九年级下册 第3章 投影与视图-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学吃透教材（湘教版）广西专版

吃透教材!九下!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# *!" ! ' "#?@AB/ '!!"投影 教材知识梳理 !!投影的概念!光线照射物体!会在平面上!如地面(墙壁#留下它的影子!把物体映成它的影 子叫作 ! !投影!!照射的光线叫 " !投影线!!投影所在的平面叫 # !投影面!!物体在 投影下的像简称为 $ !物体的投影!! #!平行投影!由 % !平行光线!!如太阳光#照射物体形成的投影叫作平行投影! '!中心投影!如果光线从 & !一点!发出!如灯泡(电影放映机(幻灯机的光线#照射物体形 成的投影称为中心投影! &温馨提示'注意平行投影与中心投影的区别$前者的投影线互相平行"后者的投影线集中于一点! $!正投影!在 ' !平行投影!中!如果投影线与投影面互相 ( !垂直!!就称为正投影! &温馨提示'!"#正投影是一种平行投影%!&#当直线!平面#平行于投影面时"正投影反映实长!实 形#%当直线!平面#倾斜于投影面时"正投影的长度!形状#改变%当直线!平面#垂直于投影面时" 正投影积聚于一点!直线#! 教材经典母题变式 教材母题 ! 平行投影 例 "!"教材'>> 习题)& 变式#如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的示意 图!请你将它们按时间先后顺序进行排列 "!!# 8< !"#$ 9< !#$" :< "!$# ;< $"!# 教材母题 " 中心投影 例 &!"教材'>> 习题)( 变式#下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片!其中合 理的是 "!!# 8 !!!! 9 !!!! : !!!! ; 教材母题 & 正投影 例 (!"教材'>> 习题). 变式#按下列要求画出如图所示物体!正三棱柱#的正投影! ""#投影线由物体前方射到后方$ "&#投影线由物体左方射到右方$ "(#投影线由物体上方射到下方! 吃透教材!九下!第 (章 *#" 众相原创 分层练!广西数学"#$# '!#"直棱柱!圆锥的侧面展开图 教材知识梳理 !!直棱柱的相关概念 棱 直棱柱的棱是指两个面的 ! !公共边! 特征 直棱柱有以下三个特征' ""#有两个面互相 " !平行!!称它们为 # !底面!$ "&#其余各个面均为 $ !矩形!!称它们为 % !侧面!$ "(#侧棱!指两个侧面的公共边# & !垂直!于底面 分类 根据底面图形的 ' !边数!!可以将直棱柱分为直三棱 柱&直四棱柱&直五棱柱等 正棱柱 底面是 ( !正多边形!的直棱柱叫作正棱柱 图示!以直六棱柱为例#$ &温馨提示'长方体和正方体都是直四棱柱! #!直棱柱的侧面展开图!侧面展开图是一个 . !矩形!!这个矩形的长是直棱柱的 / !底面 周长!!宽是直棱柱的 012 !侧棱长"高#!! &温馨提示'直棱柱的侧面展开图的面积*直棱柱的底面周长C直棱柱的侧棱长!高#! '!圆锥的相关概念 高 连接 013 !顶点!与底面 014 !圆心!的线段叫作圆锥的高 母线 圆锥 015 !顶点!与底面圆上任意一点的连线段都叫作圆锥 的母线!母线的长度均 016 !相等! 图示'!! $!圆锥的侧面展开图!是一个 017 !扇形!!这个扇形的半径是圆锥的 018 !母线长!!弧长是圆 锥 019 !底面圆的周长!! &温馨提示'!"#圆锥的高 '(母线@与底面圆的半径5围成了一个直角三角形"三者满足勾股定理$ @ & *' & -5 & %!&#圆锥的侧面积 &侧 * " & @)& - 5* - @5%!(#圆锥的表面积 &全 *-5 & - - @5! 教材经典母题变式 教材母题 ! 直棱柱及其侧面展开图 例 "!"教材'""0 复习题)> 变式#制作一个底面边长是 & D2!高是 ( D2的正三棱柱包装纸 盒!至少需要纸板! "!) *#槡'#!D2 & ! 教材母题 " 圆锥及其侧面展开图 例 &!"教材'""0 复习题)"% 变式#如图!圆锥的底面半径为 "!母线长为 (! ""#该圆锥的侧面积为! ' & !$ "&#一只蚂蚁要从底面圆周上一点,出发!沿圆锥侧面爬到过母线+,的 轴截面上另一条母线+-上!则它爬行的最短路线是!!!!! 吃透教材!九下!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# *$" '!'"三视图 第 " 课时!几何体的三视图 教材知识梳理 !!视图的概念!当我们从某一角度观察物体在正投影下的像就称为该物体的一个视图! #!三视图的概念! 从 ! !前往后!看!画出物体在立于它后面的竖直平面上的正投影!称为主视图$ 从 " !左往右!看!画出物体在立于它右边的竖直平面上的正投影!称为左视图$ 从 # !上往下!看!画出物体在立于它下方的水平面上的正投影!称为俯视图! 主视图&左视图和俯视图统称为三视图! '!三视图的画法! ""#俯视图在主视图的 $ !下边!!左视图在主视图的 % !右边!$ "&#主视图与俯视图的长对正!主视图与左视图的高平齐!左视图与俯视图的宽相等$ "(#看得见部分的轮廓线画成 & !实线!!看不见部分的轮廓线画成 ' !虚线!! 教材经典母题变式 教材母题 ! 简单几何体的三视图 例 "!"教材'""+ 复习题). 变式#如图的四个几何体!它们各自的主视图和俯视图不相同 的几何体的个数是 "!!# 8<" 9<& :<( ;<. 例 & !"教材'"%> 例 . 变式#请将如图所示的六棱柱的三视图名称填在相应的横线上! !!!!! !主视图 ! !!! !左视图 ! !俯视图 ! 吃透教材!九下!第 (章 *%" 众相原创 分层练!广西数学"#$# 教材母题 " 简单组合体的三视图 例 (!"教材'"%1 练习)& 变式#画出如图所示几何体的三视图! 解!三视图如解图所示! &方法总结'画三视图的一般步骤为$ !"#确定主视图的位置"画出主视图% !&#在主视图正下方画出俯视图"注意俯视图与主视图长对正% !(#在主视图正右方画出左视图"注意左视图与主视图高平齐"与俯视图宽相等! &温馨提示'!"#为表示圆柱(圆锥(球等几何体的对称轴"可在视图中加画点划线表示对称轴% !&#画圆锥的三视图时"要记得加圆心点! 易错剖析 易错点"忽略三视图的虚实线而致错 例 .!"教材'""& 习题)+ 变式#画出下面几何体的三视图! 解!三视图如解图所示! 易错提醒 画三视图时要注意看得见的轮廓线画成实线"看不见的轮廓线画成虚线! 吃透教材!九下!第 (章 众相原创 分层练!广西数学"#$# *&" 第 & 课时!由三视图还原几何体 教材知识梳理 !!由三视图想象立体图形!要先根据主视图&俯视图和左视图想象立体图形的前面&上面 和左侧面!再综合起来考虑整体图形! 教材经典母题变式 教材母题 ! 由三视图确定几何体 例 "!"教材'""% 练习)" 变式#如图是一个几何体的三视图!这个几何体是 "!!# 8<四棱柱 9<三棱柱 :<三棱锥 ;<圆锥 例 " 题图 !!! 例 & 题图 例 &!"教材'""% 例 + 变式#如图是某几何体的三视图!则这个几何体是 "!!# 8 !!!!! 9 !!!!! : !!!!! ; 例 ( !"教材'""/ 复习题)+ 变式#由若干个相同的小正方体搭成一个几何体!从上面看它 的形状如图所示!小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数!则从左面看这个 几何体的形状图是 "!!# !!!!! 8 !!!!! 9 !!!!! : !!!!! ; 教材母题 " 由三视图计算几何体的表面积与体积 例 .!"教材'""0 复习题)> 变式#如图是一个几何体的主视图与俯视图!根据图中数据!单 位$22#!求该物体的体积和表面积! - 取 (!".#! 解!该几何体是一个圆柱放在一个长方体上面% 所以该几何体的体积约为 '!!$ 6"#+ C## # 6#+ *#% 6'+ 6$+ ,'( #)+"..'#$ 该几何体的表面积约为 '!!$ 6#+ 6#+ *# 6"#% 6'+ *'+ 6$+ *#% 6$+# ,& !%("..##! '"# ! #!'"弧长和扇形面积 第 ( 课时!弧长 # 0 & = (;- 例 (!解!由题易知 & (*)*2-<#, & (*(A*('-<#则 -* 0 & = (;- * ('- & :(+ (;- *(- &- &(!C3"!答&顶点(从开始到结束共走过的 路径大约是 &( C3! "变式#(; 例 '!解!-* 0 & = (;- * =- & :( --- (;- *+-- & #中心虚线的长度为 & --- 5 +-- & :' *& --- 5( --- & !答&中心虚线的长度为!& --- 5 ( --- & "33! 第 ' 课时!扇形面积 # 端点! ! 0 & = ' &2- ! " 0 & = (;- ! $ ( ' -=! % 0 & = ' &2- ! ' ( ' -= 例 (!解!由题意得#边 (*扫过的区域为扇形 (*(A#) # ()*和 # (A)A*是等边三角形#且 (#*#)A三点在同一条直线上#则 & (*(A*('-<#扇形半径 (**(- C3#, $ * ('- &2- & :(- ' * (-- & & C3 ' #,边(*扫过的区域面积为 (-- & & C3 ' ! 例 '!=-<!例 &!= . = & 8 !"变式#8 #!("正多边形与圆 # 边! ! 内角! " &2-< 0 ! $ !0 .'" :(;-< 0 ! % 0! ' 偶! ( 中心 例 (! !" 例 '!解!!("先画 / .的内接正六边形#再在正六边形的基础上# 选择不相邻的三个顶点#顺次连接#即可作正三角形!如解图 (# # 1)3是 / .的内接正三角形! 解图 ( !! 解图 ' !'"先画圆的内接正方形#再在正方形的基础上用直尺和圆规 分别作与正方形相邻两边垂直的直径#即可作正八边形!如解 图 '#八边形(B)3*812是 / .的内接正八边形! 例 &!槡&!"变式#$ ! $ " HI-J8 $!!"投影 # 投影! ! 投影线! " 投影面! $ 物体的投影! % 平行光线! ' 一点! ( 平行投影! ) 垂直 例 (!4!例 '!4 例 &!解!!("如解图 ($!!'"如解图 '$!!&"如解图 &! 解图 ( !!! 解图 ' !!! 解图 & $!#"直棱柱#圆锥的侧面展开图 # 公共边! ! 平行! " 底面! $ 矩形! % 侧面! ' 垂直 ( 边数! ) 正多边形! * 矩形! + 底面周长! ,-. 侧棱长!高"! ,-/ 顶点! ,-0 圆心! ,-1 顶点! ,-2 相等! ,-3 扇形! ,-4 母线长 ,-5 底面圆的周长 例 (!!(; 5'槡&"!例 '!!("&&!!'" &槡& ' $!$"三视图 第 ( 课时!几何体的三视图 # 前往后! ! 左往右! " 上往下! $ 下边! % 右边! ' 实线! ( 虚线 例 (!%!例 '!主视图!左视图!俯视图!例 &!略! 例 8!解!三视图如解图所示& 第 ' 课时!由三视图还原几何体 例 (!$!例 '!%!例 &!0 例 8!解!该几何体是一个圆柱放在一个长方体上面#所以该几何体 的体积约为 &!(8 :!'- D'"' :'- 5'+ :&- :8- *&2 ';-!33&"$该 几何体的表面积约为 &!(8 :'- :'- 5' :!'+ :&- 5&- :8- 5 '+ :8-" *1 (+2!33 ' "! ! % " KL %!!"随机事件与可能性 # 必然发生! ! 一定不发生 例 (!$ 例 '!!("不可能!!'"必然!!&";!'!!8"=!(!!&"!8"答案 不唯一" 例 &!!("黑!!'"8!' %!#"概率及其计算 &!#!! MN1MO # ' 0 ! ! (! " -! $ -! % ( 例 (! # !例 '! ' + !例 &! ( & !例 8!$ &!#!# PQR)SMN 第 ( 课时!用列表法求概率 # 两! ! ' 0 例 (!0 例 '!解!!("将转盘$的蓝色扇形分别记为蓝 ( #蓝 ' #列表如下& 红 蓝 ( 蓝 ' 红 !红#红" !红#蓝 ( " !红#蓝 ' " 黄 !黄#红" !黄#蓝 ( " !黄#蓝 ' " 蓝 !蓝#红" !蓝#蓝 ( " !蓝#蓝 ' " 由表可知#共有 = 种等可能的结果#其中能配成紫色的有 & 种 结果#,/!能配成紫色" * ( & $ !'"公平#理由如下&)共有 = 种等可能的结果#其中两个转盘 转出同种颜色的有 & 种结果#,/!小亮赢" * ( & #)/!小红 赢" */!能配成紫色" * ( & #,/!小红赢" */!小亮赢"#因 此#这个游戏对双方是公平的! 例 &!解!小华的想法不正确!理由如下& 首先把红色分成相等的两部分#记为红 ( #红 ' #列表如下& 红 ( 红 ' 黄 蓝 红 ( !红 ( #红 ( " !红 ( #红 ' " !红 ( #黄" !红 ( #蓝" 红 ' !红 ' #红 ( " !红 ' #红 ' " !红 ' #黄" !红 ' #蓝" 黄 !黄#红 ( " !黄#红 ' " !黄#黄" !黄#蓝" 蓝 !蓝#红 ( " !蓝#红 ' " !蓝#黄" !蓝#蓝" 共有 (2 种等可能的结果#能配成紫色的有 8 种结果# ,能配成紫色的概率为 8 (2 * ( 8 #,小华的想法不正确! 例 8! & (2 !例 +! ' & 第 ' 课时!用树状图法求概率 # 等可能 例 (!解!!("从布袋里任意摸出一个小球#上面的数字恰好是 '&(的概率为 ( & $ !'"画树状图如解图& 由树状图可知#共有 = 种等可能 的结果#其中两次记录的数字之 和为 & 的结果有 ' 种#,两次记 录的数字之和为 & 的概率为 ' = ! 例 '!解!将这三张卡片任意摆成一个三位数#画树状图略! ,摆出的三位数有 8+2#82+#+82#+28#28+#2+8 共 2 种等可能 的结果#其中 8+2#+82#+28#2+8 是 ' 的倍数共 8 种#,摆出的 三位数是 ' 的倍数的概率/* 8 2 * ' & ! %!$"用频率估计概率 # 大量重复! ! 4 例 (!$!例 '!%!例 &!-!8!例 8!( 2-- 例 +!解!!(" ( & !'"这种说法是错误的!理由如下& 在 2- 次试验中#'8 朝下(的频率为 ( 2 并不能说明'8 朝下(这 一事件发生的概率为 ( 2 !只有当试验的总次数很大时#才能用 事件发生的频率估计相应的事件发生的概率! 课堂 !- 分钟 ! " # $ % ! ! " $%&'( !!!"反比例函数 !!%!#!0!$!$!%!"* 8 # !&!8 '!解!!(""关于#的函数表达式为"* & # $ !'"这个函数的比例系数为 &#自变量的取值范围为# ! -$ !&"将"*.8 代入 "* & # #得 #*. & 8 #,当 "*.8 时#自变 量#的值为. & 8 ! !!#"反比例函数的图象和性质 第 ( 课时!反比例函数!+ " # !" ,-"的图象和性质 !!0!#!0!$!$!%!" ( 9" ' &!解!作出函数图象略! !("当#*.' 时#"* 2 .' *.&$ !'"当 ' 9"98 时# & ' 9#9&$ !&"当.( 9#9' 且# ! - 时#"9.2 或"/&! 第 ' 课时!反比例函数!+ " # !" .-"的图象和性质 !!%!#!%!$!4!%!4!&!.(- '!解!!("把! .&#8"代入"* & # #得&*.& :8 *.('# 画出这个函数的图象如解图$ !'"由图象可以看出#当#/- 时#函数"的值小于 -! 第 & 课时!反比例函数图象和性质的综合运用 !!$!#!0!$!0!%!. 8 & &!解!!("反比例函数的表达式为" ' *. ; # !#9-"#一次函数的 表达式为" ( *#52$ !'"由图象可得不等式 & ' # " & ( #5+的解集为.8 " # " .'$ !&")一次函数" ( *#52 与#轴交于点*#,点 *! .2#-"#由 !("易得)! .'#8"#, # .*)的面积为 ( ' :2 :8 *('! !!$"反比例函数的应用 !!4!#!越来越亮!$!3/(' E!%!6 * 2- # !#/-" &!解!!("L关于?的函数表达式为L* (+- ? $ !'"当小汽车匀速行驶的速度为 2- S3BT#即 L*2- S3BT#在 L* (+- ? 中#令L*2-#得 2- * (+- ? #解得 ?*'!+!答&小汽车匀速 行驶的速度为 2- S3BT时#从乙地返回甲地需要 '!+ T! ! # " 234567 #!!"一元二次方程 !!4!#!%!$!0!%!.'!&! #!#.(" ' *'; '!解!!("方程整理得#' 5+#.2 *-#方程是一元二次方程#二次 项系数%一次项系数和常数项分别是 (#+# .2$ !'"方程整理得#' .&#58 *-#方程是一元二次方程#二次项 系数%一次项系数和常数项分别是 (# .&#8$ !&"!&#.'" ' *&#!&#.+"#=# ' .('#58 *=# ' .(+##=# ' . 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