故选：D. 10．（2024·四川·三模）在等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．10 B．13 C．16 D．81 【答案】B 【分析】利用等差数列的下标和性质得到，进而求出公差，得到答案即可. 【详解】由等差数列下标和性质得，故，而， 故，且，设公差为，显然， 故，故B正确. 故选：B 11．（2024·江西宜春·三模）设等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用等差数列求和公式化简可得，将化简可得，计算可得结果. 【详解】设的公差为d，由，得， 化简为， 所以． 故选：A． 12．（2024·全国·三模）已知等差数列的公差为，且，则的值为（    ） A．1980 B．1981 C．1982 D．1983 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式基本量计算即可. 【详解】由可得，且，即， 所以. 故选：B. 13．（2024·福建莆田·三模）设数列的前n项和为，则“是等差数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列求和性质及定义结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由是等差数列，得，满足充分性； 反之，，只需，得不到是等差数列， 不满足必要性，则“是等差数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（    ）斤棉花？ A．99 B．116 C．133 D．150 【答案】A 【分析】先将问题情境转化为等差数列模型解决，其中996为其前项的和，为其公差，再由等差数列的通项公式及其前项和公式求解即可. 【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列， 设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为， 则由题意得：， 解得：， 所以． 故选：A 15．（2023·浙江温州·三模）已知数列的各项均为正数，满足，，则下列结论正确的是（　　） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】C 【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论． 【详解】因为数列各项为正数，满足，， 故对任意的，，则， 所以数列的每一项都是正数，所以，可得. 由等差中项法可知，数列是等差数列． 故选：C. 16．（2024·四川泸州·三模）记为等差数列的前项和，已知，，则取最小值时，的取值为（    ） A．6 B．7 C．7或8 D．8或9 【答案】C 【分析】要求取最小值时，先求的通项，由可得，求得，进而求得，根据的正负情况即可得解. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 所以当的取值为7或8时，取最小值. 故选：C 17．（2024·陕西西安·三模）已知是等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得，即， 联立方程组，解得. 故选：D 二、多选题 18．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【分析】由等差数列的性质和前n项和公式可求出，可判断A；由等差数列的前n项和公式可判断B；由裂项相消法可判断C；由分组求和法可判断D. 【详解】对于A，设等差数列的首项和公差为， 所以，化简可得：， 又因为，则， 所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 所以数列的前n项和为，故C错误； 对于D，令， 所以数列的前n项和为： ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 19．（2024·山东潍坊·三模）已知关于 的方程 的所有正实根从小到大排列构成等差数列， 请写出实数 的一个取值为 【答案】（答案不唯一，填写其中一个即可） 【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得的取值即可. 【详解】因为， 所以，即， 要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列， 则需要或， 所以. 故答案为：（答案不唯一，填写其中一个即可）. 20．（2024·河南开封·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】20 【分析】利用等差数列的性质可得，再利用等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】由， ， 故答案为：20 21．（2024·四川攀枝花·三模）等差数列的前项和为，则 ． 【答案】13 【分析】由等差数列的前项和和等差中项的性质求出公差，再由等差数列的通项求出最后结果即可. 【详解】因为为等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：13. 一、单选题 1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列等比数列，且则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质计算得，从而可得，再利用对数运算性质计算即可. 【详解】由等比中项性质可知， 又. 故选：D 2．（2024·山东济南·三模）已知是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，利用条件，得到，再由，得，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，所以， 得到，所以，由，得到， 所以， 故选：C. 3．（2024·河南·三模）已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和等比数列的通项公式可得，解之即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：D 4．（2024·江西景德镇·三模）已知是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的递推公式求出，再利用等比数列求出通项公式即得. 【详解】数列的前项和，由，，得，解得， 因此数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 所以. 故选：A 5．（2024·浙江金华·三模）已知是等比数列，若，，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 【答案】A 【分析】根据等比中项的性质即可得到答案. 【详解】由题得，而，则， 故选：A. 6．（2024·浙江·三模）设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的前项和与的关系，两式相减，即可求解. 【详解】由已知，，两式相减得， ，即，即. 故选：A 7．（2024·广东广州·三模）等比数列满足，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比及首项，进而可求. 【详解】依题意有， 故. 故选：B 8．（2024·宁夏银川·三模）已知函数有3个零点，，，有以下四种说法： ① ② ③存在实数a，使得，，成等差数列 ④存在实数a，使得，，成等比数列 则其中正确的说法有（    ）种. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意设，根据，求导分析的单调性，进而数形结合分析，根据可判断①，根据函数的极大值可判断②，根据三次函数的对称性可判断③，举例可判断④. 【详解】由，得， 设，则， 则的极小值为，极大值为． 对①，因为， 所以，当且仅当时，，所以，①正确． 对②，因为在上单调递减，且， 所以，所以未必成立，②错误． 对③，设，令有，则有，故图象存在对称中心， 所以存在实数，使得，，成等差数列，③正确． 对④，因为，所以存在实数，使得，，成等比数列，④正确． 故选：C. 9．（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 10．（2024·河南郑州·三模）已知等比数列的前三项和为56，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意列出方程组解出和，进而求出即可. 【详解】由等比数列通项公式可得：， ， 得：， 化简得：，解得：，代入， 解得，所以. 故选：D. 11．（2024·福建漳州·三模）已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用下标和性质判断充分性，根据通项公式化简可判断必要性. 【详解】由下标和性质可知，若，则； 记数列是公比为，若，则，即， 因为数列是公比不为1的正项等比数列，所以，得. 综上，则是成立的充要条件. 故选：A 12．（2024·山西临汾·三模）已知等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则的前6项和为（    ） A． B． C．3 D．8 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出关于公差的方程，求出即可求出的前6项和. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 而，解得，所以的前6项和为. 故选：B 13．（2024·福建宁德·三模）记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，即，即或， 故不是的充分条件， 若，则有， 故是的必要条件，即是的必要不充分条件. 故选：B. 14．（2024·湖南永州·三模）已知非零数列满足，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，再由等比数列的定义即可得到结果. 【详解】由可得，则. 故选：D 15．（2024·四川内江·三模）在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等比数列，所以成等比数列， 即成等比数列，可得，所以. 故选：C 16．（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】D 【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得. 【详解】由成等比数列，得， 所以，解得， 所以. 故选：D 17．（2024·四川南充·三模）设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再借助通项公式及前n项和公式求出，进而求得答案. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由、、成等比数列，得，解得， 因此， 则，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 18．（2024·四川攀枝花·三模）若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，求解可得，进而可求得，可求得数列的前4项的和的值. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，所以， 解得，所以， 所以，所以， 所以， 所以数列的前4项的和的值为. 故选：A. 二、多选题 19．（2024·江西·三模）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 【答案】BCD 【分析】利用构造法得到数列是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明. 【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即， 则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的； 由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的； 由可得：前项和，故选项C是正确的； 由 ，故选项D是正确的； 方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的； 故选：BCD． 三、填空题 20．（2024·江西南昌·三模）正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形的边长为，且，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为，第个正方形的面积为，则 . 【答案】 【分析】据已知条件可确定，然后使用数列求和方法即可. 【详解】由于第个正方形的边长为，而第个正方形的面积等于第个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故. 而，故. 所以 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于从相似图形中辨别出等比数列. 21．（2024·湖南长沙·三模）已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】利用等比数列性质得，结合已知得，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于数列为正项等比数列，所以， 因此， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为12. 故答案为：12 22．（2024·浙江杭州·三模）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项． 【答案】2 【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到，进而得到，最后写出，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设的公比为，故， ，可得， 设的首项为，公差为，故得， 化简得，解得，故， 故当最小时，，故得是的最小项，即的最小项是第2项． 故答案为：2 23．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 . 【答案】/131072 【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，所以， 所以是首项和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 24．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）在等比数列中，，则 . 【答案】4 【分析】利用等比数列的性质求解. 【详解】在等比数列中，， 由等比数列的性质，，则， 又，所以. 故答案为：4 25．（2024·山西晋中·三模）下面给出一个“三角形数阵”： 该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为第2行的数由左至右依次为依次类推，则 ． 【答案】1792 【分析】先确定所在的行数和列数，然后用等差数列工具确定该行的第一项，再用等比数列工具确定的取值. 【详解】由，，，知是第行的第个数. 而每一行的第一个数构成首项和公差均为的等差数列，从而第行的第一个数是. 又因为每一行成公比为的等比数列，故第行的第个数等于. 故答案为：. 四、解答题 26．（2024·贵州毕节·三模）在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列． (1)若数列为1阶等比数列，，，求的通项公式及前n项的和； (2)若数列为m阶等差数列，求证：为m阶等比数列； (3)若数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，证明：是等比数列． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可知数列为正项等比数列，求出首项和公比，再根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）由为m阶等差数列，所以对任意的，都存在，可得，即可证明； （3）由数列既是m阶等差数列，又是阶等差数列，可得，，成等比，，，成等比，设，，即可证明. 【详解】（1）因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得，解得， 因为，所以，所以， 所以的通项公式为， 前n项的和为； （2）因为为m阶等差数列，所以对任意的，都存在， 使得成立， 所以， 即，所以为m阶等比数列； （3）因为既是m阶等差数列，又是阶等差数列， 所以对，有与同时成立， 所以与同时成立， 所以，，成等比，，，成等比， 由，，成等比，得，，也成等比， 设，， 所以，所以数列是等比数列. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新的概念来创设全新的问题情境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义，弄清新定义的性质，按新定义的要求运算求解. 27．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意 (1) 由(1)(2)可得 所以 （2），， ，故为等差数列， . 28．（2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【答案】(1)答案见解析； (2)9. 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用构造法推理得解. （2）由（1）的结论，取，再结合已知利用单调性解指数不等式即得. 【详解】（1）依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. （2）当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. 一、单选题 1．（2024·山西太原·三模）已知定义域是的函数 满足对于任意 都有 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】赋值法先求出的部分值，猜想出，利用裂项相消法求即可. 【详解】因为，， 所以令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 所以，， 所以 ， 故选：C. 二、填空题 2．（2024·山东济南·三模）数列满足，若，，则数列的前20项的和为 ． 【答案】210 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 3．（2024·甘肃酒泉·三模）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合通项与前n项和之间的关系可得，再利用裂项相消法运算求解. 【详解】因为，则， 若，则； 若，则， 可得，即； 可知也满足，所以. 可得， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于，应理解为数列的前n项和为，结合通项与前n项和之间的关系分析求解. 4．（2024·山西临汾·三模）已知首项为1的正项数列，其前项和．用表示不超过的最大整数，则 ． 【答案】745 【分析】将代入已知，化简可得，然后求出，根据定义分段确定的值，然后可得. 【详解】当时， 当时，，整理得， 所以，数列是以1为首项和公差的等差数列， 所以，故， 因为当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 所以 . 故答案为：745 【点睛】关键点点睛：本题关键点有二：一是利用的关系消去，二是根据的意义合理分段确定的值. 5．（2024·河北石家庄·三模）已知数列满足：，定义：表示整数除以4的余数与整数除以4的余数相同，例：．设，其中，数列的前项和为，则 ；满足的最小值为 ． 【答案】 2 40 【分析】由，可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数，则得当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，即可得，取，计算出后，再计算及即可得解. 【详解】由，则，， 则、、都不是的倍数，是的倍数， ，不是的倍数，，不是的倍数， ，不是的倍数， ，是的倍数， 依次可得当为的倍数时，也是的倍数， 当不为的倍数时，也不是的倍数， 由， 则有当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，则； 当， ， 当，即时，有， ， 故满足的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当是4的倍数时，，当不是4的倍数时，，从而可通过计算当时的. 6．（2024·四川内江·三模）平面内条直线可以将平面分成若干块区域，记分成的区域数的最大值为，则数列的前项和为 . 【答案】 【分析】归纳得出数列的项之间的规律，累加可求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】一条直线将平面分成2个区域，即， 两条直线最多将平面分为4个区域，即， 三条直线最多将平面分为7个区域，即， 四条直线最多将平面分为11个区域，即， 由此可得规律如下：， 将各式相加得：， 即，也适合， 则， 故， 故的前项和为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是找到数列的项之间的规律，利用累加法求出数列的通项公式. 三、解答题 7．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，解得或， 因为，所以，则； （2）由（1）可得， 所以 . 8．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和. (1)证明：是等差数列，并求； (2)如果，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2). 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得解； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）当时，或， 因为，所以， ， 两式相减得， 因为，所以， 故是首项为1，公差为的等差数列， ； （2）由（1）知， ， ， 则， ， 所以. 9．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成等比数列求得，即可求得的通项公式. （2）根据的通项公式求得，分奇偶项分别求出再求和，即可求得的前项和. 【详解】（1）因为， 所以，即，解得或， 又因为，所以，所以. （2），所以， 所以为奇数时， ， 为偶数时， ， 所以前项和. 10．（2024·四川成都·三模）设为数列的前项和，已知. (1)证明: 数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）当时，，得， 由， 当时，， 两式相减得: ， 整理得: ， 所以 ，且， 是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）得， ， 11．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前20项和. 【答案】(1)数列的通项公式为； (2)数列的前20项和为. 【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式； （2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【详解】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故数列的通项公式为； （2）由题知， 即 所以 ， 故数列的前20项和为. 12．（2024·陕西榆林·三模）已知等差数列满足，前项和为是关于的二次函数且最高次项系数为1. (1)求的通项公式； (2)已知，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设的首项为，公差为， ， ， ，结合题设，， ， ； （2）， ， . 13．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． (1)求第个等边三角形的边长； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记数列前项和为，则顶点坐标为，，由点在函数上得出与的等量关系，得出是等差数列，根据等差数列通项公式求解即可； （2）根据裂项相消求和即可． 【详解】（1）记数列前项和为，则顶点坐标为，， 因为点在函数上， 所以，， 则，， 两式相减得，， 因为，所以，， 第一个等边三角形顶点代入得， 代入得，所以， 故是以为首项为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）得，， 所以． 14．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项公式； （2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 15．（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，， (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求. 【详解】（1）当时，，即，， 所以，同理． 当时，，化简得： ，因为，所以， 即，故，又，所以． 同理，或， 因为是等比数列，所以，即，所以． （2）由（1）知， 所以当为奇数时， ， ， 同理当为偶数时，． 所以. 16．（2024·宁夏·二模）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式 (2)若，求数列前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系求通项； （2）由（1）得到的通项，列式运算求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当，不成立．所以. （2）由（1）可知， 所以， . 17．（2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是等比数列得，利用等比数列求和公式基本量运算求得，即可求出等比数列通项公式； （2）利用对数运算得，然后利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的公比为， 由是等比数列得， 或(舍去)， . （2）由（1）得，所以， ， ， 两式相减得， . 18．（2024·陕西渭南·三模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设等比数列的公比为，由已知条件和等比数列基本量的计算，求出数列首项和公比，得通项公式； （2）利用错位相减法可得数列的前n项和． 【详解】（1）设数列的公比为， ∵，， ∴， 即，∴（舍去）， ∴，即， ∴． （2）∵，∴． ∴， ， 两式相减得， ∴． 19．（2024·四川雅安·三模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系分是否等于1进行讨论即可求解； （2）首先得，进一步结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解. 【详解】（1） 当时， 当时，，两式相减得， ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （2）由（1）可知，记， ， ， 两式相减得 . 20．（2024·陕西铜川·三模）已知数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若，求正整数的最大值. 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）利用通项与前n项和的关系先求，然后可得； （2）利用裂项相消法求和，然后解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， ， 两式相减，得， ， 显然也符合上式， 数列的通项公式为. （2）由（1）知， ， 解得. 正整数的最大值为15. 21．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为. 22．（2024·贵州遵义·三模）已知数列的前n项和为，，且点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系消去易得，（），检验时满足，得等比数列，即可求得其通项； （2）将（1）结论代入得，写出，利用错位相减法，即可求得. 【详解】（1）由题意，，当时，， 因 ①，当时， ②， 由①-② 可得，，即， 又因时，， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则. （2）由（1）可得，则， 于是，， ③ ， ④ 由③-④：， ， ， ， 则得. 一、单选题 1．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】由数列的新定义计算即可. 【详解】由可得 ， ， 由可得， 所以， 故选：D. 2．（2024·安徽安庆·三模）若项数均为的两个数列满足，且集合，则称数列是一对“项紧密数列”．设数列是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（    ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据可得，结合可得，，然后列举出所有紧密数列对即可. 【详解】由条件知， 于是， 又， 所以， 于是“4项紧密数列”有； 共有6对. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，根据定义求得，然后据此列举出所有紧密数列对. 3．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的阶差分，其中.若，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据新定义及数列的通项公式计算即可. 【详解】由新定义知，，， 所以， 故选：A 二、解答题 4．（2024·河北保定·三模）在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和. (1)若，，，求； (2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同； (3)证明：为完全平方数. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出数列的通项，进而求出的通项公式，再借助分组求和即得. （2）利用反证法，结合整除及素数的性质导出矛盾即可得证. （3）利用（2）的信息，求出，再利用的定义可得即可求和得证. 【详解】（1）依题意，，当n为奇数时，为奇数，当n为偶数时，为偶数， 而，因此， 所以. （2）假设存在，，， 依题意，，，， 则，因此q整除， 因为p，q为不同的素数，故q不整除p， 又因为，故q不整除， 与q整除矛盾，故假设错误， 所以数列的前q项中任意两项均不相同. （3）由（2）得，且数列的前q项中任意两项均不相同， 所以， 设，则，故， 所以为完全平方数. 【点睛】方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾. 5．（2024·安徽·三模）已知数列的前n项和为，若数列满足： ①数列为有穷数列； ②数列为递增数列； ③，，，使得； 则称数列具有“和性质”. (1)已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”；（判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论） (2)若首项为1的数列具有“和性质”. （ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由； （ⅱ）若数列的末项为36，求的最小值. 【答案】(1)，具有 (2)（ⅰ），理由见解析；（ⅱ）75 【分析】（1）利用数列的前n项和及与的关系得数列的通项公式，再利用题目所给定义对数列是否具有“和性质”进行判断； （2）（ⅰ）利用题目所给定义得，再利用数列的前n项和得结论； （ⅱ）构造具有“和性质”的数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，此时，再利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论. 【详解】（1）因为， 所以当时，； 当时， ， 而当时，满足， 因此数列的通项公式为 该数列具有“和性质”. （2）（ⅰ）因为首项为1的数列具有“和性质”， 所以，，， 使得，且，， 因此，， 所以； 因此， 所以将上述不等式相加得：， 即. 因为， 所以， 因此. （ⅱ）因为数列具有“和性质”， 所以由③得：，因此数列中的项均为整数. 构造数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36， 因此这两个数列具有“和性质”，此时. 下面证明的最小值为75， 即证明不可能存在比75更小的. 假设（存在性显然，因为满足的数列只有有限个）. 第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素. 设有穷数列中元素组合的集合为A， 由（ⅰ）知：，而， 因此，，，，， 所以. 第二步：证明，. 若，设. 因为， 所以为了使得最小， 则在数列中一定不含有，使得， 因此. 假设，根据“和性质”， 对，有，，使得. 显然，因此， 所以由有穷数列中至少有7个元素得： 集合A中至少还有4个不同于，，的元素， 因此，与矛盾， 所以，且. 同理可证：. 根据“和性质”得：存在、，使得. 我们需要考虑如下几种情形： ①当，时，至少还需要一个大于等于4的，才能得到8，因此； ②当，时，至少还需要一个大于4的，才能得到7，则； ③当，时，此时为：1，2，3，6，9，18，36，因此； ④当，时，此时为：1，2，4，5，9，18，36，因此； 综上所述，的最小值为75. 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的前n项和及与的关系和数列的新定义问题，解题关键在于找与的关系以及弄清新定义的“和性质”；再利用题目所给定义得，并利用数列的前n项和得结论；最后构造具有“和性质”的数列，利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论. 6．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”. (1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”； (2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式； (3)若数列满足：求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 （1）利用求出，再利用题中“数列”的定义进行证明. （2）数列即是“数列”，又是等差数列，表示出通项公式和前项和，利用“数列”的定义求出公差，进而求出通项公式. （3）由（1），（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：当时，； 当时，， 所以，即. 所以数列是“数列”. （2）设数列的公差为d,. 对，使； 取时，得，解得， ，又， 故，是小于2正整数. 此时对于任意的正整数，总存在正整数使，故. （3）， 当时，， ， ， . 当时，，满足上式. 综上，. 7．（2024·河南·三模）已知为单调递增的正整数数列，给定整数，若存在不全为0的，使得，则称为阶维表示数． (1)若，求的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理由； (2)已知，是否存在，使得同时是0阶维表示数，1阶维表示数，…，阶维表示数．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2024是3阶3维表示数，理由见解析 (2)当时，不存在不全为0的使结论成立，当时， 【分析】（1）利用给定递推关系求出，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可. （2）利用给定定义结合分类讨论思想求解即可. 【详解】（1）由于，因此的奇数项与偶数项都是等差数列， 且公差均为4，又因为，， 因此是2为首项，2为公差的等差数列，即， 当时，设， 则，此时取即可（取法不唯一）； （2）由题意可知满足方程组 从最后一行开始，分别用前一行的倍加到下一行，对后行的进行消元， 到 从最后一行开始，分别用前一行的倍加到下一行，对后行的进行消元， 得到 以此类推，有 由于，因此方程组为 当时，不存在不全为0的使结论成立， 当时，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得到所要求的内容即可． 8．（2024·北京·三模）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度. (1)若，，，，，求和； (2)求证：，； (3)求的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是. 【分析】（1）直接根据定义求解； （2）分情况讨论证明，故可推知和不能同时为零，进而得到结论； （3）对的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可. 【详解】（1）以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和. 所以，. （2）对，由于是的一个排列，故. 若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个， 得到一个以为首项的更长的递增子列，所以； 而每个以为首项的递减子列都不包含，且， 故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以. 这意味着； 若，同理有，，故. 总之有，从而和不能同时为零， 故. （3）根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故. 情况一：当为偶数时，设，则一方面有 ； 另一方面，考虑这样一个数列：，. 则对，有，. 故此时. 结合以上两方面，知的最小值是. 情况二：当为奇数时，设，则一方面有 ； 另一方面，考虑这样一个数列：，. 则对，有，. 故此时. 结合以上两方面，知的最小值是. 综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是. 【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数，再说明该表达式在某种情况下能取到，就得到了最小（或最大）值是，这便是“求最小（或最大）值”的本质. 而在这个过程中，“想到的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到的取值”无需交代，不影响解答的正确性. 换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的. 在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质. 9．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律． (1)若，，，求，，，； (2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得； (3)若，，证明：当时，． 【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列和数列的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列的定义求出，，，. （2）通过特例和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般. （3）思路一：由卷积运算的交换律，得，记的前n项和为，再利用求. 思路二：记的前n项和为，对所有对应项相加所得的数列为，易证卷积关于数列加法有分配律、卷积运算满足结合律，因此可得，，再利用求. 【详解】（1）因为，，所以，；，； ，；，. 因为，， 所以，，，. （2）， 对一般的，. （3）方法一： 记的前n项和为，由卷积运算的交换律有, 故， 因此，② ②－①得， 故当时，． 方法二： 记的前n项和为，常数列，注意      （Ⅰ） 易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得，注意      （Ⅱ） 注意是对所有对应项相加所得的数列，是对所有对应项相加所得的数列， 易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加， 得的通项即为， 故当时，． 注：以上论证可用符号语言说明如下： 定义数列加法：，其中． 容易验证卷积运算满足结合律：， 数列加法关于卷积满足分配律：． 因此. 【点睛】方法点睛： 本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题. 1、解决数列新概念问题时需注意: （1）读懂定义，理解新定义数列的含义； （2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解. 2、卷积运算具有的性质 （1）交换律：. （2）结合律：. （3）分配律：. 10．（2024·山东泰安·三模）对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，. (1)若为等比数列，求； (2)求在，，，…，中，3级十全十美数的个数. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程组，即可求得的值； （2）由（1）知，得到，和，两式相减得，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合二项展开式的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设的公比为， 则，即， 由，可得，解得或， 所以或. （2）解：由（1）知，当时，， 当时，， 两式相减得. 当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0； 当为偶数时，设，则， 要想末尾3个数字为0，需满足被整除， 当时，均不符合题意； 当时，， 自，以后各项均可被125整除， 故只需考虑能否被125整除， 其中不是5的倍数， 故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数， 在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000， 故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40. 【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解； 4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解； 5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明； 6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解. 11．（2024·安徽·三模）特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列满足，则数列的通项公式可按以下步骤求解：①对应的特征方程为，该方程有两个不等实数根；②令，其中，为常数，利用求出A，B，可得的通项公式．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小整数的值； (3)记数列的所有项构成的集合为M，求证：都不是的元素． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助题目中所给特征根方程法计算即可得； （2），结合数列是单调递增数列，计算即可得； （3）由计算可得，由可得，即可得，从而可得，即可得证. 【详解】（1）由题意可得对应的特征方程为，解得， 不妨设，， 则可设，其中，为常数， 由，可得， 即有，解得， 故； （2） ， 即， 由，，，，，，，， 则，， 且数列是单调递增数列，故满足要求的最小整数的值为； （3）由，可得， 即， 故 ， 故， 故， 易知数列为单调递增数列，且， 当时，，故，即， 故对都不是的元素. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助得到，从而证明. 12．（2024·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)10. 【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到； 法二：由得到； （2）法一：由题意得，从而得到，证明出； 法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立； 法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论； （3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10． 【详解】（1）法一：由题意得：，∴， ∴，，，，， 将以上式子累乘得：，也即成立． 法二：由题意得：， ∴，∴成立． （2）法一：∵，∴， ∴， 则， ∴， ∴． 法二：考虑反证法，假设， 由得， ∴，∴， 同理：， ∴，∴， 同理可证：，，…，， 综上可得：，与条件矛盾， ∴假设不成立，∴成立． 法三：∵，∴，也即， 同时，由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：， 也即，同理可得： ， ， …… ， 将以上式子累加得：， ∴，∴，∴成立． （3）由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：，① 另外，，，…，， 将以上式子累加得：，② 结合①②式可得：， ∴，化简得：， 另外，显然有符合题意，此时， 综上，的最大值为10． 【点睛】思路点睛：数列的性质可参考这类下凸函数进行理解，不等式相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系． 13．（2024·河南新乡·三模）函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有． 【答案】(1)，； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由，，利用给定的定义即可求出. （2）①按，分段讨论的取值，即可求出；②利用①的结论，结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证. 【详解】（1）由，得，则， 所以； 由，得，则， 所以. （2）①依题意，，则， 对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而，则当时，，设， 此时，即； 当时，，设， 此时，即， 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以. ②由，得，则为递增数列，， 当时，， 则 ， 所以对任意的，都有. 【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 14．（2024·安徽·三模）定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. (1)若，求的前项和； (2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； (3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 【答案】(1) (2)是的充要条件. (3)的最大值为， 【分析】（1）根据所给新定义，分n为奇偶讨论，分别求出前n项和； （2）分别结合等比数列的定义，研究充分性、必要性即可得证； （3）分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值. 【详解】（1）依题意 故 因为，所以， 当为奇数时，， 当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列. 故当为偶数时， . 当为奇数时，. 综上所述， （2）充分性：因为，所以， 所以， 又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列， 故是的充分条件. 必要性：假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列， 故是的必要条件. 综上，可知是的充要条件. （3）当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，故的最大值为， 此时的通项公式可以是 【点睛】关键点点睛：本题的关键一方面在于对新定义的理解，运用，另一方面是能够对分类讨论，证明数列为等比数列，再由等比数列的通项公式，求和公式得解. 15．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”. (1)判断是否为“数列”，并说明理由； (2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有 (3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有. 【答案】(1)数列是“数列”，数列不是“数列”； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“数列”的定义判断可得出结论； （2）由可得出，利用累加法结合不等式的基本性质可得，以及，再结合可证得结论成立； （3）首先当或2024时的情况，再考虑时，结合（2）中结论考虑用累加法可证得结论. 【详解】（1）因为， 所以数列是“数列”， 因为， 所以数列不是“数列”； （2）令，因为数列为“数列”，所以 从而，所以 因为，所以 ， 因为，所以. （3）当或2024时，， 从而， 当时，因为， 由第(2)问的结论得，可推得，从而 对于，由第(2)问的结论得，从而也成立，从而 对于，由第(2)问的结论得，从而 也成立，从而 所以 由条件 可得， 所以. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解；本题中，根据“数列”的定义“”结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结论进行推导，属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！84 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$