九年级上册 2.2.3 因式分解法-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

!!!! #'" 众相原创 分层练!广西数学!78" #!#!$ &,+-.) 第 " 课时!因式分解法解一元二次方程 一阶 基础巩固对点练 知识点!"利用 )* $&解一元二次方程 !!已知一元二次方程的两根分别为 # " (,!# # ( 1%!则这个方程可能为 "!!# ! !!!!! !!!!! !!!!&'"#1,#"#+%# ($ )'"#+,#"#1%# ($ *'"#+,#"#+%# ($ -'"#1,#"#1%# ($ #!!#$## 梧州"一元二次方程"#1## "#+6# ($ 的根是!!!!! 知识点#"提公因式法解一元二次方程 $!易错 方程#"#1"# (#的解是 "!!# &'#($ )'#(# *'# " ($!# # (" -'# " ($!# # (# -变式.方程## 1##($的解是!!!!! %!用因式分解法解下列方程( ""#,#"##10# (0"##10#$ 解#!!"$"!#" +(" '(!#" +("$ )!$" +("!#" +(" '*$ !" +#"!" 2!" '*$ )" +# '* 或 " 2! '*$ 解得 " ! '#$" # '+!# "###"#1## +#1# ($! 知识点("利用乘法公式解一元二次方程 (!!教材3,< 例 : 变式"解方程( ""## # +##1, ($$ 解#!!""# 2#" +$ '*$ " # 2#" 2! +! +$ '*$ !" 2!" # +# # '*$ !" 2! 2#"!" 2! +#" '*$ )" ! '+$$" # '!# "##"##1"# # 1", 1## # ($! !#"方程左边因式分解得$!#" +! 2$ +""!#" +! +$ 2"" '*$ 整理得!" 2#"!$" +%" '*$ )" ! '+#$" # ' % $ # 二阶 能力提升强化练 ,!用因式分解法解方程!下列解法正确的是 "!!# &'L"##1##",#1%# ($!M##1# ($ 或 ,#1 % ($ )'L"#+,#"#1"# ("!M#+, ($ 或#1" (" *'L"#1##"#1,# (# K,!M#1# (# 或#1 , (, -'L#"#+## ($!M#+# ($ -!已知代数式 , 1#与 1## +,#的值互为相反 数!则#的值是 "!!# &'1" 或 , )'" 或1, *'" 或 , -'1" 和1, .!!#$#, 河池凤山县模拟"若实数.!2是一元二 次方程"#+,#"#1"# ($ 的两个根!且 ./2! 则一次函数"(.#+2的图象不经过 "!!# &'第一象限 )'第二象限 *'第三象限 -'第四象限 /!已知三角形的两边长分别为 % 和 6!第三边的 长是方程## 1:#+"0 ($ 的一个根!则第三边 长是!!!! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! 九上!第 # 章 #(" !!!! !*!!#$#, 贵港覃塘区期中"用因式分解法解一 元二次方程## 1?#19 ($ 时!若#1, 是该方 程左边二次三项式的一个因式!则 ?的值 是!!!!! !!!数形结合 如图!数轴上点 +代表的数字为 ,#+"!点,代表的数字为## +##!已知+,(0! 且点+在数轴的负半轴上!则#的值为 !! !#!用因式分解法解下列方程( ""#"##+,# # (%"##+,#$ "### # +##1: ($$ ",#!#$#, 齐齐哈尔"## 1,#+# ($! 解#!!"!#" 2$" # +%!#" 2$" '*$ !#" +!"!#" 2$" '*$ )#" +! '* 或 #" 2$ '*$ 解得 " ! ' ! # $" # '+ $ # % !#"" # 2#" +. '*$ !" +#"!" 2%" '*$ )" +# '* 或 " 2% '*$ 解得 " ! '#$" # '+%% !$"&" # +$" 2# '*$ )!" +!"!" +#" '*$ )" +! '* 或 " +# '*$ 解得 " ! '!$" # '## !$!老师在黑板上书写了一个方程!随后用手掌 捂住了一部分!如图所示( (## # 1%#10 ""#若所捂部分的值为10!求#的值$ 解#!!"根据题意得+( '#"# +%" +($ 方程化为一般形式为 #"# +%" '*$ #"!" +#" '*$ )#" '* 或 " +# '*$ 解得$" ! '*$" # '#% "##若所捂住的部分是## 1##19!求#的值! !#"据题意得 "# +#" +, '#"# +%" +($ 方程化为一般形式为 "# +#" 2! '*$ )!" +!" # '*$ )" +! '*$ 解得$" ! '" # '!# !%!一元二次方程## 1##($ 的两个根分别为 # " 和# # !其中# " /# # !求# " # 1## # # 的值! 解#&"# +#" '*$ )"!" +#" '*# 又&" ! 5" # $ )" ! '*$" # '#$ )" ! # +#" # # '* # +# 6# # '+.# 三阶 素养创新综合练 !(!新定义 如果一元二次方程的两根相差 "!那 么该方程称为%差 " 方程&!例如## +#($ 是 %差 " 方程&! ""#判断方程## 16#+"# ($ 是否为%差 " 方 程&* "##已知关于#的方程## +"# 1)##1#)($ !)是常数"是%差 " 方程&!求)的值! 解#!!""# +-" 2!# '*$ )!" +$"!" +%" '*$ 解得 " ! '$$" # '%$ &% +$ '!$ )" # +-" 2!# '* 是(差 ! 方程)% !#"" # 2!# +%"" +#%'*$ !" +%"!" 2#" '*$ " ! '%$" # '+#$ &方程 "# 2!# +%"" +#%'*!%是常数"是(差 ! 方程)$ )%'+# 2! 或%'+# +!$ )% ! '+!$% # '+$ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " # !!!! #)" 众相原创 分层练!广西数学!78" 第 # 课时!用适当的方法解一元二次方程 一阶 基础巩固对点练 知识点"用适当的方法解一元二次方程 !!解方程"0#1"# # (,"0#1"#最适当的方法是 "!!# ! !!!!! !!!!! !!!!&'开平方法 )'配方法 *'公式法 -'因式分解法 #!下列一元二次方程中最适合用直接开平方法 求解的是 "!!# &'"#1##"#+0# (# )'## # 1#($ *'# # +0#1# ($ -'"#"# 1## # (, $!解下列方程( ! ## # 1": ($$ " ## # 1"##16:# ($$ # ,# # +"$#+" ($$ $ #"0#1"# # (#"0#1"#! 用较简便的方法依次是!!!!$!!!!$ !!!!$!!!!! %!用适当的方法解下列方程( ""#"#+"# # (%<$ "#### # +,#1" ($$ ",## # 1##1# $#% ($! 二阶 能力提升强化练 (!已知点*的横'纵坐标恰好是 ### 1#1" ($ 的 根!则点*在第"!!#象限! &'一或三 )'一或四 *'二或四 -'三或四 ,!解一元二次方程的基本思想是降次!即把二次 方程化成一次方程求解!一元二次方程"#+ ,# # (#0 可以化为两个一元一次方程!其中一 个一元一次方程是 #+, (0!则另一个一元一 次方程是!!!!! -!新定义 对于实数)!7!定义运算% ) &如下() ) 7 () # 1#)7!若"#+"# ) "#1## (0!则 # 的值为!!!!! .!用适当的方法解下列方程( ""##"#10# (,#1"0$ "###" # 1<"+0 ($$ ",## # 1%#1# ($ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! 九上!第 # 章 #*" !!!! /!模型观念 如图!公园内有一个正方形的小花 坛!现在园艺设计师想把花坛的边长增加 0 2 得到正方形的大花坛!使花坛的面积扩大 # 倍!求小花坛的边长! 解#设小花坛的边长为 " 0$则大花坛的边长为 !" 2("0$由题意$得 !" 2(" # '#" # $即 "# +!*" +#( '*$ 解得 " ! '( 2(槡#$"# '( +(槡#!舍去"# 答#小花坛的边长为!( 2(槡#"0# !*!请用两种方法解方程(## 19#+0 ($! 解#因式分解法# " # +," 2( '*$!" +!"!" +(" '*# )" +! '* 或 " +( '*$ )" ! '!$" # '(# 配方法#"# +," 2( '*$移项得$"# +," '+($ " # +," 2/ '+( 2/$!" +$" # '%$ )" +$ '4#$ )" ! '!$" # '(# !答案不唯一" !!!开放性试题 在初中阶段我们已经学习了一 元二次方程的三种解法!它们分别是配方法' 公式法和因式分解法!请从下列一元二次方 程中任选两个!并解这两个方程! ! # # +##1" ($$ " # # 1,#($$ # # # 1%#(%$ $ # # 1% ($! 解# ! 利用公式法#"# 2#" +! '*$ )) '!$* '#$9'+!$ )* # +%)9'# # +% 6! 6! +!" '% 2% '.$ )" ' +* 4 * # +%槡 )9 #) ' +# 4槡. # '+! 4槡#$ )" ! '+! 2槡#$"# '+! +槡#% " 利用因式分解法#"# +$" '*$ )"!" +$" '*# )" ! '*$" # '$% # 利用配方法$ $ 利用因式分解法#!解法过程 略" 三阶 素养创新综合练 !#!创新意识 下面是小明同学灵活应用配方法 解方程 %## 1"##1" ($ 的过程!请认真阅读 并完成相应的任务! 解#原方程可化为!##"# 19 K##1"($ 第一步 ! 移项&得!##" # 19 K##(" 第二步 !!!!! 配方&得!##" # 19 K##+,# (" 第三步 !!!! M!##1," # (" 第四步 !!!!!!!!!! 方程两边开平方&得 ##1, (N" 第五步 !!! M##1, (" 或 ##1, (1" 第六步 !!!!! M原方程的解为# " (#&# # (" 第七步 !!!! 任务一(小明同学的解答过程是从第!!! 步开始出错的!错误的原因是 !$ 任务二(请写出该方程的正确解答过程$ 任务三(小刚同学说(%小明的解法是错误的! 因为用配方法解一元二次方程时!首先要把 二次项系数化为 "!再配方!&你同意小刚同学 的说法吗* 你得到了什么启示* 解#任务二#%"# +!#" +! '*$ 移项得$%"# +!#" '!$ 配方得$%"# +!#" 2/ '! 2/$ !#" +$" # '!*$ #" +$ '4槡!*$ )#" +$ '槡!*或 #" +$ '+槡!*$ 解得$" ! ' $ 2槡!* # $" # ' $ +槡!* # % 任务三#我不同意小刚同学的说法$得到的启示# 我们要灵活运用配方法来解一元二次方程 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " # 第1章 整合复习与对接中考 1:1时方程是一元一次,支的为1: (2(-1·(.1)-1-是一元二次程得。 6为(-12)-7-0(-6-25-1题-2A-15理日.-- 一龄:知识整合 1--}-%-$-5--5 1131.-1:- 6-0-1-(-1-45-4)-0 一②大y:点5 是一二次程二次项数是-1)一次项数是.73”-br1-0.等式两达回除1以3得-244配 二阶 对接中考抢分% 11.项是-2. 。-'-3.-)方程3--段1(1由②泪1故不ì 1{ 14设为:只则A%(.-4)是.π%. 有社 1.n2- 314C 5.06.③00 ._. (-4)+(:-2-现.得-1.2.8. 8..0)+4n..1.3:(.1.3(n. (2h11c4-2.为--2-8. 2.:反比例数y--的图期位于毫二,③象限。. 15.B 150(.1).33...4些量4为3: 2.2一元二次方程的解过 24-+-1.+4--1-+11+5--1- (--4x1(-2)-12... 8:-.-.)-1.-1 15(-10-.-10.-(-1+5 2.2.1配方陆 22..-1.5-1-5(一) 第1课时 利用方相的题义一元二方程 3.即4-.2%0为5 小专题培院3 配活的庭用 _-.-1. 1.A 11000 3.04.11-.-3.50 11.耀:(13 1.--5-2.1-6.f-1-6-1-- 8C 90 11-611.2 11A 13-2cc04 511-10-.55-5 14(5)反比例画数阳与-次数阳相交十A(3 (2)--100、,1.相-路 (2(1)程为--1-0.-4..-3.- 1.1高 -1--f-3-44×1-11-2550.1 0.n-4.a1.-4-.=12.反比例画数的析 6C ,1 7.,出料(-8.3)-开提-03-.03. 式为-1.-3.:点游标(-4. 3:n(-+1)+-br.u)-0.- 图:=11.-05 11-3)0.-1-0y3-0.1-3() Ac-0n0-Ac- -3、A34).-4-3均一次数-上..】 -3.试+1-4-16 1, △07 5:1)---)- 程(a-1):本-10-0一是3-程 --)00 ()8程公.._n.. -1)+a--B.-4-o.荐-1.程- _-) . (2703.4)0-4-50t-00.0-5. 19.0解哥-另一个为-3 -.45正确性:40度是与的正程2 1n&是答要三角理1是方(。4 AA的--5-10 .3-0.00-50.0.1X 3-r+f-)-.----0. : 1s. 是:园据访方程的凸相 -.u凸C是三. :题可-..s.11.句.之 6 223 围式分解 第2课时 配方--二次项为1 7:1)-1-5(1-5 过12)2 第1时 因式分解法解一元二育 )-----(..4-4.--(-4 同的函数关式为,-(c1)。 11A 2=2:-73D 1:0) -七205:--1时.--4-8有是大】-4 1.14C5: 4:(113(-5)-512-5(-5)12-5)-0. (2)段实际挖了-大本完成首期工料,衰可担: .-5-n减2-5-0.---5 -7(.-1-.-1-+.-1-1-2: 2.2.2公式法 (21(t-2.1-2-(-2(c41)-1-20晚4 --00是分式方的,且符合题意答,买际掘了90 (2)提观,提-2-3-D.项,得-2-3.A得 5.:(1.-3n.1-1-30t1-i- 1.得-2..-1 天材完口税 11r-1-4.1-1-:2解1-3--1 17.0E6-0n.6-10v代·1- 5D8191-1- -5.:01.--0.-I--4o. (r 1.21(r.1-2-0.--3.-1: C.·4120x6-266-36000X答共大1:题3--10-2-5 (2程左过试号得(2-143--1-3.1)-0 象的是及其挂构的总重量6为3000 配方得.241-51.题:41-6.得.1--14 .0-40-0--.- 26是关于1短比例函数·G.f=6·1=1200x --1-5.收:的0-14题-1-6 -_1 6-m0-72.0 11..01).1-0 6.7)8C95 (21-0-10项得-:10.8- 2-1-0-1---1-(--1n(1)-1)-113).8. 1.11.-2 (把1-8代人6-7200得6-72000(1.把 1.1o0-)-1.-1-10 1 18150-18 6-1-1-0:4 -10或30..-).- 第3时 配方法--二题数不为! 1._ 1. (2}.2-8-0.-2)0.1]-0.--0c.4-0. 第2章一元二次方程 得-2:-4 1:-4--.,告-.n 6D7.0812.67 21一元二次方段 (3-+2-0(1-1(.--0.-1-0题- 1.C 2.B【t1a} .-2且0 3-24) (--0--- n(1)(1)-1”-1-02-1)-0-)--1 1-0..-1...2 5.(115-4-10-4-174--4-r. 134r+8-25-04.-1:14-+1-03.-7.1 14}--0r-2)-0..--1. 6.BD --1-0-2.-8 81-17-60-0:12))-1-110=n ---41-- (2)-七--: 1.:(1-.17-B(3-31.-4)-8.8-3. --44-3-1-7.12-0是“差1啊: (21-6--2%-1.-4.(-1)-46x ---- (2(2---..-(.7)--.- 多-1.:程1-2-8.得.-1.51B412-35.4--1.5-0 1-0.-- -2,(7-)--n是)是是!) 程”n--2.1--2-1m--1n-3. 第2课时 用活当的方法解一元二实方程 (3程-(2--1.3-的式-[-(2- (-.-II-. 2.5 一元二次方程的应用 1.D2.D3在接开干方是 配发 法 四点分解法 (-+-01---5 -41(-1..-·.11c8.此方程无实 4..(111)-0.方341-A7.改:.1.。 )1.2 上时 重均变化,利国记多 或-1-0.解得-4.3-2: (412-31--11(-31-0-6C 2.CD-2(不11)【]o 1A 3设平均每年的本为探题300(1)-363 相 2.-10-21-1v--3-4x -}: 2--1-0解-1 1C1-: -1-17....-. 幅得.-0.1.10.-21(不符合题意,含去).答,平均 14.随(1于:前一二-+-0有夜个实数 好的为10%. :3.11 13-1-4-41×0.词4. .- 5.:(1谈47*组在月段1产1440意竹控: . 1-2-=0因分得.(-11](.4 -.- (21若选方析的背个实数根相等,则n“4.监娘方提为上 11-0减:.0-8..t-11.--% Ar4-.③c-1-0.得5.--2 3--22--2-02.?-.1-}025.(- 4:74 1(7元 1-75.-1-+5-.-1 (2-1-0--5-0.-2-0减.- 15.(1)段一次项数5.为-6-0.-26D2.7250 代入方程程,-2-6-0.得-1一次系数为 5C6..3.-51.减4 8.醉:(1)每过神卷降治:污,天这恶电的植是为 5-0....-5. 。1 :111.-5)-3-15..-5)-30-5i0- ,6后-(f (3段-1-a.原段为-8.1-.-8.12. 1程为+-6-3--4×1×-6- 5-3r-5-0:-5-3)-8.1-5-0-3. 1.240.不论一次项数为相整,这个程D有高个不 (2)题词(500.-3500)t.)-5000.是) 0--: 1-6减。-2.即-1-6减2-1-2.解-]-) 相的数枢 1+5-02c-54-1-0 ^-302250-8.:5..1-150答:彩电 111T -,_. 5.1--0.(3.1-045-0是 (2)证一元二次方程a”r-0(-0)为”和方 :(1)误降店与福”爱题”的价是20无,每指”次”的析 卷1如运. 。 .回段--一1 院.心--I+l--(-s 1项-4方-+4=244. (21段一”的了-死.题意得:190-); 16-71-1-)..01--y.限留晚 号短: 21-.选开.--.-2.高.--% 为-1,42-0.0-6)(,-7)--..-6-0晚y-7- ·“语方ō”B定皆: (3]”-三次方程.土r-o()为和语方 .,小花坛的长为:n.则大花的长为+5).由题 (1-60%)(100.4x-).30×60%x(1.4-1- 1.得.=.7.1-6.1:9-27 +“+是 意5-2-10-50得-5.5. --ftr}-a(n-}-0*. 3-7--2/-.- 400.理m-45a+350-0.(-10w-35)-0.析 24 一元二次方程的根与紧数的关系 1..5-50 1第的是.571“ -. -1035.20--2.-10答. 回8分解-6+5-0(-1-5)-0.-1-07C 1.C2.A3D 始“抗-得了10短 霞,-二5配65项令”1,由方程,了-1-, 4)”1-1-士 第2渊时 几词问盟 -b.-5-6-5..-34-3-.. 60.+21-0.-8.=-2.听-6+-6.目 1.D (2r-t-0.+.-3--1. .:1.:5.(答一) (431t-21-0.--3=2%y--2.r.1- 2.:设小部的是为,.断大因的丰径为(-1)水,山题图 -2.即12-0.核方无,上,该方程的为8B67.5? 可得8-8-5.(1).--. 11.:.+2-1-1.-1- 9.(1)-4-4x1x(3-1--8-4程有词个 --()-3.2.1-231-7*).x3. -1-)-44-8.-/. 1..--1 本相实数根-:赴).解12 (2.1-22) 2×7-2来).答:图环的设的总长度为2第 1.--.1-1. 1.n 243A 4C 4c6C 7n 8-1u.5 1n:0 11(..3.14-155 12+5 1311 ②四分-30对-31-0×-0 1411配每(-3)-4.-3-成-3--2.1nn1C2B 3-243.得:-3.--1() 4.:设:n.则A-故-(13-xn.根题 (1-10.:.3=10.答:回的则积为 1-5“: 文r因() 3.;(1关子:的是?-2m.-·-0有阵个不相40x,此过的元为-点10a (201-2-1-0.-4-160 M.216. 12.:任一:三 方程的右隔加。 的文-1-)-4-}--5.D 17 .2 任二4-1-1-0.得.A-1-1.院.A。 2-I. 16.8P0的面积干4”} 12.014%(-3-10.2-3-1.102-3 (21为皆件的小数A>-1方程7.38.216 -2-18.程的是22·. 2设-DF1DrF--5n是 15.:(1)初院方段).·4-1+1-0.(.+7-4- -3-v,.1n. 2--1.-2n-3a-2.n-3-3 加一改方经有两个不相等的文数.4-50..是64。 小的正方那也长比中副的式方形长少1“.EV-?i。 时.原方程为46+8B.图.-4..-7.不满足 任务三:我是4陪学的说达,将到的站:要灵选 (2.--3代人方程.u-1}--0.-2 rv-3.根意得(5~),r,2:10x5.解得. 16(1)--44-4--2)-4-4-1(1-(·2)-(-2)0实数 益故土:的%3 运面一元二次起 :1.糯:(1)这室%6s 3.1.:Y不合题点、会去1.答:目长的交为1 小专题培择4 一元二次方的解队 1-2时.注税存是小0,号第为一4: 直,程有1。 (2)在设短3满的阻为5.根据题效提3(- 1.解:(1)-4.-11.-3..i-4-1-44(-3. (2B达AaC的料达长a-3.调选长:是这个 (2)没部个车位的计模金上深。冠时,车场的月相余收入 0.-1 】-.6-(-3·09.相-3时3题大 程4.-..{9-(5..)-29.(1. 副4 为10125元.题.(200-)(50--)-10125.段 2 2-2x.3-36c-2-2.不 (2拟.--6.配方哥-6+0-25(。 2.3一元二次方程根的判则试 短全上进25元时,样车场跨日全数入为10125元 号-50+6-0般是-25.答当个4 31-.开平得-3.5.1-8..-: 1.C2.A3A4ō .则-3.故4CC-55 15.:011-56 3)1)-2)1(-()-1-5-的式-(-4-4 阶段(23-25) 1.-1)-0.1-0成.-1-0--2. 45-0二小等的实明: (21-满-3--5+3-是程-1.A2D 3.D 4.B 5C6C7.B 2() .30的-1时.-5--.--41.-1-21-81(-.. _). (-3-D可是o-1-4一- 921.111.-51816 131 1-4-0A-(-12]-4x0x(-4)-20. --c-0时.p2 2.(14.-1-9-1.1.-4-2: 过1250./412)0.方程有两文 11方程有两个不等数: 1.7-4-0..r+-1.W42.1-4.1. 相: