第2章不等式学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

第2章 不等式 2.1 不等式的基本性质 【要点梳理】 1．实数的大小：两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即 ， ， . 依据 a>b⇔a－b 0. a＝b⇔a－b 0. a<b⇔a－b 0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 2.比较实数的大小（ 比较法） 对任意实数a，b： 若a－b>0，则a b； 若a－b＝0，则a b； 若a－b<0，则a b 3.不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac bc a>b，c<0⇒ac bc c的符号 【典例解析】 例1 已知a<b，则下列不等式成立的是(　　) A．a＋3>b＋3 B．a－3>b－3 C．3a>3b D．－3a＞－3b 【答案】 D 【解析】根据不等式的性质进行判断 变式1 若，比较与的大小 变式2 若a>2，则a－2________0. 变式3 已知0<a<1，则(　　) A． B． C． D． 变式4 若a>0，ac<0，则(　　) A． c<0 B．c>0 C．c为任意实数 D．c≤0 变式5 “a>2且b>2”是“a＋b>4”的(　　) A． 充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 变式6 下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则a>b B．若a＋b>a，则b>0 C．若a>b，则b－a>0 D．若ab>0，则a>0且b>0 【小试牛刀】 1.用符号“>”“<”填空 （1）如果a<b ，那么a−5 b−5 （2）如果a>b，那么a+4 b+2 （3）如果a<b，那么 （4）如果a>b，那么3a−2 3b−3． 2.已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.比较与的大小 4. 已知a>b，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 5.下列命题错误的是(　　) A．若>，>，则＋>＋ B．若>，>，则－>－ C．若>，>，则－>－ D．若>>0，>>0，则> 6.比较与的大小 7.如果代数式与代数式的差不小于3，求x的取值范围 8.若试证明 2.2 区间 【要点梳理】 1.设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 {x|a≤x≤b} {x|a＜x＜b} {x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 数轴表示 2.实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 【典例解析】 例1 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，解得，即，故选：D. 变式1 已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2 已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，解得，综上，实数的取值范围是，故选：D. 变式2 已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是 ． 例3 全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，∴，∵，∴，故选：D． 变式3 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【小试牛刀】 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.若全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 3.设集合，则 4.已知，，则的范围是 5.已知，则的取值范围为 6.已知，，且，则实数a的取值范围为 7. 已知集合，． （1）在①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求； （2）若，求实数的取值范围． 8. 设，，求，，的范围. 2.3 一元二次不等式 【要点梳理】 1．一元一次不等式的解法 当时，解集为； 当时，解集为. 解一元一次不等式的一般步骤： 去 →去 →移 →合并 →化简 解题过程中注意不等号的 。最后结果一般用 或 表示 2．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有 实根 有 实根 【典例解析】 例1 不等式－3x－6<0的解集是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 【答案】A 【解析】不等式两边同时加上6，再除以－3(注意变号)，可得x>－2. 变式1 不等式－6≤－3x的解集是(　　) A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2] C．[2，＋∞) D．(－∞，2] 例2 不等式组的解集为(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x<1} C．{x|－2<x<1} D．∅ 【答案】C 【解析】2x＋1<3可得x<1，3x－2>－8可得x>－2，∴不等式组的解集为－2<x<1. 解一元一次不等式组，就是求不等式组中各不等式的解集的交集． 变式2 不等式组的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－4) C．(－4，2) D．∅ 例3 不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】原式化为，即，故不等式的解集为，故选:D． 变式3 记集合 ，， 则（    ） A． B．或 C． D． 例4 若函数的定义域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，当时，，解得，因此得，所以的范围是，故选：A. 变式4 若任意，恒成立，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.或 【小试牛刀】 1.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 3.不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 4.已知不等式的解集为，则 ． 5.若实数满足不等式，则的取值范围是__________. 6.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 7.解不等式组： 2.4 含绝对值的不等式 【要点梳理】 含绝对值不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 解含绝对值的不等式的基本思路是： 先将其转化为不含绝对值的不等式， 再依据一元一次不等式的解法步骤进行求解， 不等式的解集要写成集合或区间的形式． 【典例解析】 例1 解不等式：|x－3|<2.(用区间表示) 【答案】（1，5） 【解析】解：原不等式可化为－2<x－3<2，即1<x<5. ∴原不等式的解集为(1，5). 变式1 不等式|x－6|≤2的解集是________. 例2 解不等式：|2x＋5|>4. 【答案】 【解析】解：|2x＋5|>4⇔2x＋5<－4或2x＋5>4⇔2x<－9或2x>－1，即或， ∴原不等式的解集是. 变式2 不等式|x－2|≥1的解集是(　　) A．[1，3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C．[－3，3] D．(－∞，1]∪[3，＋∞) 【小试牛刀】 1.求不等式|x－5|＞－1的解集 2.求不等式2|3x＋1|－1<5的解集 3.若a>0，关于x的不等式|2ax|<1的解集是{x|－2<x<2}，则a的值为(　　) A．－1 B． C． D．5 4.已知关于x的不等式|x－3|<a的解集是{x|－3<x<9}，则(　　) A．a>6 B．a＝6 C．a<6 D．a≥6 第2章 自我检测 1.如果a＞0，那么以下不等式正确的是（　 　） A.2a＞3a B. －3a＞－2a C. a－2＜a＋2 D. a－2＞a＋2 2.不等式｜x｜＜2的解集是（　 　） A. {x｜x＜±2} B. {x｜－2＜x＜2} C. {x｜x＜2} D. {x｜x＜－2或x＞2} 3.不等式（x－1）（x＋2）≥0的解集是（　 　） A. （－2，1） B. [－2，1] C. （－∞，－2）∪（1，＋∞） D. （－∞，－2]∪[1，＋∞） 4.不等式3x－6≥0的解集用区间表示是（　 　） A. （2，＋∞） B. [2，＋∞） C. （－∞，2） D.（－∞，2] 5.求不等式－2<4－2x<8的解集. 6.求不等式的解集 7.求不等式的解集 1 学科网（北京）股份有限公司 $$