第3章函数学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第3章函数 3.1 函数的概念 【要点梳理】 1. 函数的概念 （1）函数的定义 设集合D是一个 数集，对D中 x，按某种确定的对应关系f，都有唯一确定的实数值y与它对应，则称y为x的函数，记作 ，x∈D.其中x为自变量，y为因变量，自变量x的取值范围D称为函数的 ，对应的因变量y的取值范围称为函数的 。 （2）函数的三要素 、 和 是函数的三要素 函数的 和 是判断两个函数是否为相同函数的依据 2. 函数的定义域(的取值范围） 常见函数的形式：整式、分式、根式、零次幂、指数、对数等形式．其定义域要求如下： (1) 整式函数y＝f (x)的定义域为 (2) 分式函数定义域要求分母不为 (3)偶次根式的定义域要求被开方数 (4)奇次根式的定义域为 (5)指数函数的定义域为 (6)对数函数的定义域为 3. 函数的值域(的取值范围） 概念：值域是 的取值范围，是由函数的定义域、对应关系唯一确定的。 【典例解析】 例1 判断下列函数是否为同一个函数，并说明理由 （1）f(x)=x+1与g(t)=t+1； （2）f(x)=x与g(x)= 【答案】（1）是 （2）不是 【解析】（1）虽然函数f(x)=x+1与函数g(t)=t+1中表示自变量的字母不同，但它们的定义域和对应法则都是相同的，所以它们表示的是同一个函数； （2）因为函数f(x)=x的定义域为R ，函数g(x)=的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不同，因此它们表示的不是同一个函数． 变式1 下列函数中，与函数y＝x表示同一个函数的是(　 　) A． B． C． D． 例2 函数的定义域为（    ） A．(1，+∞) B．[1，+∞) C．[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 【答案】D 【解析】由题意，解得且 变式2 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例3 已知函数，求的值 【答案】6 6 【解析】解： 变式3 已知函数，求，，的值 【答案】18 -18 【解析】 【小试牛刀】 1.函数的定义域是 。 2.函数的值域是 。 3.函数，，则函数的值域是 。 4.函数的定义域是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．[－1，1) D．[－1，1)∪(1，＋∞) 5.已知函数f(1－x)＝2x－3，则f(2)＝(　　) A．－7 B．－4 C．－3 D．－5 6.已知，则（    ） A．50 B．48 C．26 D．29 7.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 8.函数值域是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数求函数f(x)的定义域和值域． 3.2 函数的表示方法 【要点梳理】 1. 函数的表示方法 （1）用解析式表示函数的方法称为 。 （2）用表格表示函数的方法称为 。 （3）用图像表示函数的方法称为 。 2. 分段函数 （1）定义：在函数 内，若对于自变量x的不同取值区间有不同的对应法则，这样的函数称为分段函数。 （2）定义域：自变量各个不同取值范围的 。 （3）图像特征：分段函数的图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。 【典例解析】 例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【解析】函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y与x关系的解析式，注意定义域． 【答案】解：①列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 变式1 购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。 例2 已知，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】 C 【解析】由可得 变式2 某市出租汽车收费标准如下：在以内（含）路程按起步价7元收费，超过 以外的路程按2.4元收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式。 例3 若函数，则__________． 【答案】2 【解析】由题意知，，， 所以. 变式3 已知函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【小试牛刀】 1.函数的值域为 。 2.已知f(x)＝则f(3)等于(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 3.已知f(x)的定义域和值域都是{－1,0,1,2}，且满足下表： x －1 0 1 2 f(x) 0 1 －1 2 则f(f(0))＝(　　) A．0　　　　　　B．1 C．－1 D．2 4.下列函数的图像是一条直线的是（ ） A. B. C. D. 5.f(x)＝|x－1|的图象是(　　) 6.如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ，值域为 ． 7.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是 ，值域是 . x y 1 2 3 3.3 函数的性质 【要点梳理】 1．增函数 （1）定义：设函数)在区间内有意义。对任意，当 时，都有 成立，那么，函数称为区间内的 ，区间称为函数的 。 （2）图像特征：函数值随自变量的增大而 ，自左到右图像呈 。 2．减函数 （1）定义：设函数)在区间内有意义。若对任意，当 时，都有 成立，那么，函数称为区间内的 ，区间称为函数的 。 （2）图像特征：函数值随自变量的增大而 ，自左到右图像呈 。 3.判断函数单调性的方法 利用单调性的定义判断、证明函数单调性的一般步骤： ①设，是给定区间内的任意两个值，且 ； ②作差：，并将此差式变形； ③判断的 ； ④根据的 确定其增减性．（口诀：同 异 ） 3．奇函数 （1） 定义：若函数的定义域关于 ，对于定义域内的任意一个，都有 ，则这个函数称为 ； （2） 图像特征 ：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于 对称。 【注意】　当时，若奇函数有意义，则。 4．偶函数 （1） 定义：若函数的定义域关于 ，对于定义域内的任意一个，都有 ，则这个函数称为 ； （2） 图像特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于 成轴对称。 5．判断函数单调性的方法 (1)定义法 ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断与的关系： 若＝－或＋＝0，则为 函数； 若＝或－＝0，则为 函数； 若)≠且≠－，则为 函数； 若＝－＝，则既是 又是 。 (2)图像法 若函数图像关于 对称，则此函数是奇函数； 若函数图像关于 对称，则此函数是偶函数。 【典例解析】 例1 定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为，故选：B． 变式1 下列函数中，在(－∞，0)上单调递减的是(　　) A． B． C． D． 例2 已知是定义在R上的增函数，则下列式子成立的是(　　) A． B． C． D．的大小不能确定 【答案】A 【解析】∵－2<5，∴根据增函数的定义得. 变式2 若在R上是减函数，则(　 　) A． B． C． D．的大小不能确定 例3 函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 【答案】A 【解析】∵是定义在R上的增函数，且，∴，解得，则a的取值范围为，故选：A． 变式3 函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4 若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以，在上是减函数，所以在上是增函数，所以，故，故选：B. 变式4 设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 例5下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当时，，单调递增，故B正确； C选项为偶函数，但在上单调递减，故C错，故选：B. 变式5 下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例6 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，故答案为:. 变式6 已知是偶函数，，则 . 例7 是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，则，又为R上的奇函数，所以，故选：C. 变式7 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1. 函数在是 函数（填“增”或“减”） 2. 函数的减区间是 。 3. 函数在上为减函数，则一定有（ ） A. B. C. D.不能确定 4.已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（    ） A． B． C． D． 5.定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．6 B．10 C． D． 6.已知定义在R上的函数F(x)＝f(x)－2是奇函数，满足f(－1)＝1，则f(0)＋f(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．2 D．5 7.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为8，那么在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 8.已知是上的奇函数，且当时，，求的解析式 9.已知函数 （1）求函数的定义域和值域； （2）判断函数的奇偶性并直接写出其单调区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值 3.3.3 几种常见函数 【要点梳理】 1.常见函数的单调性 (1)一次函数 当时，在R上是 ；当时，在R上是 。 (2)反比例函数 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是 ； 当时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是 。 (3) 二次函数，对称轴 当时，在上是 ，在上是 ； 当时，在上是 ，在上是 。 (4)指数函数： 当时，在R上是 ；当时，在R上是 。 (5)对数函数： 当时，在(0，＋∞)上是 ；当时，在(0，＋∞)上是 。 2.常见函数的单调性 (1)整式函数 ①若整式函数的定义域关于原点对称，且自变量的次数都是奇数次时，整式函数是 。例如，，； ②若整式函数的定义域关于原点对称，且自变量的次数都是偶数次时，整式函数是 。例如，，，； ③若整式函数的定义域关于原点对称，且自变量的次数既有奇数次又有偶数次时，整式函数是 。例如，。 (2)常值函数 常值函数在定义域R上为 。特别地， (前提条件是函数＝0的定义域关于原点对称)。 (3)正比例函数 正比例函数)在定义域R上是 。 (4)反比例函数 反比例函数在定义域上是 。 (5)二次函数 二次函，当时，是 ；当时，是 。 (6)指数函数 指数函数是 。 (7)对数函数 对数函数是 。 【典例解析】 例1 已知点在一次函数的图像上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中，得，， ，故选：C． 变式1 点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 例2 一次函数的图象经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，，∴函数图象经过一、二、四象限，故选：C． 变式2 一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 或 例3 下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】反比例函数的三种形式为： ①（为常数， ），② （为常数，），③ （为常数，）， 由此可知：只有不是反比例函数，其它都是反比例函数，故选：C． 变式3 下列属于反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 例4 下列各点中，不在反比例函数图象上的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项中，当时，，故该选项不符合题意； B选项中，当时，，故该选项不符合题意； C选项中，当时，，故该选项符合题意； D选项中，当时，，故该选项不符合题意；故选C. 变式4 已知反比例函数，则它的图象不经过点（    ） A． B． C． D． 例5 反比例函数的图像可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】∵反比例函数，，∴图象分布在第一、三象限，故选C． 变式5 关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．y随x增大而增大 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 例6 二次函数图像的开口方向向________；对称轴方程为________；顶点坐标为________；与x轴的交点坐标为________和________；与y轴的交点坐标为________；值域为________；当x＝________时，＝________；递增区间为________；递减区间为________；奇偶性为________。 【答案】下 （1，8） （-1，0） （3，0） （0，6） 1 8 非奇非偶函数 【解析】∵，∴开口向下；对称轴方程为；顶点坐标为，即，即(1，8)；令，则，解得，∴与轴的交点为(－1，0)，(3，0)；令＝0，则＝6，∴与y轴的交点为(0，6)；值域为(－∞，8]；当＝1时，，或；递增区间为(－∞，1]；递减区间为[1，＋∞)；∵b＝4≠0，∴为非奇非偶函数． 变式6 二次函数图像的开口方向向_____ ___；对称轴方程为________；顶点坐标为________；与x轴的交点坐标为________和________；与y轴的交点坐标为________；值域为_______；当x＝________时，＝________；单调递增区间为________；单调递减区间为________；奇偶性为_______。 例7 利用一面旧墙围一个矩形养鸡场，已知现有篱笆材料120米，问如何围才能使鸡场面积最大？(假设旧墙够长) 【答案】见解析 【解析】解：设矩形的一边长为，面积为，则矩形的另一边长为，，即，当时，，. 所以鸡场的边为30米，另一边为60米时，鸡场面积最大为1800平方米． 变式7 已知矩形的周长为10，若该矩形的面积为A，一边的长为x. (1)将A表示为x的函数； (2)求A的最大值； (3)设周长为10的圆的面积为S，试比较A和S的大小关系，并说明理由． 【小试牛刀】 1．若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调减区间为（       ） A． B． C． D． 3．对于函数的图象，下列结论错误的是（　 ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、二、四象限 C．与轴的交点为 D．若两点，在该函数图象上，则 4. 函数的值域是( ) A. B. C. D. 5.函数和函数的图像可能是( ) 6.用一段长为50m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25m．当这个矩形菜园的宽（矩形的较短边）为（    ）时，围成的矩形菜园的面积最大？ A． B． C．10 D．15 7．已知函数为一次函数，且，则 ． 8．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）间的函数关系，已知1千克苹果的成本是5元，如果某天该合作社的苹果销售单价为8元/千克，那么这天销售苹果的盈利是 元． 9. 若函数f(x)=的最大值为1,则k=________. 10. 已知点、、在反比例函数的图象上，则的大小关系是___________． 11已知点，，在反比例函数的图像上． （1）求该反比例函数的图像位于第几象限； （2）比较，，的大小关系． 12．已知一次函数． (1)a，b为何值时，y随x的增大而增大？ (2)a，b为何值时，图象过第一、二、四象限？ (3)a，b为何值时，图象与y轴的交点在x轴上方？ 第3章 自我检测 1.已知函数，则等于(　　) A．2x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．1 2.由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（    ） x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A．1 B．2 C．4 D．5 3.已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.函数，的值域为． A． B． C． D． 6.下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 7.下表表示y是x的函数，则函数的值域是（    ） x y 1 0 1 A． B． C． D． 8.设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 9.在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝－2x B． C．y＝|x| D．y＝－x2 10.定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 11.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是 A．-1,3 B．0,2 C．-1,2 D．3,2 12.已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13.二次函数，当时，对应值有相应的取值范围，则取值的最大值为（　　） A．3 B．0 C．8 D．1 14.下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 15.一次函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 1 学科网（北京）股份有限公司 $$