18.2.1 矩形-【名师学案】2023-2024学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

18.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 第1课时 矩形的性质 知识储备 5.(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 1.有一个角是直角的 叫做矩形 交于点O,若OA=3,则BD的长为() 2.矩形的对边 :矩形的四个角 A.6 B.5 C.4 D.3 :矩形的对角线 D :3.直角三角形斜边上的中线等于 ④基础练 第5(1)题图 第5(2)题图 知识点一 矩形的边和角的性质 (2)【T5(1)变式】如图，矩形ABCD的对角线 1.如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个 AC与BD相交于O,AC=10,P,Q分别是 三角形，则图中∠1十∠2的度数是 () AD,AO的中点，则PQ的长是 A.30 B.60 C.90° D.120° 6.(教材P53例1变式)如图，在矩形ABCD 中，已知AB=6,∠DBC=30°，则： (1)∠DOC= (2)AC的长是 ,BC的长是 第1题图 第2题图 D 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,则 BD的长是 30 3.(2023·宿迁)如图，在矩形ABCD中，BE 7.(2023·大连模拟)如图，在矩形ABCD中， AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F 点E在BC的延长线上，且AC∥DE. 求证：AF=CE. 求证：DE=BD 知识点三直角三角形斜边中线的性质 知识点二矩形的对角线的性质 8.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 4.如图，在矩形ABCD中， 线，若CD=2,∠B=25°，则AB= AB<BC,AC,BD相交 ∠BCD= 于点O,则图中等腰三B 角形的个数是 ( A.8 B.6 C.4 D.2 49 八年级数学·下册 9.如图，已知AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中 C茶养练 点.求证：△ECD是等腰三角形. 12.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交 于点O,延长CB到点E,使BE=BC.连 接AE. (1)求证：四边形ADBE是平行四边形； (2)若AB=4,OB=号，求四边形ADBE的 周长 B综合练 出 10.【训练角度：线段垂直平分线的性质、矩形的 性质与直角三角形的性质】如图，在矩形 ABCD中，AB=3,对角线AC,BD相交于 点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长 为 第10题图 第11题图 11.如图，在矩形ABCD中，O是AC的中点，M 是AD的中点，若AB=5,AD=12,则四边 形ABOM的周长是 微专题（五）构造直角三角形斜边上的中线 模型展示 D胸造直角三角形 处边上的中线 模型归纳 第1题图 第2题图 在直角三角形中，当已知条件中有斜边中点 2.【T1变式】如图，∠ABC=∠ADC=90° 时，常作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的 M,N分别是AC,BD的中点，AC=10, 中线等于斜边的一半来解决线段间的数量关系或 BD=8,则MN的长为 4 计算线段的长，同时可以得到两个等腰三角形，进 A.3 B.4 C.5 D.6 一步计算角度， 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC= 【针对训练】 72°，过C作CF∥AB,连接AF与BC相交 1.如图，在△ABC中，BC=18,若BD⊥AC 于点G,若GF=2AC,则∠BAG 于点D,CE⊥AB于点E,F,G分别为BC, DE的中点，若ED=10,则FG的长为() A.214 B.106 C.8 D.9 助学助散优质高数50 第2课时 矩形的判定 知识储备 4.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 是：先测量两组对边是否相等，然后测量两条 2.对角线 的平行四边形是矩形 对角线是否相等，这样做的依据是 3.有 个角是直角的四边形是矩形. ④基础练 出 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB CD,对角线AC与BD相交于点O,且OA 知识点一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 OD.求证：四边形ABCD是矩形 1.要使口ABCD成为一个矩形，需要添加的条 件是 A.AB=BC B.∠A=∠C C.∠A=∠B D.AB=CD 2.(1)(答题模板)如图，在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上的中线，四边形ADBE是 平行四边形.求证：四边形ADBE是矩形. 证明：，AB=AC,AD 知识点三有三个角是直角的四边形是矩形 是BC边上的中线， 6.如图，在四边形ABCD ..AD BC. 中，∠C=∠D=90°.若 .∠ADB= 再添加一个条件，就能推 又·四边形ADBE是平行四边形， 出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 .平行四边形ADBE是矩形 (写出一种情况即可). (2)【针对练习】如图，E是□ABCD的边AB 7.如图，在□ABCD中，AE⊥BC,CF⊥AD,垂 的中点，且EC=ED 足分别为E,F. 求证：四边形ABCD是矩形 求证：四边形AECF是矩形 易错点○ 因对矩形的判定方法理解不透致错 8.下列说法正确的是 知识点二对角线相等的平行四边形是矩形 A.对角线相等的四边形是矩形 3.已知□ABCD中，添加下列条件，能说明 B.一组对边平行，且有一个角是直角的四边 □ABCD是矩形的是 () 形是矩形 A.AB=BC B.AC⊥BD C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C.AC=BD D.AC平分∠BAD D.有三个角相等的四边形是矩形 51 八年级数学·下册 B综合练 出 C索养练 9.【条件开放】如图，四边形ABCD为平行四边 12.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相 形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB, 交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点， EC,DB,添加一个条件，不能使四边形 连接AE并延长至点G,使EG=AE,连接 DBCE成为矩形的是 () CF.CG. A.AB=BE B.CE⊥DE (1)求证：△ABE≌△CDF: C.∠ADB=90° D.BE⊥DC (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四 边形EGCF是矩形？请说明理由， D 第9题图 第10题图 10.【训练角度：矩形的判定与性质及垂线段最 短】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在 AB上，且DE⊥BC,DF⊥AC,AC=6, BC=8,则EF的最小值为 () A.5 B.4.8 C.4.6 D.4.4 11.如图，将□ABCD的边AB延长至点E,使 AB=BE,连接BD,DE,EC,DE交BC于 点O. (1)求证：△ABD≌△BEC: (2)若∠BOD=2∠A,求证：四边形BECD 是矩形. 核心 几何直观 推理能力 素养 运算能力 创新意识 助学助敏优质高数 52△BCF,.'.DE=AD=AE,BF=BC-CF,DAE= BCF=60*.'$AE=CF DE=BF,DAB-DAE=DCB一BCF,即 EAB= DCF.又:AB DC,AE=CF,..△ABE △CDF...BE-DF.又:DE=BF,..四边形BEDF 是平行四边形.4.①或②或③ 5.证明:·EF//AC,..EDC十C-180。 又: EDC=CBE,.CBE+C=180*.'EB/DC..DE/BC,BE/ CD...四边形BCDE是平行四边形,6.证明:.'ABCD,..AB//CD.. BDC=DBA,DFE=BEF.又:O是BD的中点,..BO-DO.:△DOF △BOE...OF=OE.又·:OB=OD,..四边形DEBF是平行四边形.7.证 明::四边形ABCD为平行四边形,..AD/BC..EAO=FCO.:O为AC (EAO-FCO. 的中点,:.OA=OC.在△OAE和△OCF中,OA-OC, .△OAE {AOE-COF: △OCF(ASA)...OE=OF.同理可证得△AGO△CHO,OG=OH...四边形 EGFH是平行四边形: 8. 证明:.AF-CE,..AF-EF-CE-EF...AE= CF..:BE AC,DF AC,. BEA-DFC=90*.在△ABE与△CDF中 [BAE-DCF, AE-CF. .△ABECDF(ASA)..'AB=CD.又:BAC AEB-CFD. DCA,.'AB//CD...四边形ABCD是平行四边形.9.证明:·点F,H分别 CF一 1BC..AH/CF..四边形AFCH是平行四边形..AF/CH,即AM/ CN.同理可证四边形AECG是平行四边形..·.EC//AG,即CM//AN.又·AM /CN,.四边形AMCN是平行四边形. 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 短形 第1课时 矩形的性质 知识储备 1.平行四边形 2.平行且相等 都是直角 相等且互相平分 3.斜边的一半 A基础练 1.C 2.5 3.证明:·:矩形ABCD,.AD=BC,AD/BC.. DAC=ACB. .·BE AC,DF AC,.BEC=DFA-90”.:△ADF△CBE..AF CE. 4.C 5.(1)A (2)2.5 6.(1)60* (2)12 63 7.证明:·矩形AB CD,..AC=BD,AD/BC.·:AC/DE,..四边形ADEC是平行四边形...AC DE..AC-DE=BD. 8.4 25*9. 证明:.AC BC,ADBD,. ACB ADB-90”.·'E是AB的中点,..CE-AB-DE..△ECD是等腰三角形. 10.3/③ 11.20 12.(1)证明:·四边形ABCD为矩形,..AD/BC,AD BC.又:BE=BC,且点C,B,E在一条直线上,..AD/BE,AD=BE.'.四边形 ADBE是平行四边形;(2)解:·:四边形ABCD为矩形,.BAD一90{,OB= OD..BD=2OB-5.在Rt△BAD中,AD= 5*-4-3.·:四边形ADBE为平$ 行四边形,..BE=AD=3,AE=BD=5...ADBE的周长为2X(5+3)=16. 微专题(五)构造直角三角形斜边上的中线 1.A 2.A3.24 第2课时 矩形的判定 知识储备 2.相等3.三 A基础练 1.C 2.(1) 90*(2)证明:·四边形ABCD是平行四边形,..AD-BC,AD //BC..E是边AB的中点,.'AE=BE.又.EC=ED,.△AED△BEC.: A- B·:AD/BC,A十B-180{}A=B=90{}'平行四边形 ABCD是矩形.3.C 4.对角线相等的平行四边形是矩形 5.证明:.AB/ CD,AB-CD..四边形ABCD是平行四边形..OA-AC.OD-BD.·:OA -OD,..AC-BD.又:ABCD,.'./ABCD是矩形.6.A=90(答案不唯 一) 7. 证明::AE]BC,CF|DA,.'AEB=AEC=AFC=90*。.: ABCD,.'AD/BC... AEB=EAF=90*=AFC...四边形AECF是矩 形. 8.C 9.D 10.B 11.证明:(1)·在/□ABCD中,AD=BC,AB=CD,AD 183 //CB,.A=EBC.又·:AB-BE,.△ABD△BEC(SAS);(2)·在 ABCD中,AB/CD,且AB=BE,..BE/CD...四边形BECD为平行四边 形.OB=BC,OE-ED.: BOD=2 A=2 EBC,且 BOD= EBC$$$ 十BEO,.EBC=BEO.'.OB=OE...BC=ED.又'BECD,.B ECD是矩形.12.(1)证明;·四边形ABCD是平行四边形,..AB一CD,AB/ CD,OB=OD,OA=OC...ABE=CDF.·:点E,F分别为OB,OD的中点, .BE-OB,DF- △ABE △CDF;(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:·. AC=2OA,AC=2AB.'AB=OA..E是OB的中点,.'AGOB..'OEG 90{°.同理可证CFOD,..EG//CF.由(1)知△ABE△CDF,..AE=CF.又. AE=EG,.'.EG=CF...EGCF...四边形EGCF是平行四边形..'OEG 90*,.'.四边形EGCF是矩形. 18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 知识储备 1.邻边 (2)互相垂直平分 一组对角 2.(1)相等 (3)轴对称 对角线所在 的直线 3.两条对角线乘积的一半 A基础练 1. B 2.D 3.C 4.4 5.(2,0) 6.证明::菱形ABCD... B=D,AB BC=CD=DA.又:AE=AF,.'AB-AE=AD-AF,即BE=DF..'△BEC$$$ △DFC...CE=CF. 7.5 24 8. 90*2 2 30*}1 1 3 2 23 2 3 2 23 9.B 10.C 11.5 12.(1)证明:.点E是CD的中点,..CE= DE. 又.CF/BD,.ODE=FCE.又":DEO=CEF,.'ODE △FCE;(2)解:四边形ODFC为矩形,证明如下:·△ODE△FCE,.OE FE.又:CE=DE,..四边形ODFC为平行四边形.又·四边形ABCD为菱形, ..AC1BD,即DOC-90{*},..平行四边形ODFC为矩形.13.(1)12 96 解;(2)OE十OF的值不变,理由如下;连接AO.·.四边形ABCD为菱形,..AB =AD=10.由(1)知S形AcD=96,..SABo=2S形cD=48.·'S△=S△Aoo+ SAoo..48- 得OE十OF-9.6.即OE十OF的值不变. 第2课时 菱形的判定 知识储备 1.相等 2.垂直 3.相等 A基础练 1.B 2.证明:·ABCD,.AD/BC...AEB=EBF.·BE平分ABC '. ABE=EBF..ABE=AEB..AB=AE.又'.'AB/EF,AE//BF .$ 四边形ABFE是平行四边形.又:AB=AE,.'.ABFE是菱形.3.C 4.AD /BC(AB=CD或OB=OD等)5.证明:·在ABCD中,O为对角线BD的 中点,.AD//BC,BO=DO...EDB=FBO,DEO=BFO..△DOE △BOF(AAS)..'.OE=OF.又·:OB=OD,..四边形EBFD是平行四边形.:EF 1BD,..四边形BFDE是菱形.6.菱形 四条边相等的四边形是菱形 7.证 明:.BD平分 ABC,.ABD=CBD.又 A=C,BD=BD,.'△ABD$$$ △CBD..'AB=BC,AD=CD.又AB=AD,.'AB-BC=CD=AD..'四边形 ABCD是菱形. 8.C 9. 20 10.(1)证明:.:CF//AB,..ADF- CFD DAC=FCA.·点E是AC的中点,..AE=CE.'.△ADE△CFE.'AD =CF;(2)解;当AC BC时,四边形ADCF是菱形,证明如下;由(1)知,AD CF,:AD/CF,.'四边形ADCF是平行四边形.·AC BC,. ACB=90*。: 点D是AB的中点,E是AC的中点,.'DE/BC.'.AED=ACB=90*},即 DF1AC...ADCF是菱形.11.(1)平行四边形 解:(2)①四边形ACDF是 菱形,理由如下;连接AD,交BE于O.:四边形ABDE是菱形,*AD|EF,EO =BO,DO=AO.·:BC=EF,.'BC-BO=EF-EO,即OC=OF.·:OA=OD.$ ..四边形ACDF是平行四边形.又·:AD1BE,..□ACDF是菱形.②4③ 18.2.3正方形 知识储备 1.(1)直角 (2)相等 (3)相等且互相垂直平分 一组对角 (4)轴对称 184