第4章三角函数学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第4章 三角函数 4.1 角的概念的推广 【要点梳理】 1. 任意角的概念 一条射线由位置OA，绕着它的端点O，按逆时针(或顺时针)方向旋转到另一个位置OB形成的图形称为角。射线OA，OB分别是角的始边和终边，端点O称为角的顶点． (1)角的概念的推广 正角、负角、零角的概念： 按逆时针方向旋转形成的角称为 ； 按顺时针方向旋转形成的角称为 ； 当射线没有作任何旋转时，我们把它称为 。 (2)象限角 在平面直角坐标系中，将角的顶点与 重合，角的始边与 重合。那么，角的 落在第几象限，就把这个角称为第几象限角。 例如，30°，390°，－330°都是 ；120°是 ； －120°是 ；－60°和300°都是 。 【注意】　终边落在坐标轴上的角，称为界限角，如90°，180°．界限角不属于任何象限。 2. 终边相同的角 始边在x轴的正半轴，终边落在同一位置的角称为终边相同的角。 与角终边相同的角构成的集合为 。 【典例解析】 例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角。 (1)420°；　　(2)－240°；　　(3)930°． 【答案】(1)一 （2）二 （3）三 【解析】(1)∵420°＝60°＋1×360°或(420°－360°＝60°），∴420°与60°的终边相同．∴420°是第一象限角． (2)∵－240°＝120°＋(－1)×360°或(－240°＋360°＝120°)，∴－240°与120°的终边相同，∴－240°是第二象限角． (3)∵930°＝210°＋2×360°或(930°－2×360°＝210°)，210°是第三象限角，∴930°第三象限角。变式1 在0°～360°范围内，与600°角终边相同的角是________，它是第________象限角。 【小试牛刀】 1. －120°是第________象限角．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 2. 下列说法中，正确的是(　　) A．大于90°的角是钝角 B．锐角一定是第一象限角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限角一定是锐角 3. 下列各角中，终边位于第三象限的是(　　) A． B． C．300° D．210° 4. 下列各角中，与50°终边相同的角是(　　) A．－50° B．－40° C．410° D．－410° 5. 下列各角中，与 终边相同的角为(　　) A． B． C． D． 4.2 弧度制 【要点梳理】 1.弧度制 (1)弧度制概念 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 (2)角度与弧度的换算 ， (3)常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 (4)扇形中的弧长公式和面积公式 ①弧长公式：(是圆心角的弧度数)，②扇形面积公式：. 【典例解析】 例1 将下列各角进行角度和弧度转换：＝________；75°＝________. 【答案】15° 【解析】本题考查角度制与弧度制的转换，由弧度制转化为角度制，需乘；由角度制转化为弧度制，需乘. 变式1将下列各角进行角度和弧度转换： (1)rad＝________；(2)－120°＝________. 例2 若扇形的半径为3 cm，圆心角为120°， 则该扇形的弧长等于________，面积为________. 【答案】 【解析】本题考查弧长公式和扇形面积公式．先把圆心角转化为弧度，再利用弧长公式、面积公式即可．∵，∴弧长，面积. 变式2 已知扇形的弧长为，半径为2， 则该扇形的圆心角为________，面积为________. 【小试牛刀】 1.将下列弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)240°＝________；　　 （4）＝________； (2) ＝________；　 （5）＝________； (3) ＝________； （6）＝________。 2.在区间内，与角终边相同的角是________. 3.设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为 ． 4.已知某扇形的周长为20 cm，圆心角为3，扇形的半径为 、面积为 ． 5.在半径为cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（       ） A． B． C． D． 6.若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 7.弧度的角的终边在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，那么角的大小可能是（ ） A. B. C. D. 4.3 任意角的三角函数 【要点梳理】 1.任意角的三角函数的定义 条件 设α是一个任意角，α∈R， 它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，圆半径r= 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数， 记作 ，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数， 记作 ，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切， 记作 ，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数 ，x∈R 余弦函数 ，x∈R 正切函数 ，x≠＋kπ，k∈Z 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【典例解析】 例1 若角的终边经过点(－3，4)，求角的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】见解析 【解析】解：∵，∴，∴，，. 变式1 如果角的终边经过点P(－4，3)，则sin＝(　　) A． B． C． D．－ 例2 已知，则角所在的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以角所在的象限是第二象限，故选B． 变式2 若sin>0，cos<0，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例3 已知角的终边过点，且，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】角的终边过点，故可得，解得，故. 故选D. 变式3 若角的终边经过点，且，则m的值为（ ） A．3 B． C．3或 D．5或 例4 已知角的终边过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B. 变式4 已知角终边上有一点，求下列各式的值． （1）；       （2）． 例5 求下列三角函数值： (1)；　 (2)5cos90°＋2tan60°. 【答案】（1）0 （2） 【解析】解：(1)原式＝. (2)原式＝. 变式5 求下列函数值： (1)sin0°＋cos0°－3tan45°； (2). 【小试牛刀】 1.若角的终边过点，则cos的值为(　　) A． B． C． D． 2.若sin<0，tan>0，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．若且，则是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．设角的终边上有一点，则的值是（       ） A． B． C．或 D．1 5.若cos＝，且为第四象限角，则sin＝(　　) A． B． C． D． 6.已知角的终边上有一点，则= . 7. . 8.如果的终边过点，那么 . 9.函数的定义域为 . 10.弧度的角的终边与单位圆的交点的坐标是 . 4.4 同角三角函数的基本关系 【要点梳理】 1．同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 【典例分析】 例1 已知sin＝，且为第三象限角，求cos和tan的值． 【答案】见解析 【解析】解：由得cos＝= . ∵为第三象限角，∴cos＝，∴tan＝. 变式1 已知cos＝，且为第四象限角，求sin和tan的值． 例2 若，则（       ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【解析】由题意得：，，，故选A. 变式2 已知，则（       ） A． B． C． D． 例3 已知，，则 . 【答案】 【解析】将两边平方可得，则，故答案为. 变式3 已知，则的值为 ． 【小试牛刀】 1.化简：(1＋cos)(1－cos)＝________. 2.已知sin＋cos＝，则sin·cos＝________. 3.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知，若是第二象限角，则的值为（    ） A． B． C．－ D．－ 5.已知，，则 ． 6.已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 7.已知＝，并且α是第二象限角，求和． 8.已知sin＝2cos，求： (1) 的值； (2)sin·cos的值． 4.5 诱导公式 【要点梳理】 1.= ；= = ； 2.= ；= ；= ； 3.= ；= ；= ； 4.= ；= ；= 。 【典例解析】 例1 求下列各三角函数值： (1)cos(－60°)；　　　　(2)sin390°；　　　　(3)tan . 【答案】见解析 【解析】解：(1)cos(－60°)＝cos60°＝. (2)sin390°＝sin(30°＋360°)＝sin30°＝. (3). 变式1 求值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例2 已知为第三象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∵为第三象限角，∴，故选D. 变式2 若，，则等于（       ） A． B． C． D． 例3 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点， 所以，因此，故选B. 变式3 已知角的终边经过点，则的值为（        ） A． B． C． D． 例4若tan＝2，化简并求值：. 【答案】3 【解析】解：原式＝. 变式4 若tan＝2，化简并求值：. 【小试牛刀】 1.若，，则角的终边在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知，则（       ） A． B． C． D． 3.若cos＝，则cos＝(　　) A． B． C． D．以上均不对 4.若sin<0，且cos<0，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5.如果，那么（ ） A. B. C. D. 6.如果，那么下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7.求值：cos＝________. 8.若角的终边过点，则 ． 9.若，则 . 10.求值：sin60°＋cos150°＋tan45°＝________. 4.6 正弦函数的图像和性质 【要点梳理】 1.函数的周期性 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个，都有 ，且 ，那么函数就叫做周期函数。 非零常数叫做这个函数的周期。 若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么它就叫做的 。 2.正弦函数的图像 正弦函数，的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（ ）： 在函数，的图象上,以下五个点： ， ， ， ， ， 描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了。因此，在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图。 3.正弦函数的性质 函数 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 周期性 奇偶性 单调性 在上是 函数， 在上 减函数 【典例分析】 用“五点法”分别画出函数的示意图，并写出函数的最大值及相应的值。 【答案】见解析 【解析】解：(1)取点列表 x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 y＝2sinx－1 －1 1 －1 －3 －1 由图像可知，当时，y取最大值1. 变式1 请用“五点法”画出函数y＝2－sinx在[0，2π]上的简图． 例2 求函数y＝2sinx＋1的最大值和最小值． 【解析】解：∵－1≤sinx≤1， ∴2×(－1)＋1≤2sinx＋1≤2×1＋1， ∴－1≤2sinx＋1≤3，即－1≤y≤3， ∴，. 变式2 函数y＝3sinx的最大值为________，最小值为________； 例3 若x∈[0，2π]，且sinx＝，则x＝________. 【答案】 变式3 当x∈[0，2π]时，若sinx＝，则x＝________. 【小试牛刀】 1.已知定义在R上的函数f（x）的周期为2，且f（3）=5，则f（1）= ,f（5）= 。 2.填写下表，指出利用“五点法”画函数在【0，】上的简图时的五个关键点。 x 0 sinx 3sinx 函数五个关键点的坐标分别是： ， ， ， ， 。 3.函数y＝2sinx的值域为(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，2] D．[－4，1] 4.当函数取得最小值时，的取值范围为______________________. 5.若函数的最大值为5，则实数m的值是________. 6.函数与函数的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 7.函数，的简图是 A．B．C．D． 8.三角函数在区间上的图像为（　　） ABCD． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4.7 余弦函数的图像和性质 【要点梳理】 1.余弦函数的图像 余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（ ）： 画余弦函数在上的图象时，所取的五个关键点分别为 ， ， ， ， 再用光滑的曲线连接起来。 2.余弦函数性质 函数 定义域 值域 最值 当 时，； 当 时， 周期性 奇偶性 函数 单调性 在(k∈Z)上是 函数， 在上是 函数 【典例分析】 例1 用“五点法”分别画出函数的示意图，并写出函数的最大值及相应的值。 【解析】解：取点列表 x 0 π 2π y＝cosx 1 0 －1 0 1 y＝－2cosx －2 0 2 0 －2 由图像可知，当时，y取最大值2。 变式1 请用“五点法”分别画出函数y＝3cosx－1在[0，2π]上的简图。 例2 函数在区间上的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，且， 因此，函数在区间上的最大值是.故选：D. 变式2 函数y＝1－2cosx的最大值为________，最小值为________. 例3 函数，x∈R在（       ） A．上是增函数 B．上是减函数C．上是减函数 D．上是减函数 【答案】B 【解析】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误，故选：B. 变式3 函数的单调递增区间是 。 【小试牛刀】 1.函数的周期是 ， ， ， ， 。 2.函数的最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 函数的最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 函数的最大值是 ，最小值是 ，值域是 。 3填写下表，指出利用“五点法”画函数在【0，】上简图时的五个关键点。 x 0 cosx 1+cosx 函数五个关键点的坐标分别是： ， ， ， ， 。 4.不求值，比较下列各组数的大小。 （1）与 （2）与 5.已知点在余弦曲线上，则m＝（    ） A． B．－ C． D．－ 6.函数的图象经过点 A．() B．() C．(,0) D．(,1) 7.函数的定义域为 8．满足的的取值范围是 第4章 自我检测 1.下列各角中，与50°终边相同的角是(　　) A．－50° B．－40° C．410° D．－410° 2.下列各角中，终边位于第三象限的是(　　) A． B． C．300° D．210° 3.设，则角所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（ ） A. B. C. D. 5.已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A． B． C． D． 6.设角的终边上有一点，则的值是（       ） A． B． C．或 D．1 7.如果角是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 8.若cos＝，且为第四象限角，则sin＝(　　) A． B． C． D． 9.函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D.4 10.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）. A． B． C． D． 11．函数的简图是（    ） A．B．C． D． 12.已知角α的终边上一点P(m, )，且cos α＝，则m＝ ． 13.函数的定义域为 . 14.已知，，则 . 15.已知，，则的值为 . 16.的周期是 . 17.当函数取得最小值时，的取值范围为______________________. 18.已知 （1）求的值； （2）若，求的值． 19.求函数的定义域 20.化简： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$