期末复习导数专题讲义-2023-2024学年高二下学期数学苏教版（2019）

高二下期期末导数专题 热点解读 导数是研究函数的单调性、极值 (最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值 (极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用 知识导图 解题妙计 1、导数的运算是解决一切导数问题的基础。熟练掌握导数定义、基本初等函数的求导法则、函数的和、差、积、商的运算法则,复合函数求导,理解导数的几何意义,会求切线方程。注意复合函数求导关键是分清层次,逐层求导 2、利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础。一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,找到函数的极值、最值。 对于恒成立问题,往往需要转化成求函数最值问题 3、常见函数的麦克劳林展开式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4、①对数型超越放缩:() ②指数型超越放缩:() 模拟预测 一、单选题 1.(22-23高二下 江苏南京 期末)函数在上的平均变化率为( ) A.1 B. C.3 D.4 2.(22-23高二下 江苏镇江 期末)若函数与函数有相等的极小值,则实数( ) A. B. C.2 D. 3.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知定义在上的函数从x到的平均变化率为,则的单调增区间是( ) A. B. C. D. 4.(22-23高二下 江苏 期末)若函数区间上不存在单调增区间,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知实数a,b,c满足,,,则( ) A. B. C. D. 6.(22-23高二下 江苏南京 期末)若,则( ) A. B. C. D. 7.(22-23高二下 江苏徐州 期末)已知是定义在上的增函数,且的图象关于点对称,则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.(22-23高二下 江苏扬州 期末)已知偶函数满足,,且当时,.若关于的不等式在上有且只有个整数解,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.(22-23高二下 江苏 期末)设是定义在上的函数,其导函数为,满足,若,,,则( ) A. B. C. D. 10.(2023高二下 江苏 期末)已知不等式对恒成立,则正实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题 11.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知函数,,则下列结论正确的有( ) A.当时,在处取得极小值 B.当时,有且只有一个零点 C.若恒成立,则 D.若恒成立,则 12.(2023 江苏南通 二模)已知,则( ) A. B. C. D. 13.(22-23高二下 江苏南京 期末)对于三次函数,给出定义:是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数,则下列说法正确的是( ) A.的极大值为 B.有且仅有2个零点 C.点是的对称中心 D. 三、填空题 14.(2023高二下 江苏 期末)曲线在点处的切线方程为 . 15.(22-23高二下 江苏南京 期末)式子的值分别为 , . 16.(22-23高二下 江苏 期末)设函数在区间上有两个极值点,则a的取值范围是 . 17.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知不等式对任意恒成立,则的最大值为 . 18.(22-23高二下 江苏南京 期末)已知函数的图象是连续不间断的,函数的图象关于点对称,在区间上单调递增.若对任意恒成立,则的取值范围 19.(2023高二下 江苏 期末)若对于曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为 . 四、解答题 20.(22-23高二下 江苏镇江 期末)已知函数. (1)当时,求函数在点处的切线方程; (2)若函数存在不同的极值点,且以为对角线的正方形的四顶点都在函数的图像上,求的值. 21.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知函数. (1)求的极小值; (2)求在区间上的最大值和最小值. 22.(22-23高二下 江苏 期末)已知函数 (1)判断在定义域上是否存在极值?若存在求出其极值,若不存在说明理由. (2)若在恒成立,求a的取值范围. 23.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知函数与函数有相同的最小值. (1)求实数a的值; (2)求不等式的解集. 24.(22-23高二下 江苏南京 期末)已知函数. (1)当时,解不等式; (2)当对恒成立时,求整数的最小值. 25.(2023 江苏南通 二模)已知函数. (1)若,,求实数a的取值范围; (2)设是函数的两个极值点,证明:. 26.(22-23高二下 江苏南通 期末)已知函数,. (1)当时,求函数的极值; (2)当时,,求的取值范围. 27.(22-23高二下 江苏连云港 期末)已知函数. (1)当为何值时,轴为曲线的切线; (2)用表示中的最大值,设函数,试讨论函数零点的个数. 28.(22-23高二下 江苏扬州 期末)已知为实数,函数. (1)若函数在区间上存在极值点,求的取值范围,并说明是极大值点还是极小值点; (2)若对恒成立,求的取值范围. 29.(2023 江苏盐城 三模)已知函数. (1)当时,求的单调递增区间; (2)若恒成立,求的取值范围. 30.(22-23高二下 江苏南京 期末)已知函数. (1)讨论的单调性; (2)证明:当时,. 31.(22-23高二下 江苏 期末)已知函数. (1)时,求函数在处的切线方程; (2)讨论函数的单调性; (3)证明不等式恒成立. 学科网(北京)股份有限公司 $$高二下期期末导数专题 热点解读 导数是研究函数的单调性、极值 (最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出.导数专题在高考中的命题方向及命题角度:从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性求参数;(3)利用导数求函数的最值 (极值),解决生活中的优化问题;(4)考查数形结合思想的应用 知识导图 解题妙计 1、导数的运算是解决一切导数问题的基础。熟练掌握导数定义、基本初等函数的求导法则、函数的和、差、积、商的运算法则,复合函数求导,理解导数的几何意义,会求切线方程。注意复合函数求导关键是分清层次,逐层求导 2、利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础。一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,找到函数的极值、最值。 对于恒成立问题,往往需要转化成求函数最值问题 3、常见函数的麦克劳林展开式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4、①对数型超越放缩:() ②指数型超越放缩:() 模拟预测 一、单选题 1.(22-23高二下 江苏南京 期末)函数在上的平均变化率为( ) A.1 B. C.3 D.4 【答案】C 【分析】直接利用平均变化率公式进行求值. 【详解】函数在上的增量, 所以函数在上的平均变化率为. 故选:C. 2.(22-23高二下 江苏镇江 期末)若函数与函数有相等的极小值,则实数( ) A. B. C.2 D. 【答案】B 【分析】由对勾函数可知:的极小值,对求导,利用导数判断的单调性和极值,运算求解即可. 【详解】由对勾函数可知:在时取到极小值, 对于,则有: 当时,在定义域内单调递减,无极值,不合题意; 当时,, 令,解得;令,解得; 则在上单调递减,在上单调递增, 所以的极小值为,解得. 故选:B. 3.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知定义在上的函数从x到的平均变化率为,则的单调增区间是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】求极限可得.设,化简可得.解,根据导数的概念,即可得出答案. 【详解】由已知可得,. 设, 则. 由可得,,所以, 即时,有. 根据导数的概念,可知时,有. 所以,的单调增区间是. 故选:C. 4.(22-23高二下 江苏 期末)若函数区间上不存在单调增区间,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】分析可知,,,由参变量分离法可得出,求出函数在上的最大值,即可求得实数的取值范围. 【详解】因为,则, 因为函数在区间上不存在单调递增区间, 所以,,,则, 因为函数在上单调递增, 故当时,,则,解得, 因此,实数的取值范围是. 故选:A. 5.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知实数a,b,c满足,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先利用二项式定理展开式判断出的范围,再构造函数,利用导数判断其单调性,可比较出的大小,再利用作差法比较的大小,从而可得结果. 【详解】因为 , 所以, 令,则, 当时,,所以在递增, 因为,所以, 所以,所以,即, 由,得, 则 , 因为,所以,, 所以, 所以, 所以,即, 综上, 故选:B 【点睛】关键点点睛:此题考查比较大小,考查二项式定理的应用,考查导数的应用,解题的关键是利用二项式展开式判断出的范围,然后再比较的大小和的大小即可,考查计算能力,属于较难题. 6.(22-23高二下 江苏南京 期末)若,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据已知变形得,构建函数,然后利用函数的单调性求解. 【详解】因为, 所以构建函数,则有, 因为在上单调递增,则在上单调递增,所以. 故选:A. 7.(22-23高二下 江苏徐州 期末)已知是定义在上的增函数,且的图象关于点对称,则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用函数的对称性,构造,原不等式可化为,利用其单调性去函数符号解不等式即可. 【详解】由题意可知,设,显然有, 又是定义在上的增函数,易知在上是增函数. 原不等式可化为, 即,解不等式组可得. 故选:C 8.(22-23高二下 江苏扬州 期末)已知偶函数满足,,且当时,.若关于的不等式在上有且只有个整数解,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分析可知,函数是周期为的周期函数,由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解,数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为偶函数满足,则,即, 所以,函数是周期为的周期函数, 当时,,令,可得. 由可得,由可得. 所以,函数在上单调递增,在上单调递减, 因为关于的不等式在上有且只有个整数解, 则关于的不等式在上有且只有个整数解,如下图所示: 因为,且, 又因为,所以,要使得不等式在上有且只有个整数解, 则这五个整数解分别为、、、、, 所以,,即, 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围,解题的关键在于作出函数的图象,明确整数解是哪些整数,再结合图形求解. 9.(22-23高二下 江苏 期末)设是定义在上的函数,其导函数为,满足,若,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】依题意令,进而根据题意得在上单调递减,故,进而得答案. 【详解】解:因为满足,令, 则,所以在上单调递减, 所以,即,所以. 所以. 故选:A 10.(2023高二下 江苏 期末)已知不等式对恒成立,则正实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】令,不等式可化为,即,令,利用导数求出的最大值即可. 【详解】由可得, 令,易知在上单调递增, 又有(∵,∴,), ∴对任意的均成立,∴, 令,,则, 则当时,,单调递增;当,,单调递减,所以,∴. 故选:A. 二、多选题 11.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知函数,,则下列结论正确的有( ) A.当时,在处取得极小值 B.当时,有且只有一个零点 C.若恒成立,则 D.若恒成立,则 【答案】ABD 【分析】选项A、B;当时,,结合导数研究函数的单调性,求解函数的极值、零点问题;选项C、D:利用导数解决函数恒成立问题; 【详解】选项A、B:当时,,当,单调递减; 当,单调递增;故在处取得极小值,故A正确; 又因为,所以 ,有且只有一个零点,故B正确; 选项C、D:恒成立,当时,; 当时,即 恒成立, 构造函数,,令,,在单调递减,又,所以,所以在上单调递减,,综上可得 ,故C错误; 函数,函数单调递减,则, 故有 ,即; 即恒成立,时,; ,,又,所以选项D正确; 故选:ABD. 12.(2023 江苏南通 二模)已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【分析】证明,放缩可判断A,由,放缩可判断B,先证出,再放缩,根据再放缩即可判断C,可得,令,转化为,构造,利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D. 【详解】由,可得, , 令,则,当时,,单调递增, 当时,,单调递减,所以,即, 由知,A正确; 由可得,可得(时取等号), 因为,所以,B正确; 时,,则, ,C错误; , 令,则, , 在单调递增,,,故D正确. 故选:ABD 【点睛】关键点点睛:比较式子的的大小,要善于对已知条件变形,恰当变形可结合,,放缩后判断AB选项,变形,再令,变形,是判断D选项的关键,变形到此处,求导得最小值即可. 13.(22-23高二下 江苏南京 期末)对于三次函数,给出定义:是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数,则下列说法正确的是( ) A.的极大值为 B.有且仅有2个零点 C.点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【分析】求得,得出函数单调性,结合极值的概念,可判定A正确;根据极大值为,极小值,进而得到函数有3个零点,可判定B错误;求得,令,求得,得出,可判定C正确;根据对称性,得到,结合倒序相加法,可判定D正确. 【详解】由函数,可得, 令,解得或;令,解得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减,在单调递增, 当时,取得极大值,极大值为,所以A正确; 又由极小值,且当时,, 当时,,所以函数有3个零点,所以B错误; 由,可得,令,可得, 又由,所以点是函数的对称中心, 所以C正确; 因为是函数的对称中心,所以, 令, 可得, 所以, 所以,即, 所以D正确. 故选:ACD. 三、填空题 14.(2023高二下 江苏 期末)曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可 【详解】由,得, 所以切线的斜率为, 所以所求切线方程为,得, 即, 故答案为: 15.(22-23高二下 江苏南京 期末)式子的值分别为 , . 【答案】 6 【分析】利用导数的定义,把极限式转化为导数求解. 【详解】,可看成是在时的导数,而, 所以; ,可看成是在时导数的2倍, 而, 所以. 故答案为:6; 16.(22-23高二下 江苏 期末)设函数在区间上有两个极值点,则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得,根据题意转化为在上有两个不等的实数根,转化为和的图象有两个交点,求得,求得函数的单调性与最值,即可求解. 【详解】, 由题意知在上有两个不相等的实根, 将其变形为,设,则. 当时,,单调递增;当时,,单调递减, 的极大值为,又, 画出函数的大致图象如图, ,即. 故答案为:. 17.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知不等式对任意恒成立,则的最大值为 . 【答案】2 【分析】由题可得,对任意恒成立,根据二次不等式恒成立可得,构造函数,利用导数求函数的最值可得,进而可得,结合进而可得的最大值. 【详解】因为不等式对任意恒成立, 所以,对任意恒成立, 由可得,即, 令,则, 当时,,函数单调递增,显然不恒成立,不合题意, 当时,由,可得,函数单调递减, 由可得,函数单调递增, 所以,即, 所以, 由,可得,即, 因为函数单调递增,且, 所以, 当时,,即, 所以的最大值为2. 故答案为:2. 【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法: 若在区间上有最值,则 (1)恒成立:;; (2)能成立:;. 若能分离常数,即将问题转化为:(或),则 (1)恒成立:;; (2)能成立:;. 18.(22-23高二下 江苏南京 期末)已知函数的图象是连续不间断的,函数的图象关于点对称,在区间上单调递增.若对任意恒成立,则的取值范围 【答案】 【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增,进而得到,利用参变分离和的取值范围求出的取值范围,进而求解. 【详解】解:因为连续函数的图象关于点对称且在区间上单调递增, 所以函数的图象关于对称,函数在上单调递增, 由,可得, 也即, 则有恒成立,即, 因为,所以, 当时,得到恒成立; 当时,则有, 令,则, 因为函数在上单调递增,且, 所以,则 故答案为:. 19.(2023高二下 江苏 期末)若对于曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求f′(x)=﹣ex﹣1,令﹣ex﹣1,进一步得 ∈(0,1),再求g′(x)=a﹣2sinx,令 =a﹣2sinx∈[﹣2+a,2+a],把l1⊥l2转化为集合间的包含关系求解即可. 【详解】由f(x)=﹣ex﹣x,得f′(x)=﹣ex﹣1,所以﹣ex﹣1 ∵ex+1>1,∴ ∈(0,1), 由g(x)=ax+2cosx,得g′(x)=a﹣2sinx,又﹣2sinx∈[﹣2,2], ∴a﹣2sinx∈[﹣2+a,2+a], 要使过曲线f(x)=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1, 总存在过曲线g(x)=ax+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2, 则,解得﹣1≤a≤2. 故答案为:[-1,2] 四、解答题 20.(22-23高二下 江苏镇江 期末)已知函数. (1)当时,求函数在点处的切线方程; (2)若函数存在不同的极值点,且以为对角线的正方形的四顶点都在函数的图像上,求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)把代入函数解析式,可求切点坐标,利用导数求切线斜率,可求函数在点处的切线方程; (2)利用导数求出极值点,得两点坐标,由的中点为原点,为正方形,可求点坐标,代入在函数中,可求出的值. 【详解】(1)当时,,,故切点坐标为, ,故切点处切线的斜率为, 切线方程为,即. (2)函数,定义域为R,, 存在不同的极值点,则有, ,解得或;,解得, 则在和上单调递增,在上单调递减, 得是极大值点,是极小值点, 则有,的中点为原点, 正方形,过作垂直于轴,过作垂直于轴,垂足分别为, 则有,所以, 点在函数的图像上,则有, 即,化简得, 解得. 【点睛】方法点睛: 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 21.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知函数. (1)求的极小值; (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)2 (2)最大值为6,最小值为2 【分析】(1)求出导函数,根据导函数得出函数的单调区间,进而得出答案; (2)根据(1)的结论得出在区间上的单调性,结合端点处的函数值,即可得出答案. 【详解】(1)由已知可得,. 由可得,或. 由可得,,所以在上单调递减; 由可得,或,所以在上单调递增,在上单调递增. 所以,在处取得极大值,在处取得极小值. (2)由(1)可得,在上单调递增,在上单调递减. 又,,, 所以,在区间上,在处取得最小值2,在处取得最大值6. 22.(22-23高二下 江苏 期末)已知函数 (1)判断在定义域上是否存在极值?若存在求出其极值,若不存在说明理由. (2)若在恒成立,求a的取值范围. 【答案】(1)不存在,理由见解析 (2) 【分析】(1)求导,先判断单调性,再求出判断极值是否存在即可; (2)分离参数,构造函数,利用导数求出函数的单调区间,再求出最值即可. 【详解】(1),, 记, 则当;当, 即在单调递减,在单调递增, , 在R上单调递增,即在定义域R上极值不存在. (2)因为在恒成立, 所以在恒成立. 显然当不等式成立, 当时,在上恒成立, 令,则, 记, 当时,单调递增,故, 故当时,,即, 当时,;当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增, 所以当时,,所以. 综上,实数的取值范围是. 23.(22-23高二下 江苏苏州 期末)已知函数与函数有相同的最小值. (1)求实数a的值; (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)求出的定义域以及导函数,讨论可得时,不满足题意.时,根据导函数得出的单调性以及最小值,即可得出.设,,根据导函数得出函数的单调性,进而根据,即可得出答案; (2)构造.先根据(1)的结论得出,当时,.当时,根据导函数得出函数的单调性,结合,即可得出答案. 【详解】(1)由已知可得,定义域为,且. 定义域为R,. 若,则恒成立,所以在上单调递减,显然没有最小值,不满足题意,所以. 由可得,. 当时,有,所以在上单调递减; 当时,有,所以在上单调递增. 所以,在处取得唯一极小值,也是最小值. 由可得,. 当时,有,所以在上单调递减; 当时,有,所以在上单调递增. 所以,在处取得唯一极小值,也是最小值. 由已知可得,, 即. 设,,则. 设,则. 由,可得. 当时,有,所以,即在上单调递减; 当时,有,所以,即在上单调递增. 所以,在处取得唯一极小值,也是最小值, 所以,恒成立,所以在上单调递增. 又, 所以,在上有唯一解. 即解方程,可得. (2)由(1)知,,不等式可化为. 令,则. ①当时,有, 所以,所以恒成立,不满足题意; ②当时,由(1)可知,最小值为0, 所以,即. 所以,, 所以,在上单调递增. 又, 所以,的解集为. 综上所述,的解集为. 所以,不等式的解集为. 24.(22-23高二下 江苏南京 期末)已知函数. (1)当时,解不等式; (2)当对恒成立时,求整数的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】(1)根据指数不等式,结合指数函数的单调性即可求解, (2)将问题转化为对于恒成立,分离参数求解范围即可. 【详解】(1)当时,函数,当时,可得,解得.即 (2)因为,所以可得, 由于,所以 所以, 令,所以,所以 因为,所以,故, 所以整数的最小值为4. 25.(2023 江苏南通 二模)已知函数. (1)若,,求实数a的取值范围; (2)设是函数的两个极值点,证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)先求出函数的导数,利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论,将分为零正负,又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可; (2)由题意要证,只要证,涉及到转化的思想令,,求的最小值即可求得结果. 【详解】(1)依题意,. ①当时,在上,所以在上单调递减, 所以,所以不符合题设. ②当时,令,得,解得,, 所以当时,所以在上单调递减, 所以,所以不符合题设. ③当时,判别式,所以, 所以在上单调递增,所以. 综上,实数a的取值范围是. (2)由(1)知,当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 所以是的极大值点,是的极小值点. 由(1)知,,,则. 综上,要证,只需证, 因为 , 设,. 所以, 所以在上单调递增,所以. 所以,即得成立. 所以原不等式成立. 【点睛】关键点点睛:导数研究函数的单调性,考查了分类讨论思想,同时考查了利用导数证明不等式的成立, (1)含参问题的分类讨论,对参数的讨论不重不漏; (2)换元法的应用,通过换元研究函数时的常用方法. 26.(22-23高二下 江苏南通 期末)已知函数,. (1)当时,求函数的极值; (2)当时,,求的取值范围. 【答案】(1)极小值 (2) 【分析】(1)当时,求得,利用导数分析函数的单调性与极值点,即可求得函数的极小值; (2)当时,等价于当时,,令,可得,对实数的取值进行分类讨论,利用导数分析函数在上的单调性,验证在上能否恒成立,由此可得出实数的取值范围. 【详解】(1)解:的定义域为,当时,, , 令,解得, 减 极小值 增 所以的极小值. (2)解:当时,等价于当时,, 令,则在上恒成立, 所以, 令,所以, 因为,所以,所以在上单调递增, 所以, ①当,即时,, 所以,即在上单调递增, 所以,所以当时,; ②当,即时,, 又, 因为,所以,所以, 因为,且的图象在上连续不间断, 所以存在,使得, 因为当时,,即,所以在上单调递减, 所以,这与在上恒成立矛盾, 所以不合题意,舍去. 综上所述,的取值范围是. 27.(22-23高二下 江苏连云港 期末)已知函数. (1)当为何值时,轴为曲线的切线; (2)用表示中的最大值,设函数,试讨论函数零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的a值; (2)根据对数函数的图象与性质将分为,研究 的零点个数,若零点不容易求解,则对再分类讨论. 【详解】(1)设曲线与轴相切于点,则, 即,解得. (2)当时,在无零点. 当时,若,则, 故是的零点; 若,则, 故不是的零点. 当时,,所以只需考虑在的零点个数. (i)若或,则在无零点, 故在单调,而, 所以当时,在有一个零点; 当时,在无零点. (ii)若,则在单调递增,在单调递减, 故当时,取的最大值,最大值为. ①若,即在无零点. ②若,即,则在有唯一零点; ③若,即,由于, 所以当时,在有两个零点; 当时,在有一个零点. 综上,当或时,有一个零点; 当或时,有两个零点; 当时,有三个零点. 28.(22-23高二下 江苏扬州 期末)已知为实数,函数. (1)若函数在区间上存在极值点,求的取值范围,并说明是极大值点还是极小值点; (2)若对恒成立,求的取值范围. 【答案】(1),且该极值点为极小值点 (2) 【分析】(1)先求,再分和两种情况讨论极值点即可解题; (2)方法一先把恒成立的式子移项设为新函数,对新函数求导函数分和两种情况讨论由零点存在定理得出矛盾最后确定范围即可. 方法二应用多次求导,结合导函数和函数的关系分类讨论求解 【详解】(1)由题可知,. ①当时,在上单调递增,无极值,不成立; ②当时,在上单调递增. 由题可知,,使得,且时, 单调递减;当时, 单调递增,即是极小值点, 所以解之得. 综上,,且该极值点为极小值点. (2)方法一:由题得,对恒成立. 记, 则, 令,则, 令,则在上单调递增, 又. ①当,即时, ,即在上单调递增, 又,所以, 即在上单调递增, 又,所以当时,恒成立. ②当,即时,, 所以由零点存在性定理可知,,使得, 则当时,,即在上单调递减, 又,所以当时,,即, 所以当时,单调递减,又, 所以当时,,矛盾,不成立. 综上所述,的取值范围为. 方法二:由题得,对恒成立. 记, ①当时,记,所以, 所以在上单调递增,所以, 所以,记, 所以,令,所以在上单调递增,且, 所以在上单调递增,则, 所以在上单调递增,则, 所以对恒成立; ②当时,在上单调递增, 因为, 所以,使得,且时,单调递减. 所以当时,单调递减, 所以当时,,与对恒成立矛盾. 综上, 29.(2023 江苏盐城 三模)已知函数. (1)当时,求的单调递增区间; (2)若恒成立,求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)代入求导得,再次设导函数为新函数进行求导得到其单调性和其零点,从而得到的单调增区间; (2)法一:令,利用导数和零点存在定理得存在唯一正实数使得,从而得到,再利用隐零点法得,再次设新函数进行求导从而得到的范围; 法二:同法一求得,则 ,利用基本不等式有,从而得到的范围. 【详解】(1)当时,,, 设 又,∴在上单调递增, 又,∴当时,当时, ∴的单调递增区间为. (2)对函数求导得,,令, 则,∴在上单调递增, 又,当时, 故存在唯一正实数使得, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增, ∴, 由恒成立,得, 由得,∴ ∴,∴, ∴, 设,则恒成立, 故在上单调递增,而, ∴, 又且函数在上是增函数, 故的取值范围为 法2:同法一得, 由得, ∴ ,当且仅当时等号成立, ∴, 故的取值范围为 30.(22-23高二下 江苏南京 期末)已知函数. (1)讨论的单调性; (2)证明:当时,. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)求函数的导函数及其零点,分区间确定导数值的正负,由此确定函数的单调性; (2)结合(1)由分析可得要证明原结论只需证明,设,利用导数求其最大值即可. 【详解】(1)由,得, ①当时,,在上单调递减; ②当时,令,得, 当时,,单调递增; ,,单调递减; (2)由(1)知,当时,, 要证:当时,, 可证:, 因为,即证:, 设,, 令,则, 所以当时,,单调递增; 当时,,单调递减, ,所以, 即, 所以当时,. 31.(22-23高二下 江苏 期末)已知函数. (1)时,求函数在处的切线方程; (2)讨论函数的单调性; (3)证明不等式恒成立. 【答案】(1) (2)当时,在上单调递增; 当时,在上单调递增,在上单调递减. (3)证明见解析. 【分析】(1)求出切点坐标,用导数的几何意义求出切线斜率即可求解; (2)求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求; (3)用切线不等式可证得结果. 【详解】(1)时,,依题意切点坐标为, ,所以函数在处的切线的斜率为, 故函数在处的切线方程为,即. (2)的定义域为,, 当时,恒成立,所以在上单调递增; 当时,令,得, 时,,单调递增, 时,,单调递减. 综上所述,当时,在上单调递增; 当时,在上单调递增,在上单调递减. (3)要证恒成立,即证恒成立, 令,,由(2)可知, 在上单调递增,在上单调递减, 所以恒成立, 即有时恒成立,当且仅当时取“=”号, 亦有即恒成立,当且仅当,即时取“=”号. 所以一方面,当且仅当,即时取“=”号, 另一方面恒成立,当且仅当时取“=”号, 所以恒成立,原不等式得证. 学科网(北京)股份有限公司 $$