九年级下册 第4章 概率-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

'"# ! #!'"弧长和扇形面积 第 ( 课时!弧长 # 0 & = (;- 例 (!解!由题易知 & (*)*2-<#, & (*(A*('-<#则 -* 0 & = (;- * ('- & :(+ (;- *(- &- &(!C3"!答&顶点(从开始到结束共走过的 路径大约是 &( C3! "变式#(; 例 '!解!-* 0 & = (;- * =- & :( --- (;- *+-- & #中心虚线的长度为 & --- 5 +-- & :' *& --- 5( --- & !答&中心虚线的长度为!& --- 5 ( --- & "33! 第 ' 课时!扇形面积 # 端点! ! 0 & = ' &2- ! " 0 & = (;- ! $ ( ' -=! % 0 & = ' &2- ! ' ( ' -= 例 (!解!由题意得#边 (*扫过的区域为扇形 (*(A#) # ()*和 # (A)A*是等边三角形#且 (#*#)A三点在同一条直线上#则 & (*(A*('-<#扇形半径 (**(- C3#, $ * ('- &2- & :(- ' * (-- & & C3 ' #,边(*扫过的区域面积为 (-- & & C3 ' ! 例 '!=-<!例 &!= . = & 8 !"变式#8 #!("正多边形与圆 # 边! ! 内角! " &2-< 0 ! $ !0 .'" :(;-< 0 ! % 0! ' 偶! ( 中心 例 (! !" 例 '!解!!("先画 / .的内接正六边形#再在正六边形的基础上# 选择不相邻的三个顶点#顺次连接#即可作正三角形!如解图 (# # 1)3是 / .的内接正三角形! 解图 ( !! 解图 ' !'"先画圆的内接正方形#再在正方形的基础上用直尺和圆规 分别作与正方形相邻两边垂直的直径#即可作正八边形!如解 图 '#八边形(B)3*812是 / .的内接正八边形! 例 &!槡&!"变式#$ ! $ " HI-J8 $!!"投影 # 投影! ! 投影线! " 投影面! $ 物体的投影! % 平行光线! ' 一点! ( 平行投影! ) 垂直 例 (!4!例 '!4 例 &!解!!("如解图 ($!!'"如解图 '$!!&"如解图 &! 解图 ( !!! 解图 ' !!! 解图 & $!#"直棱柱#圆锥的侧面展开图 # 公共边! ! 平行! " 底面! $ 矩形! % 侧面! ' 垂直 ( 边数! ) 正多边形! * 矩形! + 底面周长! ,-. 侧棱长!高"! ,-/ 顶点! ,-0 圆心! ,-1 顶点! ,-2 相等! ,-3 扇形! ,-4 母线长 ,-5 底面圆的周长 例 (!!(; 5'槡&"!例 '!!("&&!!'" &槡& ' $!$"三视图 第 ( 课时!几何体的三视图 # 前往后! ! 左往右! " 上往下! $ 下边! % 右边! ' 实线! ( 虚线 例 (!%!例 '!主视图!左视图!俯视图!例 &!略! 例 8!解!三视图如解图所示& 第 ' 课时!由三视图还原几何体 例 (!$!例 '!%!例 &!0 例 8!解!该几何体是一个圆柱放在一个长方体上面#所以该几何体 的体积约为 &!(8 :!'- D'"' :'- 5'+ :&- :8- *&2 ';-!33&"$该 几何体的表面积约为 &!(8 :'- :'- 5' :!'+ :&- 5&- :8- 5 '+ :8-" *1 (+2!33 ' "! ! % " KL %!!"随机事件与可能性 # 必然发生! ! 一定不发生 例 (!$ 例 '!!("不可能!!'"必然!!&";!'!!8"=!(!!&"!8"答案 不唯一" 例 &!!("黑!!'"8!' %!#"概率及其计算 &!#!! MN1MO # ' 0 ! ! (! " -! $ -! % ( 例 (! # !例 '! ' + !例 &! ( & !例 8!$ &!#!# PQR)SMN 第 ( 课时!用列表法求概率 # 两! ! ' 0 例 (!0 例 '!解!!("将转盘$的蓝色扇形分别记为蓝 ( #蓝 ' #列表如下& 红 蓝 ( 蓝 ' 红 !红#红" !红#蓝 ( " !红#蓝 ' " 黄 !黄#红" !黄#蓝 ( " !黄#蓝 ' " 蓝 !蓝#红" !蓝#蓝 ( " !蓝#蓝 ' " 由表可知#共有 = 种等可能的结果#其中能配成紫色的有 & 种 结果#,/!能配成紫色" * ( & $ !'"公平#理由如下&)共有 = 种等可能的结果#其中两个转盘 转出同种颜色的有 & 种结果#,/!小亮赢" * ( & #)/!小红 赢" */!能配成紫色" * ( & #,/!小红赢" */!小亮赢"#因 此#这个游戏对双方是公平的! 例 &!解!小华的想法不正确!理由如下& 首先把红色分成相等的两部分#记为红 ( #红 ' #列表如下& 红 ( 红 ' 黄 蓝 红 ( !红 ( #红 ( " !红 ( #红 ' " !红 ( #黄" !红 ( #蓝" 红 ' !红 ' #红 ( " !红 ' #红 ' " !红 ' #黄" !红 ' #蓝" 黄 !黄#红 ( " !黄#红 ' " !黄#黄" !黄#蓝" 蓝 !蓝#红 ( " !蓝#红 ' " !蓝#黄" !蓝#蓝" 共有 (2 种等可能的结果#能配成紫色的有 8 种结果# ,能配成紫色的概率为 8 (2 * ( 8 #,小华的想法不正确! 例 8! & (2 !例 +! ' & 第 ' 课时!用树状图法求概率 # 等可能 例 (!解!!("从布袋里任意摸出一个小球#上面的数字恰好是 '&(的概率为 ( & $ !'"画树状图如解图& 由树状图可知#共有 = 种等可能 的结果#其中两次记录的数字之 和为 & 的结果有 ' 种#,两次记 录的数字之和为 & 的概率为 ' = ! 例 '!解!将这三张卡片任意摆成一个三位数#画树状图略! ,摆出的三位数有 8+2#82+#+82#+28#28+#2+8 共 2 种等可能 的结果#其中 8+2#+82#+28#2+8 是 ' 的倍数共 8 种#,摆出的 三位数是 ' 的倍数的概率/* 8 2 * ' & ! %!$"用频率估计概率 # 大量重复! ! 4 例 (!$!例 '!%!例 &!-!8!例 8!( 2-- 例 +!解!!(" ( & !'"这种说法是错误的!理由如下& 在 2- 次试验中#'8 朝下(的频率为 ( 2 并不能说明'8 朝下(这 一事件发生的概率为 ( 2 !只有当试验的总次数很大时#才能用 事件发生的频率估计相应的事件发生的概率! 课堂 !- 分钟 ! " # $ % ! ! " $%&'( !!!"反比例函数 !!%!#!0!$!$!%!"* 8 # !&!8 '!解!!(""关于#的函数表达式为"* & # $ !'"这个函数的比例系数为 &#自变量的取值范围为# ! -$ !&"将"*.8 代入 "* & # #得 #*. & 8 #,当 "*.8 时#自变 量#的值为. & 8 ! !!#"反比例函数的图象和性质 第 ( 课时!反比例函数!+ " # !" ,-"的图象和性质 !!0!#!0!$!$!%!" ( 9" ' &!解!作出函数图象略! !("当#*.' 时#"* 2 .' *.&$ !'"当 ' 9"98 时# & ' 9#9&$ !&"当.( 9#9' 且# ! - 时#"9.2 或"/&! 第 ' 课时!反比例函数!+ " # !" .-"的图象和性质 !!%!#!%!$!4!%!4!&!.(- '!解!!("把! .&#8"代入"* & # #得&*.& :8 *.('# 画出这个函数的图象如解图$ !'"由图象可以看出#当#/- 时#函数"的值小于 -! 第 & 课时!反比例函数图象和性质的综合运用 !!$!#!0!$!0!%!. 8 & &!解!!("反比例函数的表达式为" ' *. ; # !#9-"#一次函数的 表达式为" ( *#52$ !'"由图象可得不等式 & ' # " & ( #5+的解集为.8 " # " .'$ !&")一次函数" ( *#52 与#轴交于点*#,点 *! .2#-"#由 !("易得)! .'#8"#, # .*)的面积为 ( ' :2 :8 *('! !!$"反比例函数的应用 !!4!#!越来越亮!$!3/(' E!%!6 * 2- # !#/-" &!解!!("L关于?的函数表达式为L* (+- ? $ !'"当小汽车匀速行驶的速度为 2- S3BT#即 L*2- S3BT#在 L* (+- ? 中#令L*2-#得 2- * (+- ? #解得 ?*'!+!答&小汽车匀速 行驶的速度为 2- S3BT时#从乙地返回甲地需要 '!+ T! ! # " 234567 #!!"一元二次方程 !!4!#!%!$!0!%!.'!&! #!#.(" ' *'; '!解!!("方程整理得#' 5+#.2 *-#方程是一元二次方程#二次 项系数%一次项系数和常数项分别是 (#+# .2$ !'"方程整理得#' .&#58 *-#方程是一元二次方程#二次项 系数%一次项系数和常数项分别是 (# .&#8$ !&"!&#.'" ' *&#!&#.+"#=# ' .('#58 *=# ' .(+##=# ' . ('#58 .=# ' 5(+#*-#&#58 *-#方程不是一元二次方程 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 参考答案 吃透教材!九下!第 .章 *'" 众相原创 分层练!广西数学"#$# ! $ "#CD $!!"随机事件与可能性 教材知识梳理 !!确定性事件! ""#必然事件!在一定条件下! ! !必然发生!的事件称为必然事件$ "&#不可能事件!在一定条件下! " !一定不发生!的事件称为不可能事件! 必然事件和不可能事件统称为确定性事件! #!随机现象!在基本条件相同的情况下!可能出现不同的结果!究竟出现哪一种结果!随(机 遇)而定!带有偶然性!这类现象称为随机现象! '!随机事件!在随机现象中!如果一件事情可能发生!也可能不发生!那么称这件事情是随机 事件! &温馨提示'事件的分类! 教材经典母题变式 教材母题 ! 确定性事件与随机事件 例 "!"教材'"&& 习题)" 变式#下列事件是随机事件的是 "!!# 8<瓮中捉鳖 9<购买一张福利彩票!中奖 :<,& 的绝对值等于 & ;<在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球!摸出红球 例 &!"教材'"&% 动脑筋变式#已知盒中装有红球&黄球共 "% 个!每个球除颜色外其余都相 同!每次从盒中随机摸出一个球!摸三次!不放回! ""#若盒中装有红球 & 个&黄球 1 个!则(摸出的三个球都是红球)是!不可能!事件$ "&#若盒中装有红球 1 个&黄球 & 个!则(摸出的三个球中有红球)是! "必然!事件$ "(#若盒中装有红球! ) !个&黄球! # !个!则(摸出的三个球中有两个黄球)是随机事 件!写出一种方案即可#$ ".#若盒中装有红球! / !个&黄球! ! !个!则(摸出的三个球中有两个黄球)是确定性 事件!写出一种方案即可#! ""'#"$#答案不唯一# &方法总结'判断事件的类型"要从定义出发"看其在一定条件下是否一定发生或者可能发生"同时 要与生活实际联系! 教材母题 " 随机事件发生的可能性大小 例 (!"教材'"&( 习题)( 变式#一个不透明的袋子中装有 + 个红球&0 个黑球!这些球除颜 色外都相同! ""#若从中任意摸出一个球!则摸到!黑!球的可能性大$ "&#如果另外拿红球和黑球一共 / 个放入袋中!那么应放入! $ !个红球!! # !个黑球! 才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同! &方法总结'在等可能的情况下"随机事件发生的可能数越多"该事件发生的可能性越大"即可通过 计算每一个要素的数量"通过数量的多少判断可能性的大小! 吃透教材!九下!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# *(" $!#"概率及其计算 '!"!! IJ,IK 教材知识梳理 !!概率的概念!一般地!对于一个随机事件+!我们把刻画其发生可能性大小的数值!称为随 机事件+发生的概率!记为."+#! #!概率的计算!一般地!如果在一次试验中!有 7种可能的结果!其中每一种结果发生的可能 性相等!那么出现每一种结果的概率都是 " 7 !如果事件+包含其中的*种可能的结果!那 么事件+发生的概率为."+# * ! !!!!! '!概率的意义!事件发生的概率越大!则该事件就越有可能发生!随机事件 +发生的概率 如下' ""#必然事件'."+# * " !!!!$"&#不可能事件'."+# * # !!!!$ "(#随机事件' $ !!!! =."+# = % !!!!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 概率的意义 例 "!商场举行摸奖促销活动!对于(抽到一等奖的概率为 %!%")!下列说法正确的是! $ ! !填序号#! ! 抽 "%" 次也可能没有抽到一等奖$ " 抽 "%% 次必有 " 次抽到一等奖$ # 抽 " 次不可能抽 到一等奖$ $ 抽了 >> 次如果没有抽到一等奖!那么再抽 " 次肯定抽到一等奖! 教材母题 " 简单事件的概率计算 例 &!"教材'"&0 练习)" 变式#有五张完全相同的卡片上!分别写有数字 "!&!(!.!+!现从 中随机抽取一张!抽到的卡片上所写数字大于 ( 的概率是!!!!! 例 (!"教材'"&0 练习)& 变式#如图!一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的 > 个小正方形构成!任意投掷飞镖一次!击中小正方形的边界或没有击中游 戏板"则重投一次#!击中阴影区域的概率是!!!!! 易错剖析 易错点"对概率的意义理解不清出错 例 .!下列说法正确的是 "!!# 8<(明天下雨的概率为 1%!)意味着明天有 1%!的时间下雨 9<经过有信号灯的十字路口时!可能遇到红灯!也可能遇到绿灯 :<(某彩票中奖概率是 "!)表示买 "%% 张这种彩票一定会有 " 张中奖 ;<小明前几次的数学测试成绩都在 >% 分以上!这次数学测试成绩也一定在 >% 分以上 易错提醒 概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数值"是随机事件自身固有的属性"与随机事 件发生的次数无关! 吃透教材!九下!第 .章 *)" 众相原创 分层练!广西数学"#$# '!"!" LMN$OIJ 第 " 课时!用列表法求概率 教材知识梳理 !!用列表法求概率!当一次试验涉及 ! ! "两!个因素!并且可能出现的结果数目较多!为 了不重不漏地列举所有可能的结果!通常采用列表法! #!用列表法求概率的步骤! ""#列表$ "&#通过表格计数!确定所有等可能的结果数 7和随机事件+可能的结果数*的值$ "(#用概率公式."+# * " !!!!!计算出事件+的概率! 教材经典母题变式 教材母题 用列表法求概率 例 "!"教材'"&> 练习)& 变式#一枚质地均匀的正方体骰子!骰子各面分别标有数字 "!&! (!.!+!/!掷两次所得点数之和为 "" 的概率为 "!!# 8< " "1 9< " (/ :< " "& ;< " "+ 例 &!小颖为班级联欢会设计了(配紫色)游戏'如图是两个可以自由转动的转盘!每个转盘 被分成了面积相等的三个扇形!游戏者同时转动两个转盘!当指针指在两个扇形的交线 时"需重新转动#!如果一个转盘转出红色!另一个转盘转出了蓝色!那么就可以配成 紫色! ""#请你利用列表法计算能配成紫色的概率$ "&#小红和小亮参加这个游戏!并约定配成紫色小红赢!两个转盘转出同种颜色!小亮赢! 这个约定对双方公平吗% 请说明理由! !!! 吃透教材!九下!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# **" &方法指导'游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相等"判断的本质是比较游戏双方的概率大 小"若概率相等"则游戏公平"若概率不相等"则游戏不公平! 易错剖析 易错点 !"忽略概率的等可能性而出错 例 (!"例 & 变式#如图所示的转盘!小华认为转盘上共有三种不同的颜色!所以自由转动这 个转盘两次!若指针落在扇形交线时"则重新转动#!能配成紫色的概率为 & > !你认为小华 的想法正确吗% 为什么% !注$一次转出红色"一次转出蓝色"即可以配成紫色# 解!小华的想法不正确!理由如下! 首先把红色分成相等的两部分%记为红 ! %红 # %列表如下! 红 ! 红 # 黄 蓝 红 ! "红 ! %红 ! # "红 ! %红 # # "红 ! %黄# "红 ! %蓝# 红 # "红 # %红 ! # "红 # %红 # # "红 # %黄# "红 # %蓝# 黄 "黄%红 ! # "黄%红 # # "黄%黄# "黄%蓝# 蓝 "蓝%红 ! # "蓝%红 # # "蓝%黄# "蓝%蓝# 共有 !( 种等可能的结果%能配成紫色的有 $ 种结果% 4能配成紫色的概率为 $ !( , ! $ %4小华说的不正确! 易错点 #"不能正确区分#放回$与#不放回$试验 例 .!现有四张正面分别标有数字,"!"!&!( 的不透明卡片!它们除数字外完全相同!将它 们背面朝上洗匀!随机抽取一张!记下数字后放回!背面朝上洗匀!再随机抽取一张记下 数字!前后两次抽取的数字分别记为*!7!则点."*!7#在第二象限的概率为!!!!! 例 +!在项目化学习中!(水是生命之源)项目组为了解本地区居民的人均淡水消耗量!需要 从四名同学!两名男生"两名女生#中随机抽取两人!组成调查小组进行社会调查!则恰好 抽到一名男生和一名女生的概率是!!!!! 易错提醒 !"#在类似掷骰子(扔飞镖(转转盘(掷硬币等试验中"可看作放回试验% !&#在类似选人(选物品!每个只能选一次#等试验中"可看作不放回试验% !(#在类似抽纸牌(摸球等试验中"需根据题目要求看是放回还是不放回试验!注意$一次抽取两个或 多个结果可看作不放回试验! 吃透教材!九下!第 .章 !++" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 第 & 课时!用树状图法求概率 教材知识梳理 !!树状图法求概率的一般步骤! ""#定!确定该试验的步骤和顺序以及每一步可能产生的结果$ "&#画!利用树状图在各层列举出每一步产生的结果$ "(#数!数所求事件的结果数*和全部等可能事件的结果数 7$ ".#算!代入概率的计算公式."+# * * 7 ! #!适用条件!当一次试验涉及两个因素时!为了不重不漏地列出所有 ! !等可能!的结果! 还可以借助树状图法!当涉及两个以上因素时!通常采用树状图法! 教材经典母题变式 教材母题 用树状图法求概率 例 "!"教材'"(( 习题)0 变式#一个不透明的布袋里装有三个小球!上面分别写着(")(&) (()!除数字外三个小球无其他差别! ""#从布袋里任意摸出一个小球!求上面的数字恰好是(()的概率$ "&#从布袋里任意摸出一个小球!记录其数字!放回并摇匀!再从中任意摸出一个小球!记 录其数字!求两次记录的数字之和为 ( 的概率!!要求画树状图说明# 解!"!#从布袋里任意摸出一个小球%上面的数字恰好是)'*的概率为 ! ' $ "##画树状图如解图! 由树状图可知%共有 / 种等可能的结果%其中两次记录的数字之和为 ' 的结果有 # 种% 4两次记录的数字之和为 ' 的概率为 # / ! 例 &!"教材'".( 复习题)1 变式#有分别写着数字.!+!/ 的三张卡片!将这三张卡片任意摆 成一个三位数!求摆出的三位数是 & 的倍数的概率! 解!将这三张卡片任意摆成一个三位数%画树状图如解图% 4摆出的三位数有 $%(%$(%%%$(%%($%($%%(%$ 共 ( 种等可能的结果%其中 $%(%%$(%%($%(%$ 是 # 的倍数共 $ 种% 4摆出的三位数是 # 的倍数的概率7, $ ( , # ' ! 吃透教材!九下!第 .章 众相原创 分层练!广西数学"#$# !+!" $!'"用频率估计概率 教材知识梳理 !!一般地!通过 ! !大量重复!试验!如果事件+发生的频率 * 7 稳定在某个常数4附近!这 个常数就是事件+发生的可能性!即该事件发生的概率."+# * " !!!!! &温馨提示'频率与试验次数及具体的试验有关"具有随机性%而概率是刻画随机事件发生可能性 大小的数值"是一个固定的值! 教材经典母题变式 教材母题 ! 频率与概率的关系 例 "!从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币!重复次数很多时!落下后正面朝上的频 率最有可能接近下列数值中的是 "!!# 8<%<1" 9<%<+& :<"<+% ;<"<%" 例 &!"教材'"(. 做一做变式#某数学小组做随机抛掷一枚纪念币的试验!得到的结果如下 表所示' 抛掷次数 7 "%% &%% +%% " %%% & %%% ( %%% . %%% + %%% &正面向上'的次数* (1 >/ &/% /&% " &(/ " 1+0 & .0& ( %>% &正面向上'的频率 * 7 %!(1% %!.1% %!+&% %!/&% %!/"1 %!/"> %!/"1 %!/"1 下面有 ( 个推断' ! 当抛掷次数是 " %%% 时!(正面向上)的频率是 %!/&%!所以(正面向上)的概率是 %!/&%$ " 随着抛掷次数的增加!(正面向上)的频率总在 %!/"1 附近摆动!显示出一定的稳定性! 可以估计(正面向上)的概率是 %!/"1$ # 当抛掷次数为 "% %%% 时!估计出现(正面向上)的次数为 / "1%! 其中合理的是 "!!# 8< !" 9< !# :< "# ;< " &归纳总结'频率与概率的区别与联系$ 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人(试验时间(试验地点有关 与试验人(试验时间(试验地点无关 联系 试验次数越多"频率越趋近于概率 吃透教材!九下!第 .章 !+#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 教材母题 " 用频率估计概率 例 (!"教材'"(1 习题)" 变式#某数学兴趣小组做(任意抛掷一枚图钉)的重复试验!多次 试验后获得如下数据' 重复试验次数 "% +% "%% +%% " %%% 钉尖朝上次数 + "+ (/ &%% .%% 由此可以估计任意抛掷一次图钉!钉尖朝上的概率为!!!!!!结果精确到 %!"# 例 .!小薇为了了解自家草莓的质量!随机从种植园中抽取适量草莓进行检测!发现在多次 重复的抽取检测中!(优质草莓)出现的频率逐渐稳定在 %!1!小薇家今年的草莓总产量 约为 & %%% 4P!由此估计小薇家今年的(优质草莓)产量为!!!!4P! 易错剖析 易错点"对频率和概率的概念理解出错 例 +!如图!质地均匀的正四面体的各面依次标有 "!&!(!. 四个数字!小明做了 /% 次投掷试 验!结果统计如下' 朝下数字 " & ( . 出现的次数 "( "0 &% "% ""#计算上述试验中!(( 朝下)的频率是!!!!$ "&#(根据试验结果!投掷一次正四面体!出现 . 朝下的概率是 " / )的说法正确吗% 为 什么% 解!"##这种说法是错误的!理由如下! 在 (+ 次试验中%)$ 朝下*的频率为 ! ( 并不能说明)$ 朝下*这一事件发生的概率为 ! ( ! 只有当试验的总次数很大时%才能用事件发生的频率估计相应的事件发生的概率! 易错提醒 注意频率估计概率的前提条件是在大量重复试验下"当频率稳定于某一常数时"才可以 用频率估计概率!