专题01 解二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 解二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 二元一次方程的解 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法与加减消元法1 题型七 代入消元法与加减消元法2 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十二 同解方程组 题型十三 解三元一次方程组 题型十四 三元一次方程组的应用 【知识梳理】 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（2023下·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）若是关于x、y的二元一次方程，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是关于的二元一次方程，则 ． 3．（20-21六年级下·上海静安·期中）若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题三 二元一次方程的解】 【例3】（2023下·浙江衢州·七年级校考阶段练习）若是关于的方程的一个解，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）若是方程的一个解，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．1 2．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解． (1)求a的值； (2)请用含有x的代数式表示y． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）已知和都是关于x，y的二元一次方程 的解，则a、b的值分别是（    ） A．—5、2 B．5、—2 C．5、2 D．以上都不对 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程有两个解和则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）当时，二元一次方程与有相同的解，则 ． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【经典例题六 代入消元法与加减消元法1】 【例6】（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）已知关于、的方程组和有相同的解，求的值． 【变式训练】 1．（2023上·全国·八年级专题练习）用加减消元法解方程： (1)； (2)． 2．（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期中）解下列方程组： (1) (2) 3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）解方程组： (1)； (2) 4．（2023上·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校联考期中）解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题七 代入消元法与加减消元法2】 【例7】（2023上·山东济南·八年级济南外国语学校校考阶段练习）计算：按要求解下列二元一次方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【变式训练】 1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）计算：选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 2．（2021上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”． ①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值； 3．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 4．（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）解下列方程组： (1) (2) 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（2023下·浙江衢州·七年级统考期末）若，且关于x，y的二元一次方程，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆黔江·阶段练习）如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ． 3．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（2023下·山东烟台·七年级校考阶段练习）解方程组时，一学生把c看错而得而得正确的解是，那么a、b、c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（2023上·浙江·九年级周测）对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）满足的x，y的值分别为（    ） A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为 3．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例11】（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）方程组的解与y相等，则k的值的是（  ） A．1或－1 B．5 C．1 D．－5 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 【经典例题十二 同解方程组】 【例12】（2023下·河南新乡·七年级校考期中）若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 3．（22-23七年级下·全国·课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【经典例题十三 解三元一次方程组】 【例13】（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【变式训练】 1．（2024上·浙江舟山·七年级统考期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 2．（2024上·四川达州·八年级校考期末）已知x、y、z满足，则的值为 . 3．（2023下·七年级课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（2023·山东临沂·统考二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（    ） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 【变式训练】 1．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 2．（2023上·江苏扬州·七年级校考期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2021，则 ． 1 a b c 8 … 3．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【拓展培优】 1．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·河南·阶段练习）关于的方程组和 有相同的解， 则的值是（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2024 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对； ④若，则． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于，的方程组有正整数解，则正整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（21-22八年级上·河北保定·期末）已知关于，的方程组，下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数； ③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 7．（23-24八年级上·四川成都·期末）关于的方程组的解满足，则的值是 ． 8．（20-21七年级下·上海杨浦·期中）a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 9．（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得，∴， 把代入①得，∴方程组的解为 现已知x，y满足方程组，求整式的值为 ． 10．（21-22七年级下·全国·单元测试）二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ． 11．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 12．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知未知数为x，y的方程组，其中a，x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 13．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）（1）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． （2）试说明：关于，的二元一次方程组，不论取什么实数，的值始终不变． 14．（17-18七年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 15．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 二元一次方程的定义 题型二 判断是否是二元一次方程组 题型三 二元一次方程的解 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 题型六 代入消元法与加减消元法1 题型七 代入消元法与加减消元法2 题型八 二元一次方程组的特殊解法 题型九 二元一次方程组的错解复原问题 题型十 构造二元一次方程组求解 题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型十二 同解方程组 题型十三 解三元一次方程组 题型十四 三元一次方程组的应用 【知识梳理】 【知识点1 二元一次方程（组）的概念】 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 【知识点2 二元一次方程（组）的解】 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【知识点3 二元一次方程组的解法】 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【知识点4：三元一次方程（组）的概念与解法】 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（2023下·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）已知二元一次方程，用含y的代数式表示x，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解：，移项得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）若是关于x、y的二元一次方程，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．先移项并合并关于x同类项，然后令未知数的系数不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴． 故选B． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，由二元一次方程的定义可得，，计算即可得出答案． 【详解】解：是关于的二元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 3．（20-21六年级下·上海静安·期中）若，是关于x，y的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可 【详解】解∶∵方程是关于的二元一次方程， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 【经典例题二 判断是否是二元一次方程组】 【例2】（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义解答即可； 【详解】A、最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义； B、整个方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义； C、符合二元一次方程组的定义； D、不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【点睛】主要考查二元一次方程组的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程，注意：整个方程组里只能含有2个未知数． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A．的最高项的次数是2，故不是二元一次方程组； B．的最高项的次数是2，故不是二元一次方程组； C．是二元一次方程组； D．的分母含未知数，故不是二元一次方程组； 故选C． 2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【经典例题三 二元一次方程的解】 【例3】（2023下·浙江衢州·七年级校考阶段练习）若是关于的方程的一个解，则的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】把代入关于的方程得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个解， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，根据题意得出关于的方程是解此题的关键． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）若是方程的一个解，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求代数式的值；把方程组的解代入二元一次方程中，得，再把所求代数式变形并整体代入即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值．先把方程的解代入二元一次方程，得到关于、的方程，变形后整体代入求值． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ， ． 故答案为：2027． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解． (1)求a的值； (2)请用含有x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的性质，用一个未知数的代数式表示另一个嫠数，作等式变形． （1）将二元一次方程的解代入得到关于a的方程，解关于a的方程即可； （2）将代入得到，将x看作已知数，y看作未知数，解关于y的方程即可． 【详解】（1）把代入二元一次方程， 得， ∴； （2）∵， ∴二元一次方程为，， 则 ∴． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例4】（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确； C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误； D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误． 故选B． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列说法：①二元一次方程组的解都是唯一的；②含有两个未知数的方程一定是二元一次方程；③方程的解有无数个；④解为的方程组是唯一的；其中正确是 ． 【答案】③ 【分析】根据二元一次方程组解得情况可以分析出二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解，故判断①、④错误；由二元一次方程的定义可知②错误；由二元一次方程的解的情况得出③正确． 【详解】①二元一次方程组的解不都是唯一的．可以是唯一的，也可以是无限个，也可以为无解． ①不正确 ②二元一次方程的定义是含有两个未知数，且未知数的指数是的整式方程．而②中未知数的指数不一定为． ②不正确 ③适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．每个二元一次方程都有无数对方程的解． 方程是二元一次方程，故它的解有无数个． ③正确． ④解为的方程组不是唯一的，有无数个． ④正确． 【点睛】本题考查二元一次方程的概念．以及二元一次方程解得情况以及二元一次方程组解得情况．判断是有唯一解还是无解还是无穷多解． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例5】（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）已知和都是关于x，y的二元一次方程 的解，则a、b的值分别是（    ） A．—5、2 B．5、—2 C．5、2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】要求a、b的值，要先求出a和b的值．根据题意得到关于a和b的二元一次方程组，再求出a和b的值． 【详解】解：∵和都是关于x，y的二元一次方程的解 ∴和满足关于x，y的二元一次方程 ∴，解得 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，解答此题时运用代入法，求得关于a和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程有两个解和则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意将两组解代入转化为关于的方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ，得， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）当时，二元一次方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同解方程，根据题意，把代入方程，可求出的值，再把的值代入方程，即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴， 把代入方程得， ， 解得，， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)时，方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 【经典例题六 代入消元法与加减消元法1】 【例6】（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）已知关于、的方程组和有相同的解，求的值． 【答案】0 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，代入求值，解题的关键是掌握加减消元法求解二元一次方程，正确求得a、b的值． 【详解】解：解方程组得：， 把代入得： ，解得：， 当，时，． 【变式训练】 1．（2023上·全国·八年级专题练习）用加减消元法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用加减消元法即可解答，掌握运用加减消元法解一元二次方程成为解答本题的关键； （2）先整理原方程组，再运用加减消元法即可解答，掌握运用加减消元法解一元二次方程成为解答本题的关键． 【详解】（1）解： ， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． （2）解：原方程组可整理为：， 得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 2．（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程组．熟练掌握用代入法或加减法求解一元二次方程组是解题的关键． （1）用加减法求解即可； （2）用加减法求解即可． 【详解】（1）解：变形得， 由得： ∴， 把代入①，得， ∴； （2）解：， 由，得 ∴， 把代入①学，得， ∴． 3．（2023上·山东济南·八年级统考期中）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，理解并掌握加减消元法的计算方法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解二元一次方程组即可； （2）先去分母，再运用加减消元法求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得，，整理得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的解为． （2）解： 去分母得，， 得，，整理得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的解为． 4．（2023上·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校联考期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据加减消元法计算即可； （2）根据加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 把，可得：， 解得：， 把代入，可得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 由，可得：， 解得：， 把代入，可得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【经典例题七 代入消元法与加减消元法2】 【例7】（2023上·山东济南·八年级济南外国语学校校考阶段练习）计算：按要求解下列二元一次方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，，将代入②式得，，解得，，将代入①式得，； （2）得，，解得，，将代入①式得，，计算求出值，进而可得结果． 【详解】（1）解：， 由得，， 将代入②式得，，解得，， 将代入①式得，， ∴； （2）解：， 得，，解得，， 将代入①式得，，解得，， ∴． 【点睛】本题考查了代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练】 1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）计算：选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入消元法解答即可； （2）根据加减消元法解答即可； 【详解】（1）解：， 把①代入②得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键. 2．（2021上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”． ①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值； 【答案】(1)； (2)． (3)①② 【分析】（1）利用代入消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． （3）①根据定义解答即可． ②根据定义计算，解方程即可． 【详解】（1）， 把①代入②，得， 解得， 把代入①得 ， 故方程组的解为． （2）， ，得， 解得， 把代入①得 ， 故方程组的解为． （3）①∵中， ∴其反对称二元一次方程， 故答案为：． ②是的解， ， 的“反对称二元一方程”为 且是的解， ． 【点睛】本题考查了代入消元法，加减消元法解方程，新定义方程解法，熟练掌握解方程组，准确求解新定义方程问题时解题的关键． 3．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①＋②得出，求出，再代入①求出即可； （2）把代入求出，再求出，再根据方程组解的定义可得答案． 【详解】（1）解：当时，方程组为， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）设， ∵，互为相反数， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴方程组的解是， ∴， 解得：， ∴原题中“”是． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解（2）的关键． 4．（2023上·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程组的解法，选择适当的解法是解题的关键， （1）选择代入消元法计算即可． （2）计算即可． 【详解】（1） 将①代入②得，， 解得； 把代入①得 故方程组的解为． （2）， 得， 解得， 把代入①得 故方程组的解为． 【经典例题八 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（2023下·浙江衢州·七年级统考期末）若，且关于x，y的二元一次方程，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得：，把代入得，整理得：，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出，解关于x、y的方程组即可． 【详解】解：由得：， ∴关于x，y的二元一次方程可变为： ， 整理得：， ∵当a取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆黔江·阶段练习）如果关于、的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由方程组可得，即得到，即可求解，利用整体思想解答是解题的关键． 【详解】解：， 得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解方式方程组，用换元法求解即可． 【详解】解：设， 则原方程组可化为， ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴， ∴， 经检验符合题意． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即， 把方程①代入③得：， 得， 将，代入①得， 方程组的解为， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出的值即可． 【详解】（1）解：将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：由①得：， ， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：，即． 【经典例题九 二元一次方程组的错解复原问题】 【例9】（2023下·山东烟台·七年级校考阶段练习）解方程组时，一学生把c看错而得而得正确的解是，那么a、b、c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【答案】B 【分析】将代入中可求c，由题得可求a、b； 【详解】解：将代入中， 得， ∴， 将、代入中得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出a、b的二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x、y的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入①求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：∵甲看错了字母a但没有看错b， ∴将代入， 得，， ∴， 同理可求得， 将，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组正确的解是． 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）甲、乙两人在解方程组时，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得，则的值为 ． 【答案】5 【分析】 本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 因， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得； 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）（1）已知关于的方程组与有相同的解，求方程组的解及的值． （2）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组综合，涉及同解二元一次方程组求参数问题，读懂题意，由所给方程组得到系数确定的二元一次方程组求解即可得到答案，熟练掌握同解方程问题的解法是解决问题的关键． （1）由题中两个方程组同解，得到新的二元一次方程组，解方程后，将代入含参数的方程，构成参数方程组求解即可得到答案； （2）解，设被墨水污染的为，点为，为，将方程组的解代入同解方程组解得，再结合题意构造新的二元一次方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）方程组与有相同的解． 联立得方程组，解得，代入得，解得； （2）， 由②－①，得． 把代入②，得，解得， 方程组的解为， 设被墨水污染的为，点为，为． 这个方程组的解是， ， ． 看错了第二个方程中的的系数，求出的解是， ， ，解得， 原方程组为． 【经典例题十 构造二元一次方程组求解】 【例10】（2023上·浙江·九年级周测）对于任意实数，有序实数对与之间的运算“*”定义为：．如果对于任意实数都有，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出关于的一元二次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，根据新定义列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）满足的x，y的值分别为（    ） A．，1 B．1，1 C．1， D．无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质建立二元一次方程组，再求出x、y的值即可．掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ， 解得：， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据新运算的法则，以及，，列出方程组求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 原方程组可化为， 解得：， ∴． 即：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，列出二元一次方程组． 【经典例题十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例11】（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）方程组的解与y相等，则k的值的是（  ） A．1或－1 B．5 C．1 D．－5 【答案】C 【分析】把看作已知数表示出方程组的解，根据列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：， 得，即， ， 根据，得， 去分母得：， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握其运算方法是解题的关键． 分别把两组解代入二元一次方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：根据题意，把方程的两组解代入得， ①②得，， 把的值代入②得，， 故选：． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．两方程相减求得，结合已知得出关于k的式子，进而可求出k的值． 【详解】解：， ①-②得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将方程组中的两个方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可． （2）把k代入原方程组，利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1） 得，， ， 二元一次方程组的解满足， ， 解得：； （2）将代入原方程组得 得， ， 将代入得， ， 解得：， 原方程组的解为． 【经典例题十二 同解方程组】 【例12】（2023下·河南新乡·七年级校考期中）若关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由两方程组同解，可得出原来两方程组的解与方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入方程组中，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有相同的解， ∴原来两方程组的解与方程组的解相同． 解方程组得：． 将代入方程组得：， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同解方程组，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）与方程组有相同解的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查二元一次方程的解和绝对值，理解二元一次方程的解的定义是做题的关键．由题意可得同解方程的解必须同时满足和，据此求解即可． 【详解】解：A．不满足，故不符合题意； B．不满足，故不符合题意； C．∵，∴或，故不符合题意； D．∵，∴，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·全国·课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由题意，得 ①＋②，得5x＝10，解得x＝2． 把x＝2代入①，得4＋5y＝－26，解得y＝－6． ∴这两个方程组的相同解为 （2）把代入得 解此方程组，得a＝1，b＝－1， ∴（2a＋b）2024＝（2－1）2024＝1． 【经典例题十三 解三元一次方程组】 【例13】（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2024上·浙江舟山·七年级统考期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 2．（2024上·四川达州·八年级校考期末）已知x、y、z满足，则的值为 . 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（2023下·七年级课时练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】5.（1） ①＋②，得4x＋z＝5，④ ③＋④，得5x＝10，解得x＝2 把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0 把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3 所以原方程组的解为． （2） ①＋②，得x＋z＝2，④ ②＋③，得5x－8z＝36，⑤ ④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2 把z＝－2代入④，得x＝4 把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0 所以原方程组的解是． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例14】（2023·山东临沂·统考二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是（    ） A．1元 B．3元 C．5元 D．7元 【答案】D 【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱，根据“晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可得出的值． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为x元，每盒乙种礼盒的价钱为y元，晓雨身上有z元钱， 根据题意，得， ，得：，③ ，得：，④ ，得， ∴， ∴晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元． 故选：D． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 【答案】B 【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果． 【详解】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元， 根据题意得：， 得：，即， ∴， 则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元． 故选：B． 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 2．（2023上·江苏扬州·七年级校考期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前n个格子中所填整数之和是2021，则 ． 1 a b c 8 … 【答案】1516 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意推出，进而得出表格中数据按照1，8，的顺序循环，是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 由表可知，表格中数据有1，8，， ∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴表格中数据按照1，8，的顺序循环， ∵，， ∴前n个格子一共有个数，则， 故答案为：1516． 3．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）问题提出 已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为______． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景-共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）1330朵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，可得，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：（1）得， 故答案为：． （2）， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则， 由题意，得， 由，得④， 由，得，即． 答：黄花一共用了1330朵． 【拓展培优】 1．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，代入代数式即可得到答案. 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ ①＋②得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴， 故选：C 2．（23-24七年级下·河南·阶段练习）关于的方程组和 有相同的解， 则的值是（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了同解方程组，根据题意可得方程组，解得，进而得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵关于的方程组和 有相同的解， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对； ④若，则． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组；①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解． 【详解】解：，得 ， 将代入②得， 方程组的解为 ∴ 当时，，而， ①正确； ②，当时， ②不正确； ③∵、，为自然数， ∴ 或或或， ③正确； ④，解得， ④正确． 故选：C 4．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于，的方程组有正整数解，则正整数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 本题主要考查二元一次方程组的解和整数解得可能，利用加减消元法求得x和y，再结合正整数解，即可求得a的值． 【详解】解： 得，， 代入得， ∵方程组有正整数解，是正整数， ∴由得， 当时，满足要求， 故选：D． 5．（21-22八年级上·河北保定·期末）已知关于，的方程组，下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数； ③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解． 【详解】解：将代入原方程组，得， 解得：． 将代入方程的左右两边， 得：左边，右边，即左边右边， ∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意； 解原方程组，得， ∴， ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意； ∵， ∴、为非负整数的解有，，，， ∴，都为为非负整数的解有对，故③正确，不符合题意； ∵，， ∴， 解得：，故④错误，符合题意． 综上所述：②③正确，①④错误． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤． 二、填空题 6．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了方程的解，方程组的特殊解法；将所求方程组整理成，由方程组的解是，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∵方程组的解是， ∴， 解得． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·四川成都·期末）关于的方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，首先解方程组得，再根据得，据此即可求出的值，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 8．（20-21七年级下·上海杨浦·期中）a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】9 【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 化简，得， 由于k可以取任意值，则， 解得：， 则． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程，以及解二元一次方程组 ，正确得到a和b的值是关键． 9．（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得，∴， 把代入①得，∴方程组的解为 现已知x，y满足方程组，求整式的值为 ． 【答案】 【分析】由①得③，把③代入②，求得，再代入③，进一步计算即可求解. 【详解】解：， 由①得，，即③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解高次方程组、解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能够整体代入是解此题的关键． 10．（21-22七年级下·全国·单元测试）二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解． 【详解】解：∵关于，的方程组无解， ，得， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 三、解答题 11．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，求代数式的值，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可． 【详解】解：由题意，是的解，得， 解得：， 又是的解，得， 解得：， ． 12．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知未知数为x，y的方程组，其中a，x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)方程组的解x与y具有“友好关系”，理由见解析 (2)或； (3)有，，方程组的解是 【分析】（1）先求出方程组的解，再代入验证即可； （2）由①②得，，则，根据方程组的解x与y具有“友好关系”得到，解得m的值即可； （3）根据该方程组的解x与y具有“友好关系”，则，即或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程组的解x与y具有“友好关系”， 理由如下： ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2） ①②得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， 解得或； （3） 若该方程组的解x与y具有“友好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，解得， 与a，x，y都是正整数矛盾，故不成立； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，解得，符合题意， 综上可知，，方程组的解是； 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意是基础，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 13．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）（1）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． （2）试说明：关于，的二元一次方程组，不论取什么实数，的值始终不变． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）可以先解关于，的方程组，再求的值； （2）可以先解关于，的方程组，得到，即可证得不论取什么实数，的值始终不变． 【详解】（1）解： ①+②，得， 整理得： 解得：； （2）解：， ①②，得， 即不论为何值，的值始终不变，都是3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 14．（17-18七年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论； （2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值； （3）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解． 【详解】（1）解：， ， 又因为，为正整数， ， 即：只能取2或4； 方程的所有正整数解：，； （2）由题意得：， 解得， 把代入， 解得； （3）方程总有一个固定的解， 即方程总有一个固定的解， ，． ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，理解题意，熟练掌握求方程组的解的方法是本题的关键． 15．（22-23七年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到或，再结合，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程得：， 将代入方程得：， 解得：； （2）解：由题意得：或， 解两个二元一次方程组得：或， ∴m、n的值为：或； （3）解：解方程得：， 解：方程得：， ∵方程和是关于x的“关联方程”， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$