1.2 常用逻辑用语讲义-2025届高三数学一轮复习

第二节　常用逻辑用语 课程目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系. 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 基础知识 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p　　q p 　　q p　　q 条件关系 p是q的　　条件，q是p的　　　条件 p不是q的　　　条件，q不是p的　　　条件 p是q的　　条件，简称　　　条件 提醒　（1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 2.全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　　　　　的命题叫做全称量词命题 含有　　　　　的命题叫做存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　　　　　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　　　　　” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ____________ ____________ 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 基础知识 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　　） （2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（　　） （3）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（　　） （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　　） 2.已知命题p：∀x∈R，x＞sin x，则p的否定为（　　） A.∀x∈R，x＜sin x B.∀x∈R，x≤sin x C.∃x∈R，x≤sin x　 D.∃x∈R，x＜sin x　 3..(概念辨析)(多选)下列结论正确的是(　　). A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件 B.设M⫋N,则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件 C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件 4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　　 　. 5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，则m的取值范围是　　　　. 常用结论 1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 2.命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 结论运用 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件 B．“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件 C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 2.若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　. 聚焦考点 课堂演练 考点1 全称量词命题和存在量词命题 考向1　含量词命题的否定及真假判定 【例1】　（1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 （2）(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有(　　). A.中国所有的江河都流入太平洋 B.有的四边形既是矩形,又是菱形 C.存在x∈R,使得x2+x+1=0 D.有的数比它的倒数小 方法技巧 1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 考向2　含量词的命题的应用 【例2】　已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0）　 B.（0，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 方法技巧 由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 跟踪训练 1.(多选）若“x<k或x>k+3”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则实数k的值可以是(　　). A.-8 B.-5 C.1 D.4 2.若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（　　） A.－1　　 B.2 C.0　　 D.2 考点2 充要条件、必要条件的判定 【例3】　（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）（多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是(　　). A.“a<5”是“a<3”的必要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件 方法技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 跟踪训练 1.已知a，b都是实数，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”是“a＞2”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　). A.2 B.- C. D.3 考点3 充分、必要条件的探究与应用 【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　　　　. 变式 本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 方法技巧 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 跟踪训练 设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节　常用逻辑用语 课程目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系. 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 基础知识 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p　⇒　q p　　q p　⇔　q 条件关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件 提醒　（1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 2.全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题叫做存在量词命题 类别 全称量词 存在量词 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 基础知识 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　√　） （2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（　√　） （3）“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.（　×　） （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　√　） 2.已知命题p：∀x∈R，x＞sin x，则p的否定为（　　） A.∀x∈R，x＜sin x　 B.∀x∈R，x≤sin x C.∃x∈R，x≤sin x　 D.∃x∈R，x＜sin x 解析：C　对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，p：∀x∈R，x＞sin x，则p的否定为：∃x∈R，x≤sin x.故选C. 3.(概念辨析)(多选)下列结论正确的是(　　). A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件 B.设M⫋N,则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件 C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件 D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件 解析　对于选项A,x2>1⇒/ x>1,x>1⇒x2>1,所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件,故A错误; 对于选项B,由M⫋N得∁RN⫋∁RM,则x∉N⇒x∉M,x∉M⇒/ x∉N,所以“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件,故B正确; 对于选项C,由“a,b都是偶数”可以得到“a+b是偶数”,但是当a+b是偶数时,a,b可能都是奇数,所以“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件,故C正确; 对于选项D,“a>1且b>1”⇒“a+b>2且ab>1”,而由“a+b>2且ab>1”⇒/ “a>1且b>1”,比如a=3,b=, 所以“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要条件,故D错误. 4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形　. 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形. 5.若“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，则m的取值范围是　（2，＋∞）　. 解析：因为“x＞m”是“x＞2”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）是（2，＋∞）的真子集，由图可知m＞2. 常用结论 1.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 2.命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 结论运用 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件 B．“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件 C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 解析：c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错；>与a<b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，>，但不满足a<b，反之，若a＝－1，b＝2，满足a<b，但不满足>，∴“>”是“a<b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分必要条件与集合之间的包含关系可知，C正确；a>b>0能得出an>bn，当a＝－4，b＝－2时，a2>b2，但a<b， D错．故选B.C 2.若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　（－∞，－8]∪[0，＋∞）　. 解析：由结论2得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得a∈（－∞，－8]∪[0，＋∞）. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 全称量词命题和存在量词命题 考向1　含量词命题的否定及真假判定 【例1】（1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 （2）(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有(　　). A.中国所有的江河都流入太平洋 B.有的四边形既是矩形,又是菱形 C.存在x∈R,使得x2+x+1=0 D.有的数比它的倒数小 答案：（1）B 　（2）B D 解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”. (2)对于A,中国所有的江河都流入太平洋是全称量词命题,故A错误;对于B,有的四边形既是矩形,又是菱形是存在量词命题且为真命题,比如正方形,故B正确;对于C,存在x∈R,有x2+x+1=0是存在量词命题且为假命题,因为x2+x+1=+>0恒成立,故C错误;对于D,有的数比它的倒数小是存在量词命题且为真命题,比如,故D正确. 方法技巧 1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 考向2　含量词的命题的应用 【例2】　已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋1≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0）　 B.（0，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 解析：C　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋1＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜1，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 方法技巧 由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 跟踪训练 1.(多选）若“x<k或x>k+3”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则实数k的值可以是(　　). A.-8 B.-5 C.1 D.4 解析　若“x<k或x>k+3”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则{x|x<k或x>k+3}⊇{x|-4<x<1},所以k≥1或k+3≤-4,解得k≤-7或k≥1.结合选项知,实数k的值可以为-8,1,4. 2.若命题“∃x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（　　） A.－1　 B.1 C.0 D.2 解析：A　由题意，∃x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，因为函数h（x）＝x2－2x在（－1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以实数a可取的最小整数值是－1. 考点2 充要条件、必要条件的判定 【例3】（1）设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“x2－5x＜0”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）（多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是(　　). A.“a<5”是“a<3”的必要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件 答案：（1）B　（2）ABD 解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B. （2）)对于A,因为a<5表示的范围包含a<3表示的范围,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故A正确.对于B,a+5是无理数,则a是无理数,反之也成立,所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B正确.对于C,若a=b,则ac=bc,正确;取c=0,a=1,b=2,则ac=bc=0,但是a≠b,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故C错误.对于D,若a≥2且b≥2,由不等式的性质可知a2≥4,b2≥4,则a2+b2≥8≥4成立;取a=-2,b=1,a2+b2=5≥4成立,显然a≥2不成立,b≥2也不成立,所以“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件,故D正确. 方法技巧 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 跟踪训练 1.已知a，b都是实数，那么“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”是“a＞2”的（　　） A.充要条件　 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：B　方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆⇔方程（x－1）2＋（y－b）2＝a＋1表示圆⇔a＋1＞0⇔a＞－1.由a＞2能推出a＞－1，但是a＞－1推不出a＞2，故“a＞2”是“方程x2＋y2－2x－2by＋b2－a＝0表示圆”的充分不必要条件. 2.(多选)若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件,则实数a的值为(　　). A.2 B.- C. D.3 解析：由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3.对于方程ax+1=0,当a=0时,方程ax+1=0无解;当a≠0时,解方程ax+1=0,可得x=-.由题意知p⇒/ q,q⇒p,则可得a≠0,此时应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.综上可得,a=-或a=.故选BC 考点3 充分、必要条件的探究与应用 【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　[0，3]　. 解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴解得0≤m≤3，故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. 变式 本例中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：由例题知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要条件，∴P⫋S.∴[－2，10]⫋[1－m，1＋m].∴或∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞）. 方法技巧 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 跟踪训练 　设p：1＜x＜2；q：（x－a）（x－1）≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[2，＋∞）　. 解析：由题意知{x｜1＜x＜2}⫋{x｜（x－a）（x－1）≤0}，则a＞1，即{x｜1＜x＜2}⫋{x｜1≤x≤a}，从而a≥2. 学科网（北京）股份有限公司 $$